Úloha 6: Geometrická optika

Transkript

1 Úloha 6: Geometrická optika FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měření: Jméno: František Batysta Pracovní skupina: 5 Ročník a kroužek: 2. ročník, pond. odp. Spolupracovník: Štěpán Timr Hodnocení: Abstrakt Několika způsoby jsme změřili ohniskové vzdálenosti spojných čoček. Určili jsme ohniskovou vzdálenost rozptylky. Zkonstruovali jsme vlastní dalekohled a mikroskop. Změřili jsme zvětšení obou těchto přístrojů a porovnali s teoretickým výpočtem. 1 Úvod Geometrická optika popisuje šíření světla. Přitom abstrahuje od jeho vlnové podstaty. Ústředním pojmem geometrické optiky je paprsek; myšlený směr šíření elektrického pole. Pomocí geometrické optiky lze efektivně popsat některé základní optické jevy, jako např. lom světla, nebo odraz. Naproti tomu další důležité jevy, jako např. polarizace či interference takto popsat nelze. V této úloze, věnované geometrické optice, se budeme důkladně věnovat především vlastnostem čoček a jejich aplikací. 2 Pracovní úkoly 1. Určete ohniskovou vzdálenost tenké spojky následujícími metodami: odhadem, autokolimací, ze znalosti polohy předmětu a jeho obrazu (pro čtyři různé polohy předmětu; provést též graficky). Pokud jste se v Základech fyzikálních měření již s těmito metodami seznámili, je pro Vás tento úkol nepovinný. 2. Besselovou metodou určete ohniskovou vzdálenost tenké spojky. V přípravě odvod te rovnici č.(8) a načrtněte chod paprsků v obou případech, kdy je vidět ostrý obraz. Proč je nutná podmínka e > 4f? Na čem závisí ohnisková vzdálenost čočky? 3. Určete ohniskovou vzdálenost tenké rozptylky. 4. Besselovou metodou změřte ohniskovou vzdálenost mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru. V přípravě vysvětlete rozdíl mezi Ramsdenovým a Huygensovým okulárem. 5. Abyste mohli určit optický interval mikroskopu v pracovním úkolu č. 7, určete nejprve polohy ohniskových rovin okuláru a objektivu. Rozmyslete si, zda potřebujete znát polohy jejich předmětových nebo obrazových ohniskových rovin. 6. Změřte zvětšení lupy při akomodaci oka na normální zrakovou vzdálenost. Stanovte z ohniskové vzdálenosti lupy zvětšení při oku akomodovaném na nekonečno. 7. Z mikroskopického objektivu a Ramsdenova okuláru sestavte na optické lavici mikroskop a změřte jeho zvětšení. Rozmyslete si, jak velký optický interval je vhodné zvolit. 8. Ze spojky +200 a Ramsdenova okuláru sestavte na optické lavici dalekohled a změřte jeho zvětšení přímou metodou a z poměru průměrů vstupní a výstupní pupily. V přípravě vysvětlete rozdíl mezi Galileovým a Keplerovým dalekohledem, načrtněte chod paprsků v obou případech. 9. Výsledky měření zvětšení mikroskopu a dalekohledu porovnejte s hodnotami vypočítanými z ohniskových vzdáleností a optického intervalu. Ohniskové vzdálenosti jste naměřili s určitou chybou, můžete proto spočítat i chybu vypočítaných zvětšení. 1

