IDENTIFICATION OF ELASTICITY CONSTANTS BY A BAR ETALON IDENTIFIKACE ELASTICKÝCH KONSTANT PRUTOVÝM ETALONEM

Transkript

1 40. MEZINÁODNÍ KONEENCE EXPEIMENTÁLNÍ ANALÝZY NAPĚTÍ 40 th INTENATIONAL CONEENCE EXPEIMENTAL STESS ANALYSIS VI. 2002, PAHA/PAGUE, CZECH EPUBLIC IDENTIICATION O ELASTICITY CONSTANTS BY A BA ETALON IDENTIIKACE ELASTICKÝCH KONSTANT PUTOVÝM ETALONEM Karel VÍTEK Abstract: Computational approach to structural or limit state assessment needs better knowledge of material qualities as one of the basic inputs. The methodology of determining the construction materials elastic constants is based on the mechanical tests, being mostly tensile tests, of partially loaded specimens (macro-specimens). The elastic constants obtained are applied mainly when a computer-aided modeling structure is used which considerably adanced due to computer techniques deelopment in the last years (to obtain a deeper understanding of occurring phenomena, it is necessary to find out the σ-ε distribution). It is the aim of this article to introduce a original method for a material identification of EM computing system. The method is based on the two simply experiments and three simply calculations of only three displacements on the simply etalon bar beam. In this case, it is demonstrated how to find material identification which uses finite element method (the Young s modulus of elasticity and Poisson s ratio are determined by this method). Key words: Young s modulus, Poisson s ratio, Material identification,em Klasická tahoá zkouška může nášet do materiáloé identifikace elastických konstant principiální nejistotu definici okrajoých podmínek ( interakce zorku a čelistí trhačky, poloha zorku, neboť zkouška pro definoané parciální zatížení tahem je lastně zkouškou na kombinaci ohybu a tahu zorku s dominantním tahem ) a zároeň je při ní nutno měřit malé relatiní deformace tenzometry. Proto identifikoat tahoou zkouškou materiáloé lastnosti je zdlouhaé a poměrně drahé. Obecněji namáhané prutoé těleso jednoduchého taru je možno pro experimenty snadno a rychle yrobit a bez problémů a také rychle e ýpočetním systému namodeloat. Na jednoduché konstrukci prutu je možno za účelem materiáloé identifikace měřit experimentálně posuy a hodnou olbou rozměrů prutu také ladit citliost deformací a přizpůsobit ji citliosti měřidel, která při měření posuů prutu mohou být mechanická a není pak nutno inestoat do tenzometrie. Obr.1 regrese experimentu: =a*, u=p* 3.5 Ohyboý diagram záislosti posuu na síle litinoého kroužku z obr. 1 je oblasti Hookeoa 0.7 zákona yronán lineární regresí e taru : = a* Směrnice regresní přímky a(e, µ) je obecně funkcí (N) modulu pružnosti E, Poissonoa čísla µ a konstantních rozměrů uažoaného prutu ( ten toří kroužek o středním poloměru =37,85mm s konstantním obdélníkoým průřezem o radiální ýšce h=3,3mm a šířce b=5,15mm ). Analýza MKP uedená obr. 2 zhledem k Poissonou číslu µ tohoto posuu (E, µ) pro olenou zatěžoací jednotkoou sílu je yronána polynomickou regresí. Stabilní konstantní u člen zde bude funkcí modulu pružnosti E ( a konstantních rozměrů prutu ) a ostatní zanedbatelné členy, které oliňují e ýpočtu nejýše 4. ýznamoou číslici ýsledku posuu (E, µ), jsou funkcí µ (a konstantních rozměrů). Uažoaný posu je tedy elmi slabou funkcí µ a dominantní funkcí E. Ing. Karel Vítek, CSc., Odbor pružnosti a penosti, Ústa mechaniky, akulta strojní, ČVUT Praze, Technická 4, PAHA 6, Česká epublika, VITEK@SID.CVUT.CZ, Tel: 02/ u(mm) (mm)

2 0, ZÁVISLOST POSUVU KONSTUKCE (mm) NA POISSONOVĚ ČÍSLE m( 1) ZATÍŽENÍ KONSTUKCE JEDNOTKOVOU Obr.2 0, , , , , , , (mm) Polynomický ((mm)) 0, , Posu (mm) 0, , , , dominantní člen regrese posuu 0, , = -0, *m 2 + 0, *m + 0, = 0, , , , ,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Poissonoo číslo m (1)

3 0,014 ZÁVISLOST POSUVU KONSTUKCE (mm) NA MODULU PUŽNOSTI E (MPa) ZATÍŽENÍ KONSTUKCE JEDNOTKOVOU 0, ; 0, mocninná regrese posuu (E) Poissonoo číslo m = 0,25 Posu (mm) 0,010 0,008 0, ; 0, (mm) = 519,86*E -1 2 = 1 0,004 =a*=a*1=c*e ; 0, ,002 E = c/a ; 0, , Modul pružnosti tahu E(MPa) Obr.3

4 ZÁVISLOST POSUVU KONSTUKCE u(mm) NA POISSONOVĚ ČÍSLE m( 1) Obr.4 0,3 ZATÍŽENÍ KONSTUKCE JEDNOTKOVOU SILOU Posu u(mm) 0,25 0,2 0, ,15 0, u(µ,e) = (g*µ +h)* = p* : µ = (p-h) / g 0, , , , , µ 0, , , u(mm) = 0,152355*m + 0, = 0, ,1 u(mm) Lineární (u(mm)) 0,05 u() 0 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 Poissonoo číslo m (1) elatiní rozdíl absolutního členu mezi ýpočtem a regresní ronicí: 100*(0, ,180656) / 0,180656=0,0387%

5 Obr.5 ozložení posuu u po průřezu kroužku je proměnné a při experimentálním měření je tuto lastnost třeba respektoat. egrese dat experimentu posuu u musí zahrnoat ýsledky totožného z místa, kterým může být například poloha dotyku síly s kroužkem. u Obr.6 Experimentální měření posuu nemusí být fixoáno na konkrétní bod průřezu (tak jak je tomu při měření posuu u dle Obr.5), neboť posuy se od sebe liší ětšinou až e 3. ýznamoé číslici.

