Aplikace matematiky Otakar Jaroch Aproximace exponenciálními funkcemi Aplikace matematiky, Vol. 7 (1962), No. 4, 249--264 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/1287 Terms of use: Institute of Mathematics AS CR, 1962 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://dml.cz
SVAZEK 7 (1962) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSLO 4 APROXIMACE EXPONENCIÁLNÍMI FUNKCEMI OTAKAR JAROCH (Došlo dne 9. ledna I96I.) V článku se popisuje nová metoda výpočtu koeficientů exponenciální aproximace ve smyslu nejmenší kvadratické odchylky. 1. ÚVOD Některé metody syntézy lineárních přenosových soustav jsou založeny na aproximaci jisté funkce f(t), v intervalu <, + oo) se čtvercem integrovatelné, exponenciálními funkcemi: (1.1) f(t) «f t (t) = a\ n) e--«' + a (^e~ 2at +... + a n n)e'" xt, t, a >. Požaduje se aproximace v smyslu nejmenší kvadratické odchylky z 2, tedy (1.2) 4= ÍVvO- f n (t)ydt = mm. Jo Poznámka 1. Podobně jako se používá termínu trigonometrický mnohočlen, budeme lineární kombinaci exponenciálních funkcí a í exp ( at) + a 2 exp ( 2a/) +... + a n exp ( -n<xt),oc reálné, nazývat exponenciálním mnohočlenem. Poznámka 2. Exponenciální mnohočlen f n (t) v (1.1), který v smyslu nejmenší kvadratické odchylky v intervalu <(, +oo) nejlépe aproximuje danou funkci /(/), budeme nazývat n-tou exponenciální aproximací této funkce. Tímto způsobem aproximují LANING a BATTIN V knize Random processes in automatic control [2] korelační funkci stacionárního náhodného procesu. Energetické spektrum příslušné exponenciální aproximaci korelační funkce je potom racionální funkce lomená (energetické spektrum je totiž Fourierův obraz korelační funkce). Na tomto základě lze dále konstruovat optimální přenosovou charakteristiku podle Wienerovy teorie [2]. Laning a Battin udávají velmi pracnou a zdlouhavou metodu výpočtu koeficientů a[ n) v (1.1). N. K. KRUG [1] aproximuje exponenciálními funkcemi předepsaný vstupní a výstupní signál tvarovacího čtyřpólu, jehož syntézu potom na základě těchto exponenciálních aproximací provádí. N. K. Krug neudává žádný předpis pro výpočet koeficientů a ( n) k. 249
V tomto článku popisujeme novou metodu výpočtu koeficientů exponenciální aproximace. Metoda je charakterisována tím, že vychází z funkčních hodnot Laplaceova obrazu aproximované funkce a dále tím, že vlastní výpočet se provádí jako násobení Číselné matice sloupcovým vektorem. Tuto operaci lze provést na kalkulačním stroji velmi rychle. OBSAH tohoto článku se člení na čtyři části: 1. Úvod. 2. Ortogonální exponenciální mnohočleny (výpočet jejich koeficientů a základní vlastnosti, tabulka koeficientů prvních deseti ortogonálních exponenciálních mnohočlenů matice B ) ) 3. Ortogonální rozvoje (výpočet koeficientů ortogonální a ortonormální řady, matice pro výpočet koeficientů prvních deseti členů ortogonálního rozvoje). 4. Exponenciální aproximace (výpočet koeficientů, matice pro výpočet první až šesté exponenciální aproximace, interkalární aproximace, příklady). 5. Závěr (obsahuje rekapitulaci odvozeného postupu). 