1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny A prázdná množina množina A obsahuje prvky a 0,.., a n (neuspořádaná) dvojice prvků a, b množina A = množině B množina A je různá od množiny B (množina A obsahuje alespoň 1 prvek který není v B, nebo naopak B obsahuje alespoň jeden prvek, který není v A) { a, b = { c, d (( a = c) ( b = d )) (( a = d ) ( b = c)) množiny (dvojice) se rovnají, rovnají-li se jejich prvky 1.2 atematická logika Výrok je tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho pravdivosti. Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li o formuli pravdivou. Logické operace a logické spojky: logická zapisuje čteme česky operace me negace α non α není pravda, že α α není pravdivé α neplatí disjunkce α β α vel β α nebo β konjunkce α β α et β α a β α a současně β implikace α β α implikuje β jestliže α, potom β α je postačující podmínka pro β β je nutná podmínka pro α ekvivalence α β α je ekvivalentní β α právě tehdy, jestliže β α tehdy a jen tehdy, jestliže β α je nutná a postačující podmínka pro β
Význam logických spojek: α α 0 1 1 0 α β α β α β α β α β 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1.2.1 Definice: Indukcí podle složitosti definujeme formule výrokového počtu: (i) Každý výrok je formule výrokového počtu. (ii) Jsou-li α a β formule výrokového počtu, potom α, α β, α β, α β a α β jsou rovněž formule výrokového počtu. (iii) Všechny formule výrokového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel (i) a (ii). ZNAČENÍ. Formulace výrokového počtu budeme značit malými písmeny malé řecké abecedy α, β,γ, δ. Poznámka. Všimněme si, že implikace α β je pravdivá mj.vždy, když je výrok α nepravdivý. 1.2.2 Definice: Tautologie (výrokového počtu) je každá formule výrokového počtu, která je vždy pravdivá (tj. bez ohledu na pravdivost či nepravdivost vstupujících výroků). 1.2.3 Věta (o tautologiích výrokového počtu): Nechť α, β jsou formule výrokového počtu, potom formule (i) α α (zákon vyloučeného třetího), (ii) (α β) ( β α) (pravidlo kontrapozice), (iii) (α β) ( α β) (1. de organovo pravidlo), (iv) (α β) ( α β) (2. de organovo pravidlo), (v) (α β) (α β) a (vi) (α β) ((α β) (β α)) jsou tautologie. Predikátový počet 1.2.4.Definice: Nechť je množina. Řekneme, že α ( je predikát s volnou proměnnou x na množině, jestliže platí: dosadíme-li za x v α ( libovolný prvek c množiny, potom α (c) je výrok (ať již pravdivý nebo nepravdivý). Poznámka. Někdy se místo termínu predikát s volnou proměnnou používá termín výroková forma nebo
podmínka s volnou proměnnou či unární predikát. ZNAČENÍ. Predikáty budeme značit také malými písmeny malé řecké abecedy α, β,γ,.. s vyznačením proměnné nebo proměnných. Je-li α ( predikát s volnou proměnnou na množině ; symbolem { x; x α( prvků x z, pro které je α ( pravdivé. Uvažujeme-li množinu { x; x α( s. Tyto skutečnosti lze vyjádřit kvantifikátory: Jestliže { x; x α( označíme množinu všech, zajímá nás, kdy je tato množina prázdná, neprázdná, kdy je totožná =, potom tuto skutečnost zapíšeme ( α( ) z množiny je α ( pravdivé. Symbol je obecný (nebo univerzální nebo velký) kvantifikátor. Jestliže { x; x α( θ, potom tuto skutečnost zapíšeme ( α( ) a čteme pro všechna x a čteme existuje (alespoň jedno) x z množiny takové, že je α ( pravdivé nebo pro některé x z množ. je α ( (pravdivé ). Symbol je existenční (nebo malý) kvantifikátor. 