M - Příprava na 2. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "M - Příprava na 2. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK"

Transkript

1 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření výukového materiálu povoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 ± Výrok, logické spojky, kvantifikátory Názvové konstanty a proměnné S = p. r S = f (r) Říkáme, že S je funkcí r. Číslo p je názvová konstanta. Příslušné proměnné říkáme názvová proměnná. r - nezávisle proměnná S - závisle proměnná Písmeno, které je použito jako symbol jednoho určitého objektu, považujeme za názvovou konstantu. Písmeno, které je použito jako symbol libovolného objektu z určitého oboru, považujeme za názvovou proměnnou. Uvedený obor pak nazýváme obor proměnné. Výroky a hypotézy, negace výroků Za výroky považujeme ty dobře srozumitelné oznamovací věty, které mohou být buď jen pravdivé nebo jen nepravdivé. Pravdivostní hodnotou výroku se rozumí jedna z jeho kvalit - pravdivost nebo nepravdivost. Hypotézou rozumíme výrok, jehož pravdivostní hodnota není známa. Pozn.: Věty zvolací, rozkazovací a tázací nejsou výroky. Označíme-li libovolný výrok písmenem V, pak výrok "Není pravda, že V..." nazýváme negací výroku V Výrok a jeho negace mají opačné pravdivostní hodnoty. Příklady: V: = 9 Šest plus tři se rovná devět V : Není pravda, že = 9 Šest plus tři není devět V: Po skončení vyučování půjdu na oběd. V : Není pravda, že po skončení vyučování půjdu na oběd. Po skončení vyučování nepůjdu na oběd. Hovoří-li se ve výroku o jedné z několika možností, musí jeho negace zahrnout všechny ostatní možnosti. V: V noci nepršelo. V : Není pravda, že v noci nepršelo. V noci pršelo. V: Nemám červenou vázanku. V : Není pravda, že nemám červenou vázanku. Mám červenou vázanku. V: Číslo jedna není složené číslo :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 14

3 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 V : Není pravda, že číslo jedna není složené číslo. Číslo jedna je složené číslo. V: Číslo 7p ¹ V : Není pravda, že číslo 7p ¹ Číslo 7p = Existenční kvantifikátory: - existuje aspoň - existuje nejvýše - existuje právě Obecné kvantifikátory: - pro každé - pro žádné Výroky, které obsahují pouze existenční kvantifikátory, nazýváme existenční výroky. Výroky, které obsahují pouze obecné kvantifikátory, nazýváme obecné výroky. Příklady: Následující věty o prvočíslech jsou vysloveny ledabyle; zpřesněte jejich formulaci tím, že uplatníte proměnnou p označující libovolné prvočíslo a použijte kvantifikátorů. a) Nějaké prvočíslo je sudé. Existuje aspoň jedno p, které je sudé. b) Číslicový zápis prvočísel nekončí nulou. Pro žádné p neplatí: Zápis p končí nulou. c) Vyskytují se i taková prvočísla, že číslo o větší než ona jsou též prvočísly. Existuje aspoň jedno p, pro něž platí: p + je prvočíslo. d) Jednociferných prvočísel se nenajde víc než 5. Existuje nejvýše 5p, která jsou jednociferná. e) Dvě sudá prvočísla nenajdeme. Existuje nejvýše jedno p, které je sudé. f) Nejedno prvočíslo je zapsáno několika stejnými číslicemi. Existují aspoň dvě p, z nichž každé je zapsáno stejnými číslicemi. Operace s výroky Chceme vyjádřit, že Použijeme spojky Vytvoříme výrok Výrok X neplatí Není pravda, že... (non) Není pravda, že X X Negace - non X výroku X Platí oba výroky X, Y a (et) X a Y... konjunkce X Ù Y Platí aspoň jeden z výroků X, Y nebo (vel) X nebo Y... alternativa (disjunkce) X Ú Y Platí buď výrok X nebo výrok Y (ostrá disjunkce) Pokud platí X, pak platí i Y (platnost výroku X však není požadována) Výroky X, Y mají stejnou pravdivostní hodnotu (buď oba platí nebo oba neplatí) když..., pak právě tehdy, když tehdy a jen tehdy, když... Buď X nebo Y Jestliže X, pak Y... Implikace výroku Y výrokem X X Þ Y X implikuje Y X právě tehdy, když Y Ekvivalence výroků X, Y X Û Y X je ekvivalentní s Y :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( z 14

