Sémantika predikátové logiky

Podobné dokumenty
Predikátová logika. prvního řádu

platné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

4.2 Syntaxe predikátové logiky

2.2 Sémantika predikátové logiky

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Základní pojmy matematické logiky

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Sémantika výrokové logiky. Alena Gollová Výroková logika 1/23

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková logika. Sémantika výrokové logiky

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková a predikátová logika - X

Přednáška 2: Formalizace v jazyce logiky.

Základy logiky a teorie množin

Formální systém výrokové logiky

Logika. 2. Výroková logika. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Skolemizace. x(x + f(x) = 0). Interpretace f unární funkce, která pro daný

Výroková a predikátová logika - VI

Matematická analýza 1

Úvod do predikátové logiky. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 1

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Klasická výroková logika - tabulková metoda

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Výroková a predikátová logika - II

Úvod do logiky (PL): sémantika predikátové logiky

Predikátová logika [Predicate logic]

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Logické programy Deklarativní interpretace

Úvod do výrokové a predikátové logiky

Přednáška 3: rozhodování o platnosti úsudku

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

Jazyk matematiky Matematická logika Množinové operace Zobrazení Rozšířená číslená osa

Jak jsem potkal logiku. Převod formule do (úplného) disjunktivního tvaru. Jan Hora

Systém přirozené dedukce výrokové logiky

Výroková logika - opakování

Další (neklasické) logiky. Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20

Rezoluční kalkulus pro logiku prvního řádu

Logika. Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.

Výroková a predikátová logika - IX

Predikátová logika dokončení

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Booleovy algebry. Irina Perfilieva. logo

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

Kapitola Výroky

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

(zkráceně jen formule), jestliže vznikla podle následujících pravidel:

Logika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Výroková a predikátová logika - V

Výroková a predikátová logika - II

Logika Libor Barto. Výroková logika

Výroková a predikátová logika - IX

Základy logiky Logika a logické systémy. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Predikátová logika. Kapitola Formule predikátové logiky

Výroková a predikátová logika - II

6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Základy matematické logiky

V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy z teorie predikátového počtu.

Hilbertovský axiomatický systém

Predikátová logika: Axiomatizace, sémantické stromy, identita. (FLÚ AV ČR) Logika: CZ.1.07/2.2.00/ / 13

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Výroková a predikátová logika - VIII

2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice

Rovnost lze vyjádřit jako predikát, např. můžeme zvolit, že P(x, y) reprezentujetvrzení xjerovnoy.

Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka

vhodná pro strojové dokazování (Prolog) metoda založená na vyvracení: dokazuje se nesplnitelnost formulí

přednáška 2 Marie Duží

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

UDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 1/5

Výroková a predikátová logika - VIII

SINGULÁRNÍ VÝROKY: Jednoduchý singulární výrok vznikne spojením singulárního termínu s termínem obecným pomocí spony=slova je.

Predikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

IA008 Computational logic Version: 6. května Formule je v konjunktivní normální formě (CNF), pokud má tvar α 1... α n,

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE

Matematická logika. Miroslav Kolařík

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS

Normální formy. (provizorní text)

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Množiny, relace, zobrazení

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

Logika a logické programování

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Základy logiky a teorie množin

Transkript:

Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem P (x, y) a jediným binárním funkčním symbolem f(x, y) lze chápat mj. jako přirozená čísla s < a + racionální čísla s a max celá čísla s > a interpretace (realizace) jazyka predikátové logiky je struktura I složená z libovolné neprázdné množiny D (domény, oboru interpretace) zobrazení I(f) : D n D pro každý n-ární funkční symbol f, n 0 n-ární relace I(P ) D n pro každý n-ární predikátový symbol P, n 1 1/??

Interpretace jazyka: příklad Příklad: mějme jazyk s binárním predikátovým symbolem P (x, y), binárním funkčním symbolem f(x, y) a symboly pro konstanty a, a 1, a 2,..., b 1, b 2,..., který chceme interpretovat jako celá čísla s > a +. D je množina celých čísel, I(a) = 0, I(a 1 ) = 1, I(a 2 ) = 2,..., I(b 1 ) = 1, I(b 2 ) = 2,... (jedná se o nulární funkce), I(f) = + (funkce zadaná pomocí rovnosti funkcí: zobrazení I(f) definujeme jako funkci sčítání celých čísel; pak např. I(f)(4, 2) = 2), I(P ) = > (relace zadaná pomocí rovnosti relací: I(P ) definujeme jako relaci,větší než pro celá čísla; např. (2, 1) I(P )) 2/??

Interpretace proměnných a termů interpretace volných proměnných spočívá v jejich ohodnocení, což je libovolné zobrazení V (valuace) z množiny všech proměnných do D ohodnocení, které přiřazuje proměnné x prvek d D a na ostatních proměnných splývá s valuací V, označíme V [x/d] hodnotou termu t v interpretaci I a valuaci V je prvek t I,V je-li t proměnná, t I,V = V (t) D takový, že je-li t = f(t 1,..., t n ), pak t I,V je hodnotou funkce I(f) pro argumenty t 1 I,V,..., t n I,V příklad: mějme interpretaci I z předchozího příkladu (celá čísla s > a +) a valuaci V (x) = 2. Pak f(b 1, f(b 2, b 2 )) I,V = +( 1, +( 2, 2)) = 5 f(f(a, b 1 ), f(x, a 1 )) I,V = +(+(0, 1), +(2, 1)) = 2 3/??

