I. Úvodní pojmy. Obsah

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "I. Úvodní pojmy. Obsah"

Transkript

1 I. Úvodní pojmy Obsah 1 Matematická logika Výrok,logickéoperátory,výrokovéformuleaformy Logickávýstavbamatematiky Základnímetodydůkazůmatematickýchvět Negacevýroků Množiny Vztahymezimnožinami Základníoperacesmnožinami Kartézskýsoučinmnožin,zobrazení Číselnémnožiny Množina R Absolutníhodnotareálnéhočísla Množina R Intervaly Okolíbodu VlastnostipodmnožinvR Vztahmezimnožinouabodem... 11

2 1 Matematická logika Vyjadřovacími prostředky matematiky, s nimiž se setkáváme v učebnicích i v dalších matematických textech, jsou především běžný spisovný jazyk, speciální jazyk(terminologie a symbolika) logiky a matematiky, grafy, diagramy, schémata a tabulky. Významné pro matematiku je používání symbolů(znaků). Uvažovaným objektům se přiřazuje kromě názvu objektu také symbol objektu, který ho zastupuje v symbolických zápisech. Symbolem objektu může být buď a) konstanta, což je symbol označující určitý(jediný) objekt z dané množiny objektů, nebo b) proměnná, což je symbol, který označuje kterýkoli objekt z dané množiny objektů. Množina konstant, které jsou zastupovány proměnnou, se nazývá obor proměnné. Prvky oboru proměnné se nazývají hodnoty proměnné. 1.1 Výrok, logické operátory, výrokové formule a formy Výrokem rozumíme každé vyjádření, o kterém má smysl tvrdit, že je pravdivé nebo nepravdivé. Pravdivému výroku přiřadíme pravdivostní hodnotu 1, nepravdivému výroku přiřadíme pravdivostní hodnotu 0. Výroky označujeme zpravidla malými písmeny. Negacevýrokupjevýrok p (také non p, p),čtemeneplatí pnebonenípravda,žeplatíp. Nejdůležitější složené výroky vzniklé spojením výroků p a q jsou: Disjunkcevýrokůpaq:píšeme p qačtemepneboq.disjunkcejepravdivá,je-lialespoň jeden z výroků pravdivý a je nepravdivá, když oba výroky jsou nepravdivé. Disjunkce tedy nemá vylučovací smysl. Konjunkcevýrokůpaq:píšeme p qačtemepiqnebopaq.konjunkcejepravdiváprávě tehdy, jsou-li oba výroky pravdivé. Implikacevýrokůpaq:píšeme p qačtemejestližep,pakqnebozpplyneqnebokdyž p,pakqnebopjepostačujícípodmínkaproqneboqjenutnápodmínkaprop.implikaceje nepravdiváprávěvpřípadě,že pjepravdivývýrokaqjenepravdivývýrok.vevšechjiných případech pravdivostních hodnot výroků p a q je implikace pravdivá. Ekvivalencevýrokůpaq:píšeme p qačtemepprávětehdy,kdyžqnebopprávěkdyžq nebopjeekvivalentnísqnebopaqjsouekvivalentní nebopjenutnápodmínkaapostačující podmínkaproqanaopak.ekvivalencejepravdiváprávěvpřípadechkdybuďobavýroky pa q jsou pravdivé nebo oba výroky p a q jsou nepravdivé. Ve zbylých případech pravdivostních hodnot výroků p a q je ekvivalence nepravdivá. Uvedené složené výroky a negaci výroku možno definovat tabulkou pravdivostních hodnot: p q p p q p q p q p q Symboly,,,, nazýváme logickými operátory. Výraz sestavený z výrokových proměnných, závorek a logických operátorů se nazývá výroková formule. Dosazením výroků za výrokové proměnné dostaneme složený výrok s pravdivostní hodnotou 0 nebo 1. Rovnice nebo nerovnice obsahují proměnné, takže už to nejsou výroky, ale tzv. výrokové formy - značíme např. p(x). Dosazením prvků jisté množiny do výrokové formy pak opět získáme výroky. 2

