3. VEKTOROVÝ POČET A ANALYTICKÁ GEOMETRIE

Transkript

1 Euklidoský prostor. VEKTOROVÝ POČET A ANALYTICKÁ GEOMETRIE Průodce studiem Geometrii lze budoat metodou syntetickou nebo metodou analytickou. Při syntetické metodě pracujeme přímo s geometrickými objekty. Při analytické metodě jsou geometrické objekty charakterizoány pomocí číselných údajů. Takoá analytická metoda je užíána např. analytické geometrii a diferenciální geometrii. Při ýkladu analytické geometrie nám k charakteristice geometrických objektů poslouží zejména algebra, na rozdíl od diferenciální geometrie, k jejímuž ýkladu je nutno studoat limitní procesy. Předpokládané znalosti Nutnou podmínkou k zládnutí studia analytické geometrie je dobrá znalost ektoroého počtu, kterým se budeme zabýat e druhé části této kapitoly. Průodce studiem Sloa prostor se e středoškolské geometrii užíá pro obyčejný prostor elementární geometrie. V matematice šak užíáme názu prostor řadě rozmanitých ýznamů. Obyčejný prostor se bude dalším nazýat trojrozměrný euklidoský prostor nebo také euklidoský prostor dimenze a budeme jej označoat E. Roina se bude nazýat dojrozměrný euklidoský prostor nebo také euklidoský prostor dimenze a budeme ji označoat E. Konečně přímka se bude nazýat jednorozměrný euklidoský prostor nebo také euklidoský prostor dimenze a budeme ji označoat E. Ašak šude, kde to bude účelné, budeme i nadále užíat obyklých termínů roina a přímka a také budeme užíat názu (obyčejný) prostor. Budeme studoat lastnosti geometrických objektů prostoru E a budeme předpokládat základní znalosti geometrie prostoru E. Vzhledem k pozdějšímu použití zaedeme některé pojmy této kapitole nejen pro n =, tj. E, ale obecně pro liboolné, konečné n N, tj. E n. Takoý prostor se bude nazýat n-rozměrný euklidoský prostor. 4

2 .. Euklidoský prostor Euklidoský prostor Výklad Zolme prostoru tz. kartézskou soustau souřadnic. Zolíme pený bod O, který nazeme počátkem, a tři nazájem kolmé přímky x, y, z procházející počátkem O, které nazeme osami. Každému bodu osy lze přirozeným způsobem přiřadit reálné číslo tak, že číslo 0 je přiřazeno počátku soustay souřadnic O. Kartézskou soustaou souřadnic budeme rozumět čteřici < O, +x, +y, +z >, kde O je počátek a polopřímky +x, +y, +z jsou tz. kladné části souřadnicoých os x, y, z. Každému bodu A prostoru můžeme nyní jednoznačně přiřadit uspořádanou trojici reálných čísel (a, a, a ) (obr. ) a naopak každé uspořádané trojici reálných čísel (a, a, a ) je přiřazen jednoznačně bod A prostoru. +z u =b - a u B=(b,b,b ) A=(a,a,a ) 0 u =b - a +x u =b - a +y Obr. Řekneme, že čísla a, a, a jsou souřadnice bodu A kartézské soustaě souřadnic < 0, +x, +y, +z >. Vzhledem k zájemné jednoznačnosti přiřazení bodů prostoru a uspořádaných trojic reálných čísel z R R R = R, můžeme prostor a množinu R ztotožnit. 5

3 Euklidoský prostor Uažujme nyní množinu R R... R = R n. Každou uspořádanou n-tici n-krát (a, a, a,..., a n ) můžeme poažoat za bod jistého prostoru. Pro n = ytoří šechny body prostoru přímku (-rozměrný prostor), pro n = ytoří šechny body prostoru roinu (-rozměrný prostor), pro n = ytoří šechny body prostoru prostor (-rozměrný prostor) a pro liboolné n N ytoří šechny body n-rozměrný prostor. Abychom takoých prostorech mohli řešit úlohy, nichž se zabýáme zdálenostmi bodů a měřením úhlů, je třeba zaést prostoru tz. metriku. Pro naše potřeby zaedeme běžnou euklidoskou metriku. Definice... Uspořádanou n-tici A = (a, a,..., a n ) budeme nazýat bodem n-rozměrného euklidoského prostoru E n = R n, je-li definoána zdálenost ρ (A,B) = ( a b ) + ( a b ) ( a b ) () n n dou liboolných bodů A a B = (b, b,..., b n ). Poznámka. Pro n = je ρ ((x ), (x )) = ( x x ) = x x a E je přímka (-rozměrný euklidoský prostor).. Pro n = je ρ ((x, y ), (x, y )) = ( x x ) + ( y y ) a E je roina (-rozměrný euklidoský prostor).. Pro n = je ρ ((x, y, z ), (x, y, z )) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) a E je prostor (-rozměrný euklidoský prostor). 6

