Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 10: Interference a ohyb větla Datum měření: 6. 5. 2016 Doba vypracovávání: 7 hodin Skupina: 1, pátek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klaifikace: 1 Zadání 1. Bonu: Spočítejte hodnotu kontanty C u kruhového otvoru pro 4. a 5. tmavý kroužek 2. Rozšiřte vazek laeru pomocí dvou pojek (+50 a +200). 3. Změřte průměr tří kruhových otvorů pomocí Fraunhoferova ohybu větla z laeru a pomocí měřícího mikrokopu. Odhadněte, jakou chybou jte chopni měřit šířku štěrbiny mikrokopem. Poznamenejte i odhad chyby měření délky optické dráhy a průměru tmavých proužků. Proveďte řádné zpracování chyb (tj. určete tatitickou i ytematickou chybu měření) a výledky z mikrokopu a interference rovnejte. Pro jaký průměr kruhového otvoru je přenější měření interferencí a pro jaký přímo mikrokopem? 4. Změřte alepoň 6 šířek štěrbiny (šířka natavitelná šroubem) pomocí Fraunhoferova ohybu větla z laeru a pomocí indikátorových hodinek, které e dotýkají šroubu. Proveďte řádné zpracování chyb (tj. určete tatitickou i ytematickou chybu měření) a výledky z indikátorových hodinek a interference rovnejte. Setrojte graf záviloti šířky štěrbiny změřené laerem na šířce štěrbiny změřené indikátorovými hodinkami. Hodnoty opatřete x-ovými a y-ovými chybovými úečkami ( errorbary ). Pro jaké šířky štěrbiny je výhodnější měření interferencí a pro jaké indikátorovými hodinkami? 5. Změřte pomocí laeru mřížkovou kontantu optické mřížky a rovnejte hodnotou uvedenou na mřížce. 6. Pomocí laeru, dvou rovinných zrcadel a děliče vazku (Abbeho kotka) etavte Michelonův interferometr a změřte vlnovou délku větla laeru. 2 Pomůcky Železná deka magnetickými tojánky, He-Ar laer 633 nm, 2 zrcadla, dělič vazku (Abbeho kotka), laboratorní zvedák, pojka +50, pojka +200, optická lavice jezdci, kruhové otvory, optická mřížka, pámo, mikrokop, špagát, štěrbina natavitelnou šířkou, ochranné brýle, tínítko na zdi, lampička reotatem, držák na mřížku. 1
3 Teoretický úvod 3.1 Difrakce na mřížce Optická mřížka je kleněná detička vyrytými rovnoběžnými vrypy. Vzdálenot tředů ouedních vrypů e nazývá mřížková kontanta d. Prochází-li větelný paprek vlnové délky λ krz optickou mřížku, vytvoří e na tínítku interferenční maxima a minima. Jetliže na tínítku, ve vzdálenoti od mřížky, pozorujeme maximum m, ve vzdálenoti od 0tého maxima h m, pod úhlem θ m arctan h m, můžeme určit mřížkovou kontantu dle vzorce d mλ mλ 1 + h m, m 0, 1, 2, 3 in θ m h m Pro počet vrypů na jednotku délky N poté jednoduše platí (1) N 1 d. (2) 3.2 Difrakce na štěrbině Prochází-li monochromatický větelný paprek vlnové délky λ krz štěrbinu šířky D, vytvoří e na tínítku interferenční maxima a minima. Jetliže na tínítku, které je umítěno od štěrbiny ve vzdálenoti, pozorujeme maximum m, ve vzdálenoti od 0tého maxima h m, pod úhlem θ m arctan h m, můžeme určit šířku štěrbiny D dle vzorce D (1 + 2m)λ (1 + 2m)λ 1 + h m, m 0, 1, 2, 3 2 in θ m 2h m (3) 3.3 Difrakce na kruhovém otvoru Prochází-li