3 Množina Dvšechprvků x,prokterámávýrokováforma p(x)smysl(tj.jevýrokem),senazývá definičnímoboremvýrokovéformyp(x).množina P všechprvků xzd,proněžjevýrokováforma p(x) pravdivý výrok, se nazývá obor pravdivosti výrokové formy p(x). Vyjmenováním(kvantifikací) těch x, pro které je výroková forma p(x) pravdivý výrok, získáváme tzv. kvantifikované výroky. Pro formulace a zápisy matematických vět jsou nejdůležitějšími kvantifikátory obecný kvantifikátor a existenční kvantifikátor: Název kvantifikátoru Označení Jazykový význam obecný kvantifikátor pro každé; pro všechna existenční kvantifikátor existuje(aspoň jedno); pro aspoň jedno kvantifikátor jednoznačné existence! existuje právě jedno; pro právě jedno 1.2 Logická výstavba matematiky V současnosti jsou všechny matematické disciplíny založeny na tzv. axiomech(základních větách), což jsou tvrzení, která se bez důkazu prohlásí za pravdivá. Ostatní tvrzení se pak odvozují z těchto axiomů. Každá soustava axiomů musí být bezesporná(tj. nesmí se stát, že by z axiomů plynula jakvěta V,takijejínegace V ),úplná(tj.abybylovrámcidanéteorievždymožnorozhodnout, zda nějaké tvrzení platí nebo neplatí) a nezávislá(tj. aby žádný z axiomů nebylo možno odvodit z ostatních axiomů). Další matematické pojmy se zavádějí pomocí definic. Definice stanoví název zaváděného pojmu a vymezí podstatné vlastnosti pojmu pomocí dříve definovaných nebo primitivních pojmů. Výsledky formuluje matematická teorie ve větách. Matematická věta(poučka, teorém) je pravdivý matematický výrok, který se dá odvodit pomocí logiky na základě axiomů, definic a dříve dokázaných vět. Věty, které obsahují návod k provedení výpočtu nebo konstrukce, se často nazývají pravidla. Pro pomocné věty se v matematické literatuře používá název lemma. Většina matematických vět má tvar obecnéhovýroku x D:V(x),tzv.obecnévěty existenčníhovýroku x D: V(x),tzv.existenčnívěty kde V(x)jevýrokováforma. Obecná věta ve tvaru implikace: x D: A(x) B(x) Výroková forma A(x) se nazývá předpoklad věty, výroková forma B(x) se nazývá závěr nebo tvrzení věty. Platnost předpokladu A(x) je tzv. postačující podmínka pro platnost tvrzení B(x); platnost závěru B(x) se nazývá nutnou podmínkou pro platnost předpokladu A(x). Obecná věta ve tvaru ekvivalence: x D: A(x) B(x) Výrokové formy A(x) a B(x) se nazývají navzájem ekvivalentní. Platnost A(x) je zároveň nutnou i postačující podmínkou pro platnost B(x) a naopak. Matematické věty se musí dokázovat, tj. ověřuje se, že dané výroky neboli matematické věty platí!! Základní metody důkazů matematických vět Přímé důkazy Přímý důkaz matematického výroku(tj. věty, tvrzení) spočívá v tom, že z axiomů a již dříve dokázaných vět získáme tvrzení po konečném počtu korektních úsudků. Přímé důkazy se v některých speciálních případech nazývají konstrukce(konstruktivní důkazy). 3

