Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic

Transkript

1

2 Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Ax = b.

3 V praxi se vyskytují velmi velké soustavy rovnic, často s tzv. řídkou maticí (v každém řádku je jen několik nenulových prvků). Metody řešení soustav lineárních rovnic Přímé po konečném počtu matematických operací dojdeme přímo k přesnému řešení. (Řešení ve skutečnosti kvůli zaokrouhlovacím chybám přesné být nemusí.) Iterační zvoĺıme počáteční aproximaci řešení a postupně ji zlepšujeme. K přesnému řešení bychom se obecně dostali až v limitě (tj. nekonečným počtem kroků).

4 Přímé metody Cramerovo pravidlo Gaussova eliminační metoda... (existují i další metody)

5 Cramerovo pravidlo Je-li matice soustavy A regulární, tj. její determinant je nenulový, pak řešení soustavy lze vypočítat jako x 1 = D 1 D, x 2 = D 2 D,..., x n = D n D kde D je determinant matice soustavy A a D k, k = 1,..., n, jsou determinanty matic, které vzniknou tak, že v A nahradíme k-tý sloupec vektorem pravých stran b. Cramerovo pravidlo je vhodné jen pro velmi malé soustavy.

6 Gaussova eliminační metoda Soustavu pomocí elementárních úprav převedeme na trojúhelníkový tvar, ze kterého se řešení snadno spočítá pomocí tzv. zpětného chodu. Původní soustava: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.. a n1 x 1 + a n2 x a nn x n = b n Upravená soustava: ã 11 x 1 + ã 12 x ã 1n x n = b 1 ã 22 x ã 2n x n = b 2 ã nn x n = b n.

7 Příklad Gaussovou eliminační metodou najděte řešení soustavy 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1

8 / 3 2 / ( 1 ) ,5 3,5 3,5 0 3,5 1,5 1, ( 0 0,5 3,5 3,5 / 0 3,5 1,5 1,5 3,5 0,5 ) ,5 3,5 3, x 3y + z = 5 0,5y + 3,5z = 3,5 26z = 26 x = 2 y = 0 z = 1

9 Nevýhody Gaussovy eliminační metody Výpočet je časově náročný, potřebných aritmetických operací je řádově n 3 /3. Při výpočtu se mohou hromadit zaokrouhlovací chyby.

10 Příklad Gaussovou eliminační metodou najděte řešení soustavy 0,0001x + y = 1 x + y = 2. Při výpočtu zaokrouhlujte na 3 platné číslice.

11 Eliminace s částečným výběrem hlavního prvku Slouží k minimalizaci zaokrouhlovacích chyb. Pro eliminaci prvků v k-tém sloupci používáme násobky toho řádku (vybíráme z k-tého až n-tého řádku), ve kterém má číslo v k-tém sloupci největší absolutní hodnotu. Toto číslo s největší absolutní hodnotou nazýváme hlavní prvek nebo též pivot.

12 Příklad Pomocí eliminace s částečným výběrem hlavního prvku najděte řešení soustavy x + 7,5y = 16 2x 2y + 2z = 4 10x 5y 8z = 8

13 1 7, / 2 / ( 1 ) , ,4 5, ,8 16, ,8 16,8 / ,4 5, ,8 16, ,7 0,7 10x 5y 8z = 8 8y + 0,8z = 16,8 0,7z = 0,7 x = 1 y = 2 z = 1

14 Iterační metody Jacobiho metoda Gauss-Seidelova metoda... (existují i další metody)

15 Jacobiho metoda Z 1. rovnice vyjádříme 1. neznámou, z 2. rovnice 2. neznámou atd. Zvoĺıme počáteční aproximaci řešení x (0) = (x (0) 1, x (0) 2,..., x n (0) ) T, dosadíme vypočteme x (1), opět dosadíme atd.: x (k+1) 1 = 1 ( ) b 1 a 12 x (k) 2 a 13 x (k) 3 a 1n x n (k) a 11 x (k+1) 2 = 1 ( ) b 2 a 21 x (k) 1 a 23 x (k) 3 a 2n x n (k) a 22. x n (k+1) = 1 ( ) b n a n1 x (k) 1 a n2 x (k) 2 a n n 1 x (k) n 1, a nn Pokračujeme, dokud se všechny složky řešení neustáĺı, tj. dokud neplatí x (k+1) i x (k) i < ε pro všechna i = 1,..., n.

16 Konvergence a divergence metody Řešení pomocí Jacobiho metody nemusíme najít vždy. Jestliže se postupné aproximace k řešení bĺıží, řekneme, že metoda konverguje. Jestliže řešení nenajdeme, řekneme, že metoda diverguje.

17 Podmínky konvergence pro Jacobiho metodu Diagonálně dominantní matice Matice A se nazývá řádkově ostře diagonálně dominantní, jestliže je v každém řádku absolutní hodnota prvku na diagonále větší než součet absolutních hodnot všech ostatních prvků v onom řádku neboli jestliže a ii > n j=1,j i a ij pro i = 1,..., n Podobně definujeme sloupcově ostře diagonálně dominantní matici: n a jj > a ij pro j = 1,..., n. i=1,i j

18 Podmínky konvergence pro Jacobiho metodu Je-li matice A ostře řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní, pak Jacobiho metoda konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x (0). Jestliže matice není diagonálně dominantní, Jacobiho metoda konvergovat může a nemusí.

19 Gauss-Seidelova metoda Počítáme podobně jako u Jacobiho metody, ale v každém kroku použijeme nejnovější hodnoty neznámých: x (k+1) 1 = 1 ( ) b 1 a 12 x (k) 2 a 13 x (k) 3 a 1n x n (k) a 11 x (k+1) 2 = 1 ( ) b 2 a 21 x (k+1) 1 a 23 x (k) 3 a 2n x n (k) a 22 x (k+1) 3 = 1 ( ) b 3 a 31 x (k+1) 1 a 32 x (k+1) 2 a 3n x n (k) a 33. x n (k+1) = 1 ( ) b n a n1 x (k+1) 1 a n2 x (k+1) 2 a n n 1 x (k+1) n 1 a nn

20 Podmínky konvergence pro Gauss-Seidelovu metodu Pozitivně definitní matice Symetrická matice A se nazývá pozitivně definitní, jestliže pro každý nenulový sloupcový vektor x = (x 1,..., x n ) T platí x T A x > 0 Jestliže libovolnou regulární matici A vynásobíme maticí k ní transponovanou, dostaneme matici, která je symetrická a pozitivně definitní.

21 Podmínky konvergence pro Gauss-Seidelovu metodu Je-li matice A ostře řádkově nebo sloupcově diagonálně dominantní, pak Gauss-Seidelova metoda konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x (0). Je-li matice A symetrická pozitivně definitní, pak Gauss-Seidelova metoda konverguje pro libovolnou počáteční aproximaci x (0). Jestliže matice nemá žádnou z uvedených vlastností, Gauss-Seidelova metoda konvergovat může a nemusí.

22 Jak zaručit konvergenci Gauss-Seidelovy metody Vynásobíme-li původní soustavu maticí k A transponovanou: Ax = b A T Ax = A T b, dostaneme soustavu s pozitivně definitní maticí, pro kterou je konvergence zaručena (může být ovšem dosti pomalá).

23 Jacobiho a Gauss-Seidelova metoda se nejlépe hodí pro velké soustavy rovnic s řídkou maticí.

24 Další používané metody Metoda LU rozkladu Choleského rozklad Metoda sdružených gradientů...