Splnitelnost formulí Formule A je splňována interpretací I a valuací V, pokud A je P (t 1,..., t n ) a ( t 1 I,V,..., t n I,V ) I(P ) A je t 1 = t 2 a t 1 I,V = t 2 I,V (oba termy reprezentují týž prvek) A je B a I, V nesplňují B A je tvaru B C a I, V splňují B i C A je B C a I, V splňují B nebo C A je tvaru B C a I, V nesplňují B nebo splňují C A je B C a I, V splňují B i C nebo nesplňují B i C A je xb a I, V [x/d] splňují B pro libovolné d D A je xb a I, V [x/d] splňují B alespoň pro jedno d D 4/??

Splnitelnost příklad Příklad: mějme dříve uvedenou interpretaci I (celá čísla s > a +), mějme jinou interpretaci I téhož formálního jazyka (celá čísla s > a, od I se liší pouze definicí I (f) = ) a valuace definované na proměnné x takto: V 1 (x) = 2, V 2 (x) = 2 formuli xp (f(x, a 1 ), x) interpretujeme v I jako x(x + 1 > x); formule je splňována I a libovolnou valuací. V I interpretujeme formuli jako x(x 1 > x) není splněna pro libovolnou valuaci. xp (x, y) interpretujeme (v I i I ) jako x(x > y), formule není splňována I (ani I ) a libovolnou valuací formule P (x, a) interpretovaná (v I i I ) jako x > 0 je splňována I (i I ) a V 2, není splňována I (ani I ) a V 1 formule x(p (x, a) yp (x, y)) interpretovaná (v I i I ) jako x((x > 0) y(x > y)) je splňována I (i I ) a libovolnou valuací 5/??

Pravdivost formulí a jejich klasifikace formuli A nazveme pravdivou v interpretaci I, je-li splňována I pro libovolnou A valuaci, píšeme = I pravdivost formule záleží pouze na valuaci volných proměnných, které se v ní vyskytují pravdivost sentence (uzavřené formule) nezávisí na valuaci vůbec Formule A predikátové logiky se nazývá tautologie, je-li pravdivá pro každou interpretaci (tj. pro každou I platí = I A), značíme = A splnitelná, pokud existuje alespoň jedna interpretace a valuace, které ji splňují (př.: xp (x, x)) kontradikce, je-li A tautologie (tj. = A) 6/??

Logické vyplývání formule B logicky vyplývá z množiny formulí {A 1,..., A n }, n 0, pokud pro každou interpretaci I, v níž platí = I A 1,..., = I A n, platí také = I B. Píšeme A 1,..., A n = B. příklad: x(p (x) Q(x)), P (a) = Q(a) V libovolné interpretaci, kde jsou pravdivé x(p (x) Q(x)) a P (a), je pravdivá také Q(a), např. lidé, P být člověk, Q být smrtelný, a = Sokrates čísla, P být sudé číslo, Q být beze zbytku dělitelný dvěma, a = 144 zvířata, P být kosatka, Q být savec, a = kosatka Willy 7/??

Tautologie predikátové logiky Získané z tautologií výrokové logiky: nahradíme-li v tautologii výrokové logiky korektně všechny výrokové symboly formulemi predikátové logiky, získáme tautologii predikátové logiky příklad: v tautologii výrokové logiky = p p nahraďme p formulí xp (x), získáme tak tautologii predikátové logiky = xp (x) xp (x) Specifické pro predikátovou logiku: označme A(x) libovolnou formuli obsahující volnou proměnnou x, A(x, y) libovolnou formuli obsahující volné proměnné x a y apod. příklady tautologií: xa(x) A(x/t) (zákon konkretizace) A(x/t) xa(x) (zákon abstrakce) 8/??

Specifické tautologie predikátové logiky I de Morganovy zákony pro kvantifikátory: xa(x) x A(x) xa(x) x A(x) příklad: negací věty Na každém hradě straší bílá paní. x(h(x) S(x)) je zřejmě Na některých hradech bílá paní nestraší. x (H(x) S(x)) x(h(x) S(x)) zaměnitelnost kvantifikátorů stejného typu (zobecnění komutativity a ): x ya(x, y) y xa(x, y) x ya(x, y) y xa(x, y) distributivita kvantifikátorů (zobecnění asociativity a ): x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x)) x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x)) 9/??

Specifické tautologie predikátové logiky II vztahy mezi a : xa(x) xa(x) (pozn.: požadavek neprázdnosti domény; pro prázdnou doménu jsou např. xp (x) i x P (x) pravdivé, ale xp (x) i x P (x) nepravdivé tautologie by tedy neplatila) xa(x) x A(x) xa(x) x A(x) zaměnitelnost kvantifikátorů (jednosměrná): x ya(x, y) y xa(x, y) redukce univerzálního kvantifikátoru: x ya(x, y) xa(x, x) vztah k disjunkci a ke konjunkci: ( xa(x) xb(x)) x(a(x) B(x)) x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x)) 10/??