2. ORTOGONÁLNÍ EXPONENCIÁLNÍ MNOHOČLENY Soustava exponenciálních funkcí {e~ kctt }, a >, k = 1,2,3,..., je v intervalu <, +oo) úplná vzhledem k prostoru lebesguovsky integrovatelných funkcí [6]. Ortonormalisací této soustavy obdržíme tedy rovněž úplnou soustavu funkcí v intervalu <, + co) ortonormálních, které označme (2.1) Maf) = v'"'. M = I a> > k= 1,2,3,..., (2.2) f «//, («!) ««!) át = 5 m, m, n = 1, 2, 3,..., kde b mn označuje Kroneckerův symbol. Označme (2.3) <p k (at) = b k!l e~^, a >, k = 1, 2, 3,...,,t=i soustavu takových v intervalu <, + co) ortogonálních funkcí, které splňují podmínku <p k () = 1 (což je ekvivalentní s podmínkou b kl + b k2 +... + b kk = l). Podmínka ortogonality je»cc (2.4) cp m (at) c Pn (at) át = 5, J</>J 2, m, n = 1, 2, 3,..., J o kde \\(p n \\ označuje normu funkce (/? («!), srv. dále rovnici (2.13). Zřejmě je ijj k (at) = = iiíp/kir 1 (p k (*t). Substitucí e~* x = x v (2.3) se interval <, + co) zobrazí na interval (, 1> a funkce (p k (c/.t) přejde v mnohočlen. Označme (2.5) cp k (at) = e <P k - t (e~ at ), 25
kde (2-6) ^-iw^iv^'" 1 - Táž substituce v (2.4) dává (2.7) a" 1 í 1 xí> v, II 2 m _ 1 (x) < ř 1 (.x)dx = 5 mnll Vnll Mnohočleny $,{x), i =, 1, 2,..., jsou tedy na intervalu <, 1> ortogonální s vahou x. Uvážíme-Ii, že mnohočleny ortogonální na intervalu <, 1 > s vahou.x ř/_ ] (1 x) p ' q, q >, p q > 1, jsou tzv. Jacobiho mnohočleny G k (p,q,x) [3], [4], [5], je nutně (2.8) <P{x) = D ;. G,(2, 2, x), Di = konst., a dále, vzhledem k výše uvedenému, srv. rovnici (2.5), (2.9) <?_»-- D^e-^G^A^e-"). Teorie Jacobiho mnohočlenů je ponejvíce zpracována pro ortogonalisaci na intervalu < 1, +1> s vahou (1 - Č) x (\ + )", X > 1, ^Í > 1; v tomto případě se Jacobiho mnohočleny označují P n " ll) ( ) [7], [8], [9]. Oba definiční intervaly spolu souvisí substitucí č, = 1 2.x nebo č, = 2x 1. Našemu případu p = 2, q = 2 odpovídá X = í, fi = nebo X, // = 1 a podle SZEGO [9] je (2.1) G ; (2, 2, x) = (i + l)" 1 P< 1,) (1-2x), i =, 1, 2,... Protože podle [8], [9] je platí f""o>-(' + A ) a í"/""c-i) = (-!)'(' y). (2.11) G ; (2,2,)=l a G,(2, 2, l) = (-1)'" (i + l)" 1. Konstantu D ř v rovnici (2.8) volíme nyní tak, aby byla splněna podmínka <p k () = = D k _,. G k _,(2, 2, 1) = 1 pro všechna k = 1, 2,... Z rovnic (2.9), (2.11) konečně plyne (2.12) cp k (ut) = (-l)* 1 /^' ^.,(2, 2, «-') S ohledem na to, že norma Jacobiho mnohočlenu je i[p (1 ' ) [ = [2/(i + l)] 1, ([7], [9]), vypočteme z rovnic (2.1), (2.12) a (2.4) (2.13) \\cp k \\ =-(2fax)-*. Ortogonální funkce <p k (<xt), k = 1, 2, 3,..., a >, jsou spojité a v intervalu <, + co) ohraničené funkce, pro něž platí (2.14) ip k () = 1, lim f/5fc (a/) =. 251
Funkce <p k (at) má l< 1 jednoduchých nulových bodů v intervalu <, + co) toto tvrzeni je důsledkem vztahu (2.9) a základních vlastností nulových bodů ortogonálních mnohočlenů [7]. Průběh těchto funkcí je na obr. 1. Podle [3] je (/ =, 1,2,...) (2.15) G,(2, 2, x) = 1 - L±.