Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. XII Název: Měření viskozity Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne 27.2.2013 Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 1 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 1 Seznam použité literatury 0 1 Celkem max. 20 Posuzoval: dne
1 Zadání úlohy 1. Změřte dynamickou viskozitu destilované vody při pokojové teplotě metodou výtoku kapaliny kapilárou z Mariotteovy láhve. 2. Určete teplotní závislost kinematické viskozity destilované vody v oboru teplot od 20 C do 60 C pomocí Ubbelohdeova viskozimetru. 3. Sestrojte graf teplotní závislosti kinematické viskozity. Určete aktivační energii děje. 2 Teoretický úvod měření Viskozitu vazkost tekutiny si intuitivně představujeme jako míru vnitřního tření jejích jednotlivých vrstev o sebe při proudění. Snadno lze při tečení pozorovat rozdílné chování např. medu a ethanolu. Bez větších znalostí lze na základě proteklého množství dané látky za jednotku času trubicí o daném průřezu usoudit, která z látek má větší tření. V této úloze půjde o co nejpřesnější změření viskozity destilované vody při pokojové teplotě a dále o prozkoumání teplotní závislosti kinematické viskozity stejné kapaliny. Zavedení potřebných veličin a vztahů Formálně je dynamická viskozita η konstantou úměrnosti závislosti tečného napětí τ v daném místě tekutiny na časové změně velikosti rychlosti u ve směru kolmém k proudu [3], tj. Jednotka dynamické viskozity [η] = N s m 2 = Pa s. τ = η du dy. (1) Ukazuje se, že je šikovné zavést další veličinu, kinematickou viskozitu ν [2], která souvisí s dynamickou viskozitou η látky o hustotě ρ vztahem ν = η ρ. (2) Jednotka kinematické viskozity [ν] = m 2 s 1. Experimentálně lze zjistit, že viskozita tekutin silně závisí na teplotě [1]. Pro kapaliny je obvyklé, že s rostoucí teplotou viskozita klesá. Dynamická viskozita η závisí na teplotě T exponenciálně vztahem [3] ( ) εa η(t ) = η 0 exp, (3) k B T kde η 0 je pro danou kapalinu konstanta [m 2 s 1 ], ε A je aktivační energie [J], k B je Boltzmanova konstanta a T je termodynamická teplota [K]. Vyjádříme-li η a η 0 ve vztahu (3) pomocí kinematické viskozity z (2), můžeme po úpravě psát teplotní závislost kinematické viskozity ν jako ( ) εa ν(t ) = ν 0 exp, (4) k B T 2
kde ν 0 je opět konstanta, další veličiny jsou stejné jako ve vzorci (3). Viskozitu lze určit na základě zkoumání průtoku zkoumané kapaliny kapilárou s vhodným poloměrem. Kapilární viskozimetry využívají Poisseuillova vztahu, který určuje objem V kapaliny o viskozitě η, která proteče tenkou kapilárou o poloměr r a délce l s přetlakem p za čas t [1], tj. V = πr4 p 8lη t (5) Vztah (5) platí pouze pro laminární proudění. Aby bylo proudění laminární, musí být Reynoldsovo číslo, které závisí viskozitě kapaliny η, její hustotě ρ, střední rychlostni proudění u a poloměru kapiláry r, menší než 2000 [3], tj. Re = 2rρu < 2000. (6) η Pokud by byla rychlost proudění vyšší, bylo by nutné namísto rovnice (5) používat Poisseuillovu- Hagenovu rovnici (např. v [1]). Měření viskozity Mariotteovou lahví Dynamická viskozita lze měřit Mariotteovou lahví (obr. 1), ze které kapalina vytéká se stálým přetlakem [3]. Láhev je naplněna zkoumanou kapalinou, utěsněnou zátkou do lahve vstupuje trubice, která slouží k vyrovnávání tlaku nad hladinou. Ve spodní části láhve je rovnoběžně se dnem napojena kapilára délky l o průměru d = 2r. Spodní konec trubice upevněné v zátce je od osy kapiláry ve vzdálenosti h. Kapalina vytéká z kapiláry pod stálým přetlakem p = hρg do odměrného válce. Při měření budeme sledovat čas potřebný k vytečení určitého objemu kapaliny. Dosazením přetlaku p = hρg do rovnice 5 dostáváme závislost vyteklého objemu V na čase t v následujícím tvaru Z rovnice (7) vyjádříme viskozitu η, a dosadíme r = d/2 V = πr4 hρg t. (7) 8lη η = πgρ 128 hd4 t. (8) V l Veličiny, pomocí kterých je viskozita η vyjádřená, je možné změřit poloměr r pomocí mikroskopu s okulárním mikrometrem, délka l pásovým měřidlem a odlehlost h katetometrem. Hustota ρ při dané teplotě je tabelovaná látková konstanta, tíhové zrychlení g je známo. Závislost ν = ν(t ), aktivační energie ε A Na stejném principu protékání kapaliny kapilárou pracuje i Ubbelohdeův viskozimetr. Jeho kapilárou se nechá protékat určitý objem kapaliny a měří se čas t jeho průtoku. Kinematickou viskozitu ν lze vypočítat [3] podle vztahu ν = kt, (9) kde t je čas průtoku objemu kapaliny, který je určen konstrukcí viskozimetru, k je je kalibrační konstanta daného přístroje. Tato přístrojová konstanta lze určit, změříme-li čas t potřebný k protečení daného objemu kapaliny známé hustoty ρ a dynamické viskozity η, pak totiž dle (2) a (9) je k = η tρ. Viskozita je silně závislá na teplotě. Pomocí Ubelohdeova viskozimetru změříme časy t pro vzorky s teplotami T. Máme-li naměřený dostatečný počet hodnot z udaného teplotního rozsahu, můžeme po 3
Obrázek 1: Kapalina vytéká z Mariotteovy láhve pod stálým přetlakem. vypočítání odpovídajících kinematických viskozit ν dle vztahu (9) vykreslit závislost ν = ν(t ). Zlogaritmováním rovnice (4) získáme ln ν = ln ν 0 + ε A k B 1 T. (10) Pro zjištění aktivační energie ε A nejprve vykreslíme graf závislosti ln ν = f ( ) 1 T. Regresně proložíme lineární křivku. Podle (10) odpovídá směrnice K této přímky podílu ε k B. Ze znalosti směrnice K a Boltzmanovy konstanty k B již aktivační energii ε A snadno vypočítáme 2.1 Použité přístroje, měřidla, pomůcky ε A = k B K. (11) Mariotteova láhev, Ubbelohdeův viskozimetr s příslušenstvím, katetometr, elektronické stopky, odměrný válec 50 ml, destilovaná voda, termostatický oběhový vodní teplomat, zkušební list Ubbelohdeova viskozimetru. Tabulka 1: Použité měřící přístroje a jejich mezní chyby měření. Měřidlo/veličina veličina[jednotka] mezní chyba pozn. Katetometr h[m] 1 10 3 přesnost v daných podmínkách Stopky t[s] 1 omezení smysly Odměrný válec V [m 3 ] 1 10 6 nejmenší dílek stupnice Teploměr pro úkol 1. t 1 [ C] 0,1 nejmenší dílek stupnice Teploměr pro úkol 2. t 2 [ C] 1 nejmenší dílek stupnice 4