4 Nepřímé důkazy implikací A B Nepřímý důkaz vychází z předpokladu, že tvrzení B je nepravdivé, a odvodí odtud, že je nesprávnýipředpoklad A,onemžalevíme,žejepravdivý.Jetedyprovedenpřímýdůkaz implikace B A(přesněji B ( A A)).Nepřímýdůkazkončípraktickyodkazemna spor, když z popřeného tvrzení získáme evidentně nepravdivý výrok. Důkazy, které vedou ke sporu, se často nazývají důkazy sporem. Protipříklady Obecný i existenční výroky lze vyvrátit nebo potvdit(podle typu tvrzení) již jedním jediným konkrétním příkladem, tzv. protipříkladem. Matematická(úplná) indukce Užívá se k dokazování výroků obsahujících spojení pro všechna přirozená čísla. Tyto výroky je potřebné ověřit krok za krokem, od jednoho přirozeného čísla k následujícímu. Pravdivost výrokusedědíodčíslakčísluazdílčípokračovatelnostilzeusoudit,ževýrokjeplatnýv celku. Věta 1(Oprávnění matematické indukce) Nechť výroková funkce A(n) je definována pro všechna přirozená čísla n a nechť a) A(1)jepravdivývýroka b)prokaždé n Nzplatnostivýroku A(n)plynetaképlatnostvýroku A(n+1). Potom platí výrok A(n) pro všechna přirozená čísla. Praktický postup: dokážeme výrok A(1), předpokládáme, že platí výrok A(n) a dokážeme(za využitíplatnosti A(1)aA(n)),žeplatíivýrok A(n+1) Negace výroků Při negování výrokových forem se mění kvantifikátory z existenčního na obecný a z obecného na existenční a všechny obsažené výroky se nahradí svými negacemi. Příklad: Zapište negace následujících výroků a rozhodněte, který z nich je pravdivý a který nepravdivý. a) a,b R:a 2 + b 2 >0jenepravdivýajehonegaceje a,b R:a 2 + b 2 0ajepravdivá b) x R:cos x= 1 sin 2 xjepravdivýajehonegaceje x R:cos x= 1 sin 2 xaje nepravdivá Příklad:Zapištenegacivýroku x R n N:(n x n+1 > x) Negaceje x R n N:(n > x n+1 x) 2 Množiny Množinou rozumíme soubor(souhrn, skupinu) jakýchkoli objektů, jenž je chápán jako jeden celek. Množina je určená, jestliže o libovolném objektu můžeme rozhodnout, zda do této množiny patří nebo nepatří. Každý z objektů, který patří do množiny, se nazývá prvek množiny. K označování množin používáme zpravidla velká písmena latinské abecedy A, B, M apod. a k označováníjejichprvkůmalápísmena a, b, xapod.jestližeprvek apatřídomnožiny(jeprvkem množiny) M,píšeme a M.Nepatří-liprvek bdomnožiny(nebolineníprvkemmnožiny) M,píšeme b M. Jestliže množina obsahuje alespoň jeden prvek nazývá se neprázdná množina. Prázdnou množinou rozumíme množinu, která neobsahuje žádný prvek a značíme ji. Množinu nejčastěji zadáváme dvěma způsoby: výčtem prvků, tj. vyjmenováním všech prvků(lze jen u konečných množin). Zápis vypadá např. takto: A={a 1,a 2,...,a n },kde njekonečnéčíslo. 4

5 charakteristickou vlastností, tj. takovou vlastností, kterou mají právě jen prvky zadávané množiny.zapisujeme B= {x;v(x)}ačteme Bjemnožinavšechprvků x,prokteráplatí V(x). 2.1 Vztahy mezi množinami Definice2.1(InkluzemnožinAaB) Říkáme, že Aje podmnožinou B,jestliže každýprvek množiny Ajezároveňprvkemmnožiny B.Symbolickýzapisujeme A BačtemeAjepodmnožinou množiny B. Definice2.2(RovnostmnožinAaB) Říkáme,žemnožiny AaBjsousirovny,jestliže A B a B A, tj. každý prvek jedné množiny je zároveň prvkem druhé množiny. Symbolicky zápisujeme A=BačtememnožinyAaBjsousirovny. 2.2 Základní operace s množinami Definice2.3(SjednocenímnožinAaB) Sjednocenímmnožin AaBnazvememnožinuvšech prvků,kterépatříaspoňdojednézmnožin AaB.Symbolickypíšeme A B. Definice2.4(PrůnikmnožinAaB) Průnikemmnožin AaBnazvememnožinuvšechprvků, kterépatřídomnožiny Aazároveňidomnožiny B.Symbolickypíšeme A B. Definice2.5(RozdílmnožinAaB) Rozdílemmnožin AaB(vtomtopořadí)nazvememnožinu všech prvků, které patří do množiny A a zároveň nepatří do množiny B. Symbolicky píšeme A \ Bnebo A B. 2.3 Kartézský součin množin, zobrazení Nechť A a B jsou neprázdné množiny. Definice 2.6 Kartézským součinem množin A a B nazveme množinu všech uspořádaných dvojic (a,b),kde a Aab B.Kartézskýsoučinznačíme A Basymbolickypíšeme A B= {(a,b);a A b B}. Pokud A=B,pakkartézskýsoučin A Aznačímejako A 2 anazývámehodruhoukartézskou mocninou množiny A. Jestliže vybereme z kartézského součinu jen některé dvojice(a, b), jejichž složky jsou vázány nějakým vztahem(např. a b, a je násobkem b), dostaneme tzv. binární relaci. Definice 2.7 Binární relací R mezi množinami A a B nazveme neprázdnou podmnožinu R kartézskéhosoučinu A B.Zapisujeme(a,b) Rnebo arb. Příklad:Uvažujmemnožiny A={1,3}aB= {2,3,4}. Potom A B= {(1,2),(1,3),(1,4),(3,2),(3,3),(3,4)}a R={(a,b) A B;a b}={(3,2),(3,3)}. Definice2.8 BinárnírelaciRmezimnožinamiAaBnazvemezobrazenímmnožinyAdomnožiny B,jestližekekaždémuprvku a Aexistujeprávějedenprvek b Btakový,že(a,b) R. BinárnírelacíRmezimnožinamiAaBnazvemezobrazenímzmnožinyAdomnožinyB,jestližeke každémuprvku a Aexistujeaspoňjedenprvek b Btakový,že(a,b) R. 5