ł x + л p + 2)p + з) y2 2/ 2.3 2, _, M (f + 2)(/ + 3)...2i(2í + Porovnáme-li (2.15), (2.12) a (2.3), obdržíme pro koeficienty b kft ortogonálních funkcí (p k (at) (2.16) V = (- ŕ( 'k\/k + n- 1 pro fe S: /í i/ V n - 1 /r-7 /r-«? k-3 k = 4 (2.17) b kfl = pro /< < n. Koeficienty b k/í jsou tedy vesměs celistvé. Pro ortonormální soustavu platí podle rovnice (2.13) (2.18) ik(ař) = {2kafcp k (at). Ortonormální funkce \jj k (at) mají koeficienty d kfl (2kaY b kfl zpravidla iracionální a platí <A & () = (2kaf, lim x^k(at) =. k=5 Obr. 1. Ortogonální exponenciální mnohočleny (p k (oct), x = 1, A: = 1,2,3,4,5. Laning a Battin [2] uvádějí pětimístné tabulky f ortonormálních funkcí \jj k (at), pro a 1, k 1, 2, 3, 4, 5, v intervalu fí t ^ 1 s krokem,1, v intervalu 1 <, t <, 5 s krokem,2 a v intervalu 5 Í <. t rg 9,9 s krokem,1. Doporučuje se používat ruského překladu této knihy, v němž redakce opravila hodnoty i// 3 (ř) v intervalu,45 ^ t i%,7. Matice koeficientů B. Matice koeficientů B = [b kft ] je podle (2.16) nekonečná trojúhelníková matice, jejíž prvky jsou celistvé a se stoupajícím k v absolutní hodnotě neomezeně rostou. Čtvercovou diagonální submatici n-tého řádu této matice označme (2.19) B «= [^J> k,fi= \,2,...,n. Tabulka 1 udává číselné hodnoty prvků matice B 1. Prvky b kfl matice B počítáme podle vzorce (2.16), v jiné úpravě k (2.2) b kfl = (-\) k + џ fi\(fi - \)\ (k>-ŕ)(e-2г )...{k>-{ Џ -m 252
nebo z některého rekurentního vztahu, který plyne z (2.16), např. (2-21) \b k + 1 Jb kli \ = (k + ii)l(k- fi + 1). Pro všechna přirozená k platí podle (2.16) (2-22) b kl =(-lf +i.k, b kk = l 2 f2 * a s ohledem na (2.14) je (2.23) íb k(l = J, /<= 1,2,3,... = i /( Rovnice (2.23) umožňuje jednoduchou, nikoliv však úplnou kontrolu správnosti řádkových vektorů matice B. V absolutní hodnotě největší koeficient b kfl Ar-tého exponenciálního mnohočlenu (p k (cct) má index (2.24) t mu\ И- - + - Ц/2 Sk 2 kde hranatá závorka znamená celou část. Prvky matice B 1 s tímto indexem jsou v tabulce I podtrženy. Vztah (2.24) odvodíme jako největší celočíselné řešení nerovností \b k Jb k>ll -i\ = 1. Dosadíme z (2.16) a po jednoduché úpravě řešíme nerovnost 2\i 2 3/< + 1 - k 2 fg. Výsledek je (2.24), přičemž v praxi dobře poslouží i vztah (2.25) u ik) rmax L/2 4j ŕv= 1,2,3,... První členové posloupnosti ortogonálních funkcí (p k (at) jsou tedy atd. Matice B 1 \ -2 3 3-12 -4 3 5-6 -6 15 7-168 ^8 252 9-36 -1 495 (at) = e- ', 9l (p 2 (at) = -2e~ a ' + 3e" 2ař, f/ > 3 ( a /) = 3e_ař - 12e _2af + 1e" 3a/,... Tabulka I. [b kfl ]. Koeficienty ortogonálních exponenciálních mnohočlenů <?V> jsou řádkové 1-6 21-56 126-252 462-792 vektory této matice, k = 1, 2, 3,..., 1. 35-28 126-42 1155-2772 66 126-126 693-2772 99-252252 o o 462-5544 3636 168168 6363 1716-2424 1818-9696 6435-1296 87516 2431-43758 92378 253
3. ORTOGONÁLNÍ ROZVOJE v intervalu <, +) s kvadrátem integrovatelné, lze přiřadit orto Funkci f(t), gonální řadu (3.1) f(t)~t^(pkh, k= 1 jejíž koeficienty c k určíme známým způsobem (3.2) c k = \\cp k \\- 2 rf(t) ( p k (at)dt, (3.3) c k = 2akY j b kfl f(t)e-«at dt, i*'' 1 Jo neboli (3.4) c k = 2ak b kll F((ia), k= 1,2,3,..., označíme-li k M=I F(p)= /»oo /» f(t)e-»dt Laplaceův obraz funkce/(t), F(/ia) = [E(p)] p = /ta - Rozvoj podle ortonormálních funkcí ij/ k (at) píšeme (3.5) f(t)~lc k U«t)> k = i kde (3.6) c k = V^S^EW a. tedy (3.7) c k = j2ok.c k, k = 1,2,3,... Označme c nekonečně rozměrný sloupcový vektor koeficientů rozvoje(3.1) {c k }, k = 1,2,3,... F nekonečně rozměrný sloupcový vektor funkčních hodnot {F(fia)\, [i = 1, 2, 3,..., Laplaceova obrazu E(p) = 3?{f(t)} v ekvidistantních bodech kladné poloosy reálných čísel. Označme dále c n a F n rc-rozměrné sloupcové vektory prvních n koeficientů (3.1) respektive prvních n funkčních hodnot F(/ia), \i = 1, 2, 3,..., n. rozvoje Koeficienty c k rozvoje (3.1) jsou podle (3.4) určeny jako souřadnice maticového součinu (3.8) c = «C. F, 254