Teplota vody v úkolu 1 byla měřena teploměrem ponořeným ve vzorku vody vyteklé z Mariotteovy láhve. Teplota zkoumaných vzorků v úkolu 2 byla měřena teploměrem ponořeným ve vodní lázni, ve které byl Ubbelohdeův viskozimetr ponořen. Použité přístroje ˆ Digitální stopky DS 35, PRAGOTRON, 2 ˆ Kapilární viskozimetr UBBELOHDE TS (č. 4452) ˆ Vodní oběhový termostatový ohřívač U7 MLW 2.2 Důležité hodnoty, konstanty Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. ˆ Normální tíhové zrychlení: g = 9,806 65 m s 2 [4] ˆ Teplota měřené vody v úkolu 1: t 1 = 21, 3 C ˆ Hustota vody při teplotě t 1 : ρ t1 = 997, 90 kg m 3 [5] ˆ Dynamická viskozita vody při teplotě t 1 : η t1 = 0, 97 10 3 Pa s [6] ˆ Kinematická viskozita vody při teplotě t 1 : ν t1 = 9, 72 10 7 m 2 s 1 [6] ˆ Boltzmannova konstanta: k B = (1,380 658 ± 0, 000 012) 10 23 J K 1 [4] 2.3 Popis postupu vlastního měření Vzhledem k déle trvajícím měřením dle obou metod je vhodné měřit oba pracovní úkoly paralelně. Mariotteova láhev - měření η Láhev se nejprve naplnění dostatečným množstvím destilované vody. Pomocí katetometru se změří odhlehost h. Vypustí se takové množství kapaliny, aby horní trubice byla prázdná. Zahájíme měření. Měříme a zapisujeme časy za které vyteče objem V vody. Průměr kapiláry d a její délka l byly již změřeny. Ubbelohdeův viskozimetr - zkoumání závislosti ν = ν(t ) Viskozimetr naplníme vzorkem zkoumané teploty. Dáme pozor, aby kapalina byla mezi plnícími ryskami. Pomocí pumpičky a uzavřením zavzdušňovací trubice kapalinu nasajeme do zásobníku nad hlavní kapilárou. Zavzdušňovací trubici uvolníme a necháme vzorek volně protékat. Měříme čas t potřebný k protečení objemu udaného ryskami viskozimetru. Měření provádíme pro vzorky různých teplot z udané oblasti 20 C až 60 C. 5
3 Výsledky měření 3.1 Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 24,8 C Atmosférický tlak: 1000,5 hpa Vlhkost vzduchu: 26,7 % 3.2 Způsob zpracování dat Mariotteova láhev - výpočet η Nejpravděpodobnější hodnotu viskozity vody η vypočítáme podle vztahu (8), kam dosadíme výběrové aritmetické průměry naměřených veličin. Nejprve vypočítáme relativní chyby ρ x jednotlivých veličin x. Nejpravděpodobnější chybu veličiny vypočítáme jako: ρ η = (ρ h ) 2 + (4ρ d ) 2 + (ρ l ) 2 + (ρ V ) 2 + (ρ t ) 2, (12) kde ρ x je relativní chyba příslušné veličiny x. Vztah vychází z kvadratického zákona hromadění chyb. Malé členy pod odmocninou se na výsledku neprojeví a je možné je zanedbat. Ubbelohdeův viskozimetr - zkoumání ν = ν(t ) Z naměřených časů t pro vzorky o teplotách T vypočteme nejprve odpovídající kinematické viskozity pomocí vztahu (9) jako ν = kt. Vykreslíme graf závislosti ν = ν(t ). Vykreslíme linearizovanou závislost ln(ν) = f ( 1 T ) a proložíme lineární křivku. S pomocí vztahu (13) vypočítáme hledanou aktivační energii ε A jako ε A = K k B. (13) Chybu nepřímo určené veličiny opět určíme nejprve vypočtením relativní chyby a následným použitím zákona hromadění kvadratických chyb. 3.3 Naměřené hodnoty Naměřená data pro výpočet dynamické viskozity η destilované vody při pokojové teplotě jsou v tabulce 2. Data pro zkoumání teplotní závislosti kinematické viskozity zachycuje tabulka 3. Změřené / odečtené hodnoty Odlehlost kapiláry při měření Mariotteovou lahví: h = (52 ± 1) mm, P 1. Průtočný objem vody při měření Mariotteovou lahví: V = (50 ± 1) ml, P 1. Teplota vody vyteklá z Mariotteovy lahve: t 1 = (21, 3 ± 0, 1) C, P 1. 6