6 2.4 Číselné množiny Nejčastěji se budeme setkávat s množinami, jejichž prvky jsou právě čísla. Mezi nejdůležitější číselné množiny patří: N... množina všech přirozených čísel(tj. kladných celých čísel) Z... množinavšechcelýchčísel Q... množinavšechracionálníchčísel R... množinavšechreálnýchčísel C... množinavšechkomplexníchčísel Jezřejmé,žeplatímnožinováinkluze N Z Q R C. Jestližekoznačenímnožinypřipojímehorníindex+(např. Z + ),znamenáto,žezdanémnožiny uvažujemepouzekladnáčísla;připojíme-lihorníindex (např. Q ),uvažujemezdanémnožiny pouzečíslazáporná.dolníindex0(např. R + 0 )znamená,žedodanémnožinyzahrnujemenavíci číslo Množina R Na množině všech reálných čísel jsou definovány operace sčítání, odčítání, násobení, dělení(ne nulou!), přičemž tyto operace mají známé vlastnosti(např. komutativní nebo asociativní zákon pro sčítání a násobení atd.) Množina R je také lineárně uspořádána pomocí binární relace <. Geometricky lze R znázornit jako přímku. Každé reálné číslo odpovídá právě jednomu bodu na reálnépřímce R 1,kteroutakénazývámereálnouosounebojednorozměrnýmreálnýmprostorem,a naopak každému bodu reálné přímky odpovídá právě jedno reálné číslo. Toto vzájemně jednoznačné přiřazení se obvykle realizuje zavedením tzv. kartézské soustavy souřadnic na přímce. Kartézská soustava souřadnic je na přímce určena bodem O(počátek souřadnic), její orientací(tj. určením kladné a záporné poloosy souřadnic) a jednotkou délky. Vzdálenost(Eukleidovskávzdálenost) d(a,b)dvoubodů A=(a)aB=(b)nareálnépřímceje dánavztahem d(a,b)= (b a) 2 = b a Absolutní hodnota reálného čísla Důležitým pojmem je absolutní hodnota reálného čísla a; značí se a a je definována takto: { a je-li a 0, a = a je-li a <0, tj. absolutní hodnota nezáporného čísla je číslo samo, absolutní hodnota záporného čísla je číslo k němu opačné. Na základě této definice lze odvodit věty vyjadřující významné vlastnosti absolutních hodnot reálných čísel: prokaždéčíslo a Rplatí: a 0;přitom a =0právětehdy,když a=0 a = a a =r >0právětehdy,když a=rnebo a= r(stručněpíšeme a=±r) a < r,kde r >0,právětehdy,když r < a < r a > r >0právěkdyž a < rnebo a > r 6