v němž C = [C t/í ], C kli = 2k. b kfl, je nekonečná trojúhelníková matice, jejíž Ar-tý řádkový vektor je vždy 2/c-násobkem příslušného řádkového vektoru dříve definované matice B. Ačkoliv je v rovnici (3.8) vyznačeno násobení nekonečnou maticí C, počítáme souřadnice vektoru koeficientů c = [c k ] konečným počtem operací, vzhledem k tomu, že matice C je trojúhelníková. Čtvercovou diagonální submatici /i-tého řádu této matice označme (3-9) C = [C fe J, k,n= 1,2,..., n. Tabulka II udává číselné hodnoty prvku matice C 1. Podle (2.23) a (3.4) platí pro každý řádek matice (3.1) Íc^ = 2k. ; i=i Tabulka 11. Matice C! = [C kfl ] pro výpočet koeficientů c k, k = 1,2, funkcí <p k (oít). 1, ortogonálních rozvojů podle 2 9-8 12 18-72 6-32 24-48 28 5-6 21-28 126-72 126-672 1512-1512 5544 98-2352 1764-588 972-77616 2424-128 432-432 1848-44352 576576-384384 1296 162-648 8316-49896 162162-32724 324324-185328 43758-2 99 --1584 1212-5454 126126 --192192 17532-87516 184 756 Aproximace. Funkce f(t), v intervalu <, + co) se čtvercem integrovatelná, je v tomto intervalu aproximována v smyslu nejmenší kvadratické odchylky n-tým částečným součtem ortogonální řady (3.1), (3.1 /.(') = E c» лm Pro výpočet koeficientů c k, k= 1,2,3,...,/;, o-tého částečného součtu (3.li) stačí znát funkční hodnoty Laplaceova obrazu aproximované funkce v bodech p ku, i >, k = 1,2,...,n kladné poloosy reálných čísel a dále matici C, která nezávisí ani na/(t) ani na volbě a. Podle (3.8) platí (3.12) c = ac. F. Částečné součty (3.11) konvergují k aproximované funkci/(ř) podle středu, tj. tak, že lim EI =,.1 podle (1.2). M-> + 255
4. EXPONENCIÁLNÍ APROXIMACE Dosadíme-li v n-tém částečném součtu ortogonální řady (3.1) (3.11) fn(t) = Íc k <p k (at) fc = i za ortogonální exponenciální mnohočlen (p k (at) podle (2.3), n=i b kfl podle (2.16), lze ;?-tý částečný součet (3.11) upravit na tvar (4- / (.) = íafe- v=l Protože podle závěru odst. 3. funkce/ (t) z rovnice (3,11), (4.1) aproximuje danou funkci f(t) v smyslu nejmenší kvadratické odchylky na intervalu <, + oo), je tato funkce (nejlepší) n-tou exponenciální aproximací v smyslu poznámky 2 úvodního odstavce. Vypočteme což lze podle (2.17) psát v Z, C k k\ > fc=i (4-2) a n = T B n. c kde a n označuje sloupcový vektor koeficientů {a[ n) }, v 1, 2, 3,..., n, a T B n je transponovaná matice B n. V rovnici (4.2) dosadíme za c n z (3.12), takže koeficienty {a[ n) } n-tě exponenciální aproximace nakonec obdržíme jako souřadnice maticového součinu (4.3) Matice A n = [A^] jsou souměrné matice řádu n, které nezávisí ani na a ani na f(t) respektive F(p), (4A) A$ = 2Íkb kll b kv, < = < } > fc=i p, v = 1, 2, 3,..., n. Několik prvních členů posloupnosti matic {A n }, n = 1, 2, 3,..., 6, je v tabulce III. Kontrola správnosti matic A n. Funkce e~' je sama sobě nejlepší exponenciální aproximací pro libovolné n = 1, 2, 3,..., a = 1. Této funkci odpovídá sloupcový vektor funkčních hodnot Laplaceova obrazu F n = {--,,..., í/(n + 1)}. Vynásobíme tímto vektorem matici A n zprava a jako výsledek obdržíme n-rozměrný vektor koeficientů příslušné n-té aproximace, totiž a n = {1,,,..., }. 256
