Logika a formální sémantika: 5. Modální logika

Logika a formální sémantika: 5. Modální logika Logika: systémový rámec rozvoje oboru v ČR a koncepce logických propedeutik pro mezioborová studia (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0216, OPVK) doc. PhDr. Jiří Raclavský, Ph.D. (raclavsky@phil.muni.cz) Department of Philosophy, Masaryk University, Brno

1 V. Kalkul striktní implikace - kromě trojhodnotové logiky má modální logika předchůdce v kalkulu striktní implikace - tu založil Clarence Irving Lewis v roce 1918 (A Survey of Symbolic Logic; spolu s C.H. Langfordem (1932): Symbolic Logic) - C. I. Lewis vyšel z určité kritiky implikace a formuluje striktní implikaci (značena budiž třeba =>) do podoby "není pravda, aby bylo možné, že A je pravdivé a B nepravdivé" - formálně (A=>B) = df (A B) (kde je znak pro je možné ) - z kalkulu striktní implikace (40. léta 20. století) vyšla i modální logička Ruth Barcan (později Ruth Barcan Marcus) - literatura např: Marcus, Ruth Barcan (1946): A Functional Calculus of First Order Based on Strict Implication, Journal of Symbolic Logic 11, 1-16

2 V. Modální logika (1.) - (modal logic) - první kniha, kde je modální logika uvedena je Lewis, C. I. & Langford, C. H., (1932): Symbolic Logic, New York: Dover Publications, 1959 - modální logika využila formalizovaného pojmu možnosti a nutnosti k vystavění celé řady logických systémů (nejpoužívanější jsou systémy mezi S4 a S5) (box) je nutné, že... (diamond) je možné, že... - modální operátory se chovají přibližně jako kvantifikátory, avšak vztažené k větám - aplikujeme-li však modální operátory na predikáty, věc se stane méně samozřejmou a po formální i výkladové stránce vznikne řada problémů

3 V. Modální logika (2.) - vývoj modální logiky má dvě etapy: první je syntaktická, budují se systémy a pracuje se jen s intuitivním pojetím možnosti a nutnosti (např. Carnap, R (1947): Meaning and Necessity), druhá etapa začíná Kripkeho sémantikou modální logiky na základě pojmu možného světa (1963), viz níže - přední modální logikové: Ruth Barcan Marcus, Saul Kripke, David Lewis, Frederic B. Fitch; další: Krister Segerberg, Patrick Blackburn, E.J. Lemmon - modální logiky má řada úspešných aplikací ve filosofii (zejm. S. Kripke-Naming and Necessity (1973), Alvin Plantiga-The Nature of Necessity (1974) a D. Lewiskontrafaktuály)

4 V. Propoziční modální logika: : systém K - systém K (podle Saula Kripkeho, ale byl znám již C.I. Lewisovi) je základní systém; někdy označován T; je příliš slabý - vznikne tak, že k VL přidáme: Pravidlo necesiace (Necessitation Rule): Jestliže -A, tak - A. tj. jestliže A je teorémem K, pak také A je teorémem. Axiom distributivity: (A B) ( A B). - možnost je zavedena jako: A = df A - operátory a se chovají zcela podobně jako kvantifikátory (z A B) vyplývá A B a naopak; avšak z A B sice vyplývá (A B), ale není tomu naopak

5 V. Propoziční modální logika: : systémy T a B - systém T - přidání teorému (M) ke K (M) A A ( cokoli je nutné, je ); není dokazatelný v K - systém B - (podle Brouwera) přidáním axiomu (B) k M: (B) A A ( je-li něco možné, je nutné, že to je možné )

6 V. Propoziční modální logika: : systémy S4 a S5 systémy S4 a S5 - vzniknou přidáním tzv. iteračních axiomů - S4 znám již C.I. Lewisovi; - S5 může být formulován i přidáním (B) k S4 (4) A A ( je-li něco nutné, je nutné, že to je nutné ) (5) A A ( je-li něco možné, je možné, že to je možné ) - v S4:... = a... = (sekvence operátorů stejného druhu může být nahrazena jedním operátorem toho druhu) - v S5: 00... = a 00... =, kde každé 0 je buď nebo (sekvence obsahující jak boxy, tak diamondy, jsou ekvivalentní sekvenci s jedním operátorem, který byl v nezkrácené sekvenci posledním)

7 V. Sémantika ML na základě pojmu možného světa (1.) - někdy též kripkeovská sémantika; Saul Aaron Kripke; krom toho se na ní podíleli i Jaako Hintikka a Arthur N. Prior - již v Kripke, Saul (1959): A Completness Theorem in Modal Logic, Journal of Symbolic Logic 24, 1-14 - ale hlavně Kripke, Saul (1963): Semantical Considerations on Modal Logic, Acta Philosophica Fennica 16, 83-94 - k běžné sémantice na základě teorie modelů přibírá pojem možného světa - uvažujme možný svět jako bezrozporný maximální soubor faktů, které mohou platit - jsou to souhrny vět popisujících svět tak, jak by mohl vypadat (a to případně odlišně od světa aktuálního) - aktuální svět (jeden z možných světů) je tedy soubor všech aktuálně platných faktů