7 pro každá dvě reálná čísla a, b platí: a ± b a + b (trojúhelníkovánerovnost) a b = b a, a b = a b apro b 0 a b = a b Na číselné ose představuje absolutní hodnota a reálného čísla a vzdálenost obrazu tohoto čísla a od počátku O Množina R Protože množina R nemá nejmenší ani největší prvek, je vhodné ji někdy doplnit dvěma novými prvky, které se nazývají nevlastní čísla nebo nevlastní body. Jsou to čísla plus nekonečno + (nebo jen )aminusnekonečno. Definice2.9 Množina Rdoplněnáodvanevlastníbody a+ senazývározšířenámnožina reálnýchčíselaznačíse R,tj. R = R {,+ }. Jezřejmé,žeplatí R R.Číslazmnožiny R,kteránejsounevlastní(tj..všecnačíslakromě a ),seněkdynazývajívlastníčísla. Abychommohlipočítatinamnožině R,musímenatutumnožinurozšířitvýšeuvedenéoperace a uspořádání definované na množině R: Uspořádání <+ < c <+ prokaždé c R Absolutní hodnota + = =+ Sčítání a odčítání + +(+ )=+ ( )=+ +( )= (+ )= prokaždé c Rplatí c+(+ )=(+ )+c=+ c+( )=( )+c= c (+ )= c ( )=+ nenídefinováno:+ +( ),+ (+ ), +(+ ), ( ) Násobení (+ ) (+ )=( ) ( )=+ (+ ) ( )=( ) (+ )= prokaždé c R + platí c (+ )=(+ ) c=(+ ) c ( )=( ) c=( ) prokaždé c R platí c (+ )=(+ ) c=( ) c ( )=( ) c=(+ ) nenídefinováno:0 (± ),(± ) 0 Dělení prokaždé c Rplatí c + = c =0 Prokaždé c R + platí + c =+ a c = 7

8 Prokaždé c R platí + c = a c =+ nenídefinováno: ± 0,+ ±, ± ;0 0 Umocňováníčíslem m N (+ ) m =+ prokaždé m N ( ) m =+ prokaždé m Nsudé ( ) m = prokaždé m Nliché nenídefinováno:(± ) 0 ;0 0 m-táodmocnina,kde m N m + =+ prokaždé m N m = prokaždé m Nliché nenídefinováno: m pro m Nliché Intervaly V matematice se často využívají speciální podmnožiny množiny R, které se nazývají intervaly. Definice2.10 Nechťjsoudánybody a,b R,kde a b.potomdefinujemenásledujícíintervaly: Název intervalu Definice Grafické znázornění Omezené intervaly s krajními body a a b uzavřenýinterval < a,b >= {x R;a x b} otevřenýinterval (a,b)={x R;a < x < b} polouzavřený(polootevřený) < a,b)={x R;a x < b} interval (a,b >= {x R;a < x b} Neomezené intervaly skrajnímbodem a < a, )={x R;a x < } anevlastnímbodem (a, )={x R;a < x < } skrajnímbodem a (,a >= {x R; < x a} anevlastnímbodem (,a)={x R; < x < a} oboustranněneomezený (, )={x R; < x < } interval (, ) = R Jestliže a=b,pak < a,a >= {a},tj.jetojednobodovámnožina(tzv.degenerovanýinterval), ostatníintervaly < a,a),(a,a >i(a,a)jsouprázdné Okolí bodu Ve formulacích mnoha výsledků se pro zjednodušení a zpřehlednění používá tzv. okolí bodu, což je speciální typ otevřeného intervalu. Definice2.11 Nechťjedáno c Raδ R +.Potom δ-okolímboducnazvemeotevřenýinterval (c δ,c+δ).číslo δsenazývápoloměremtohotookolí. δ-okolíbodu cznačíme U(c,δ)nebo U δ (c). δ-okolí bodu c lze vyjádřit více(ekvivalentními) způsoby: U δ (c)={x R;x (c δ,c+δ)}={x R;c δ < x < c+δ}={x R; x c < δ} Definice2.12 Nechť jedáno c Raδ R +.Potom redukovaným δ-okolím bodu cnazveme množinu U δ (c) \ {c}.číslo δsenazývápoloměremtohotookolí.redukované δ-okolíbodu cznačíme U (c,δ)nebo U δ (c). 8

