1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe kolmé. : : 1 V : Číslo 8 je liché. V : 0,1 N V : Paříž je hl. město Španělska. V : + 3 = 5 3 Příklady tvrzení, které nejsou výroky: Kolik je hodin? Jdi domů! x = 4 Hypotéza 1 je výrok, jehož pravdivostní hodnotu neumíme určit. V ( ) Negace výroku V je výrok, který popírá původní výrok. Negaci označíme Je-li V pravdivý, je výrok Je-li V nepravdivý, je výrok V nepravdivý. V pravdivý. 4 5 6 a, b R : a + b = a + ab + b V. Zřejmě platí: Výroky negujeme podle následujících pravidel: 1) Výrok V je jednoduchá věta, neobsahující žádné počty osob, věcí atp. Pak negaci V můžeme vytvořit buď: a) Úvodním sdělením Není pravda, že + výrok V. b) Negováním slovesa ve výroku V. Příklad 1: V : Venku prší. V : Není pravda, že venku prší. V : Venku neprší. 1 Česky domněnka 6/55
Poznámka V hovorové řeči běžně používáme výroky, jejichž pravdivostní hodnota je pravda. Proto nás kvůli srozumitelnosti především zajímají formulace, které obsahují co nejméně záporek ne-. Tedy významově slovesa: platí, má, dělá, nosí, slibuje, atd. V případě více záporů ve větě dochází k nesrozumitelnosti, a začneme hledat srozumitelnější obměnu. Obměnou výroku rozumíme výrok, který říká totéž co původní (musí mít stejnou ph.), ale jinými slovy. A jazyk český si dovede se zápory pěkně pohrát. Příklady: V : Myslím, že můžu říci, že tě mám rád. V : Myslím, že nemůžu říci, že tě mám rád. V : Myslím, že můžu neříci, že tě mám rád. V : Myslím, že můžu říci, že tě nemám rád. V : Myslím, že můžu říci, že tě mám nerad. V : Myslím, že není pravda, že můžu říci, že tě mám rád. V : Nemyslím, že můžu říci, že tě mám rád. atd. Tak která varianta se vám nejvíce líbí? A tak může postupně vzniknou společenská hra na celý večer, až skončíte u výroku: X : Není pravda, že nemyslím, že nemůžu neříci, že tě nemám nerad. Jako dlouho budete přemýšlet, než se rozhodnete dát buď pusu anebo facku? ) Výrok V je jednoduchá věta, obsahující počty osob, věcí atp. Tyto počty bývají určeny buď přesně anebo přibližně pomocí slovních spojení, kterým říkáme kvantifikátory. 7/55
Mezi běžné kvantifikátory patří zejména: Aspoň, nejvýše, právě, každý, všichni, žádný, nikdo. Řekneme-li, že nějaká množina má aspoň k prvků, znamená to, že počet jejich prvků je větší nebo roven číslu k. Řekneme-li, že nějaká množina má nejvýše k prvků, znamená to, že počet jejich prvků je menší nebo roven číslu k. Příklad : Aspoň tři lidé přišli včas. Nejvýše pět žáků má úkol. Je právě 1 hodin. Všichni se radují. Každý žák má hlad. Nikdo nezavolal. Žádný žák nenosí brýle. Aspoň jeden mluví pravdu. Pak negaci takovýchto výroků musíme vytvořit při dodržení této zásady: Jestliže výrok V popisuje část dané množiny, pak negace množiny, tzv. její doplněk (viz dále). V musí popisovat zbytek Proto je vhodné v úvodní části zakreslovat sdělení výroků na číselné ose. Příklady: V : Aspoň tři lidé přišli včas. V : Nejvýše dva lidé přišli včas. V : Nejvýše pět žáků má úkol. V : Aspoň šest žáků má úkol. 1.1 Kvantifikované výroky a jejich negace Obecný kvantifikátor ( ) vyjadřuje, že daná vlastnost platí pro každý prvek. Existenční kvantifikátor ( ) vyjadřuje, že existuje aspoň jeden prvek, pro který daná vlastnost platí. 8/55
Příklady kvantifikovaných výroků: Dvojtečku čteme platí. V 1 : a, b R : a + b > 0 V : n N : n > 0 V : x Z 3 ( x) Z : x + ( x) = 0 Jak negovat kvantifikované výroky názorně ukazuje následující tabulka: Negace výroku Každý prvek množiny M má danou vlastnost je výrok Aspoň jeden prvek množiny M nemá danou vlastnost. Příklady: 1) V: Nikdo nezavolal. V : Aspoň jeden zavolal. Negace výroku Aspoň jeden prvek množiny M má danou vlastnost je výrok Žádný prvek množiny M nemá danou vlastnost. ) V : Aspoň jeden mluví pravdu. V : Nikdo (žádný) nemluví pravdu. 3) V: Aspoň jeden nepřišel. V :Všichni přišli. Poznámka Výrok A : Každý nemá hlad. Je významově zavádějící. Výrok: Ne každý má hlad. lze nahradit obměnou: Existuje aspoň jeden, který má hlad. Ve výroku A jde o chybné spojení kvantifikátoru každý se záporem nemá. 9/55