2 3 Základní pojmy a vztahy 3.1 Stanovení ohniskové vzdálenosti spojné čočky Odhadem Využijeme toho, že obraz dostatečně vzdáleného objektu vzniká přibližně v ohniskové rovině čočky. Jako rychlý odhad ohniskové vzdálenosti čočky pak bereme vzdálenost čočky od vzniklého obrazu Autokolimací Toto uspořádání je zachyceno na obr. 1 Obrázek 1: Zjištění ohniskové vzdálenosti tenké čočky autokolimační metodou Paprsky bodového zdroje umístěného v ohnisky spojné čočky se lámou rovnoběžně. Po odrazu od rovinného zrcadla se vytvoří obraz zpět ve zdroji. Je-li bodový zdroj realizovaný pomocí Malého kruhového otvoru, můžeme nepatrným vychýlením zrcátka docílit toho, že se zobrazí těsně vedle kruhového otvoru. Nyní stačí nastavit čočku do takové vzdálenosti, aby vznikl ostrý obraz. Hledaná ohnisková vzdálenost pak odpovídá vzdálenosti čočky od kruhového otvoru Z polohy předmětu a jeho obrazu Vyjdeme z čočkové rovnice 1 a + 1 a = 1 f. (1) kde a, a jsou vzdálenosti předmětu, resp. obrazu od čočky, f je ohnisková vzdálenost. Z (1) vyjádříme f = aa a + a (2) Tuto metodu lze modifikovat tak, že je možné ji řešit graficky Besselova metoda Tvrzení 1. Mějme spojnou čočku s ohniskovou vzdáleností f. Necht je vzdálenost e předmětu od stínítka větší, než 4 f. Potom existují mezi stínítkem a předmětem právě dvě polohy (ve vzájemné vzdálenosti d) takové, že umístíme-li do nich spojnou čočku, vznikne na stínítku ostrý obraz předmětu. Pro ohniskovou vzdálenost čočky přitom platí: f = e2 d 2. (3) 4e Důkaz. Pro ostrý obraz předmětu na stínítku platí vztah mezi vzdáleností předmětu a obrazu od čočky (a, a ) vztah: a + a = e. Vyjádřením a = e a a dosazením do čočkové rovnice (1) dostaneme postupně a + a aa = 1 f e a(e a) = 1 f a 2 ae + ef = 0. (4) 2

3 Podle předpokladu e > 4f, a tedy má (4) právě dva reálné kořeny, které tvoří hledanou dvojici poloh, při kterých vzniká na stínítku ostrý obraz. Pro vzdálenost obou kořenů platí vztah: Vztah (3) dostaneme vyjádřením f z (5). d = e + e 2 4ef 2 e e 2 4ef 2 d = e 2 4ef. (5) Určení poloh ohniskových rovin tlustých čoček Provedeme pomocí dalekohledu zaostřeného na nekonečno. Předmět se bude nacházet v ohniskové rovině čočky, když skrz čočku a dalekohled uvidíme ostrý obraz předmětu Stanovení ohniskové vzdálenosti tenké rozptylky Měření rozptylky provedeme pomocí ze znalosti polohy obrazu a předmětu. K realizaci je však zapotřebí ještě pomocná spojka, nebot samotná rozptylka skutečný obraz, jehož polohu je možné snadno změřit, nevytváří. Schéma experimentu je na obr. 2. Z naměřených vzdáleností l1, l2, l3 snadno vypočteme a, a. Ohniskovou vzdálenost pak získáme z čočkové rovnice pro rozptylku 1 a 1 a = 1 f. (6) Obrázek 2: Určení ohniskové vzdálenosti rozptylky. 4 Optické přístroje 4.1 Lupa Lupa je jeden z nejjednodušších optických přístrojů. Definujeme zvětšení lupy a uvedeme základní vztahy pro jeho výpočet. Úhlové zvětšení lupy je poměr mezi tan zorného úhlu u, pod kterým vidíme předmět lupou k tangentě úhlu u, pod který pozorujeme předmět v tzv. konvenční zrakové vzdálenosti l = 25 cm. Tj. lze psát tan u Z = tan u. (7) 3

4 Při akomodaci oka na nekonečno: Z = l f Při akomodaci oka na konvenční zrakovou vzdálenost: Z l = y y, což je poměr mezi velikostí obrazu a předmětu. Obecný vztah pro libovolnou geometrii pozorování: Z l = l +c f + 1, kde použité symboly odpovídají obrázku 3. Obrázek 3: Zvětšení lupy pro oko akomodované na zrakovou vzdálenost y 4.2 Mikroskop Mikroskop ve své nejjednodušší podobě je tvořen dvojicí čoček: objektivem a okulárem. Důležitou roli hraje vzájemná vzdálenost ohniskových rovin obou čoček, kterou nazýváme optickým intervalem soustavy (viz obr. 4) a značíme. Obrázek 4: Chod paprsků v mikroskopu Celkové zvětšení mikroskopu je dáno vztahem 4.3 Dalekohled Z mik = l f 1 f 2 (8) Dalekohled slouží ke zvětšování zorného úhlu vzdálených předmětů Konstrukce je podobná jako u mikroskopu, s tím rozdílem, že optický interval volíme roven nule (viz obr. 5). 4