Postup lze zkrátit tak, že sečteme vždy prvky téhož sloupce a vytvoříme řádkový vektor fl = 1 /i = 1 fl = 1 Skalární součin vektoru s n a vektoru F = {-,,..., l/(«+ 1)} je podle předchozího * = = 1. Poznámka, Pro úsporu místa píšeme souřadnice sloupcového vektoru ve složené závorce { } a souřadnice řádkového vektoru v hranaté závorce [ ] označení zavedl TURNBULL [11]. Tabulka III. Matice Aj až A 6 pro výpočet koeficientů první až šesté exponenciální aproximace podle (4.1). *--u:ta- 2-12 21-112 -12 81-1512 84 21 1512 294-168 L-112 84-168 98 72-24 18-24 9-72 18-72 6 45-42 J26-1512 63 42 441-14112 1764-756 126-14112 474-648 2646-1512 1764-648 7938-3528 L 63-756 2646-3528 15876 882-1176 5292-1584 972-33264 -1176 1764-84672 1764-16632 58212 5292-84672 42336-972 87318-31464 -1584 1764-972 19845-1944 698544 972-16632 87318-1944 192996-698544 -33264 58212-31464 698544-698544 2561328 Interkalární aproximace. Konvergence exponenciálních aproximací k aproximované funkci podle středu vůbec nezaručuje konvergenci v obvyklém smyslu a uchylujeme se proto zpravidla k sumaci v smyslu Césarově. Jestliže v některém bodě t h ^ ř ; < +co jsou dvě sukcesivní exponenciální aproximace f --i(t) a f n (t) jedna horní a druhá dolní aproximací funkční hodnoty f(t), aniž by však pro n -> + oo k této funkční hodnotě konvergovaly, je f(t) nezřídka aproximována s podstatně menší absolutní chybou, ó = \f(t) f n (t)\, aritmetickým průměrem dvou sousedních exponenciálních aproximací. Buď/.,(' '' = 1, 2, 3,... nejlepší exponenciální aproximace funkce /(ř) v smyslu nejmenší kvadratické odchylky. Funkci (+5) /.-*(') = &.-.(') +/..(')] nazveme interkalární, tj. vloženou, n-tou aproximací funkce/(/). 257
Podle (3.11) je/ (t) = /" -,(/) + c <p (oct) a pro interkalární aproximaci tedy podle (4.5) (4-6) /--*«~/"-i(+ &?»(«') Interkalární aproximace zpravidla nejsou aproximace v smyslu nejmenší kvadratické odchylky. Pro kvadratickou odchylku interkalární aproximace (4-7) 2 _,= [f(-/.-i(] 2^ však platí (4-8) 2 = t ^ <.., kde e 2, e 2 _< podle (1.2). Tento vztah dokážeme přímým výpočtem za pomoci Parsevalovy rovnosti ÍOO / 2 Wd ř = _:. 2 / ii^ii 2. Známým způsobem vypočteme o *=i (4.1) (/-/ ) 2 dt = c 2 k k = и+l (4.11) e 2 -i=ív-/«-i) 2^-=c n 2 (pj 2 + e 2 a konečně, použijeme-li (4.6), (4-12) e 2 _, = P(/ - X,-,) 2 d! = JcJUvJI 2 + í Odtud již zřejmě plyne (4,8), Koeficienty {a ( "~ i) } interkalární aproximace f n -Jt) lze počítat obdobným způsobem jako koeficienty {a'j < n) }. Označme Aj" 1 ', m, n přirozené, m > /., čtvercovou matici m-tého řádu, která vznikne vroubením matice A n m n nulovými sloupci zprava a m n nulovými řádky zdola. A řl je tedy diagonální submaticí matice A (m) a zřejmě Aj, n) A n. Prvky matice A ( m) označíme n A^v\ stejně jako prvky matice A, přičemž doplníme A (^ pro n > n nebo v > n, srv. (4.4). Prvky A l yí matice A ( J n) a A { V2 matice A< m), r, s = 1, 2, 3,..., m nazveme stejnolehlými prvky obou matic, jestliže JU, = /i 2, v, = v 2. Stejnolehlé prvky matic z posloupnosti {A (I }, n = 1,2,3,... jsou podle (4.4) a (2.16) téhož znaménka. Posloupnost {A^}, // = 1,2,3,... stejnolehlých prvků matic Aj, m), m > n je podle předchozího monotónní a neohraničená. 258
