Téma 2 Napětí a přetvoření

Transkript

1 Pružnost a plasticita, 2.ročník bakalářského studia Téma 2 Napětí a přetvoření Deformace a posun v tělese Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi, Hookeův zákon, fzikální konstant a pracovní diagram stavebních materiálů Deformace od změn teplot Katedra stavební mechanik Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Deformace a posun Vlivem zatížení nebo změn teplot se tělesa deformují, což lze popsat pomocí poměrných deformací nebo složek posunutí. Poměrné deformace: - délkové d d d dz z d dz (poměrné prodloužení nebo zkrácení) Deformace a posun v tělese 2 / 37

3 Deformace a posun Poměrné deformace: - úhlové (zkosení) d z dz z z d Teorie malých deformací: 1 Zjednodušení: 1 tan Deformace a posun v tělese 3 / 37

4 Poměrné deformace délkové d d d d z dz dz úhlové d z dz z z d prostý tah N N + +z + kroucení dz T + d d Deformace a posun v tělese 4 / 37

5 Stav přetvoření tělesa Stav přetvoření tělesa: tenzor, definovaný v pravoúhlé soustavě Tenzor deformace: Vektor deformace: Pouze 6 složek přetvoření T sm. z z z Geometrii deformovatelného tělesa lze popsat jednoznačně pomocí složek posunů libovolného bodu: u(,, z) v(,, z) z z z z z w(,, z) Deformace a posun v tělese 5 / 37

6 6 / 37 Geometrické rovnice u u u a u b u d ), ( ), d ( d d ) ( ) ( d d d d Deformace a posun v tělese

7 7 / 37 Geometrické rovnice Deformace a posun v tělese v u v v u u a v b v a u c u d ), ( ), d ( d ), ( ) d, ( d ) ( ) ( d ) ( ) ( 1 2

8 8 / 37 Geometrické rovnice u v z w z u v z v w z w z u z Vjadřují vztah mezi složkami poměrných deformací v tělese a složkami posunů libovolných bodů v tělese. Deformace a posun v tělese

9 Pracovní diagram Vztah napětí - deformace vjadřuje pracovní diagram. Závisí na fzikálních a mechanických vlastnostech materiálů. lim A 0 N A N A TAH l l Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 9 / 37

10 Pracovní diagram Osové namáhání - tah N N Téma č.1 Tahová zkouška oceli Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 10 / 37

11 Pracovní diagram Osové namáhání - tah N N Téma č.1 Tahová zkouška oceli Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 11 / 37

12 Pracovní diagram Osové namáhání - tah N N Téma č.1 Tahová zkouška oceli Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 12 / 37

13 Pracovní diagram Osové namáhání - tah Téma č.1 Přetržený vzorek oceli po tahové zkoušce Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 13 / 37

14 Pracovní diagram Osové namáhání - tah Téma č.1 Přetržený vzorek oceli po tahové zkoušce Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 14 / 37

15 Pracovní diagram Téma č.1 Tahová zkouška oceli, pracovní diagram Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 15 / 37

16 Pracovní diagram Téma č.1 Tahová zkouška oceli, pracovní diagram Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 16 / 37

17 Pracovní diagram Téma č.1 Tahová zkouška oceli, pracovní diagram Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 17 / 37

18 Pracovní diagram Pracovní diagram oceli, získaný tahovou zkouškou Normálové napětí Lineárně pružný materiál Téma č.1 Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi Poměrné přetvoření 18 / 37

19 Pracovní diagram Pracovní diagram oceli, získaný tahovou zkouškou Normálové napětí Plastické chování materiálu Téma č.1 Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi Poměrné přetvoření 19 / 37

20 Pracovní diagram Pracovní diagram oceli, získaný tahovou zkouškou Normálové napětí Trvalá deformace Téma č.1 Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi Poměrné přetvoření 20 / 37

21 Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon E tan E TAH l l N A... poměrné prodloužení [-]... normálové napětí [Pa] E... modul pružnosti v tahu a tlaku (Youngův) [Pa] Hookeův zákon l l N A E l N. l E. A Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 21 / 37