Složené výroky Složené výroky jsou tvořeny dvěma nebo více výroky jednoduššími..1 Konjunkce Konjunkce výroků A, B je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou a. Zapisujeme: A B. Je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky A, B.. Alternativa Alternativa výroků A, B je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou nebo. (Nemá vylučovací význam.) Zapisujeme:. A B Je pravdivá pouze tehdy, je-li pravdivý alespoň jeden z výroků A, B..3 Disjunkce Disjunkce výroků A, B je výrok, který vznikne jejich spojením spojkou buď anebo. (Má vylučovací význam.) Zapisujeme: A B Je pravdivá pouze tehdy, je-li pravdivý právě jeden z výroků A, B..4 Implikace Implikace výroků A, B je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem jestliže, pak. Zapisujeme: A B. Ve většině středoškolských učebnic bývá alternativa uváděna jako disjunkce a disjunkce jako negace ekvivalence (nonekvivalence). Zamysleme se však nad významem slova disjunktní mající prázdný průnik, což ve výrokové logice popírá současnou platnost obou výroků, a proto považujme disjunkci dvou výroků za složený výrok, který je pravdivý právě tehdy, je-li pravdivý právě jeden z výroků. 10/55
Je pravdivá pouze tehdy, když jsou pravdivé oba výroky A, B nebo když je výrok A nepravdivý a výrok B jakýkoli. Poznámka: Matematické věty mají obvykle tvar implikace nebo ekvivalence. Pak je výrok A chápan jako předpoklad, výrok B jako závěr (tvrzení). Implikace B Ase nazývá obrácená implikace k implikaci A B. Platí přitom, že z pravdivosti implikace A B nevyplývá pravdivost její obrácené implikace. Implikace B A se nazývá obměněná k implikace k implikaci A B. Platí přitom, že obě implikace mají stejnou pravdivostní hodnotu..5 Ekvivalence Ekvivalence výroků A, B je výrok, který vznikne jejich spojením slovním obratem právě když. Zapisujeme: A B. Je pravdivá pouze tehdy, když výroky A, B mají stejnou pravdivostní hodnotu. Platí: ( A B) (( A B) ( B A) ) Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků: A B A A B A B A B A B A B 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1.6 Negace složených výroků Nechť A, B jsou výroky. Pak platí: ( A B) ( A B) ( A B) ( A B) de Morganova pravidla 11/55
( A B) ( A B) ( A B) (( A B) ( B A) ) A B 3 Tautologie a kontradikce Tautologie je výroková formule, která je vždy pravdivá bez ohledu na pravdivostní hodnotu výroků v ní obsažených. Kontradikce je výroková formule, která je vždy nepravdivá bez ohledu na pravdivostní hodnotu výroků v ní obsažených. Otázka: Jakou analogii splňují složené výroky s množinovými operacemi a vztahy? Pokud chcete znát odpověď, začtěte se do kapitoly Množiny. 1/55
Příklady: 1) K dané implikaci napište obměněnou implikaci, obrácenou implikaci a negaci této implikace. V jednotlivých případech rozhodněte o jejich pravdivosti. daná implikace: Je-li 10 sudé číslo, pak také obměněná: obrácená: negace: 10 je sudé číslo. daná implikace: Je-li číslo 43 dělitelné 8 a 9, pak je dělitelné 7. obměněná: obrácená: negace: ) Pro dané výroky A: Přijede otec, B: Přijede matka, vyjádřete výrokovými formulemi složené výroky. a) Přijede otec nebo matka... b) Nepřijede-li otec, pak přijede matka... c) Přijede právě jeden z rodičů... 3) Rozhodněte, při kterých pravdivostních hodnotách výroků A, B je uvedená výroková formule pravdivá. ( A B) ( A B) 4) Napište negace následujících výroků. Určete pravdivostní hodnotu u těch, u kterých to lze. výrok: PH jeho negace: PH Číslo 9 má nejvýše pět dělitelů. n N : n n Nejsem žíznivý ani hladový. 9 + 13 > Číslo 50 není dělitelné 15 nebo není dělitelné 5. Je-li poslední dvojčíslí čísla 164 dělitelné čtyřmi, pak je i číslo samotné dělitelné čtyřmi. 0 Ondřej přijde právě tehdy, když přijde Darja. 13/55
4 Výroková logika na www Na závěr si uveďme několik webových stránek zabývajících se výrokovou logikou. http://www.matweb.cz/vyroky 3 Příklady k procvičenía zajímavé testovéúlohy najdete: http://www.matweb.cz/vyroky-priklady http://www.matweb.cz/ukazky-testu http://zpravy.idnes.cz/logika-c4v-/soutez_test.asp?id=09 3 Tvůrcem těchto stránek je Lukáš Havrlant, což je absolvent Mendelova gymnázia. 14/55