monochromatický větelný paprek vlnové délky λ krz kruhový otvor o poloměru R, vytvoří e na tínítku interferenční kruhová maxima a minima. Jetliže na tínítku, které je umítěno od štěrbiny ve vzdálenoti, pozorujeme minimum m, ve vzdálenoti od 0tého maxima h m, pod úhlem θ m arctan h m, můžeme určit šířku štěrbiny D ze vztahů pro první tři minima R 0,610λ 0,610λ 1 + h 1 1,116λ 1 + h 2 1,6196λ 1 + h 3, R, R. in θ 1 h 1 h 2 h 3 Pozorujeme-li m-té maximum, potom můžeme určit poloměr kruhového otvoru R ze vzorců pro první dvě maxima (4) R 0,863λ 0,863λ 1 + h 1 1,368λ 1 + h 2, R. in θ 1 h 1 h 2 (5) 3.4 Michelonův interferometr Schéma úlohy je vyobrazeno na obrázku 1. Necháme-li laerový paprek dopadat pod úhlem 45 na poloproputné rozhraní v děliči vazku A, paprek e čátečně odrazí (paprek 1) a čátečně projde (paprek 2). Rovinná zrcadla Z 1 a Z 2 paprky (1 a 2 ) odrazí zpět do tejného míta na rozhraní v děliči vazku, přičemž čát paprku 1 projde a čát paprku 2 e odrazí a vzniknuvší paprky 1 a 2 polu na tínítku budou interferovat. Poouváním zrcadla Z 2 o x λ 4 e zkrátí dráha paprku 2 o λ 2 a celý obraz e poune o šířku jednoho proužku. Pro vlnovou délku větla platí 2
kde N je počet proužků prošlých pře nějaký referenční bod na tínítku. λ 2 x N, (6) 4 Potup měření Obrázek 1: Michelonův interferometr. Z - zrcadla, L - laer, A - dělič vazku, R - rozptylka. [1] 4.1 Rozšíření vazku laeru Na optickou lavici umítíme do tojánku laer, jehož paprek bude kolmo dopadat na pojku +50 a náledně na pojku +200, která je umítěná v takové vzdálenoti, aby z ní vycházející vazek měl kontantní šířku. 4.2 Difrakce na mřížce Optickou mřížku umítíme za druhou pojnou čočku a za ní, do vzdálenoti, umítíme tínítko v podobě milimetrového papíru, kde pozorujeme první a druhé maximum. 4.3 Difrakce na štěrbině Za druhou pojnou čočku umítíme štěrbinu natavitelnou šířkou a indikátorovými hodinkami. Dráhu paprku prodloužíme pomocí dvou zrcadel a jako tínítko použijeme zeď milimetrovým papírem. Pro různé hodnoty šířky štěrbiny odečítáme vzdálenoti maxim od nultého maxima. 4.4 Difrakce na kruhovém otvoru Za druhou pojnou čočku umítíme do držáku detičku kruhovými otvory a paprek pomocí dvou zrcadel prodloužíme a jako tínítko použijeme zeď milimetrovým papírem. Pro tři nejmenší kruhové otvory odečítáme vzdálenoti maxim od nultého maxima. Náledně pomocí mikrokopu, který obahuje pouvné měřítko, změříme velikoti kruhových otvorů. 4.5 Michelonův interferometr Aparaturu etavíme dle obrázku 1. Natavíme zrcadla tak, aby vazky dopadaly do téhož bodu a na tínítku v podobě papíru umítěného za rozptylkou pozorujeme minima a maxima. Přibližováním či oddalováním zrcadla Z 2 pomocí mikrometrického šroubu pozorujeme pohyb minim a maxim. Zvolíme i referenční hodnotu a pro poun o 20 maxim či minim zaznamenáme výchylku zrcadla. 5 Naměřené hodnoty Vlnová délka laeru λ 633 nm. 3