l) Koeficienty {al" ] interkalární aproximace L_.(r) počítáme jako souřadnice maticového součinu (4.13) kde (4.14) a -i- = «V A n _, = i(a n '^ + A п ). Matice A n ^ jsou čtvercové souměrné matice n-tého řádu a jejich prvky jsou celá čísla. Protože, jak výše uvedeno, je posloupnost stejnolehlých prvků matic A n, {A^}, n = 1, 2, 3,... neomezená a monotónně rostoucí pro r + s sudé respektive monotónně klesající pro r + s liché, jsou stejnolehlé prvky matice A,. v absolutní hodnotě nejvýše rovny stejnolehlým prvkům matice A n, /l "+ í:, <; /4^. První členové posloupnosti matic {A n _,}, n 1,2,..., 6 jsou v tabulce IV. Kontrolu správnosti matic A n _ provedeme týmž způsobem jako kontrolu správnosti matic A n +. Tabulka IV. Matice Aj 5 až A 5 5 pro výpočet koeficientů druhé až šesté interkalární exponenciální aproximace podle (4.13). A - ľ 1 Ч2 1 A Al - 5 ~_-12 18]' *- ' 45 132 9-132 468-36 9-36 3 r 136-72 114-56 -72 45-792 42 114-792 15-84 L-56 42-84 49 325-27 735-812 315-27 261-7812 924-378 735-7812 2499-318 1323-812 924-318 418-1764 L 315-378 1323-1764 7938 v 5,5 666-798 3276-648 5166-16632" -798 1125-49392 972-8694 2916 3276-49392 2352-48384 44982-155232 -648 972-48384 13194-98784 349272 5166-8694 44982-98784 968436-349272 -16632 2916-155232 349272-349272 128664 Příklady. Příklad 1. Funkce f(t) = e~ n \ t ^ má Laplaceův obraz F(p) = (p + 7)~ l. Přísluší jí tedy vektor F 4 = {-, ~, ~, * l }. Čtvrtá exponenciální aproximace této funkce je tedy podle vzorce (4.3) (potřebnou matici A 4 najdeme v tabulce III) e~ 7 ' «-,152c?"' + 1,636ÉT 2 ' - 4,773e~ 3 ' + 4,242ť -4 ', t ^. 259
Chybu aproximace ukazuje tato tabulka:, д =,955 e~ 7í = 1, Д - -,45,1,511,497 +,14,2,26,247 +,13,3,123,122 1-,1,4,53,61 -,8,5,19,3 -,11,6,6,15,9 Příklad 2. Ze šesté interkalární aproximace funkce lze odvodit f pro t <, /(<(ř) = 1 - sin \nt pro g t S 1, pro / ^ 1, sin ijrř «1 -,356e ' -,5618e" 2 ' + 9,9116e~ 3í - 34,6322e^4ř + + 37,595e~ 5 ' - 13,1821e" 6ř, ^ ř = 1. Chybu aproximace ukazuje tabulka ( t. 9 ): _ / 5 5 =,9 sin í =, A =,9 18,31,39,8 36,597,588 +,1 54,815,89 +,6 72,937,951 -,15 9,99 1,,1 Příklad 3. Střední korelační funkce telegrafního signálu při přenosu Morseova kódu je podle Charkěviče [1] v podstatě popsána funkcí /(-)-,. T < -1, 1 + T, -1 < T <, 1 т, < т < 1,, T Z 1, Příslušná šestá interkalární aproximace je (srv. obr. 2). v! / 5I5 (T) -,3837e _ T - 5,4771e- 2 Tl + 17,295e~ 3 l T l - 4,828e" - 17,754e- 5 T + ll,6683e" 6 t, kde a = 1 a zřejmě t \x\ S:. Chyba této aproximace je T =, / 5i5 = 1,33 /= 1, A = +,33,2,87 1,8 +,7,4,68,6 +,8,6,374,4 -,26,8,186,2,14 1,,69, +,69 1,2,9, +,9 1,4 -,14,,14 26
