Proudění viskózní tekutiny. Renata Holubova Viskózní tok, turbulentní proudění, Poiseuillův zákon, Reynoldsovo číslo.

Transkript

1 PROMOTE MSc POPIS TÉMATU FYZKA 1 Název Tematický celek Jméno a ová adresa autora Cíle Obsah Pomůcky Poznámky Proudění viskózní tekutiny Mechanika kapalin Renata Holubova renata.holubov@upol.cz Popis základních zákonitostí v mechanice kapalin. Ukázka mezioborových vztahů např. krevní oběh. Předložení laboratorních experimentů. Viskózní tok, turbulentní proudění, Poiseuillův zákon, Reynoldsovo číslo. Přístup na web. Obsah laboratorních experimentů v tématu. Praktické činnosti vedoucí k pochopení zákonitostí a jejich použití v technice a lékařství. Zdůraznění mezipředmětových vztahů. Možná ukázka dalších aplikací např. transport škodlivin. PH1 1

2 Proudění tekutin Úroveň: střední škola (16 17 let) vyučovací hodiny (2 klasické vyučovací hodiny, 2 hodiny laboratorní cvičení) Obsah: 1. aminární proudění 2. Poiseuilleův zákon 3. Vznik turbulentního proudění. Reynoldsovo číslo Motivace: Tornádo v láhvi: Jak lze přemístit vodu z horní láhve do spodní? Větrné víry: Zhasněte svíčku. aminární proudění Představa ideálního proudění každá vrstva kapaliny se pohybuje se stejnou rychlostí, není viskozita. Rychlost proudu uprostřed trubice je stejná jako v blízkosti stěn. Reálná tekutina existence viskozity rychlosti nejsou stejné uprostřed trubice je rychlost proudu největší, vrstvy v blízkosti stěn mají rychlost blízkou nule. Jak lze vysvětlit, co to je viskozita? Mějme dvě rovnoběžné desky. Horní deska se může volně pohybovat, spodní je stacionární. Má-li se horní deska pohybovat rychlostí v (vzhledem ke spodní desce), je třeba působit na ni silou F. Velikost této síly závisí na prostředí bude jiná v případě vody anebo medu či glycerínu. Kapalinu lze modelovat jako velké množství desek s různými rychlostmi. Rychlost jednotlivých vrstev je různá. Nejvyšší rychlost je nahoře, na spodní vrstvě je nulová. Tento druh proudění je laminární. PH1 2

3 Tangenciální sílu, která je potřebná pro uvedení vrstvy do pohybu konstantní rychlostí v, lze vyjádřit pomocí vztahu F = ηsv, y kde S je plocha vrstvy, y je velikost posunutí, η je koeficient dynamické viskozity. Jednotka viskozity v soustavě SI: Pa s Používaná jednotka: poise (P) 1 poise (P) = 0,1 Pa s Jean Poiseuille ( ) francouzský fyzik, studoval pohyb kapalin v trubicích a popsal zákony toku krve v našem těle. Hodnoty viskozity Za normálních podmínek je viskozita plynů menší než viskozita kapalin. Viskozita závisí na teplotě u kapalin s rostoucí teplotou klesá, u plynů viskozita s rostoucí teplotou roste. Viskozita: Voda (20 o C) Benzen C 6 H 6 Ethanol C 2 H 6 O Glycerol C 3 H 8 O 3 Krev (37 o C) Vzduch (18 o C) 1, Pa s 0, Pa s 1, Pa s 180, Pa s 5, Pa s 0, Pa s aminární proudění je charakteristické např. pro pohyb ropy v ropovodech. Máme určit podmínky, které určují množství kapaliny, která projde příčným průřezem trubice za určitý časový interval. Tato veličina se nazývá objemový průtok Q (v m 3 /s). Q je úměrné rozdílu tlaků P 2 P 1 dvou různých míst trubice (větší tlak vede k silnějšímu proudu), delší trubice vyvolává větší odpor vůči proudu než trubice kratší. Kapaliny o velké viskozitě tečou pomaleji než tekutiny, které mají malou viskozitu. Největší význam má závislost na poloměru r trubice Q je úměrné čtvrté mocnině poloměru (r ). Matematické vyjádření této závislosti je známo pod názvem Poiseuilleův zákon: ( P P ) 2 1 Q =, kde η je viskozita, r je poloměr trubice, jejíž délka je, P 2 a P 1 jsou tlaky na koncích trubice. Základním vztahem pro model laminárního proudění je Poiseuillova rovnice: R = Idealizovaný model proudění je uváděn pro jeho jednoduchý matematický aparát. Nauka o proudění tekutin našla své uplatnění v mnoha oblastech, např. v lékařství. Přesné modelování proudění tekutin ve fyziologii za reálných podmínek vyžaduje matematický PH1 3