5 Obrázek 5: Schéma uspořádání optických elementů v dalekohledu. Zvětšení dalekohledu je popsán rovnicí Z = f 1 f 2. (9) pro případ, že pozorovaný předmět není v dostatečné vzdálenosti, lze zvětšení dalekohledu vyjádřit přesněji jako Z = f 1 a, (10) f 2 a f 1 kde a je vzdálenost pozorovaného předmětu. 5 Pomůcky Optická lavice s jezdci a držáky čoček, světelný zdroj pro optickou lavici, mikroskopický objektiv, Ramsdenův okulár v držákuý s Abbeho kostkou, spojné čočky +100, +200, rozptylka -100, matnice, clona s otvorem, clona se šipkou, pomocný světelný zdroj s milimetrovou stupnicí, objektivový mikrometr se stupnicí mm, matnička se stupnicí mm, pomocný mikroskop se stupnicí v zorném poli dělenou po 0.1 mm, pomocný dalekohled. 6 Výsledky 6.1 Měření ohniskových vzdáleností čoček Odhadem Měřili jsme spojnou čočku označenou číslem Její ohniskovou vzdálenost jsme určili odhadem vzdálenosti obrazu stropního osvětlení jako (13.5 ± 0.5) cm Autokolimací Ohnisková vzdálenost čočky +150 určená touto metodou je (14 ± 0.3) cm. Chyba měření je odhadnuta s ohledem na tloušt ku čočky a ostrost obrazu zobrazované štěrbiny Z polohy předmětu a obrazu Změřili jsme tři různé polohy předmětu a jeho obrazu vzhledem k čočce +150 (v tabulce 1). Příslušné ohniskové vzdálenosti jsme vypočítali ze vztahu (2). Celkový výsledek dostaneme jako aritmetický průměr hodnot; chybu odhadneme σ σ2 2, kde σ 1 je chyba aritmetického průměru a σ 2 je chyba nepřímého měření. Ohnisková vzdálenost čočky +150 tedy vychází f = (14.1 ± 0.1) 5

6 # a [cm] a [cm] f [cm] ± ± ± 0.1 Tabulka 1: Určení ohniskové vzdálenosti spojné čočky +150 z poloh vzoru a obrazu Besselova metoda Touto metodou jsme změřili ohniskovou vzdálenost tenké spojky +200, Ramsdenova okuláru a mikroskopového objektivu. Nejprve jsme zobrazovali čočkou +200 předmět ve tvaru šipky na matnici (viz tab. 2). Výpočet chyby jsme provedli podle vzorce chyb nepřímých měření. Neurčitost vzdálenosti předmětu od stínítka jsme brali 1 mm, neurčitost vzdálenosti dvou ostrých poloh 2 mm. Značení stejné, jako v odstavci d [cm] e [cm] f [cm] ± ± ± 0.1 Tabulka 2: Besselova metoda, čočka Ohniskovou vzdálenost čočky +200 jsme tedy stanovili na (18.6 ± 0.1) cm. Vzhledem k tomu, že ohnisková vzdálenost mikroskopového objektivu a Ramsdenova okuláru je poměrně malá, pozorovali jsme místo na stínítku pomocným mikroskopem. výsledky měření jsou v tabulce 3. mikroskopový objektiv Ramsdenův okulár d [cm] e [cm] f [cm] d [cm] e [cm] f [cm] ± ± ± ± ± ± 0.04 Tabulka 3: Besselova metoda; mikroskopový objektiv, Ramsdenův okulár Ohnisková vzdálenost mikroskopového objektivu vychází (2.38 ± 0.05) cm, Ramsdenova okuláru (2.97 ± 0.04) cm Ohnisková vzdálenost rozptylky Měřená rozptylka byla označena číslem -100, pomocná spojka byla použita čočka V souladu se značením z odstavce jsou naměřené hodnoty uvedeny v tabulce 4. Ohnisková vzdálenost rozptylky vychází (10.0 ± 0.5) cm. 6.2 Polohy ohniskových rovin Změřili jsme polohy ohniskové roviny Ramsdenova okuláru a mikroskopového objektivu. Vždy jsme měřili vnitřní rovinu; tj. tu, která byla zapotřebí pro určení optického intervalu. Vzdálenost jsme odečítali od krajní rovné plochy součástky (volba referenčního bodu). Vzdálenost ohniskové roviny mikroskopového objektivu od jeho kraje: (1.04 ± 0.05) cm. Vzdálenost ohniskové roviny Ramsdenova okuláru od jeho kraje: (0.53 ± 0.05) cm. 6