4 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 Konkrétní příklady: X Y X X Ù Y X Ú Y X Þ Y X Û Y Buď X nebo Y Používaná symbolika: Î... je elementem, náleží, patří,... Ï... není elementem, neleží, nepatří,... "x... ke každému, každé,... $x... existuje aspoň (jedno x,...) :... platí... (nekonečno) - matematický symbol ± Množiny a operace s nimi Množiny a operace s nimi Co je množina Množinovými pojmy vyjadřujeme matematické úvahy o skupinách (souhrnech, souborech, oborech) osob, věcí i abstarktních věcí. Společné vlastnosti skupin, oborů, útvarů, souhrnů vyjadřujeme v matematice pomocí základních množinových pojmů: Skupina, organizace, obor, útvar - množina Část skupiny, dílčí organizace, podobor, část útvaru - podmnožina Být členem organizace, patří do skupiny, náležet do oboru, patřit do útvaru - být prvkem množiny Skupina bez členů, útvar neobsahující žádný bod, prázdný obor - prázdná množina Množinu lze zadat: - výčtem prvků - pomocí charakteristické vlastnosti Inkluze a rovnost množin: - inkluzi množiny A v množině B zapisujeme A Ì B (čteme též "Množina A je podmnožinou množin B") - rovnost množin zapisujeme A = B Každá množina je i podmnožinou sama sebe. Každá prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Pozn.: Platí, že A Ì B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je zároveň i prvkem množiny B. Platí, že A = B, jestliže pro každý prvek množiny A platí, že je i prvkem množiny B a zároveň pro každý prvek množiny B platí, že je i prvkem množiny A. Doplněk množiny: Jsou-li A, U dvě množiny, pro které platí A Ì U, pak existuje množina všech prvků množiny U obsahující prvky, které nepatří do A. Tuto množinu nazveme doplňkem množiny A v množině U (označujeme A ) Průnik a sjednocení množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A ¹ B. Množinu všech prvků, které obsahují prvky aspoň jedné z množin A, B nazveme sjednocení množin A, B. Zapisujeme A È B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A a zároveň i do množiny B, nazýváme průnik množin A, B :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 3 z 14

5 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 Zapisujeme A Ç B. Množiny, které nemají společné prvky, nazýváme disjunktní množiny. Rozdíl množin: Jsou dány množiny A, B, přičemž A ¹ B. Množinu všech prvků, které patří do množiny A, ale nepatří do množiny B, nazveme rozdíl množin. Zapisujeme A \ B. Množinové operace často znázorňujeme Vennovými diagramy. Řešení úloh: Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A Ç B' Ç C'. Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = A U (B Ç C'). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A' Ç B') U (A Ç B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Nalezněte pomocí Vennových diagramů správně vyznačenou množinu: M = (A U B) Ç (C U B). Z - základní množina; A, B, C jsou podmnožiny základní množiny. Mezinárodní konference o teorii množin se účastní celkem 134 matematiků, z nich každý ovládá alespoň jeden z těchto jazyků: ruštinu, francouzštinu, angličtinu. 15 z nich ovládá všechny tři jazyky, angličtinu zná o 8 účastníků více než ruštinu. Těch, kteří ovládají ruštinu a francouzštinu a neznají angličtinu, je pětkrát méně, než těch, kteří znají pouze angličtinu. Účastníků konference, kteří znají jenom ruštinu, je třikrát více než těch, kteří ovládají ruštinu a angličtinu, ale neznají francouzštinu. Těch, kteří znají jenom francouzštinu je právě tolik, jako těch, kteří ovládají jenom angličtinu. Účastníků, kteří ovládají angličtinu a ruštinu, ale neznají francouzštinu, je o 18 méně než těch, kteří neovládají ruštinu, ale znají francouzštinu a angličtinu. Předseda organizačního výboru mluví všemi třemi jazyky. Ve kterém z nich by měl přednést uvítací projev, aby jej mohlo poslouchat co nejvíce účastníků bez tlumočníka? Z 35 žáků odebírá časopis ABC 8 žáků, časopis VTM 10 žáků. 1 žáků neodebírá žádný z těchto dvou časopisů. Kolik žáků odebírá oba časopisy. ± Algebraické výrazy Algebraické výrazy Mezi zápisy s číselnými proměnnými patří: výrazy výrokové formy :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 4 z 14