Ortogonální rozvoje téže funkce jsou (opět pro a = 1) f(t) ~,7358<p. +,463<p 2 -,149<p 3 -,1535<p 4 + +,111 l<p 5 +,55</? 6 +... f(t) ~,523t/c, +,2315^2 -,68<A 3 -,543i> 4 + +,353»A 5 +,146»/y 6 +... Příklad 4. Ortogonální rozvoje a exponenciální aproximace funkce /(/) - {, / <, 1, ^ / <,5, 2-2/,,5 s' / < J,, 1 ^ / Obr. 2. Aproximace / 5 5 (T) korelační funkce (příklad 3). Obr. 3. Exponenciální aproximace/ 6 (/), A = 2 (příklad. 4). pro různá a jsou f(t) = 1,454c/). +,4232c/> 2 -,53Uq> 3 -,2374<p 4 + +,3666<p 5 +..., a = 1 ; f 6 (t) =,6461e" f - 8,4871e" 2f + 16,6532e~ 3t + 44,8844e" 4f - - 19,6452e- 5f + 5T139e- 6f, a = 1 ; f 6 (t) = -,7255e"* ť + 12,974e _f - 64,441 e~" f + 12,8694e~ 2f - - 84,1743e- 5í/2 + 16,3549e" 3f, a = \ ; f 6 (t) = -l,988e" 2f + 27,8647e" 4f - 38,8723e" 6f - 42,7413cf" 8f + + lll,564e-,f - 54,9139<r 12f, a = 2. Aproximace f 6 (t) pro a = 2 je zakreslena na obr. 3. 5. ZÁVĚR Výpočet koeficientů b kfl ortogonálních funkci cp k (at) v 2. odstavci této práce byl proveden způsobem, který naznačuje N. K. Krug [I], Laning a Battin odvozují funkce q> k (at) Schmidtovým ortogonalisačním procesem, tyto funkce pro k = 1, 2, 3, 261
4, 5 sice tabelují, avšak k obecným zákonitostem nedospívají. Matice B 1 a některé vlastnosti jejích prvků, tj. rovnice (2.2) až (2.25), v citované literatuře uvedeny nejsou. Výchozí vztahy a rozvoje z odstavce 3 a 4 uvádí N. K. Krug [!]; maticový počet však, pokud je nám známo, pro další zjednodušení výpočtu koeficientů exponenciálních aproximací v literatuře dosud použit nebyl. Koeficienty a[ n) exponenciální aproximace (4.1) f n (t) = afe- at + afe' 2at +... + fl <'VM " funkce f(t) v intervalu <, + co) se čtvercem integrovatelné vypočteme pro dané a > a n podle metody uvedené v tomto článku takto: 1. Najdeme Laplaceův obraz F(p) = J {f(t)} aproximované funkce. 2. Vypočteme funkční hodnoty Laplaceova obrazu F(p) pro p = a, 2a, 3a,..., na. Jc-li aproximovaná funkce zadána graficky nebo tabelárně, vypočteme některou z grafických nebo numerických metod integrál F(n<x) = f(t) e~' m d/ pro n = 1, 2,..., n. Jo 3. Násobíme sloupcovým vektorem F n = (E(a), E(2a),..., F(na)} zprava matici A n, kterou pro n = 1, 2,..., 6 najdeme v tabulce III. Podle vzorce (4.3) a = aa F jsou souřadnice sloupcového vektoru a n = {a^, a ( 2n),..., a n) n } hledané koeficienty exponenciální aproximace (4.1). V tomto článku se nezabýváme otázkou optimální volby parametru a, o němž Laning a Battin ([2], dodatek D) říkají: Volíme vhodnou hodnotu a tak, aby funkce e~ ař se blížila k nule přibližně stejně rychle jako/(t)". Tato práce vznikla při studiu syntézy Krugových tvarovacích Čtyřpolů [1] na Elektrotechnické fakultě ČVUT v Praze v semináři o lineárních dynamických soustavách prof. PÍRKA, jemuž je autor zavázán díkem za podnět a účinnou podporu při řešení položené otázky. Literatura []] H. K. Kpye: PacneT HeTbipexnojHOCHMKOB no 3a,n,aHHbiM HanpaweHHHM (HMiiyjibcaM) Bxo.ua H Bbixofla, Tpyjtbi M3M, Bbin, XIV, F3M MocKsa-JTeHMurpaji 1953, CTp. 7 18. [2] J. H. Laning, R. H. Battin: Random processes in automatic control, McGraw-Hill 1956, ruský překlad IIL Moskva 1958. [3] Kypaitm P., FuAbuepm JJ.\ MeTOZlbi MaTeMaTHHecKoň (J)H3MKM, TMTTJ1 MocicBa-JleHHHrpaxi, 1951, překlad z němčiny. [4] V. Jarník: integrální počet II, ČSAV Praha 1955. [5] JI. H. KapMa3uua: TaĎJiHUbi nojihhomob.hkogh, MAH CCCP, MocKBa 1954. [6] S, Kaczmarz, H. Steinhau.,: Theorie der orthogonalreihen, Warzsawa-Lwów 1935, ruský překlad GIFML Moskva 1958. 262