6 Identifikaci modulu pružnosti můžeme proést podle obr. 3, kde je numerickou analýzou dokumentoána (po proložení mocninné regresní křiky ypočtenými ariantami) nepřímá úměrnost posuu (E, µ) na modulu pružnosti E. Protože směrnice a regresní přímky experimentu odpoídá posuu pro jednotkoou sílu, lze modul pružnosti E určit jako průsečík regresní přímky experimentu a regresní hyperboly ýpočtů, tedy z ronosti : = a* = a*1 = c*e -1, což grafu na obr.3 předstauje průsečík konstanty s hyperbolou a modul pružnosti je podle předešlé ronice dán podílem: E = c/a. egresní hyperbolu je šak nutno ze sady ýpočtů konstruoat. Další - ýhodnější cesta yužíá zjištěnou hyperbolickou záislost posuu na E a yžaduje pouze jeden numerický ýpočet konstrukce. Pomocí ýpočtu modelu prutu zatíženého (shodně s předchozím modelem z obr.1) jednotkoou silou s materiáloými konstantami: E=1, µ=0, získáme e ýsledku numerické analýzy přímo konstantu c ( dle ztahu: = c*e -1 = c*1-1 = c ) a dále opět modul pružnosti E = c/a ( tomto konkrétním případě je konstanta c=519,667 zjištěná numericky oproti c=519,86 z průsečíku směrnice regresní přímky experimentu s regresní hyperbolou ýpočtů. Jejich relatiní rozdíl činí 0,037% a nemá tedy praktický li na další zpřesnění modulu pružnosti, ten je zde konkrétně: E = c/a = 519,86/0, =96538,53 MPa). Určení Poissonoa čísla jsme založili na hypotéze: Jednoduché funkční záislosti deformace prutu při dominantní kombinaci krutu s ohybem na Poissonoě čísle µ. Výpočty posuu u(µ) obr. 4 jsou proedeny s jednotkoou zatěžoací silou a konstantním modulem pružnosti E=90000 MPa. Charakterizoány jsou regresní přímkou, která je silně lineární funkcí µ e taru: u(µ,e)= g*µ +h. Konstanta h=0, pak je zde pouze funkcí modulu pružnosti E, který je této fázi už analýzou na základě prního posuu yřešen. Kroužek zatížený silou kolmo na roinu prutu podle obr. 1 s měřeným posuem u, odpoídá regresní přímce e taru u() = p*. Proto konstantu h můžeme stanoit ýpočtem posuu u(µ,e) modelu prutu zatíženého jednotkoou silou s materiáloými konstantami e taru: E=dané, µ=0. Při olbě druhé hodné kombinace konstant: E=dané, µ=(z interalu: 0 < µ < 0,5, hodné je například µ=0,3 µ je omezeno interalem z principu teorie a ýpočetní systém by ani spráně neypočítal deformaci u pro µ olené jinak) yplýá konstanta regresní přímky g z ypočtené deformace u ztahem: g = (u-h)/µ. Poissonoo číslo najdeme jako průsečík lineární regrese experimentu s lineární regresí ýpočtů: u(µ,e) = (g*µ +h)* = p* a z toho yplýá: µ = (p-h) / g čímž je materiál identifikoán. U obou typů experimentů a teoretických řešení uažoaných deformací jsme ěnoali pozornost také průběhům deformací měřeném místě na průřezu prutu. Vlastnosti jsou dokumentoány na obr.5 a obr.6. Náročnější na dodržení regulárních podmínek experimentu je posu u, při kterém je prut namáhán zejména kombinací krutu s ohybem. Průřez se zde při posouání také natáčí, proto udržet polohu měřidla například na bodu průřezu e středoé ose symetrie je obtížnější. Záěrem je třeba shrnout, že pro materiáloou identifikaci ýpočetního systému předkládanou metodu je potřeba realizoat dě poměrně nenáročná experimentální měření celkem dou deformací na modelu prutu a yronat je lineární regresí. Dále už postačují tři jednoduché ýpočty odpoídajícího prutu zatíženého jednotkoou silou s hodně zolenými materiáloými konstantami samotným ýpočetním systémem a tyto (2+3) ýsledky přímo stanoují na základě jednoduchého matematického obratu obě konstanty E, µ zkoumaného materiálu. LITEATUA: [1] Vítek K.- Optimalizace taru tyčí pro tahoou zkoušku, Konference Experimentální analýza napětí - EAN 93, Měřín, 1993, sborník str [2] Vítek K., Holý S.- Identifikace materiáloé tahoé zkoušky, Konference Experimentální analýza napětí - EAN 99, renštát pod adhoštěm, 1999, sborník str [3] Vítek K., Holý S, Štěrba P. Zjišťoání materiáloých konstant yužitím metody konečných prků, National Conference with International Participation ENGINEEING MECHANICS 2001, Sratka, Czech epublic, May 14-17, 2001, sborník, str Tento ýzkum na téma: Optimalizace elastických konstant pro tenzometrické aplikace je podporoán grantem GAČ_106/01/0958.