4 Euklidoský prostor 4. Vzdálenost dou bodů je zobrazení E n E n < 0, ), tj. (A,B) ρ (A,B) < 0, ) splňující axiomy: ρ (A,B) = 0 A = B, ρ (A,B) = ρ (B,A), ρ (A,B) ρ (A,C) + ρ (C,B), pro každé A,B,C E n. Každý prostor, e kterém je definoána zdálenost splňující uedené axiomy, se nazýá metrický. Úlohy k samostatnému řešení. Vypočtěte obod trojúhelníka, jehož rcholy jsou A = (,, 0), B = (8, 0, 0), C = (4, 4, -5).. Zjistěte, který z daných trojúhelníků je ronoramenný a který praoúhlý: a) A = (, 4, 7), B = (-,, -), C = (-,, ), b) M = (-,, 0), N = (-4, -, 0), R = (-7, 5, -), c) A = (, -, ), B = (4,, 5), C = (, 0, -), d) E = (, 8,6), F = (5,, 7), G = (-, 6, ).. Na ose x najděte bod, jehož zdálenost od bodu N = (-4, 6, 6) je rona. 4. Na ose z najděte bod C takoý, aby body A = (-4,, 7), B = (, 5, -), C tořily ronoramenný trojúhelník. Výsledky úloh k samostatnému řešení a) praoúhlý, b) ronoramenný, c) ani praoúhlý, ani ronoramenný, d) praoúhlý.. (-4 ± 6 00,, ). 4. Jestliže ρ (A,C) = ρ (B,C), pak C = (0, 0, 4 ), jestliže ρ 9 (A,B) = ρ (B,C), pak C = (0, 0, ), jestliže ρ (A,B) = ρ (A,C), pak C = (0, 0, ). 7

5 Vektory.. Vektory Výklad Definujme nyní ektor tak, jak je obyklé pro potřeby geometrie a fyziky. Definice... Vektor u je množina šech souhlasně orientoaných ronoběžných úseček stejné délky. Poznámky. Orientoanou úsečkou AB rozumíme uspořádanou dojici bodů A, B, kde prní bod A nazýáme počáteční a druhý bod B koncoý.. Je-li AB u, nazýáme úsečku AB umístěním ektoru u, které budeme také někdy nazýat ektorem a značit také AB = B - A.. Je-li OX u, kde O je počátek souřadné soustay, pak souřadnice bodu X jsou souřadnicemi ektoru u. Vektor OX nebudeme mezi bodem X a ektorem OX nazýáme polohoý ektor bodu X a při počítání = X - O dělat žádný rozdíl, tj. OX = X. Výklad Z předchozí definice a následujících poznámek yplýá, že pro každé umístění ektoru AB u, A = (a, a, a ), B = (b, b, b ), umíme jednoznačně určit uspořádanou trojici (b - a, b - a, b - a ) = B - A, (obr.). Jestliže CD u, C = (c, c, c ), D = (d, d, d ), pak úsečky AD a BC (obr. ) mají společný střed S = (s, s, s ) a platí: 8

6 Vektory B D D S B S C A C A Obr. s i = a + d b + = c i i i i pro i =,,. () Odtud yplýá, že b i - a i = d i - c i pro i =,,. () Obráceně předpokládejme, že pro dě orientoané úsečky platí ztahy (). Pak platí i ztahy () a úsečky AD a BC mají stejný střed, t.j. AB u a CD u. Tím jsme dokázali následující ětu. Věta... Pro dě orientoané úsečky AB, CD platí AB u a zároeň CD u práě když platí ztahy: b i - a i = d i - c i pro i =,,. 9

7 Vektory Poznámky. Předpokládejme, že AB je umístěním ektoru u. Potom uspořádanou trojici čísel (u, u, u ), kde u = b - a, u = b - a, u = b - a, nazýáme souřadnice ektoru u a píšeme u = (u, u, u ), nebo také u = B - A (obr. ).. Věta říká, že pro ýpočet souřadnic ektoru nezáleží na ýběru jeho umístění.. Označme V množinu šech ektorů E a označme R množinu šech uspořádaných trojic (u, u, u ) reálných čísel. Nyní můžeme obě množiny ztotožnit, V = R a psát u = (u, u, u ). Podobně při označení množiny šech ektorů prostoru E n symbolem V n můžeme psát V n = R n a u = (u,..., u n ). Sčítání ektorů z V n a jejich násobení je nyní dáno stejně jako kap... Definice... Nechť AB je umístění ektoru u. Velikostí ektoru u, kterou označíme u, nazýáme zdálenost bodů A,B. Jestliže u =, potom říkáme, že u je jednotkoý ektor. Věta... Pro elikost ektoru u = (u, u,..., u n ), platí + u +... u u = u + n. () D ů k a z : Jestliže je AB umístěním ektoru u, potom u = b - a, u = b - a,...,..., u n = b n - a n. Z ronosti u = důkaz ěty proeden. ρ (A,B) a ze zorce (, kap..) ihned yplýá (). Tím je 0

8 Vektory Výklad Předpokládejme, že jsou dány dě polopřímky CA, CB (obr. ). Obě polopřímky mají společný počáteční bod C a rozdělují roinu ABC obecném případě na da neorientoané úhly, z nichž jeden je konexní ( obr. je jeho elikost označena ϕ ) a druhý je nekonexní ( obr. je jeho elikost označena π - ϕ). Číslo ϕ nazeme odchylkou polopřímek CA, CB. B -u A u φ C π-φ Obr. V případě, že polopřímky CA, CB jsou totožné, resp. nazájem opačné, definujeme ϕ = 0, resp. ϕ = π. Z předcházející úahy yplýá, že pro odchylku dou polopřímek o společném počátku platí: ϕ < 0, π >. Definice... Nechť CA, CB jsou umístění dou nenuloých ektorů u, (obr. ). Označme symbolem ϕ odchylku polopřímek CA, CB. Číslo ϕ nazýáme úhlem ektorů u,. Jestliže ϕ = π/, potom říkáme, že ektory u, jsou nazájem kolmé.