Tabulka 2: Naměřená data pro úkol číslo 1. Měření Čas t[s] Vyteklý objem V [ml] 1. 210 50 2. 211 50 3. 211 50 4. 215 50 5. 214 50 6. 215 50 7. 215 50 8. 214 50 9. 214 50 10. 214 50 Tabulka 3: Naměřená data pro úkol číslo 2 a 3. Měření Teplota t C [ C] Čas průtoku t[s] 1. 21,5 336 2. 28,0 290 3. 36,5 243 4. 45,0 209 5. 50,0 192 6. 54,5 181 7. 57,5 174 8. 59,5 170 7
Neměřené přejaté hodnoty Délka kapiláry Mariotteovy láhve: l = (147 ± 2) mm, P 1. Průměr kapiláry: d = (1,27 ± 0,03) mm, P 1. Kalibrační konstanta: k = 3,003 10 9 m 2 s 2, P 1. 3.4 Zpracování dat Nejpravděpodobnější čas průtoku a jeho nejistota Nejprve nalezneme výběrový aritmetický průměr času t z tabulky 2 a nalezneme výběrovou směrodatnou odchylku. Zpracování dat ukazuje tabulka 4. Tabulka 4: Hledání nejpravděpodobnějšího času průtoku a jeho pravděpodobné chyby. Č. měření Čas průtoku t[s] Odchylky ε t = ( t t i )[s] Kvadráty ε 2 t [s 2 ] 1. 210 3,30 10,89 2. 211 2,30 5,29 3. 211 2,30 5,29 4. 215-1,70 2,89 5. 214-0,70 0,49 6. 215-1,70 2,89 7. 215-1,70 2,89 8. 214-0,70 0,49 9. 214-0,70 0,49 10. 214-0,70 0,49 n = 10 t = 1 10 10 i=1 t i = 213,30 10 i=1 ε t i = 0 10 i=1 ε2 t i = 32,10 Výběrový aritmetický průměr t Směrodatná odchylka času t t = 1 n n t i = 213,30 s. i=1 n i=1 s t = ε2 t i = 0,60 s, P 0,68. n(n 1) Na základě 3s kritéria by bylo třeba provést korekci a některá data ze zpracování vyloučit. Vzhledem k četnosti výskytu těchto dat a pořadnímu umístění je jako hrubou chybu nepovažuji a očekávám, že od čtvrtého měření došlo změnou soustavy ke ztížení průtoku (např. vzduchová bublina, atp.). Výpočet viskozity η a její chyby Viskozitu vypočítáme na základě vztahu (8), kam budeme jako nejpravděpodobnější hodnoty dosazovat výběrové aritmetické průměry veličin, tj. η = πgρ t 1 128 h d 4 V l t = 0, 95 10 3 Pa s. 8
Dosazované konstanty v prvním zlomku jsou uvedeny v části 2.2, ostatní hodnoty jsou v Naměřené hodnoty. Pro výpočet chyby určíme relativní chyby jednotlivých veličin (chybu měření času přepočítáme na mezní chybu) a dosadíme do vztahu (12). Největší nejistotu do výsledku vnáší chyba měření průměru kapiláry (viskozita závisí na čtvrté mocnině), dále pak nejistota měření odlehosti a hrubá chyba odečítání z odměrného válce. ρ η = (ρ h ) 2 + (4ρ d ) 2 + (ρ l ) 2 + (ρ V ) 2 + (ρ t ) 2. = 0, 099. Odtud absolutní nejistota viskozity ε η = ρ η η. = 0,10 10 3 Pa s, P 1. Příprava dat pro vykreslení teplotní závislosti ν = ν(t ) Nejprve vhodně zpracujeme naměřené hodnoty z tabulky 3. Naměřené teploty t C v Celsiově stupnice převedeme do stupnice termodynamické. Dle vztahu (9) z časů průtoku vzorku vypočítáme odpovídající kinematické viskozity, viz tabulka 5. Tabulka 5: Příprava dat pro vykreslení teplotní závislosti ν = ν(t ). č. Teplota Čas průtoku Teplota Kinematická viskozita m. t C [ C] t[s] T [K] ν 10 7 [m 2 s 1 ] 1. 21,5 336 294,65 10,1 2. 28,0 290 301,15 8,71 3. 36,5 243 309,65 7,30 4. 45,0 209 318,15 6,28 5. 50,0 192 323,15 5,77 6. 54,5 181 327,65 5,44 7. 57,5 174 330,65 5,23 8. 59,5 170 332,65 5,11 Pro snadné nahlédnutí, jak se mění viskozita vody s teplotou, bude vytvořen i graf její závislosti na Celsiově stupnici. Hledání velikosti aktivační energie ε A Nejprve vypočítáme z dat tabulky 5 hodnoty ln ν a 1/T. Vykreslíme takto linearizovanou závislost a proložíme lineární křivku, z jejíž směrnice vypočítáme aktivační energii. Poznámka data v tabulce jsou pro přehlednost zaokrouhleny. Abych eliminoval zaokrouhlovací chybu (např. u logaritmu), data zpracovávám bez zaokrouhlování. Rovnice regresní přímky z programu QtiPlot a její koeficienty s chybami: y = K x + B K = (1759 ± 42) K B = ( 19, 89 ± 0, 13) Ze směrnice K vypočítáme na základě (13) aktivační energii ε A = K k B = 2,43 10 20 J 9