8 V. Sémantika ML na základě pojmu možného světa (2.) - valuace v přiřazuje každé propoziční proměnné pravdivostní hodnotu pro každý možný svět (w), tj. hodnota v pro p ve w se může lišit od hodnoty ve w' - význam věty je (pod)množina možných světů, což je tedy funkce z možných světů do pravdivostních hodnot (w->p/n) - množina všech možných světů se běžně značí W, či K - v( A, w)=pravda právě tehdy, když v(a, w)=nepravda - v(a B, w)=pravda právě tehdy, když v(a, w)=nepravda nebo v(b, w)=pravda - (v( A, w)=pravda právě tehdy, když pro každý možný svět w' ve W, v(a, w')=pravda - tj. A je pravdivá ve světě w právě tehdy, když A je pravdivá ve všech možných světech, A je pravdivá ve světě w právě tehdy, když A je pravdivá alespoň v jednom z možných světů

9 V. Sémantika ML na základě pojmu možného světa (3.) - rámec. angl. frame; někdy též Kripke s frame <W, R> - dvojice neprázdné množiny W (světů) a binární relace R na W - R je relace dosažitelnosti či dostupnosti (accessibility) - je reflexivní, symetrická, tranzitivní - zajišťuje např. identitu individua skrze různé možné světy, obecně dosažitelnost mezi světy - model <F, v> sestává z rámu F a valuace v, která přiřazuje pravdivostní hodnoty každé atomické větě v každém světě ve W

10 V. Kvantifikovaná modální logika - quantified modal logic (QML) - přesun kvantifikátorů k symbolům predikátů, což nese hodně potíží s přirozenou interpretací - Formule Barcanové (Barcan Formula. BF): x Fx xfx - Konverze formule Barcanové (Converse Barcan Formula, CBF): xfx x Fx - aktualismus (např. Linsky a Zalta 1994): kvantifikujeme pouze přes aktualizovaná individua; fixní doména (possibilismus)- kvantifikujeme přes všechna (tedy i posibilní) individua

11 V. Temporální logika - z modální logiky vychází řada logik specializovaných na jiné než tzv. aletické modality (nutnost a možnost) - temporální logika - vlastně propoziční modální logika s relací uspořádání pro časové okamžiky - zakladatelské práce Prior, A.N. (1959): Time and Modality, Oxford: Oxford UP), Prior, A.N. (1967): Past, Present and Future, Oxford: Oxford UP - doaxastic/epistemic logic - Jaakko Hintikka, Knowledge and Belief 1963, Ithaca - operátor je interpretován jako znalost (anebo K je přidán jako další modalita)

12 V. Deontická logika - deontos (řecky): povinný, žádoucí - jako první rakouský filosof Ernst Mally (ale neintutivní systém) - finský logiky Georg Henryk von Wright ((1951): Deontic Logic; - operátory O (obligatory - přikázáno), P (permitted - dovoleno), F (forbidden - zakázáno) se chovají poněkud jako modální operátory - v češtině viz např. Kolář, Petr & Svoboda, Vladimír (1997): Logika a etika, Praha: Filosofia - Relevance Logic - Anderson a Belnap (1975); nyní opět relevantní téma - Counterfactual Logic - David Lewis (1973): Counterfactuals.

13 V. Spor o modální logiku Je nutné, že 9 větší než 7. Počet (velkých) planet je 9. Tudíž je nutné, že počet (velkých) planet je větší než 7. - nevyplývá, ačkoli jsou zdánlivě možné substituce; musíme odlišit výrazy empirické a neempirické-matematické - Willard van Orman Quine stať ((1947): The Problem of Interpretating Modal Logic, Journal of Symbolic Logic 12, 42-48), Ruth Barcan Marcus ((1962): Modalities and Intensional Languages, Synthese, 303-322)

14 Odkazy Carnap, Rudolf(1946): Modalities and Quantification, Journal of Symbolic Logic 11,33-64 Carnap, Rudolf (1947): Meaning and Necessity. Chicago: The University of Chicago Press - Phoenic Edition. Cresswell, Max J. (1975): Frames and Models in Modal Logic. In: (eds.), Berlin & Heidelberg & New York: Springer. Garson, James W. (2000): Modal logic, http://plato.stanford.edu/entries/logic-modal/ Hintikka, Jaako (1969): Models for Modalities (Selected Essays). Dordrecht: D. Riedel Publishing Company. Hughes, G. E. & Cresswell, Max J. (1968): An Introduction to Modal Logic. London: Methuen Hughes, G. E. & Cresswell, Max J. (1996): A New Introduction to Modal Logic, London: Routledge Chellas, Brian F. (1980): Modal Logic: An Introduction, New York: Cambridge Konyndyk, Kenneth (1986): Introductory Modal Logic. Notre Dame: University of Notre Dame Press.

15 Kripke, Saul (1959): A Completness Theorem in Modal Logic, Journal of Symbolic Logic 24, 1-14 Kripke, Saul (1963): Semantical Considerations on Modal Logic, Acta Philosophica Fennica 16, 83-94. Marcus, Ruth Barcan (1993): Modalities (Philosophical Essays). Oxford: Oxford UP Mleziva, Miroslav (1970): Neklasické logiky, Praha: Svoboda. Montague, Richard (1960): Logical Necessity, Physical Necessity, Ethics and Quantifiers, Inquiry 4, 259-269; repr. In: Montague (1974): Formal Philosophy (Selected Papers of Richard Montague). New Haven and London: Yale UP, 71-83. Menzel, Christopher (2000): Actualism, http://plato.stanford.edu/entries/actualism/