9 Vektory Úlohy k samostatnému řešení. Určete koncoý bod N ektoru a = MN = (4,, ), je-li jeho počáteční bod M = (, 0, -).. Určete elikost ektorů p = (0, -4, ), q = (, 4, -), r = (,, ).. Vypočtěte souřadnice a elikost ektorů a = CA, b = CB, kde A = (,, ), B = (, -, -6), C = (-, 0, ). 4. Jsou dány tři za sebou jdoucí rcholy ronoběžníka ABCD: A = (, -, ), B = (4,, 0), C = (7, 4, ). Najděte souřadnice rcholu D. 5. Najděte souřadnice středu S úsečky AB, kde A = (, -, 4), B = (,, ). Výsledky úloh k samostatnému řešení. N = (6,, ).. p = 5, q =, r =.. a = (4,, 0), a = 5, b = (5, -, -9), b = AB = DC D =(, 505, ). 5. S = (,, ).

10 Operace s ektory.. Operace s ektory Výklad Definice... Nechť ϕ je úhel dou nenuloých ektorů u, (obr. ). Skalárním součinem ektorů u, rozumíme číslo, které budeme označoat u. (někdy stručně u) a které definujeme roností u. = u cos ϕ. () Jestliže je alespoň jeden z ektorů nuloý, pak definujeme u. = 0. Věta... Skalární součin dou ektorů je roen nule práě tehdy, když oba ektory jsou buď nenuloé na sebe kolmé nebo alespoň jeden z ektorů je nuloý. D ů k a z : Věta je přímým důsledkem předcházející definice. Věta... Pro liboolné da ektory u = (u,..., u n ), = (,..., n ) platí: u. = u + u u n n () D ů k a z. a) Předpokládejme nejpre, že ektory u, jsou lineárně nezáislé. Potom jsou body A, B, C rcholy trojúhelníka (obr. ), němž platí kosinoá ěta u - = u + - u cos ϕ, čili (u - ) + (u - ) (u n - n ) = (u ) + (u ) (u n ) + ( ) + ( ) ( n ) - (u.).

11 Operace s ektory Jednoduchá úpraa této ronosti nás doede ke zorci (). b) Předpokládejme, že ektory u, jsou lineárně záislé. V tomto případě body A, B, C leží na jedné přímce a obratu s kosinoou ětou nelze použít. Jeden z obou ektorů můžeme napsat jako součin druhého ektoru a reálného čísla k. Nechť například = k.u. Předpokládejme nejpre, že k > 0. Potom můžeme psát: u. = u cos 0 = u. k u = = k u + u u. u + u u = ku + ku ku = u + u u. n n n V případě, že k< 0, postupujeme analogicky, případ k = 0 je eidentní. Tím je ěta dokázána. n n Poznámka. Ze zorců (), (kap..) a () (kap..) plyne okamžitě spránost dalšího zorce pro ýpočet elikosti ektoru u: u = u. u. Užijeme-li označení u = u.u, můžeme předcházející zorec napsat stručně e taru u = u, nebo u = u.. Skalární součin ektorů, který je zobrazením V n V n R, (u.) u + u u n n R, splňuje následující ztahy, jejichž spránost plyne z lastností reálných čísel: u. =.u, (ku). = k(u.), (u + ).w = u.w +.w, pro každé u,, w V n a k R.. Velikost ektoru je zobrazení V n < 0, ), u u. u R a z lastností reálných čísel yplýají přímo ztahy u = 0 u = o, 4

12 ku = k u, Operace s ektory u + u +, pro šechna u, V n a k R. 4. Vektory u,, které jsou lineárně záislé, tj. u = k, k R, se nazýají kolineární. Řešené úlohy Příklad Určeme úhel ektorů u = (,, 0) a = (0,, ). Řešení: cosϕ = u. u = π = = ϕ =. 4 Definice... Nechť jsou dány ektory u = (u, u, u ) a = (,, ). Vektor u u u u,, u u, který značíme u, se nazýá ektoroý součin ektorů u a. Poznámky. Vektoroý součin je zobrazení V V, (u, ) u V splňující ztahy u = - u, (ku) = k(u ), (u + ) w = u w + w, pro šechna k R a u,, w V.. Vektoroý součin ektorů u, lze zapsat e taru determinantu 5

13 Operace s ektory i j k u = u u u, kde i = (, 0, 0), j = (0,, 0), k = (0, 0, ) jsou jednotkoé ektory e směru os kartézské soustay souřadnic. Rozojem podle prního řádku totiž dostaneme u u u u u u u = i + j + k.. Z definice ektoroého součinu zřejmě plyne, že pro nenuloé ektory u, platí, že u = o práě tehdy, když u, jsou lineárně záislé. Věta... Vektoroý součin u je ektor kolmý na ektory u, V. Důkaz: Pro ektor u: i j k u. i u. j u. k u. (u ) = u. u u u = u u u = u u u 0. = Vzhledem k tomu, že skalární součin u. (u ) = 0, jsou ektory u a u na sebe kolmé. Pro ektor je důkaz obdobný. u u u Věta..4. Pro každé da ektory u, V platí u = u sin ϕ, kde ϕ je úhel ektorů u,. Důkaz: Dokazoaný ztah umocníme na druhou. Leá strana ronosti pak je u = u u u u u u + + = ( u u ) + ( u u ) + + (u + u ) = u uu + u + u uu + u + + u uu + u. 6