9 Redukované δ-okolí bodu c lze opět vyjádřit více(ekvivalentními) způsoby: Uδ (c) = {x R;x (c δ,c) (c,c+δ)}={x R;c δ < x < c c < x < c+δ}= = {x R;0 < x c < δ} Grafické znázornění δ-okolí bodu c: U δ (c) U δ (c) Definice2.13 Nechťjedáno c Raδ R +.Potompravým δ-okolímboducnazvemepolootevřený interval < c,c+δ)alevým δ-okolímboducpolootevřenýinterval(c δ,c >.Tatotzv.jednostranná δ-okolíboducznačíme U + (c,δ)au (c,δ).analogickydefinujemejednostrannáredukovanáokolí,a topravéredukované δ-okolíboducjako U+(c,δ)=(c,c+δ)alevéredukované δ-okolíboducjako U (c,δ)=(c δ,c). Grafické znázornění jednostranných δ-okolí bodu c: U + (c,δ) U (c,δ) U + (c,δ) U (c,δ) Definice2.14 Nechťjedáno s R.s-okolímnevlastníhobodu nazvemeotevřenýinterval(s, ) a označíme ho U(, s). s-okolím nevlastního bodu nazveme otevřený interval(, s) a označíme ho U(,s). Grafické znázornění s-okolí nevlastních bodů a : U(, s) U(, s) Poznámka: V názvu i označení δ-okolí, resp. s-okolí, lze čísla δ, resp. s, vypouštět, není-li jejich velikost podstatná. Poznámka: Existují i jiné podmnožiny množiny R, které mají složitější strukturu Vlastnosti podmnožin v R V celém odstavci budeme předpokládat, že M je neprázdná podmnožina množiny R. Definice 2.15 Množina M se nazývá omezenáshora,jestližeexistuje k Rtakové,žeprovšechna x Mplatí x k.číslo kse nazývá horní mez(závora) množiny M. omezenázdola,jestližeexistuje l Rtakové,žeprovšechna x M platí x l.číslo lse nazývá dolní mez(závora) množiny M. omezená, jestliže je omezená shora i zdola zároveň. Věta2 Množina M jeomezenáprávětehdy,kdyžexistuječíslo K R + 0 takové,žeprovšechna x Mplatí x K. 9

10 Definice2.16 Nechťexistujetakové m M,žeprovšechna x Mplatí x m.paksetotočíslo mnazývámaximum(nebonejvětšíprvek)množinymaznačísemaxm. Nechťexistujetakové n M,žeprovšechna x M platí x m.paksetotočíslo nnazývá minimum(nebonejmenšíprvek)množinymaznačíseminm. Poznámka: Je-li množina M shora(zdola) omezená, pak její horní(dolní) mez může ale nemusí do M patřit. Pokud však existuje maximum(minimum) množiny M, vždy do této množiny patří. Věta 3 Pro konečnou množinu lze vždy nalézt její maximum i minimum. Definice2.17 Číslo p RsenazývásupremummnožinyM(značísesupM),jestliže (s1) provšechna x Mplatí x pa (s2) kekaždému ε R + existuje x Mtakové,že x > p ε. 10