1.2.5 Definice: Indukcí podle složitosti definujeme formule predikátového počtu: (i) Každý predikát je formule predikátového počtu. (ii) Jsou-li α a β formule predikátového počtu, potom α, α β, α β, α β a α β jsou rovněž formule predikátového počtu. (iii) Je-li α formule predikátového počtu a x proměnná, potom predikátového počtu. α a α x x jsou rovněž formule (iv) Všechny formule predikátového počtu vznikají konečným počtem aplikací pravidel (i), (ii) a (iii). Poznámka. uvažujeme-li formuli φ (resp.φ) predikátového počtu takovou, že ϕ = α (resp. formuli φ = α ), kde α je formule predikátového počtu, potom řekneme, že proměnná x je ve formuli φ (resp.φ) vázaná. Vyskytuje-li se proměnná ve formuli predikátového počtu a není vázaná kvantifikátorem, potom se nazývá volná proměnná v této formuli. 1.2.6 Definice: Tautologie (predikátového počtu) je každá formule predikátového počtu, která je vždy pravdivá. 1.2.7 Věta (o tautologiích predikátového počtu): Nechť α ( je predikátová formule na množině. Potom formule (i) (α () (α (),
(ii) (iii) (α () (α () (α (), (α (), (iv) (α () jsou formule predikátového počtu. (α () Poznámka. Ve formulích predikátového počtu záleží na pořadí kvantifikátorů. Architektura matematiky axióm: prvotní zákon, který nelze dokázat věta: odvodíme je z axiomů a již odvozených zákonů užitím pravidel matematické logiky, nedílnou součástí každé věty je její důkaz definice: vymezení obsahu a rozsahu nového pojmu Poznámka. Z logického hlediska má každá věta tvar implikace nebo ekvivalence. Nechť α β je věta, potom α jsou předpoklady (nebo předpoklad) věty a β nazýváme závěr (nebo tvrzení) věty. Slovně takovou větu vyjádříme některým z následujících způsobů: Nechť α. potom β. Jestliže α, potom β. Když α, pak β. 1.3 nožinové operace 1.3.1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množina A je podmnožina (nebo část) množiny B, jestliže (B). A ZNAČENÍ. Symbolem A B (nebo A B) označíme tvrzení množina A je podmnožina množiny B. Symbol (i symbol ) zpravidla nazýváme inkluze. Poznámka. Někdy se pro inkluzi používá symbol nebo. 1.3.2 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Potom (i) sjednocení množin A a B je množina A B = {x; A B (ii) průnik množin A a B je množina A B = {x; A B (iii) rozdíl množin A a B je množina A B = {x; A x B A B A B
A B B A Poznámka. (o vlastnostech množinových operací). Nechť A, B a C jsou množiny. Potom (i) A B A B = A A B = B A B =, (ii) A B = B A a A B = B A, (iii) A B = B A A = B, (iv) A (B C) = (A B) (A C) a A (B C) = (A B) (A C), (v) A (B C) = (A B) (A C) a A (B C) = (A B) (A C), (vi) A A B, A B A, A B A a A B A B, (vii) je-li A B a B C, je A C, (viii) A a A A, (i A = B (A B) (B A) ( A A = A A = A = A = A, (xi) A = A =, (xii) A B = A = (A B). 1.3.3 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množiny A a B jsou disjunktní, jestliže A B =. 1.3.4 Definice: Uspořádanou dvojicí prvků x a y rozumíme množinu [x,y] = {{x,{x,y. Poznámka. V uspořádané dvojici prvků x a y má jeden prvek (a to preferované umístění (protože je prvkem dvou prvků uspořádané dvojice, kdežto prvek y je prvkem pouze jediného prvku této množiny). Tak víme, který prvek je v této uspořádané dvojici první a který druhý. Platí pro libovolná x, y, u a v je [x,y] = [u,v] x = u y = v. 1.3.5 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Kartézský součin množin A a B je množina A x B = {[x,y]; A y B. Poznámka. (o vlastnostech kartézského součinu). Nechť A, B a C jsou množiny. Potom (i) A B = B A (A = B A = B = ) a A = A =, (ii) je-li A B, je A C B C, (iii) je-li A B, je C A C B, (iv) (A B) C = (A C) (B C), (v) A (B C) = (A B) (A C), (vi) (A B) C = (A C) (B C) a A (B C) = (A B) (A C), (vii) (A B) C = (A C) (B C) a A (B C) = (A B) (A C). (viii) Poznámka. Operace kartézský součin není obecně komutativní.