14 Operace s ektory Upraíme praou stranu užitím ěty. u sin ϕ = u ( - cos ϕ) = u - u cos ϕ = = u - (u.) = ( u + u + u )( + + ) ( u + u + u ) = = u + u + u + u + u + u + u + u + u u u u uu uu uu = = u + u + u + u + u + u uu uu uu. Z poronání ýsledků plyne, že leá strana ronosti se roná praé. Poznámky. Při umístění ektorů OX u, OY je elikost ektoroého součinu rona obsahu ronoběžníka O, X, Y, X+Y (obr. 4) pro u 0. u x X 0 u Y Obr. 4 X+Y. Vektory u, a w = u tomto pořadí toří tz. praotočiou trojici (obr. 5). 7

15 Operace s ektory w u praotočiá trojice ektorů (u,, w) w u leotočiá trojice ektorů (u,, w) Obr. 5 Řešené úlohy Příklad Stanome obsah trojúhelníka o rcholech A = (, 0, ), B = (, -, ) a C = (,, -) (obr. 6). 8

16 Řešení: Operace s ektory C AB = B A = (,, 0) AC = C A = (0,, ). A B Obr. 6 i j k P = AB AC = 0 = i + j + k = (,, ) = 0 = + + = 4 4. Definice... Číslo u.( w) se nazýá smíšený součin ektorů u,, w V. Poznámky. Smíšený součin ektorů je zobrazení V R, (u,, w) u.( w) R.. Smíšený součin ektorů u = (u, u, u ), = (,, ), w = (w, w, w ) lze yjádřit následujícím způsobem: (u, u, u ). ((,, ) (w, w, w )) = (u, u, u ). w w,, w w w w = 9

17 Operace s ektory = u w w u + u = u w w w u u u w w w.. Z lastností determinantů plyne, že jakákoli ýměna dou ektorů smíšeného součinu mění jeho znaménko. Věta..5. Nechť OX, OY, OZ jsou umístěním lineárně nezáislých ektorů u,, w V. Pak u.( w) je rona objemu šikmého hranolu (ronoběžnostěnu) o rcholech O, X, Y, X+Y, Z, X+Z, Y+Z, X+Y+Z. Důkaz: X+Y X x w Y X+Y+Z u 0 X+Z w Y+Z Z Obr. 7 Obsah ronoběžníka O, Y, Y+Z, Z je roen w. Platí u.( w) = u. w cosϕ, kde ϕ je úhel ektorů u a w. Výraz u. cosϕ je pak elikost ýšky uažoaného hranolu na stěnu O, Y, Y+Z, Z. 40

18 Operace s ektory Poznámky. Z definice smíšeného součinu a z ěty 5 plyne, že pro nenuloé ektory u,, w platí u.( w) = 0 práě tehdy, když jsou lineárně záislé.. Lineárně záislé ektory u,, w se nazýají komplanární. Řešené úlohy Příklad Stanome objem hranolu určeného rcholy (0,0,0), (,,), (,-,0), (4,0,-). Řešení: Zbýající rcholy mají souřadnice (,0,), (5,,0), (6,-,-) a (7,0,0). V = 0 = + 4+ = Kontrolní otázky. Jak je definoána zdálenost dou liboolných bodů A = (a,a,a ), B = (b,b,b ) -rozměrného euklidoského prostoru: a) b) ρ ( A,B) = (a + b ) + (a + b ) + (a + b ), ρ ( A,B) = (a b ) + (a b ) + (a b ), c) ρ ( A,B) = (a b ) + (a b ) + (a + b ).. Pro úhel ϕ ektorů u, platí: a) ϕ < 0, π >, b) ϕ < 0, π >, π c) ϕ =. 4

19 . Platí-li pro u o,k 0,k \ : = k u, nazýáme ektory u, : a) kolineární, b) komplanární, c) opačné. 4. Který z následujících ýroků definuje skalární součin ektorů u, : Operace s ektory a) u = u sin ϕ, b) u = u cos ϕ, c) u = u tg ϕ, 5. Výraz u = o platí práě tehdy, když nenuloé ektory u, jsou: a) lineárně nezáislé, b) lineárně záislé. JJJG JJJG 6. Co je geometrickým ýznamem elikosti ektoroého součinu ektorů OX, OY : a) objem ronoběžnostěnu se základnou O, X, Y, X + Y, b) obsah trojúhelníka s rcholy O,X,Y, c) obsah ronoběžníka s rcholy O,X,Y, X + Y. 7. Smíšeným součinem ektorů uw,, nazýáme: a) ektor u ( w ), b) číslo u ( w ), c) číslo u ( w), 8. Výraz u ( w ) = 0 platí práě tehdy, když nenuloé ektory uw,, jsou: a) komplanární, b) nazájem kolmé. Odpoědi na kontrolní otázky. b),. a),. a), 4. b), 5. b), 6. c), 7. c), 8. a). 4

