Téma: Datmodeslání: 7. sére Překapení ¾ º Ù Ò ½ Problem 1. Fnd størsteærden for fnktonen for x det afslttede nteral[998, 999]. Problem 2. Lad a 1,..., a 1996 ærepostetalhsartmetskemddelærderlgmed1996.vs,at 1996 t og bestem hornår der gælder lghedstegn. Problem 3. Betragt dobbeltlgheden <7 Idet man kn benytter elementære egenskaber for eksponenter og lgheder(ngen lommeregner, compter,logartmetabel,ellerrderngaf 3måbenyttes),skaldetbesesatdenførste lghed medfører den anden. Problem 4. Getlkårlgepostetal a, bog c,bes,atmndsténafdefølgendelghedererfalsk: Problem 5. Lad a 0, bærereelletal.vs,athslgnngen ax 2 bx+b=0hartoreelleløsnnger x 1 og x 2,da x 2 1+ x 2 2 2(x 1 + x 2 ).
Téma: Datmodeslání: 7. sére Překapení ¾ º Ù Ò ½ 1. Feladat Határozzk meg az függény maxmmát a[998, 999] zárt nterallmon. 2. Feladat Legyenek a 1,..., a 1996 poztíszámokmelyekartmetkaközépértéke1996.mtasskmeg,hogy 1996 t és zsgáljk meg, mkor lép fel egyenlőség. 3. Feladat Tekntsük a köetkező kettős egyenlőtlenséget <7 Cspán az exponencáls függény elementárs tlajdonságat és egyenlőtlenségeket használa (számológép,számítógép,logarlécés 3közelítőértékehasználatanélkül)mtasskmeg,hogy az első egyenlőtlenségből köetkezk a másodk. 4. Feladat Legyenek a, b és c tetszőleges poztí álos számok. Mtassk meg, hogy a köetkező egyenlőtlenségek közül legalább az egyk nem áll fenn: 5. Feladat Legyenek a, balósszámok, a 0.Bzonyítskbe,hogyha x 1, x 2 az ax 2 bx+b=0egyenlet alós gyöke, akkor kelégítk a köetkező egyenlőtlenséget: x 2 1+ x 2 2 2(x 1 + x 2 ).
Téma: Datmodeslání: 7. sére Překapení ¾ º Ù Ò ½ ½º ÐÓ Ó µ Najděte maxmm fnkce pro x z zařeného nteral 998, 999. ¾º ÐÓ Ó µ Bďte a 1,..., a 1996 kladnáreálnáčísla,jejchžartmetckýprůměrje1996.dokažte,že a zjstěte, kdy nastáá ronost. 1996 t º ÐÓ Ó µ Uažme neronost <7. Za požtí jen elementárních lastností exponentů(žtí kalklačky, počítače, logartmckých tablekanodhadůpro 3nenípooleno)kažte,žezprníneronostyplýádrhá. º ÐÓ Ó µ Jso dána kladná čísla a, b, c. Dokažte, že nemoho platt šechny následjící neronost: º ÐÓ Ó µ Bďte a, breálná, a 0.Ukažte,žepokdronce ax 2 bx+b=0máreálnékořeny x 1, x 2,tak x 2 1 + x2 2 2(x 1+ x 2 ).
1. úloha Najděte maxmm fnkce pro x z zařeného nteral 998, 999. Řešení 7. sére Úlohzobecníme:hornímezsočnbde2n+1,hledámemaxmmnanteral n, n+1. Ukážeme,žemaxmajenabytopro x=n+1/2.platí(sočnpřeronáme) f(x)= ny x k x (2n+1 k). Pro x n, n+1 semůžemezbatabsoltníchhodnot,(k+1)-níčntel(tenpro nazýámeprní)jeroen(x k)((2n+1 k) x),tojepodleag neronostmenšínebo rono( 2n+1 2k ) 2,přčemžronostnastáápřesnětehdy,když x k=2n+1 k x,člpro 2 x=n+1/2,tedyprostejnohodnot,nezáslena k.odsdtedyíme,žemaxmajenabyto bodě n+1/2,snadnoúpraozjstíme,že Q n (2n+1 2k) 2 Q n 1 f(n+ 1 2 )= 4 (2n 2k)2 Q n 1 (2n = (2n+1)!2 2k)2 4 n+1 2 2n n! 2 =(2n+1)!2 2 4n+2 n! 2 2. úloha Bďte a 1,..., a 1996 kladnáreálnáčísla,jejchžartmetckýprůměrje1996.dokažte,že 1996 t a j a zjstěte, kdy nastáá ronost. Umocněním ztah ze zadání máme (1+ a ) 2. Naleéstraněmámesočn1996 1996ýrazů.V1996případechje =j,příslšnýčíntel jepotomroenčísl2.protojeleástranarona2 1996 (sočnčntelů,kde j).takoých čntelůje1996 1995,jejchsočnseskládáz(1996 1995)/2dojc (1+ a )(1+ a )=2+ a2 + a2 j a. Úprao(a ) 2 0máme a 2 + a2 j 2a,ronostnastanepro a =.Proto (1+ a )(1+ a )=2+ a2 + a2 j a 2+2=4.