6 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 výroky s kvantifikátory Po dosazení přípustných proměnných hodnot do: výrazu... dostaneme číslo výrokové formy... dostaneme výrok do výroků s kvantifikátory... nemá smysl dosazovat číselné hodnoty Rovnost a úpravy výrazů Výrazem budeme rozumět každý zápis, který je správně formulován podle úmluv o zápise čísel, proměnných, výsledků operací. Ke každému výrazu obsahujícím proměnné přísluší zápis, jaký je obor jednotlivých proměnných - tzv. definiční obor výrazů. O dvou výrazech s týmiž proměnnými říkáme, že jsou si rovny v dané množině, platí-li: a) do obou výrazů lze na místo proměnných dosadit symboly všech prvků množiny M b) oba výrazy dávají pro stejné hodnoty proměnných stejné výsledky Přehled důležitých vzorců: (A + B) = A + AB + B (A - B) = A - AB + B (A - B).(A + B) = A - B (A + B) 3 = A 3 + 3A B + 3AB + B 3 (A - B) 3 = A 3-3A B + 3AB - B 3 A 3 - B 3 = (A - B).(A + AB + B ) A 3 + B 3 = (A + B).(A - AB + B ) ± Algebraické výrazy - procvičovací příklady 1. Umocněte: (10 - a) a + 4a. Vypočtěte a) rozdíl b) součin výrazů x+ a x-1 Rozdíl 3, součin x + x - 3. Rozložte na součin: x - xy + y - x + y (x - y). (x - y - 1) 4. Vypočtěte rozdíl výrazů x + a x Upravte: [(a b 3 ) 3 ] 3 a 1 b Upravte: (x - 0,y). (x + 0,y) 4x - 0,04 y :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 5 z 14

7 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 7. Zjednodušte výraz: (h - 5s)(h + 5s) - (h + 5s) -10s.(5s + h) 8. Výraz 4k - (k + 1) - 4k + 8 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením za k = 3-8k Doplňte: (? - 3) = 16x -? +? První? = 4x; druhý? = 4x; třetí? = Rozložte na součin výraz: 18xy - 1x y 3xy.(6y - 7x) 11. Rozložte na součin: 4x (y z ) + 5v (z y ) (y - z). (y + z). (x - 5v). (x + 5v) 1. Upravte daný výraz 3x y - {xyz - (yz - x z) - 4x z + [3x y - (4xyz - 5x z)]}. Výsledek ověřte dosazením pro x = 1, y = -1, z = 0 3xyz - x z + yz 13. Doplňte chybějící údaje tak, aby platila rovnost ( y) = 4x xy 14. Výraz K = 16a a 4 x rozložte na součin aspoň tří činitelů K = a.(4 - ax).(4+ax) 15. Upravte: (1,x - 0,3y) 1,44x 4-0,7x y + 0,09y 16. Upravte: (x - 5) - (x - 3).(5x + ) -6x - 9x Rozložte na součin: 4 x ( - x). ( + x) 18. Rozložte na součin: (m - 1).5x 8.(m - 1) (m - 1). (5x - 8) 19. Zjednodušte a ověřte dosazením za x = - 8x - [x 6.(x - 1) + ] - (3x - 5x). 4.(x + 1) 0. Vypočítejte: (3 - x) - 3(x - 3) + (-x).(x - 3x + 9) :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 6 z 14