20 Operace s ektory Úlohy k samostatnému řešení. Vypočtěte skalární součin a úhel ektorů a, b, když a) a = (,, -4), b = (, -, ), b) a = (,, -), b = (, -6, 8).. Pro ektory a, b platí a = 5, b = 4 a jejich úhel ϕ = π. Určete a) a.b, b) a, b, c) (a - b).. Doplňte chybějící složky kolineárních ektorů a = (, a, a ), b = (b, 4, b ), c = (6,, -). 4. Vypočtěte a.b, jestliže a = 6i + 4j - k, b = 5i - j + k. 5. Jsou dány tři body A = (-,, ), B = (,, ), C = (0, 0, 5). Dokažte, že AB AC a stanote nitřní úhel β při rcholu B trojúhelníku ABC. 6. Při kterých hodnotách čísel α, β jsou ektory a = -5i + j + βk a b = αi - 6j + 8k kolineární? 7. Určete ektor x kolineární s ektorem a = (,, -), jestliže x.a = Vektor x je kolmý na ektory a = (6,, 0), b = (, 7, ). Určete jeho souřadnice, je-li x.c = 6, kde c = (4, -4, -). 9. Jsou dány tři ektory a, b, c. Určete ektor x, platí-li a = (, -, ), b = (, -, ), c = (,, -4), x.a = -5, x.b = -5, x.c = Určete elikost praoúhlého průmětu ektoru b do ektoru a, je-li dáno a = (-,, ), b = (-4,, ).. Vektory a, b sírají úhel ϕ π =. Určete a b, je-li a =, b = 4.. Určete a b, a b, je-li a = (,, ), b = (,, ).. Zjednodušte ýraz (i + k) (i - j + k). 4. Odoďte platnost ýrazu a b tgϕ =, kde ϕ je úhel ektorů a, b. a. b 5. Jsou dány ektory a = i + k, b = -i + 4j. Určete ektor c kolmý k daným ektorům. 6. Jsou dány body A, B, C. Určete souřadnice bodu D a obsah ronoběžníka ABCD, je-li dáno A = (8, 7, 6), B = (-, 0, 0), C = (-8,, 0). 7. Určete obsah ABC, když A = (,, 0), B = (, 0, -), C = (5,, 6). 4

21 Operace s ektory 8. Je dán ABC. Vypočtěte ýšky trojúhelníka a, b, c. A = (,, ), B = (0, -, ), C = (-,, 0). 9. Jsou dány ektory a, b, c. Určete a.(b c). a) a = (,, 0), b = (-, 0, ), c = (,, ) b) a = 4i + j - k, b = -i + k, c = 4i - j. 0.Zjistěte, zda ektory a, b, c jsou komplanární. a) a = (, 4, 0), b = (5, 4, -), c = (4, 8, ), b) a = (0,, -), b = (6, 4, -), c = (-,, ), c) a = 4i + j + 5k, b = -i - k, c = 8i + 6j + 0k.. Zjistěte, zda dané čtyři body leží jedné roině: A = (0, -7, ), B = (4, -, 0), C = (8, 0, -), D = (, -5, ).. Je dán ronoběžnostěn ABCD A B C D rcholy A = (0,, ), B = (5,, ), D = (-, 6, 4), A = (0,, 6). Určete souřadnice rcholů C, B,C, D a objem tělesa.. Určete objem čtyřstěnu ABCD, jestliže platí V čtyřstěnu = 6 V ronoběžnostěnu. Vrcholy čtyřstěnu: A = (,, 0), B = (7, 4, ), C = (0,, -4), D = (, 6, ). Výsledky úloh k samostatnému řešení.a) a.b = -9, ϕ π = 4 π ; b) a.b = 0, ϕ = a b.. a) 0, b) 5, 6, c) a - ab + b =.. a = (; ; -,5), b = (, 4, -6). 4. a.b = 6. π 5. AB. AC = 0 AB AC, cosβ= β=. 6. α = 0, β = x = (9,, -6). 8. x = (-6,, -9). 9. x = (,, -). 0. b a = b.cosϕ = ab. a = = 4. a b = 6.. a b = (-4, 8, -4), a b = i + j -k. b ϕ b a a a. b. sin ϕ sin ϕ 4. tg ϕ = =. a. b. cosϕ cosϕ 5. c = l(-4, -, ), kde l R, l D = (, -, 6), P = 7, P = a b = 4, kde a = AB, b = AC. 44

22 Operace s ektory 8. a = a c a = 4, 7, kde a = BC, c = AB, analogicky b =,06, c =, a) 7, b) a) ano (a.(b c) = 0), b) ne, c) ano.. Body A,B,C,D leží jedné roině.. C = (4, 7, 5), B = (6,, 7), C = (5, 7, 9), D = (0, 6, 8), V = 04.. V = 4. Kontrolní test. Určete jednotkoý ektor e, který je kolmý k ektorům a= i + j k, b=+ i j k: a) e= ( i+ j + 5 k ), 5 b) e = ( i 4 j ), 5 c) e = (,0,0). π. Pro ektory a, bplatí: a =, b =, ϕ =. Určete úhel ektorů c= a+ b, d= a b. o π o a) ϕ = 5 40, b) ϕ =, c) ϕ = Vypočtěte ab + bc + ac, jsou-li abc,, jednotkoé ektory a pro něž platí a + b + c = o: a), b), c). 4. Vypočtěte obsah trojúhelníka ABC, je-li A = (,, 4), B = (0,,), C = (5, 0,8). a) 8, b) 9, c) Vypočtěte obsah a ýšky ronoběžníka určeného ektory a = j+ k, b =+ i k: P=, =, =, 5 5 a) P=, = =, 5 b) P=, = =. 5 c) 6. Zjistěte, zda ektory ab,, cjsou komplanární: 45