11 Poznámky: Podle vlastnosti(s1) je p horní mez množiny M a podle(s2) neexistuje žádná další horní mez menšínež p.supremumjetedynejmenšíhornímezímnožiny M. Supremum nemusí vždy existovat. JestližeexistujesupM ajestliženavícsupm M,pakexistujeimaxM aplatímaxm = supm. JestližeexistujesupM,alesupM M,pakmax Mneexistuje. Definice2.18 Číslo q RsenazýváinfimummnožinyM(značíseinf M),jestliže (i1) provšechna x Mplatí x qa (i2) kekaždému ε R + existujeˆx Mtakové,žeˆx < q+ ε. Pro infimum platí obdobná poznámka jako ta výše uvedená pro supremum. Věta 4(existenci suprema a infima množiny) Jestliže je množina M omezená shora, pak existujejejísupremumvr.jestližejemnožina Momezenázdola,pakexistujejejíinfimumvR. Věta5 Jestližeexistujemax M,pakexistujeisupMaplatísupM=maxM.Analogicky,jestliže existujemin M,pakexistujetakéinf Maplatíinf M=min M Vztah mezi množinou a bodem Definice 2.19 Nechť M je neprázdná podmnožina v R. Bod a MsenazývávnitřnímbodemM,jestližeexistujejehookolí U(a)celéobsaženévM, tj. U(a) M.Množinavšechvnitřníchbodůmnožiny MsenazývávnitřekmnožinyMaznačí se M neboint M. Bod a RsenazýváhraničnímbodemM,jestliževkaždémjehookolí U(a)ležíaspoňjeden bodmnožiny Maaspoňjedenbodmnožiny R \ M.Množinavšechhraničníchbodůmnožiny MsenazýváhranicemnožinyMaznačíse h(m), hmnebo δm. Uzávěrem množiny M nazveme sjednocení hranice množiny M a jejího vnitřku a označíme ho jako M.Tj. M= M h(m). Bod a RsenazývávnějšímbodemM,jestliženeníanivnitřnímanihraničnímbodemmnožiny M.Množinavšechvnějšíchbodůmn. MsenazývávnějšekmnožinyM,nemáspeciálníoznačení ajetvořenmnožinou R \ M. Bod a RsenazýváhromadnýmbodemM,jestliževkaždémjehookolí U(a)ležínekonečně mnoho bodů množiny M. Množina všech hromadných bodů množiny M se nazývá derivace množinymaznačíse M. Bod a RsenazýváhromadnýmbodemMzprava,jestliževkaždémjehopravémokolí U + (a) leží nekonečně mnoho bodů množiny M. Bod a RsenazýváhromadnýmbodemMzleva,jestliževkaždémjeholevémokolí U (a)leží nekonečně mnoho bodů množiny M. Izolovaným bodem množiny M nazveme každý bod množiny M, který není jejím hromadným bodem. 11

12 Definice 2.20 Nechť M je neprázdná podmnožina v R. Jestliže M= M,paksemnožina Mnazýváotevřená. Jestliže M= M,paksemnožina Mnazýváuzavřená. Množina M se nazývá izolovaná(nebo diskrétní), jestliže všechny její prvky jsou izolovanými body. Poznámky: Přímo z výše uvedených definic plyne Vnitřníaizolovanébodymnožiny Mvždydo Mpatří.Hraničníahromadnébodydo Mpatřit mohou, ale nemusí. Množina M jeotevřenáprávětehdy,kdyžneprotínásvojihranici,tj.když M h(m)=. VnitřnímibodyjsouprávětybodyzM,kterénejsouhraniční. Množina Mjeuzavřenáprávětehdy,kdyžobsahujesvojihranici,tj.když h(m) M. Hromadný bod množimy M je zároveň i jejím hraničním bodem; ne každý hraniční bod množiny Mvšakmusíbýtijejímhromadnýmbodem. Příklad:Uvažujmemnožinu A=<0,1 > (0,1) {(2,0)}(vizobrázek). vnitřníbodyjsouvšechnyzmnožiny(0,1) (0,1) hranice je tvořena stranami čtverce a bodem(2, 0) uzávěr=<0,1 > 2 (2,0) vnějšíbodyjsouvšechnybodyzrkromětěchzmnožiny <0,1 > 2 (2,0) hromadnébodyjsouvšechnybodyz<0,1 > 2 (2,0)jehraničníbod,aleneníhromadnýbod (2,0)jeizolovanýbod množina A není otevřená, uzavřená ani diskrétní 12

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:

Matematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška: Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní

Více

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny

1 Základní pojmy. 1.1 Množiny 1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α 1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny

Více

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace

Množiny, základní číselné množiny, množinové operace 2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás

Více

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.

Poznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení. 2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.

Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. 1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

Aplikovaná matematika I, NMAF071

Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační

Více

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že

p 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice

Více

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.

Pro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní

Více

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat

Více

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík

B i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.

Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky. Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při

Více

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel

Zavedení a vlastnosti reálných čísel Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu

Více

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory

Základní pojmy teorie množin Vektorové prostory Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy

Více

Matematická analýza pro informatiky I.

Matematická analýza pro informatiky I. Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY . MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou

Více

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá..

VÝROKOVÁ LOGIKA. Výrok srozumitelná oznamovací věta (výraz, sdělení), která může být buď jen pravdivá nebo jen nepravdivá.. VÝROKOVÁ LOGIKA Teorie: Logika je vědní obor zabývající se studiem různých forem vyjadřování a pravidel správného posuzování. (Matematická logika je součástí tohoto vědního oboru a ve velké míře užívá

Více

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.