8 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 1. Rozložte v součin výraz: 9s v - 4r v - 9u s + 4u r. Správnost ověřte dosazením u=-1, v=, s=1, r=0 (v - u). (v + u). (3s - r). (3s + r). Vypočtěte: (4a b + 5a 3 b ) = 16a 4 b + 40a 5 b 3 + 5a 6 b Vypočtěte součin výrazů x + a x - 1 x + x - 4. Rozložte na součin výrazy: a) x - 4xy + y b) 5t - tm - 10m + 5 a). (x - y) b) (t + 5). (5 - m) 5. Rozložte na součin: a + ab + b c (a + b + c). (a + b - c) 6. Výraz - (-x + 1) se po úpravě rovná čemu? -4x + 4x Zjednodušte výraz x - [5x - (x - 4) + 1] - 3(x + 1) a správnost výpočtu ověřte dosazením za x = -3-4(x + 3) 8. Upravte: a. 3b ȧb.b a 3. 4b 4 4a 6 b 9 9. Výraz (3k - ) - 4k(k - 1) + 8k - 6 zjednodušte a správnost výpočtu ověřte dosazením k = 3 k ± Lomené algebraické výrazy Lomený algebraický výraz je takový výraz, který má ve jmenovateli proměnnou. U každého lomeného výrazu musíme stanovit jeho definiční obor, neboli určit tzv. podmínku řešitelnosti (tj. podmínku, při jejímž splnění má výraz smysl). Př.: ax+ b cx+ d Jedná se o lomený výraz, který je definován pro všechna reálná čísla, s výjimkou x = -d/c (v tom případě by totiž byl jmenovatel roven nule a nulou nemůžeme dělit). Zapisujeme tedy: x ¹ -d/c Lomené výrazy můžeme rozšiřovat nebo krátit. Rozšířit lomený výraz znamená vynásobit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 7 z 14

9 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 Krátit lomený výraz znamená dělit jeho čitatele i jmenovatele stejným výrazem různým od nuly. Lomené výrazy též můžeme pomocí rozšíření nebo krácení upravit tak, aby měly zadaného jmenovatele, příp. výjimečně používáme i takovou úpravu, aby měly zadaného čitatele. Lomený výraz je v základním tvaru, jestliže už ho dále nelze krátit. Lomený výraz je roven nule, jestliže je roven nule jeho čitatel. Lomené výrazy sčítáme tak, že je převedeme na společného jmenovatele a součet čitatelů takto vzniklých lomených výrazů lomíme společným jmenovatelem. Pozn.: Analogické je odčítání lomených výrazů Lomené výrazy násobíme tak, že součin čitatelů lomíme součinem jmenovatelů. Výsledek uvedeme do základního tvaru. Pozn.: Krátit můžeme i před vynásobením zadaných výrazů, a to tak, že krátíme kteréhokoliv čitatele proti kterémukoliv jmenovateli. Lomený výraz násobíme celistvým výrazem tak, že násobíme tímto celistvým výrazem čitatele výrazu lomeného. Lomený výraz dělíme lomeným výrazem tak, že první lomený výraz násobíme převrácenou hodnotou lomeného výrazu druhého. Pozn.: Převrácenou hodnotu lomeného výrazu vytvoříme tak, že zaměníme jeho čitatele se jmenovatelem. Pozn.: Opačný výraz k lomenému výrazu vytvoříme tak, že před zlomkem změníme znaménko. Složený lomený výraz je takový výraz, kde základní lomený výraz má v čitateli nebo ve jmenovateli nebo i v čitateli i ve jmenovateli další lomený výraz. Složený lomený výraz řešíme tak, že součin vnějších členů lomíme součinem členů vnitřních. Pozn.: Vnitřní členy jsou ty, které jsou blíže k hlavní zlomkové čáře; vnější členy jsou od ní naopak dále. Pozn.: Složený lomený výraz můžeme řešit i tak, že hlavní zlomkovou čáru nahradíme dělením a celý příklad poté řešíme jako podíl dvou lomených výrazů. ± Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady , :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 8 z 14