[71 М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат: Методы теории функций комплексного переменного. ГИФМЛ, Москва 1958, [81 И. П. Натансон: Конструктивная теория функций, ГИТТЛ Москва-Ленинград 1949. [9] С. 5геао: Ог1по опа1 Ро1упоппа1к, Ке\у Уогк 1939. [11 А. А. Харкевич: Спектры и анализ, ГИТТЛ Москва 1957. [11] К. С. Сооке: IпИп 1Те Магпсез апс! 8едиепсе 8расез, МсМШап, ^оп(^оп 195, Резюме АППРОКСИМАЦИЯ ПОКАЗАТЕЛЬНЫМИ ФУНКЦИЯМИ ОТАКАР ЯРОХ (1акаг Лагосп) В статье описывается новый метод вычисления коэффициентов показательной аппроксимации функций в интервале <, + со). Метод характеризуется тем, что исходными являются значения изображения аппроксимируемой функции по Лапласу, и значения коэффициентов аппроксимации получаются путем умножения матрицы на столбцовой вектор. Некоторые методы синтеза линейных электрических цепей основаны на этой аппроксимации, например, Лэнинг-Бэттин [2] и Н. К. Круг [1]. Основные свойства показательных полиномов (р к (а() подытоживаются в части 2. Формулы для вычисления коэффициентов соответствующего ортогонального ряда выведены в части 3. Метод вычисления коэффициентов показательной аппроксимации (см. уравнение 1.1) излагается в части 4. Для вычисления коэффициентов /7-ой аппроксимации требуется вычислить сначала значения изображения по Лапласу аппроксимируемой функции в // равноотстоящих точках положительной полуоси действительных чисел. Эти значения являются координатами столбцевого вектора Р. Коэффициенты показательной аппроксимации вычисляются по формуле (4.3). Матрицы, нужные для вычисления этих коэффициентов, находятся в таблице III. Вводится понятие интеркаларной аппроксимации, определенной как арифметическое среднее двух последующих аппроксимаций. В конце 4-ой части находятся тоже примеры применения изложенного метода аппроксимации. 263
Summary APPROXIMATION BY EXPONENTIAL FUNCTIONS OTAKAR JAROCH A new method for computing the coefficients of the leastsquares exponential approximation of a given function is described. There are two characteristical features of the method. 1. Certain values of the Laplace transform of the approximated function are the starting-point of the procedure. 2. The coefficients are computed by multiplying a matrix by a column vector. Several methods of linear networks synthesis are based on this type of approximation (see Laning-Battin [2], N. K. Krug [!]). Basic properties of the orthogonal exponential polynomials <p k (a.t) are stated in Part 2. Formulae for the computation of the coefficients of the corresponding orthogonal expansion of a given function are derived in Part. 3. The calculation of the coefficients of the exponential approximation (cf. eq. 1.1) is described in Part 4. When computing the coefficients of the rc-th approximation, it is necessary first to calculate the values of the Laplace transform of the approximated function at n equidistant points of the positive real axis. These values are the coordinates of the column vector F n. The coefficients of the exponential approximation are computed by means of eq. 4.3. The matrices necessary for this calculation are given in Table III. The concept of intercalary approximation is introduced as the arithmetical mean of two successive approximations. Part. 4 contains illustrative examples. Adresa autora: Dr. Otakar Jaroch, CVUT, Praha 2, Na bojisti 3. 264