23 a= (,,0), b = (,,), c = (5,4,). a) ano, b) ne. Operace s ektory 7. Vektory a= i+ j, b= i+ j, c= i+ j+ k je určen ronoběžnostěn. Vypočtěte jeho objem, obsah stěny dané ektory a) V = 5, S =, = 5, b) V= 5, S= 5, =, c) V= 5, S= 5, =. ab, a délku její ýšky. Výsledky testu. a),. a),. a), 4. c), 5. c), 6. a), 7. c). Průodce studiem Pokud jste spráně odpoěděli nejméně 5 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudoat kapitoly..,..,.. znou. 46

24 Roina.4. Roina Výklad Předpokládejme, že prostoru E jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná roina, kterou označíme ABC. Určíme ektory u = B - A, = C - A, které jsou zřejmě lineárně nezáislé. Bod X leží roině ABC práě tehdy, když ektor X - A je lineární kombinací ektorů u, (obr. 8). Pak platí X - A = r. u + s., r, s R, z čehož plyne X = A + r. u + s.. () Ronici () nazýáme ektoroou ronicí roiny ABC. Roina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u,. X=A+r.u+s. C s. B r.u u A Obr. 8 47

25 Roina Jestliže A = (x 0, y 0, z 0 ), u = (u, u, u ) a = (,, ), dostaneme ronice x = x + r u + s 0 y = y + r u + s 0 z = z + r u + s 0 které se nazýají parametrické ronice roiny ABC., Předpokládejme, že nenuloý ektor n = (a, b, c) je kolmý k roině α procházející bodem A. Označme X = (x, y, z) liboolný bod roiny α. Vektory n a kolmé a tedy platí n. AX = 0. AX jsou na sebe n. X A α Obr. 9 Dostaneme: n. AX = n.(x-a) = n.x- n.a = (a, b, c)(x, y, z) - n.a = ax + by + cz - n.a = 0. Položíme-li n.a = -d dostaneme ronici roiny e taru ax + by + cz + d = 0. () Ronici () nazeme obecnou ronicí roiny α. Bod X = (x, y, z ) leží roině α, práě když souřadnice x, y, z yhoují ronici roiny α, tj. platí ax + by + cz + d = 0. Vektor n z předcházející úahy se nazýá normáloý ektor roiny α. 48

26 Roina Řešené úlohy Příklad Určeme ronici roiny α, procházející body A = (, -, ), B = (, 0, ) a C = (-,, 0). Řešení: a) Napíšeme ronici roiny ax + by + cz + d = 0, kde a, b, c, d R jsou neznámé koeficienty. Výrok body A, B, C leží roině α je ekialentní se soustaou tří ronic a b + c + d = a + c + d = a + b + d = Tato soustaa tří ronic o čtyřech neznámých má nekonečně mnoho řešení a = p, b = 0, c = -p, d = p, kde p R - {0}. Volbou parametru p = získáme hledanou ronici roiny e taru x - z + = 0. b) Body A, B, C určují ektory AB a AC. Pro každý bod X = (x, y, z) roině ABC platí C X A B α Obr. 0 AX (AB AC) = 0, tj. smíšený součin těchto tří ektorů je roen 0 (obr. 0). 49

27 Roina Z toho yplýá x y+ z 0 0 Po ýpočtu determinantu získáme ronici = 0. a po úpraě ronici roiny α: c) Určeme parametrické ronice roiny α. -(x - ) + (z - ) = 0 x - z + = 0. Volbou u = AB = (0,, 0), = AC = (-,, -) získáme ronici X = A + r u + s = (, -, ) + r(0,, 0) + s(-,, -) a dále ronice x y z = s = + r + s = s. Jiné parametrické ronice téže roiny lze získat z obecné ronice x - z + = 0, označíme-li x = r, y = s a ypočteme-li z = x+ = r+ ( ). Řešené úlohy Příklad Určeme obecnou ronici roiny α, známe-li její parametrické yjádření x = s y = + s + r z = s. Řešení: Hledanou ronici získáme yloučením parametrů r, s např. z druhé a třetí ronice, tj. s = - z, r = y + - s = y + z -. Dosazením do prní ronice získáme ronici roiny α 50

28 x = - ( - z), tj. x - z + = 0. Roina Předpokládejme nyní, že a, b, c, d jsou čísla různá od nuly. Pak obě strany ronice () můžeme dělit číslem (-d ) a přeést na tar +z (0,0,p) x y z + + =, m n p (0,n,0) kde m = d a d d, n =, p =. b c O +y (m,0,0) +x Obr. Uedená ronice se nazýá úsekoý tar ronice roiny. Body (m, 0, 0), (0, n, 0) a (0, 0, p) jsou společné body dané roiny a os soustay souřadnic (obr. ). Kontrolní otázky. K určení roiny potřebujeme a) jeden směroý ektor, b) tři body A, B, C neležící na jediné přímce, c) tři body A, B, C. K sestaení parametrických ronic roiny potřebujeme a) bod roiny a da lineárně záislé ektory roiny, b) bod roiny a směroý ektor, c) bod roiny a da lineárně nezáislé ektory roiny.. Ronice taru ax + by + cz + d = 0 se nazýá a) obecná ronice přímky, b) obecná ronice roiny, 5