10 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1+ x ö ç -.(- x) è x x ø x; x ¹ :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 9 z 14

11 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 7. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 4r + 8rs + 49s.( r - 7s) r + 7s 7 4r - 49s ; r ¹ - s 8. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ xy- y ç è y x xy ö ø -. 3 (- xy ) 3 - x; x ¹ 0, y ¹ 0 9. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 18v.( 5v + 7) 30v + 4 3v; v ¹ -7/ Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3 + 5x.1x 7x 9x + 15x ; x ¹ 0 1. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1 3x y (- x y ). 6 -y; x ¹ 0, y ¹ Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 3s + r ç - è r - 3s 9s - r -; r ¹ ± 3s ö. ø ( 3s - r) :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 10 z 14

12 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: a - b + 1.( a - b -1) a - b -1 ( ) 1; a ¹ b - 1, a ¹ b Zjednodušte a uveďte, kdy má lomený výraz smysl: 6x -1.( 1x + ) 6x + 1.(6x - 1); x ¹ -1/6 17. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: ( 4 p 4 pq) p - q. - 4 p -8pq + 4q p; p ¹ q 18. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: m - 5n.( n - 3m) 3m - n 5n - m; n ¹ (3/)m 19. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x x - + y y (-1). y - x; x ¹ -y :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 11 z 14

13 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x - y.( x - y) x - 4y x - y ; x ¹ ± y x + y Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 8x + 7.( 14-16x) 8x (8x + 7); x ¹ 7/8 5. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: x; x ¹ 0, x ¹ 1 6. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 1- x.( - 6x ) 3x 4x - x; x ¹ 0 7. Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl:.( y - z ) y + z. (y - z); y ¹ -z :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 1 z 14

14 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3 u + u. u -1 ( u -1) u ; u ¹ ± Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ 1 1 ö ç1+ +. x è x x ø x + x + 1; x ¹ Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: 3a + - b.( + b - 3a) 4-3a - b ( ) 1; b ¹ 3a - ; b ¹ 3a Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x x - y ö ç +.( y + x) è x + y x - 4y ø x + 1; x ¹ ± y :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 13 z 14

15 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Zjednodušte a uveďte, kdy má daný výraz smysl: æ x + 3y ö ç -. - è 3y - x x - 9y ø -3; x ¹ ± 3y ( x 3y) :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase ( 14 z 14

16 M - Příprava na. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK 1 Obsah Výrok, logické spojky, kvantifikátory 1 Množiny a operace s nimi 3 Algebraické výrazy 4 Algebraické výrazy - procvičovací příklady 5 Lomené algebraické výrazy 7 Lomené algebraické výrazy - procvičovací příklady :9:35 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (

M - Algebraické výrazy

M - Algebraické výrazy M - Algebraické výrazy Určeno jako studijní text pro studenty dálkového studia a jako shrnující textpro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

M - Výroková logika VARIACE

M - Výroková logika VARIACE M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory

M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory M - Lomené algebraické výrazy pro učební obory Určeno jako studijní materiál pro třídy učebních oborů. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

Množiny a operace s nimi

Množiny a operace s nimi Variace 1 Množiny a operace s nimi Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Množiny a operace s nimi

Více

Lomené algebraické výrazy

Lomené algebraické výrazy Variace 1 Lomené algebraické výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Lomené algebraické výrazy

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno jako studijní materiál pro třídu 2K. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

Algebraické výrazy pro učební obory

Algebraické výrazy pro učební obory Variace 1 Algebraické výrazy pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Algebraické výrazy

Více

Algebraické výrazy-ii

Algebraické výrazy-ii Algebraické výrazy-ii Jednou ze základních úprav mnohočlenů je jejich rozklad na součin mnohočlenů nižšího stupně. Ne všechny mnohočleny lze na součin rozložit. Pro provedení rozkladu můžeme použít: 1.