Patří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}. 2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme

Více

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5

NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010 Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se

2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků

Více

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25

Matematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.

Více

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 26.9.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická

Více

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,

Více

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony.

Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Booleovská algebra. Booleovské binární a unární funkce. Základní zákony. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz Katedra aplikované geoinformatiky a kartografie, Přírodovědecká fakulta UK. Tomáš Bayer bayertom@natur.cuni.cz

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: Matematická funkce Kartézský součin Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí: [x, y] = [u, v] x = u y = v Pokud K, L jsou libovolné množiny, pak množinu

Více

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí

Více

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce

Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků

Více

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových

Více

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

1. Matematická logika

1. Matematická logika MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika

Více

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Matematická logika. Miroslav Kolařík Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané

Více

1 Úvod do matematické logiky

1 Úvod do matematické logiky 1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

M - Výroková logika VARIACE

M - Výroková logika VARIACE M - Výroková logika Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a další šíření povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu

Více

Základy logiky a teorie množin

Základy logiky a teorie množin Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu

Více

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč )

λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) MATA P1: Výroky, množiny a operace s nimi Matematická logika (z řeckého slova λογος - LOGOS slovo, smysluplná řeč ) Výrok primitivní pojem matematické logiky. Tvrzení, pro které má smysl otázka o jeho

Více

Množiny, relace, zobrazení

Množiny, relace, zobrazení Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7 1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Predikátová logika. prvního řádu

Predikátová logika. prvního řádu Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)

Více

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL

Více

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat,

Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, 1 Matematická logika 1.1 Výroky, operace s výroky Po prostudování této kapitoly byste měli porozumět základním definicím uvedených v této kapitole a měli je umět bezchybně interpretovat, měli být schopni

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS

Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné

Více

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy

Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,

Více

Logika, výroky, množiny

Logika, výroky, množiny Logika, výroky, množiny Martina Šimůnková 23. srpna 2017 Učební text k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Jazyk matematiky Budeme používat dva jazyky: jazyk matematiky a běžně používaný jazyk.

Více

PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL

PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL PŘEDNÁŠKA 1 MNOŽINY ČÍSEL 1.1 Základní poznatky o množinách 2 Množinou budeme rozumět souhrn libovolných objektů. Množinu považujeme za určenou, je-li možno o každém objektu jednoznačně rozhodnout, zda

Více

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:

goniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina: KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová

Více

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF

FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF FUNKCE POJEM, VLASTNOSTI, GRAF Zavedení pojmu funkce funkce Funkce f na množině D R je předpis, který každému číslu x z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo y z množiny R. Množina D se nazývá definiční

Více

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává. 1 Základní pojmy matematické logiky Výrokový počet... syntaktické hledisko Predikátový počet... sémantické hledisko 1.1 VÝROKOVÝ POČET výrok-každésdělení,uněhožmásmyslseptát,zdaječinenípravdivé, aproněžprávějednaztěchtodvoumožnostínastává.

Více

Matematika pro informatiky KMA/MATA

Matematika pro informatiky KMA/MATA Matematika pro informatiky KMA/MATA Informace k předmětu Mgr. Přemysl Rosa rosapr00@pf.jcu.cz, J349 Konzultační hodiny v ZS: úterý 10-11, čtvrtek 15-16 nebo individuálně po předchozí domluvě aktivní účast

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů

Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Matematické důkazy Struktura matematiky a typy důkazů Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Motto: Matematika je tvořena z 50 procent formulemi, z 50 procent důkazy a z 50 procent představivostí.

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

Formální systém výrokové logiky

Formální systém výrokové logiky Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)

Více

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce

Více

1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),

1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ), Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé

Více

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální

Více

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Logické programy Deklarativní interpretace

Logické programy Deklarativní interpretace Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou

Více

Matematika I. (Obor: Informatika a logistika) Technická univerzita v Liberci Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky

Matematika I. (Obor: Informatika a logistika) Technická univerzita v Liberci Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Pedagogická fakulta Katedra matematiky a didaktiky matematiky Matematika I (Obor: Informatika a logistika) Václav Finěk Strana 1 Zpět Vpřed c 008 Vaclav.Finek@tul.cz 0.11.008

Více