Tabulka 6: Data pro vykreslení linearizované závislosti ln ν = f ( 1 T ) a výpočet aktivační energie εa č. Kinematická viskozita Teplota Logaritmus kin. viskozity Reciproká termod. teplota m. ν 10 7 [m 2 s 1 ] T [K] ln ν ln ( m 2 s 1) 1/T 10 4 [K 1 ] 1. 10,1 294,65-13,807 33,94 2. 8,71 301,15-13,954 33,21 3. 7,20 309,65-14,131 32,29 4. 6,28 318,15-14,281 31,43 5. 5,77 323,15-14,366 30,95 6. 5,44 327,65-14,425 30,52 7. 5,23 330,65-14,465 30,24 8. 5,11 332,65-14,499 30,06 Její absolutní nejistotu určíme jako součin relativní chyby směrnice ρ K a aktivační energie ε A (chyba Boltzmanovy konstanty je řádově zanedbatelná) 3.5 Číselné výsledky měření ρ K ε A = 6 10 22 J, P 0, 68. Dynamická viskozita η měřeného vzorku destilované vody při teplotě 21, 3 C byla změřena s pomocí Mariotteovy láhve s následujícím výsledkem η = (0,95 ± 0, 10) 10 3 Pa s. Závislost kinematické viskozity v rozsahu teplot 20 C až 60 C byla prozkoumána Ubbelohdeovým viskozimetrem. Aktivační energie procesu byla určena s následujícím výsledkem ε A = (2,43 ± 0,18) 10 20 J = (0, 2 ± 0, 012) ev, P 1. Na základě nalezených regresních koeficientů lze kinematickou viskozitu destilované vody při teplotě T v termodynamické stupnici vypočítat podle vztahu ( ν = exp B + K 1 ) m 2 s 1, T kde koeficient B = 19,89 a koeficient K = 1759 K. 10
3.6 Grafické výsledky měření 1,1 1 Graf 1: Závislost ν = ν(t ) destilované vody Kinematická viskozita ν 10 6 [m 2 s 1 ] 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 290 295 300 305 310 315 320 325 330 335 T [K] 11
1,1 1 Graf 2: Závislost ν = ν(t C ) destilované vody Kinematická viskozita ν 10 6 [m 2 s 1 ] 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 20 25 30 35 40 45 50 55 60 t C [ C] 13,7 13,8 13,9 Graf 3: Linearizovaná zavislost ln ν = f ( 1 T ). logaritmus kin. viskozity lineární regrese ln ν ln (m 2 s 1 ) 14,1 14,1 14,2 14,3 14,4 14,5 14,6 30 30,5 31 31,5 32 32,5 33 33,5 34 1/T 10 4 [K 1 ] 12
4 Diskuze výsledků Dynamická viskozita destilované vody při teplotě 21,3 C byla naměřena η = (0,95± 0, 10) 10 3 Pa s. Tabelovaná hodnota dle [6] je η t1 = 0, 97 10 3 Pa s. Tabelovaná hodnota leží v intervalu nejistoty, veličinu se tedy podařilo úspěšně změřit. Hodnota naměřené viskozity je o něco menší, než hodnota při dané teplotě tabelovaná. Zde je možné diskutovat, zda teploměr ležící ve vaničce s mělkou hladinou vyteklé měřené kapaliny neurčoval nižší teplotu, z důvodů zvýšeného vypařování z větší plochy. Za větší nejistotou změření dynamické viskozity stojí především vysoký požadavek na přesnost měření průměru kapiláry (η d 4 ). Také prohyb laboratorní podlahy při měření odlehlosti h katemetrem k přesnosti nepřispěl. Nemalý vliv má i lidský činitel náročnost přesného určení