29 c) normáloá ronice roiny. 4. Vektor (a,b,c) z ronice roiny ax + by + cz + d = 0 se nazýá: a) normáloý ektor roiny, b) směroý ektor roiny, c) zaměření roiny. Roina 5. Roina je zadána třemi body neležícími přímce A, B, C. Pro liboolný bod roiny X platí: JJJG JJJG JJJG a) AX (AB AC) = 0, JJJG JJJG JJJG b) AX (AB AC) =, JJJG JJJG JJJG c) AX (AB AC) = Je-li roina zadána ronicí x + y + z =, pak (m, n, p) jsou: m n p a) souřadnice normáloého ektoru roiny, b) jsou úseky na osách x, y, z, které roina ytíná na souřadnicoých osách, c) souřadnice směroého ektoru roiny. Odpoědi na kontrolní otázky. b);. c);. b); 4. a); 5. a); 6. b). Úlohy k samostatnému řešení. Určete ronici roiny, která prochází bodem M a má normáloý ektor n: a) M = (5, -, 0), n = (-,, ), b) M = (0, 0, 0), n = (, 8, -4).. Napište ronici roiny, která prochází bodem A = (4,, ) a a) je ronoběžná se souřadnicoou roinou os x, y, b) je ronoběžná se souřadnicoou roinou os y, z.. Určete normáloý ektor roiny, jejíž ronice je a) x + y - 5z - 0 = 0, b) x - y - 6z = 0, c) z - = Stanote ronici roiny, která 5

30 Roina a) prochází body A = (, 0, ), B = (,, 0), C = (,, -), b) prochází body A = (4, 0, -), B = (5,, 7) a je ronoběžná s osou x, c) prochází počátkem soustay souřadnic a je kolmá na roiny x - y + 5z + = 0, x + y - z - 7 = 0, d) prochází bodem A = (, 5, -) a ytíná na souřadnicoých osách stejné kladné úseky, e) prochází bodem A = (-7,, -) a ytíná na souřadnicoých osách stejné kladné úseky. Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) x - y - z - 6 = 0, b) x + 8y - 4z = 0.. a) z =, b) x = 4.. a) (,, -5), b) (, -, -6), c) (0, 0, ). 4. a) 5x - 7y - z - = 0, b) 9y - z - = 0, c) x - y - z = 0, d) x + y + z - 7 = 0, e) neexistuje. Kontrolní test. Jsou dány body M = (0,,) a N = (,,5). Napište obecnou ronici roiny procházející JJJJG bodem M a kolmé k ektoru MN. a) x+ 4 y+ z = 0, b) x+ 4y+ z = 0.. Napište obecnou ronici roiny ronoběžné s osou x a procházející bodem A = (0,,) a B = (, 4,5). a) x z + 8 = 0, b) y z + 7 = 0.. Napište obecnou roiny procházející body C = (,,0),D = (,,) kolmo k roině x+ y+ z 4= 0. a) x+ y+ z 6= 0, b) x y + z = Napište obecnou ronici roiny procházející body A = (,, ), B = (,, ) a C = (,, 4). a) x y + z 5 = 0, b) x y+ z 8= Určete normáloý ektor roiny, jejíž ronice je x+ 5= 0. a) (,0,0), b) (0,,). 6. Určete úseky m, n, p na jednotliých osách, které ytíná roina o ronici x + 6y + 9z 8 = 0. 5

31 a) m= 6,n=,p=, b) m=,n = 6,p=. Roina 7. Napište ronici roiny, která prochází bodem A = (4,,) a je ronoběžná s roinou x y+ 4z= 0. a) x y 4z + = 0, b) x y+ 4z 4= 0. Výsledky testu. a);. b);. b); 4. a); 5. a); 6. a); 7. b). Průodce studiem Pokud jste spráně odpoěděli nejméně e 4 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudoat kapitolu.4. znou. 54

32 Přímka.5. Přímka Výklad Předpokládejme, že prostoru E je dána děma různými body A, B přímka, kterou označíme AB. Sestrojme ektor u = B - A. Liboolný bod X leží na přímce AB práě tehdy, když ektory u a X - A jsou lineárně záislé, tj. když existuje t R tak, že Předchozí ronici upraíme na tar X - A = t. u. X = A + t. u. () Ronici () nazýáme ektoroou ronicí přímky. Zřejmě ke každému X AB existuje práě jedno t R tak, že platí () a obráceně, pro každé t R existuje práě jeden bod X přímky AB. Situace pro t {-; 0; ; ; } je znázorněna na obr.. A u B X=A+.u X=A+.u X=A+.u X= A+(-).u X=A+0.u Obr. Vektor u a každý jeho nenuloý násobek nazeme směroým ektorem přímky AB. Jestliže je dána přímka p bodem A = (x 0, y 0, z 0 ) a směroým ektorem u = (u, u, u ), pak ze ztahu () dostaneme ronice 55