22 22 / 37 Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon (dříve )... Poissonův součinitel příčné deformace [-] E z.. 0,5 Při současném působení, a z z z E E E E obdobně z E.. 1 z z E.. 1 Fzikální rovnice -1.část Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi

23 Historické osobnosti Robert Hooke ( ) Anglický fzik, přírodovědec a architekt, který jako první vslovil v roce 1676 zákon o úměrnosti mezi napětím a přetvořením. Thomas Young ( ) Anglický učenec, v roce 1807 definoval matematick Hookeův zákon (modul pružnosti E). Simeon Denis Poisson ( ) Francouzský matematik, zabývající se chováním materiálu a matematickou teorií pružnosti. Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 23 / 37

24 Smk, smková napětí d d Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 24 / 37

25 Lineárně pružný materiál, Hookeův zákon ve smku = G... modul pružnosti ve smku [Pa]... smkové napětí [Pa]... zkosení [-] Hookeův zákon ve smku G tan G = arctan G obdobně z G z z z G Fzikální rovnice -2.část Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 25 / 37

26 26 / 37 Fzikální rovnice Vjadřují vztah mezi složkami poměrných deformací a složkami napětí v tělese. G z z G z z G z E.. 1 z z E.. 1 z E.. 1 Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi

27 Fzikální konstant U izotropní látk není E, G a vzájemně nezávislé. E G ,5 E 3 G E 2 Orientační hodnot fzikálních konstant některých látek: E G Ocel MPa MPa 0,3 Sklo MPa MPa 0,25 Žula až MPa - 0,2 Dřevo jehličnaté E = MPa E = 300 MPa 600 MPa - Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 27 / 37

28 Pracovní diagram betonu v tlaku Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 28 / 37

29 Fzikální konstant betonu Třída betonu E cm sečnový modul pružnosti G C12/ MPa 0,42.E 0,2 C16/ MPa C20/ MPa C25/ MPa C30/ MPa C35/ MPa C40/ MPa C45/ MPa C50/ MPa Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 29 / 37

30 Návrhový pracovní diagram betonu v tlaku Parabolicko-rektangulární Bilineární Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 30 / 37

31 Pracovní diagram oceli Plasticita: schopnost materiálu deformovat se trvale bez porušení. Tažnost: plastické protažení přetržené tče, ocel 15%. Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 31 / 37

32 Pracovní diagram dřeva Pracovní diagram dřeva Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 32 / 37

33 Ideálně pružno-plastický materiál Pracovní diagram ideálně pružnoplastického materiálu Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 33 / 37

34 Přetvárná energie, ideálně pružno-plastický materiál Plocha 1. : přetvárná energie pružného materiálu E n,e Plocha 2. : přetvárná energie plastického materiálu E n,p Y A f Namáhání nárazem Kinetická energie nárazu: W m. v 2 2 W En Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 34 / 37

35 Omezené vužití plastických vlastností materiálu pracovní diagram každého materiálu závisí na rchlosti zatěžování a teplotě porušení ztráta pevnosti je mnohotvárný jev, někd vznikají tvárné-plastické deformace, jind je povah křehkého lomu (při nízkých teplotách, koncentrací napětí), který vzniká náhle při proměnném napětí opakujícím se v mnoha cklech se uplatní tzv. únava materiálu při napětích podstatně nižších než je f Fzikální vztah mezi napětími a deformacemi 35 / 37

36 Deformace od změn teplot. T, T, T z, T T t součinitel tepelné roztažnosti [ o C -1 ] z z 0 Ocel t = o C -1 Dřevo t = o C -1 Beton t = o C -1 Zdivo t = o C -1 Deformace od změn teplot 36 / 37

37 Okruh problémů k ústní části zkoušk 1. Deformace a posun v tělese, geometrické rovnice 2. Hookeův zákon, lineárně pružný materiál, fzikální konstant stavebních materiálů 3. Pracovní diagram stavebních materiálů 4. Nepružný a ideálně pružno-plastický materiál, tažnost 5. Deformace od změn teplot Podklad ke zkoušce 37 / 37