okamižku, kdy meniskus hladiny v odměrném válci dosahuje požadované rysky. Další chyby můžou vnášet kapičky z předchozího měření, ulpívající na nálevce nebo v odměrném válci, či vzduchové bubliny v uzávěru. Svůj podíl má i rozdílná reakční doba při práci se stopkami. Výsledky měření závislosti kinematické viskozity destilované vody velice dobře ukázaly, že závislost je dle teoretických předpokladů exponenciální. V oblastech vyšších teplot nad měřeným rozsahem by nižší viskozita způsobila vyšší rychlost proudění a proudění by již nebylo laminární a závislost by byla zřejmě odlišná. Chyba měření by se mohla minimalizovat prodloužením relaxační doby, kdy se teplo z oběhové vodní lázně kolem viskozimetru předává měřenému vzorku, aby teplota lázně s jistotou odpovídala teplotě vzorku. Další chybu opět vnáší rozlišná reakční doba a činitel laboranta v podobě ne zcela dokonalého rozpoznání putujícího menisku na sledovaných riskách. Čas průtoku kapilárou může být ovlivněn malými, ne zcela viditelnými, vzduchovými bublinami, vznikajícími při rychlejším nasávání vzorku do zásobní baňky. Velikost aktivační energie ε A procesu je v porovnání s očekáváním velice malá. To ukazuje jemnost a složitost vnitřní struktury látek i drobné energetické změny způsobí znatelné změny jejich makroskopického chování. Grafy závislostí ukazují dobrou přesnost metody, naměřené hodnoty se od regresních křivek výrazně neodchylují. Pro jemnější a přesnější zkoumání závislosti by bylo třeba zjemnit hustotu měřených teplot v daném rozsahu. I tak ale grafy typ závislosti dostatečně vyjadřují. Při snaze o přesnější měření s pomocí Mariotteovou lahví bych otestoval jiné metody měření proteklého objemu za daný čas sledování dopady kapek rozkmitané hladiny a stupnice odměrného válce je velice nepřesné. S pomocí přesných vah či progresivnějšího měření objemu kapaliny by bylo možné dosáhnout lepších výsledků. V daném případě by bylo zajímavé zkusit měřit časy průtoků různých objemů a získaná data podrobit regresní analýze. 5 Závěr Dynamická viskozita destilované vody byla změřena η = (0,95 ± 0, 10) 10 3 s. Kinematická viskozita destilované vody v rozsahu teplot 20 C až 60 C exponenciálně klesá, přitom aktivační energie tohoto procesu je pouze ε A = (2,43 ± 0,18) 10 20 J = (0, 2 ± 0, 012) ev, P 1. 13
Měření bylo úspěšné, neboť hodnota dynamické viskozity odpovídá tabelované hodnotě při dané teplotě a reálná teplotní závislost kinematické viskozity odpovídá teoretickým předpokladům. Seznam použité literatury [1] Brož J. a kol: Základy fysikálních měření. SPN, Praha 1967, st. 2.5.2, st. 2.5.3, čl. 2.5.3.1. [2] ONLINE: Viskozita na Wikipedii. (24.2.2013) http://cs.wikipedia.org/wiki/viskozita [3] H. Valentová: Fyzikální praktikum, studijní text, MFF UK. (11.2.2013). http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_112.pdf [4] Mikulčák, J a kol: Matematické fyzikální a chemické tabulky. Prometheus, Praha 1988, str. 149., str. 185. [5] ONLINE: Výpočet hustoty vody o dané teplotě. (24.2.2013) http://antoine.frostburg.edu/chem/senese/javascript/water-density.html [6] ONLINE: Výpočet parametrů vody. (1.3.2013) http://www.peacesoftware.de/einigewerte/wasser_dampf.html 14