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

M - Příprava na pololetní písemku č. 1

M - Příprava na pololetní písemku č. 1 M - Příprava na pololetní písemku č. 1 Určeno pro třídy 3SA, 3SB. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

M - Matematika - třída 1ODK - celý ročník

M - Matematika - třída 1ODK - celý ročník M - Matematika - třída 1ODK - celý ročník Obsahuje učivo školního roku 2005/2006 VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru

Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Variace 1 Nerovnice a nerovnice v součinovém nebo v podílovém tvaru Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

M - Matematika - třída 1DOP - celý ročník

M - Matematika - třída 1DOP - celý ročník M - Matematika - třída 1DOP - celý ročník Učebnice obsahující učivo celého 1. ročníku VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

M - Příprava na pololetku č. 2-1KŘA, 1KŘB

M - Příprava na pololetku č. 2-1KŘA, 1KŘB M - Příprava na pololetku č. - 1KŘA, 1KŘB Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento dokument

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

Rozklad na součin vytýkáním

Rozklad na součin vytýkáním Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK M - Příprava na 1. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 1. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo ze záříaž listopadu. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek.

Algebraické výrazy. Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. Algebraické výrazy Algebraický výraz je zápis složený z čísel, písmen (označujících proměnné), znaků matematických funkcí ( +, -,, :, 2, ) a závorek. 1. Upravte výrazy: a) 6a + 3b + 2a + c b b) 3m + s

Více

Variace. Lineární rovnice

Variace. Lineární rovnice Variace 1 Lineární rovnice Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice Rovnice je

Více

Lineární rovnice pro učební obory

Lineární rovnice pro učební obory Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

M - Kvadratické rovnice

M - Kvadratické rovnice M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída ODK Souhrnný studijní materiál k přípravě na čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo října až prosince 007. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Logaritmy a věty o logaritmech

Logaritmy a věty o logaritmech Variace 1 Logaritmy a věty o logaritmech Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Logaritmy Definice

Více

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. 2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme

Více

Algebraické výrazy - řešené úlohy

Algebraické výrazy - řešené úlohy Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

1 Výrok a jeho negace

1 Výrok a jeho negace 1 Výrok a jeho negace Výrokem se rozumí sdělení, u něhož má smysl otázka, zda je, či není pravdivé. Budeme určovat tzv. pravdivostní hodnotu výroku (PH). Příklady výroků: V Úhlopříčky čtverce jsou na sebe

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy 2P a 2VK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídy P a VK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu dovoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků

Více

M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK

M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro

Více

Matematika pro informatiky KMA/MATA

Matematika pro informatiky KMA/MATA Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast

Více

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci

M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci M - Příprava na čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu 1ODK. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků

Více

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho

Více

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)]

[a) (4 (7 + 5) = 4 12) (4 12 = 48); b) ( 1< 1) (1< 3); c) ( 35 < 18) ( 35 = 18)] Úloha 1 U každé dvojice výroků rozhodněte, zda výrok uvedený vpravo je negací výroku vlevo. Pokud tomu tak není, zdůvodněte proč. a) p: Mám bílý svetr. q: Mám černý svetr. b) r: Bod A leží vně kruhu K.

Více

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára

ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA. Pojem zlomku. Zlomek zápis části celku. a b. a je část, b je celek, zlomková čára 9... ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Pojem zlomku Zlomek zápis části celku a b a je část, b je celek, zlomková čára Každé číslo zapsané zlomkem lze vyjádřit jako číslo desetinné 7 Zlomková čára je dělící čára

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7 1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není

Více

Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz

Matematika I. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie mdg.vsb.cz Matematika I Úvod Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D iveta.cholevova@vsb.cz A 829, 597 324 146 Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. jaroslav.drobek@vsb.cz, A 837, 597 324 101 Mgr. Arnošt Žídek arnost.zidek@vsb.cz, A