5.1 Difrakce na mřížce Stínítko jme umítili do vzdálenoti od mřížky (15,3 ± 0,05) cm. V příloze v tabulce 1 jou zaznamenány hodnoty vzdálenotí h m m-tého maxima a k nim dopočtená hodnota počtu vrypů na jednotku délky N dle vzorce (2) repektive (1). N (622 ± 41) vryp mm 1. 5.2 Difrakce na štěrbině Vzdálenot od štěrbiny ke tínítku (1137 ± 5) cm. V příloze v tabulce 2 jou zaznamenány hodnoty průměrné vzdálenotí h m m-tého maxima pro různé šířky b, které ukazovaly indikátorové hodinky a k nim dopočtená hodnota šířka štěrbiny D dle vzorce (3). V příloze na obrázku 2 je znázorněn graf záviloti šířky štěrbiny změřené laerem D na šířce štěrbiny změřené indikátorovými hodinkami b, přičemž naměřená data jou proložena nafitovanou lineární závilotí D a b + d, kde a (0,66 ± 0,07) a d (0,01 ± 0,06). 5.3 Difrakce na kruhovém otvoru Vzdálenot od kruhového otvoru ke tínítku (1137 ± 5) cm. V příloze v tabulce 3 jou zaznamenány pro 3 nejmenší kruhové otvory poloměru r změřeného mikrokopem průměrné hodnoty vzdálenotí h m m-tého maxima a dopočtený poloměr R dle vzorce (5). 5.4 Michelonův interferometr V příloze v tabulce 4 jou pro 12 měření uvedeny naměřené hodnoty pounutí zrcadla x, kdy e referenční maximum pounulo o 20 šířek proužků. Náledně je dle vzorce (6) vypočtena vlnová délka laerového paprku. 6 Dikue Naměřená hodnota vlnové délky laerového paprku λ (425 ± 82) nm. Difrakcí laerového paprku na optické mřížce a náledným změřením vzdálenotí interferenčních maxim jme určili mřížkovou kontantu optické mřížky, přeněji počet vrypů na 1mm, na hodnotu N (622 ± 41) vryp mm 1, přičemž na mřížce je udaná hodnota N 600 vryp mm 1. Naše měření potvrdilo předpokládanou hodnotu. Měření by e dalo zpřenit a hlavně by mělo vyšší vypovídající hodnotu, kdybychom změřili vzdálenoti maxim i pro další vzdálenoti tínítka od mřížky. Difrakcí laerového paprku na štěrbině a náledně změřením vzdálenotí interferenčních maxim jme určili šířku štěrbiny. Šířka štěrbiny, určená pomocí Fraunhoferova ohybu větla z laeru, je přibližně dvou třetinová oproti šířce změřené (natavené) indikátorovými hodinkami (viz tab. 2 a obr. 2), což je dle mne způobeno nečitotami na krajích štěrbiny, které ji tedy zmenšují. Z tohoto důvodu je měření indikátorovými hodinkami přenější. Naměřené průměry kruhových otvorů pomocí Fraunhoferova ohybu větla z laeru a pomocí měřícího mikrokopu jou uvedeny v tabulce 3. Pro nejmenší kruhový otvor je přenější hodnota určená pomocí Fraunhoferova ohybu a naopak pro větší kruhové otvory je přenější hodnota z mikrokopu. Je to opět způobeno nečitotami na okrajích kruhového otvoru. Malá dírka tak vypadá pod mikrokopem ještě menší. Dalším důvodem je i fakt, že čím menší kruhový otvor měříme, tím větší jou rozetupy maxim na tínítku a lépe e měří. Udávaná hodnota vlnové délky laerového paprku je λ 633 nm. Michelonovým interferometrem jme naměřili hodnotu λ (425 ± 82) nm, což udávané hodnotě neodpovídá. Chyba měření je poměrně velká, což může být způobeno chybným odečtem pounů maxim a tedy metodikou (potupem) měření. Bylo by možná lepší změřit pro určité pounutí mikrometrického šroubu počet pounů maxim. 4