7 l 1 cm l 2 cm l 3 cm a cm a cm f cm ± ± ± 0.6 Tabulka 4: Besselova metoda; rozptylka. použité značení odpovídá obrázku Zvětšení optických přístrojů Změřili jsme zvětšení lupy (Ramsdenův okulár), námi postaveného mikroskopu a Keplerova dalekohledu. Abbeho kostka (která je k Ramsdenovu okuláru připevněna) umožnila současně pozorovat nezvětšené milimetrové měřítko umístěné ve vzdálenosti 25 cm od oka a zvětšený obraz stupnice dělené po 0,1 mm. Porovnáním stupnic jsme určili zvětšení lupy (při oku akomodovaném na konvenční zrakovou vzdálenost) Z l = 8.8 ± 0.3. Výpočet zvětšení pro oko akomodované na nekonečno dává zvětšení Z l = 8.42 ± Obdobným způsobem (pomocí zobrazované a referenční stupnice) jsme určili i zvětšení námi postaveného mikroskopu. Použitý optický interval měl velikost (14.3 ± 0.1) cm. Změřené zvětšení má hodnotu Z l = 50 ± 1. Teoretická hodnota zvětšení podle vzorce (8) má hodnotu Z teor = 51 ± 2. Dále jsme měřili zvětšení dalekohledu. Pozorovali jsme stupnici ve vzdálenosti přibližně 9 m skrz dalekohled a zároveň (pomocí Abbeho kostky přes zrcátko) přímo (tj nezvětšenou). Získané zvětšení dalekohledu je Z = 6.7 ± 0.2. Teoretická hodnota podle vztahu 10 vychází Z teor = 6.4 ± 0.1. V tabulce 5 shrneme přehledně naše výsledky. přístroj změřené zvětšení [ ] teoretické zvětšení [ ] lupa, akomodace na l Z l = 8.8 ± 0.3 lupa, akomodace na Z = 8.42 ± 0.02 mikroskop Z l = 50 ± 1 Z teor = 51 ± 2 dalekohled Z = 6.7 ± 0.2 Z teor = 6.4 ± 0.1 Tabulka 5: Zvětšení optických přístrojů. 7 Diskuze 7.1 Určování ohniskových vzdáleností čoček Jako nejpřesnější metoda se ukázala být metoda Besselova. Výhoda této metody je, že není třeba znát geometrický střed zkoumané čočky, který ze obtížně určuje; stačí změřit vzdálenost ostrých poloh čočky. Nevýhodou je obtížnější výpočet. Dobré výsledky dává také autokolimační metoda, která umožňuje určit i absolutní pozici ohniskové roviny vzhledem k čočce. Spíše přibližná je metoda učení ohniskové vzdálenosti odhadem. Pro svou rychlost a nenáročnost je však užitečná. Poněkud méně přesné bylo měření rozptylky. Je to dáno tím, že ohniskovou vzdálenost rozptylky nelze měřit tak jednoduše, jako u spojky. Složitější uspořádání pak vneslo do výsledku další chyby. Přesnost všech našich měření byla snížena také vadami typickými pro reálně čočky, zejména barevnou vadou (používali jsme bílé světlo) a sférickou vadou (zobrazovaný předmět nebyl bod). 7.2 Zvětšení optických přístrojů Při měření zvětšení optických přístrojů jsme se snažili využít co největší část stupnice. Pozorovali jsme i ty paprsky, které nebyly rovnoběžné s optickou osou. Mohlo by dojít ke zkreslení obrazu, tj. některé části předmětu mohly bát zvětšeny nepatrně více, než jiné. Změřené zvětšení mikroskopu se dobře shoduje s teoretickou hodnotou. V případě dalekohledu vychází jeho zvětšení poněkud větší, než teoreticky vypočítaná hodnota. Výsledek mohla ovlivnit výše popsaná zobrazovací vada. Při výpočtu se 7

8 také předpokládá, že je oko umístěno hned u okuláru, což v praxi nebylo možné, nebot před okulárem byla ještě Abbeho kostka. 8 Závěr Seznámili jsme se se základními experimenty z geometrické optiky. Stanovili jsme ohniskovou vzdálenost spojné čočky +150 odhadem, autokolimací, výpočtem z polohy předmětu a obrazu, Besselovou metodou. Dále jsme využitím pomocné spojky +100 určili ohniskovou vzdálenost rozptylky Zkoumali jsme podrobně zvětšení základních optických přístrojů: lupy, mikroskopu a dalekohledu. Experimentálně zjištěná zvětšení jsme v tabulce 5 porovnali s teoretickými výpočty. Reference [1] FJFI ČVUT, Studium rentgenových spekter Mo a Cu anody, [online], [cit. 7. března 2010], [2] FJFI ČVUT: Chybměření a zpracování naměřených výsledků [online], [cit. 7. března 2010], [3] Wikipedie, Geometrical optics,[online], [cit. 7. března 2010], optics 8