Více

1. ÚVOD. Arnošt Žídek, Iveta Cholevová. 15. října 2013 FBI VŠB-TUO

1. ÚVOD. Arnošt Žídek, Iveta Cholevová. 15. října 2013 FBI VŠB-TUO FBI VŠB-TUO 15. října 2013 Kontaktní informace Mgr. Iveta Cholevová, Ph. D. iveta.cholevova@vsb.cz A829, 597 324 146 Mgr. Arnošt Žídek, Ph. D. arnost.zidek@vsb.cz A832, 597 324 177 Předpokládané znalosti

Více

Variace. Mocniny a odmocniny

Variace. Mocniny a odmocniny Variace 1 Mocniny a odmocniny Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Mocniny a odmocniny Obor přirozených

Více

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2

- y. 5.5 Kráceni a rozširování lomenvch výrazu. eseru: = = = x +.) Podmínkyrešitelnosti:x -:;l:o, x -:;l:3/2 48 Príklad 73: Rozložte na soucin: a)4x2-25 c)x4-16 - e) x' + 27 b} 25x2 + 30xy + 9y2 d) 8x3-36~y + 54xy2-27l Rešení: a) Použije vzorec a2 - b2 = (a - b). (a + b), v nemž platí a = 2x, b = 5. Dostaneme:

Více

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.

Lineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x. Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

M - Kvadratická funkce

M - Kvadratická funkce M - Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

Základní pojmy matematické logiky

Základní pojmy matematické logiky KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je

Více

3 Množiny, Relace a Funkce

3 Množiny, Relace a Funkce 3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod

Více

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz

Více

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky. Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Logika, výroky, množiny

Logika, výroky, množiny Logika, výroky, množiny Martina Šimůnková 23. srpna 2017 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Jazyk matematiky Budeme používat dva jazyky: jazyk matematiky a běžně používaný jazyk.

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty

M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty M - Pythagorova věta, Eukleidovy věty Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.7. listopadu 9 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ..07/.5.00/.005 Šablona: III/ Přírodovědné předměty

Více

Dělení celku na části v poměru

Dělení celku na části v poměru Dělení celku na části v poměru Příklad : Rozděl číslo 12 v poměru 2 : 3. Řešení : Celek musíme rozdělit na 2 + 3 = 5 dílů. Jeden díl má velikost 12 : 5 = 2,4 První člen poměru představuje dva díly a proto

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Studijní text Co je singulární výrok SINGULÁRNÍ VÝROKY: PETR Petr je veselý. Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je. Příklad: Pavel je

Více

F - Sériové a paralelní zapojení spotřebičů

F - Sériové a paralelní zapojení spotřebičů F - Sériové a paralelní zapojení spotřebičů Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující text pro studenty denního studia. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

SLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady:

SLOŽENÉ VÝROKY. Konjunkce. Motivační příklad společné zadání pro další příklady: ARNP 1 2015 Př. 1 SLOŽENÉ VÝROKY Motivační příklad společné zadání pro další příklady: Byly vysloveny následující výroky (vhledem k budoucímu času se jedná o hypotézy) : b: Na přednášku přijde Barbora.

Více

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK

M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK M - Příprava na 4. zápočtový test - třídy 1DP, 1DVK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz VARIACE 1 Tento

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY

ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Racionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se

Racionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky Víš, že racionální v matematice znamená poměrový nebo podílový, zatímco v běžné řeči ho užíváme spíše ve významu rozumový? zlomky používali již staří

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 1MO

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 1MO M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 1MO Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová

MATEMATIKA I. Marcela Rabasová MATEMATIKA I Marcela Rabasová Obsah: 1. Úvod 1.1. Osnovy předmětu 1.2. Literatura 1.3. Podmínky absolvování předmětu 1.4. Použité označení a symbolika 2. Funkce jedné reálné proměnné 2.1. Definice 2.2.

Více

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu:

Negace výroku. Příklad 1. Rozhodněte, zda jsou věty výroky, u výroků určete pravdivostní hodnotu: Základní pojmy výrokové logiky Výrok je každé sdělení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé. Přitom může nastat pouze jedna možnost. Výroky označujeme obvykle velkými písmeny A, B, C Pravdivému

Více

Množiny, relace, zobrazení

Množiny, relace, zobrazení Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více