Protojeýraznaleéstraněětšíneboroen 2 1996 4 1996 1995 2 =2 19962, cožchceme.jelkožartmetckýprůměrčísel a 1, a 2,..., a 1996 je1996,nastáánašíneronost ronost,pokd a =1996, =1,2,... 1996. Poznámky k došlým řešením: Tto úloh měl skoro šchn řeštelé spráně. O bod přšl přeážně t, kteří se nezabýal otázko, kdy neronost nastáá ronost. Většna řešení stejně jako atorskéřešenírozebíralasočnnaleéstraněneronostčntele(1+ a )dotypů:pro =japro j.někteřířeštelépřípad =jneádělzlášťatrdl,žeprolboolnýčlen (1+ a )naleznemesočnjnýčlentar(1+ ),kterýsnímdal(jakoatorskémřešení) a dodojce.vzhledemktom,žečlenů(1+ a )=2jesočnleo1996,tedysdýpočet, a lzeznchtéždělatdojce,takžetojestprado.nadrhostranzezpůsob,jakýmtobylo oněchřešeníchpodáno,semzdálo,žesdýpočetoněchčlenůjespíšešťastnonáhodoaže stímonřeštelénepočítal,astrhljsemzaopomentípřípad =jjedenbod. 3. úloha Uažme neronost <7. Za požtí jen elementárních lastností exponentů(žtí kalklačky, počítače, logartmckých tablekanodhadůpro 3nenípooleno)kažte,žezprníneronostyplýádrhá. (olně přeypráěno podle Lenky Zdeboroé) Nechť6<3 3,mocněnímobostrantétoneronostna 3dostanemepojednodchých úpraách6 3 <3 3 3 =3 3 <36=6 2,tedyztoho,žefnkce6 x jerostocímáme 3 <2. Nyníprosporpředpokládejme,že3 3 7.Umocněnímtétoneronostna 3dostaneme 3 3 3 7 7 3 = 3 7 3 3 7, 3 3 celkem dostááme dojc ekalentních neroností 3 3 7 3 7 3, 7 3 3 4 «3 3 7 2 «7 = 34 3 7 3 3 3 7 2, 3 kdedrháznknemocněnímprnína 3.Pak 3 3 3 4 «3 7 7 2 7 3 3 3 4 7 2 «3 73 3 3, nejprejsmeyžlprníapakdrhoneronost.vynásobenímposledníneronostčíslem 7 3 3 získáme 3 4 «3 7 2 74 3 6. ( )
Dleýšekázanélastnost2> 3šakíme,že 3 4 2 7 > 3 4 3 2 7,aprotosronánímse 2 ztahem( ) máme 3 4 «2 7 2 > 74 3 6 3 14 >7 8, cožjehledanýspor(neboť3 14 =4782969 <5764801=7 8 ),proto3 3 <7. 4. úloha Jso dána kladná čísla a, b, c. Dokažte, že nemoho platt šechny následjící neronost: Důkaz eďme sporem. Vynásobením daných neroností dostaneme a(1 a)b(1 b)c(1 c) > 1 4 3. Ukážeme,žetotonenímožné.Prokaždáděreálnáčísla x, yplatí4xy (x+y) 2 (dokážeme tonejsnázepřeedenímnaneronost0 (x y) 2 ).Aplkacípro x=a, y=1 adostaneme a(1 a) 1/4.Pronásobenímsanalogckýmneronostmpro baczískáme a(1 a)b(1 b)c(1 c) 1 4 3, což je spor. Pozor, chyba! Msíme oěřt, že leé strany násobených neroností nejso záporné(z 2 <1a 2 <2neplyne4<2).Tojeošemsnadné:dlezadáníje akladné,za(1 b) >1/4 >0 plyne b <1.Obdobně a <1, c <1,takže a(1 a) >0, b(1 b) >0, c(1 c) >0,cožjsme potřeboal. 5. úloha Bďte a, breálná, a 0.Ukažte,žepokdronce ax 2 bx+b=0máreálnékořeny x 1, x 2,tak x 2 1+ x 2 2 2(x 1 + x 2 ). Kadratckáronce ax 2 bx+b=0mádareálnékořeny,jejídskrmnantjetdížnezáporný, tj. b 2 4ab 0 ( ).Jelkož x 1, x 2 jsokořenynašíkadratckéroncemáme ax 2 bx+b=a(x x 1 )(x x 2 )=ax 2 a(x 1 + x 2 )x+ax 1 x 2, odtdporonánímlneárníchaabsoltníchčlenůnaobostranáchtétodenttyzískáme 1 ztahy a(x 1 + x 2 )=b, ax 1 x 2 = b. Úprao ztah( ) a yžtím posledních roností máme b 2 a 2 2a b +2a b (x 1+ x 2 ) 2 2(x 1 + x 2 )+2x 1 x 2, cožpojednodchéúpraědáápožadoanýztah x 2 1 + x2 2 2(x 1+ x 2 ). 1 TaktoobecněmůžemeododtznáméVetoyztahy:má-lkadratckáronce x 2 + px+q kořeny x 1 a x 2,platí x 1 + x 2 = p, x 1 x 2 = q.