7 Závěr Určili jme mřížkovou kontantu optické mřížky a tanovili její počet vrypů na jednotku délky na N (622 ± 41) vryp mm 1. Porovnali jme měření šířky štěrbin a velikoti kruhových otvorů pomocí Fraunhoferova ohybu větla z laeru přímou metodou měření. Michelonovým interferometrem jme určili vlnovou délku laerového paprku na λ (425 ± 82) nm. 8 Reference [1] Návod Interference a ohyb větla. URL: http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/423/mod_reou rce/content/7/interference_2013_04_04.pdf [Citace 5. 5. 2016.] 9 Příloha V tabulce 1 jou zaznamenány hodnoty vzdálenotí h m m-tého maxima a k nim dopočtená hodnota počtu vrypů na jednotku délky N dle vzorce (2) repektive (1). m [-] h m ± 0,05 [cm] N [mm 1 ] +1 6,8 584 ± 7-1 6,8 584 ± 7 +2 18,8 650 ± 5-2 19,5 668 ± 5 Tabulka 1: Difrakce na mřížce 622 ± 41 V tabulce 2 jou zaznamenány průměrné hodnoty vzdálenotí h m m-tého maxima pro různé šířky b, které ukazovaly indikátorové hodinky a k nim dopočtená hodnota šířka štěrbiny D dle vzorce (3). b ±0,005 [mm] m [-] h m [cm] D [mm] 0,50 0,75 1,00 1,25 1 3,55 ± 0,05 0,30 ± 0,01 2 5,90 ± 0,10 0,31 ± 0,01 0, 30 ± 0, 01 1 1,90 ± 0,05 0,57 ± 0,02 2 3,20 ± 0,10 0,56 ± 0,02 3 4,55 ± 0,15 0,55 ± 0,01 0, 56 ± 0, 01 1 1,70 ± 0,10 0,64 ± 0,04 2 2,80 ± 0,10 0,64 ± 0,03 3 3,90 ± 0,05 0,65 ± 0,01 4 4,95 ± 0,05 0,66 ± 0,01 0, 65 ± 0, 01 1 1,15 ± 0,05 0,94 ± 0,05 2 1,80 ± 0,05 1,00 ± 0,03 5
3 2,45 ± 0,05 1,03 ± 0,03 0, 99 ± 0, 04 1,50 2,00 1 1,05 ± 0,05 1,03 ± 0,06 2 1,75 ± 0,05 1,03 ± 0,03 3 2,45 ± 0,05 1,03 ± 0,03 4 3,00 ± 0,10 1,08 ± 0,04 1, 04 ± 0, 02 1 0,90 ± 0,10 1,20 ± 0,16 2 1,50 ± 0,10 1,20 ± 0,09 3 2,00 ± 0,10 1,26 ± 0,07 1, 22 ± 0, 03 Tabulka 2: Šířka štěrbiny V tabulce 3 jou zaznamenány pro 3 nejmenší kruhové otvory poloměru r změřeného mikrokopem průměrné hodnoty vzdálenotí h m m-tého maxima a dopočtený poloměr R dle vzorce (5). Chybu d jakožto měřeného průměru kruhových otvorů pomocí mikrokopu jme tanovili na 4 0,0025 tj. čtyřnáobek nejmenšího dílku mikrokopu. r [mm] m [-] h m [cm] R [mm] 1,0000 ± 0,0050 0,4938 ± 0,0050 0,2213 ± 0,0050 1 0,90 ± 0,04 0,69 ± 0,04 2 1,24 ± 0,08 0,79 ± 0,06 0, 73 ± 0, 05 1 1,44 ± 0,05 0,43 ± 0,02 2 2,14 ± 0,08 0,46 ± 0,02 0, 45 ± 0, 02 1 2,71 ± 0,19 0,23 ± 0,02 2 4,31 ± 0,10 0,23 ± 0,01 Tabulka 3: Difrakce na kruhovém otvoru. 0, 23 ± 0, 01 V tabulce 4 jou pro 12 měření uvedeny naměřené hodnoty pounutí zrcadla x, kdy e referenční maximum pounulo o 20 šířek proužků. Náledně je dle vzorce (6) vypočtena vlnová délka λ laerového paprku. měření č. [-] x [nm] λ [nm] měření č. [-] x [nm] λ [nm] 1 6400 640 7 3400 340 2 4600 460 8 4000 400 3 4200 420 9 3600 360 4 4200 420 10 4400 440 5 5000 500 11 3600 360 6 4000 400 12 3600 360 Tabulka 4: Michelonův interferometr. 6
Na obrázku 2 je znázorněn graf záviloti šířky štěrbiny změřené laerem D na šířce štěrbiny změřené indikátorovými hodinkami b, přičemž naměřená data jou proložena nafitovanou lineární závilotí D a b + d, kde a (0,66 ± 0,07) a d (0,01 ± 0,06). Obrázek 2: Šířka štěrbiny. 7