4 aparát, který je příliš složitý pro praktické použití v klinické praxi. Model vychází ze základních principů inženýrské fyziky, ve většině případů používáme jeho první aproximaci. Další aplikace analogie s Ohmovým zákonem Pro klinické aplikace jsou vlastnosti toku považovány za konstantní. Poiselleiův zákon je analogický Ohmovu zákonu (nauka o elektřině). Zákon popisuje změnu napětí V v závislosti na elektrickém odporu (R) a proudu (I) V = IR Čím větší je proud (elektrický tok) nebo odpor, tím vyšší napětí je potřeba. Někdy se pro jednoduchost zapisuje V místo V, i když se jedná o rozdíl napětí a nikoli o jeho absolutní hodnotu. Výpočty toku tekutiny můžeme modelovat pomocí jednoduchého elektrického obvodu. V tomto modelu je V analogické P, pro proudový odpor definovaný jako R = dostaneme P = QR. Pokles tlaku (analogicky jako pokles odporu v Ohmově zákonu) je lineární funkcí proudového odporu. Proudový odpor je lineární funkcí délky, ale je nepřímo úměrný čtvrté mocnině poloměru vodiče. Např. trubice o průměru 1 cm má 16krát větší proudový odpor než 2centimetrová trubice stejné délky, kterou protéká tentýž proud. Předpokládáme původní průtok 100 cm 3 /s. Projevy změn v parametrech vedou k následujícím změnám: Dvojnásobná délka průtok 50 cm 3 /s Dvojnásobná viskozita průtok 50 cm 3 /s Dvojnásobný tlak průtok 200 cm 3 /s Dvojnásobný poloměr průtok cm 3 /s Jen malá okluze artérie může mít velký efekt! Okluze při tlaku 120 mmhg potřebný tlak pro obnovení průtoku 0 % 100 cm 3 /s 120 mmhg 20 % 1 cm 3 /s 293 mmhg 50 % 6,3 cm 3 /s mmhg 80 % 0,16 cm 3 /s mmhg 19 % zmenšení poloměru zmenší na ½ průtok trubicí. Turbulentní proudění Turbulentní proudění částice v tekutině se pohybují v mnoha různých směrech a mnoha různými rychlostmi. Turbulentní proudění je protikladem laminárního proudění. Otázka kdy dojde k přechodu laminárního proudění v proudění turbulentní? Přechod od laminárního k turbulentnímu prodění charakterizuje ρrv Reynoldsovo číslo rozměrová konstanta R =, kde v je rychlost (kritická η rychlost). Pro cylindrické trubice je R asi Voda proudící trubicí o poloměru 2 cm (např. PH1

5 N s/m zahradní hadice) má kritickou rychlost v c = = 0,1 m/s = 10 cm/s (malá kg/m 0,02m rychlost, obvykle je rychlost vody v trubici 1 m/s a proudění je turbulentní). Cvičení: 1. Pro pohyb vody potrubím o poloměru 6, m je potřeba rozdílu tlaků 1, Pa. Objemový průtok vody je 3,2 10 m 3 /s. Jak dlouhé je potrubí? Viskozita vody je η = Pa s. 2. Tepna má délku 0,1 m a její poloměr je 1, m. Průtok krve je m 3 /s. Stanovte rozdíl tlaků na obou koncích této tepny. Viskozita krve η = 10 3 Pa s. 3. Vypočtěte maximální rychlost, kterou může proudit krev v aortě, aby proudění bylo laminární. (R = m, ρ = kg m 3 ) aboratorní práce Úkolem práce je studium laminárního proudění. Je měřen proudový odpor jednotlivých kapilár, dvou kapilár spojených paralelně a do série. Výsledky měření jsou porovnány s teoretickými předpoklady. Pomůcky: 2 kádinky, trojice kapilár o různém průměru, 2 stejné kapiláry, spojovací hadice, pravítko, stopky, zásobník vody Postup práce: Studujeme tok viskózní kapaliny skleněnou kapilárou. Objemový průtok kapilárou je úměrný rozdílu tlaků na obou koncích kapiláry P = RQ, kde R je odpor kapiláry vůči toku R =. Zásobník umístíme do výše h nad kádinku, kapiláru umístíme do vodorovné polohy a jeden konec spojíme s výtokovým otvorem zásobníku. Potom rozdíl tlaků je roven tlaku hydrostatickému hρg, kde ρ je hustota vody. Voda teče do kalibrované kádinky nebo je možné její hmotnost určit na laboratorních vahách. Změříme-li dobu výtoku a rozměry kapiláry, lze vypočítat objemový průtok.hladinu vody v zásobníku je třeba udržovat na konstantní výšce. Provádíme různá měření: měříme tok kapilárami stejné délky ale různého průměru, stejného průměru ale různé délky, jednu kapiláru umisťujeme v různých výškách h, ostatní podmínky zůstávají konstantní (teplota, hustota vody, vlhkost atd.). V druhé části laboratorní práce měříme tok paralelně a sériově spojenými kapilárami analogicky jako při studiu Ohmova zákona. Animace: PH1 5