33 Přímka x = x + t u 0 y = y + t u 0, 0 z = z + t u které nazýáme parametrickými ronicemi přímky p. Mějme nyní roiny α : a x + b y + c z + d = 0, α : a x + b y + c z + d = 0. V případě, že α, α jsou různoběžné, tj. α α = p, můžeme uažoanou soustau ronic pokládat za implicitní yjádření přímky p. Implicitním yjádřením přímky p je také každá soustaa ekialentní s uažoanou soustaou. Řešené úlohy Příklad Určeme parametrické ronice přímky p = α α, kde α : x + y - z = 0, α : x - y + = 0. Řešení: Bod X hledaného průniku musí yhooat oběma ronicím a je tedy řešením soustay dou ronic o třech neznámých. Řešení této soustay je x = - + t, y= + t, z = t, které záisí na jednom parametru t R a je parametrickým yjádřením přímky p. Kontrolní otázky. K sestaení parametrických ronic přímky nezbytně potřebujme: a) práě body přímky, b) bod přímky a směroý ektor přímky, c) aspoň body přímky. 56

34 . Určité hodnotě parametru t R e ektoroé ronici přímky odpoídá: a) práě jeden bod přímky, b) aspoň jeden bod přímky, c) nekonečně mnoho bodů přímky.. Ke každému bodu přímky odpoídá: a) nejýše jedna hodnota parametru t R e ektoroé ronici přímky, b) práě jedna hodnota parametru t R e ektoroé ronici přímky, c) hodnoty parametru t < 0,>. Přímka 4. Je-li u směroým ektorem přímky p, je i každý ektor a) ektor k., kde u k { 0} b) ektor k. u, kde k R, R, c) ektor k. u, kde k < 0,>. α: ax+ by+ cz+ d= 0, 5. Je-li α : ax+ by+ cz+ d = 0 implicitní yjádření ronice přímky, pak a) roiny α a α musí být ronoběžné, b) roiny α a α musí být totožné, c) roiny α a α musí být různoběžné. Odpoědi na kontrolní otázky. b);. a);. b); 4. a); 5. c). Úlohy k samostatnému řešení. Určete parametrické ronice přímky procházející bodem X 0 = (, -, -) ronoběžně a) s ektorem u = (, -, 4), b) s přímkou x = - + t, y = - t, z = + 5t.. Trojúhelník má rcholy A = (5, 7, ), B = (-7, -, 6), C = (-5,, ). Napište ronice přímek, na nichž leží 57

35 a) strany trojúhelníka, b) těžnice trojúhelníka.. Napište parametrické ronice přímky: x + y z = 0, x + y z 4 = a) p: b) q : x + y z 9 = 0, x 5y + z + = x + y z 6 = 0, c) r : x y + z + = Zjistěte, zda dané přímky jsou nazájem ronoběžné nebo na sebe kolmé: x + y + z + = 0, a) p: x = 5 + t, y = - t, z = -7 + t, q : x y z = 0. Přímka 0, 0, x + y 4z+ = 0, b) p: x = + t, y = - + t, z = - 6t, q : 4x y 5z+ 4= 0. c) p: d) p: x + y z = 0, x y 9z = 0, x + y z+ = 0, x y+ z+ = 0, x + y+ z+ 5= 0, q: x y z+ = 0. x + y 5z = 0, q: x y+ z 9= 0. Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) x = + t, y = - - t, z = - + 4t, b) x = + t, y = - - t, z = - + 5t.. a) a: x = -7 + t, y = - + 7t, z = 6 - t; b: x = t, y = + t, z = ; c: x = 5-6t, y = 7-9t, z = + t, b) t a : x = 5 - t, y = 7 - t, z = + t; t b : x = t, y = - + 6t, z = 6-4t; t c : x = t, y = - 5t, z = + t.. a) x = + t, y = 4 + 4t, z = + 5t, b) x = + t, y = -7t, z = - - 9t, c) x = - t, y = + t, z = - + 5t. 4. a) ronoběžné, b) kolmé, c) kolmé, d) ronoběžné. Kontrolní test. Napište parametrické ronice přímky p, která prochází bodem M = ( 4, 5,7) a je ronoběžná s přímkou q :x = t,y= + t,z=. 58

36 a) p :x = 4 t,y= 5+ t,z= 7, b) p :x= 4+ t,y= 5+ t,z= 7+ t. Přímka. Napište parametrické ronici přímky p, která prochází bodem P = (,,) a je kolmá na roinu x y+ z+ = 0. a) p : x = + t, y = + t, z = + t, b) p :x= + t,y= t,z= + t.. Vyšetřete, zda na přímce x = t,y= t+,z= t leží bod A = (,, ). a) ano, b) ne. 4. Napište parametrické ronice přímky, která prochází body A = (,9,),B = (5,,). a) x = + t, y = 9 6t, z = + 8t, b) x = t, y = 9+ 5t, z =. 5. Napište parametrické ronice přímky, která prochází bodem P = (,,) a je kolmá k roině z= 0. a) x = + t, y = + t, z =, b) x =,y=,z= + t. 6. Přímka p je určena jako průsečnice dou roin x y+ 5z = 0, p: x 4y + z + = 0. Najděte její parametrické ronice. a) x= + 9t,y= + t,z= t, b) x = + t,y= 4t,z= 5+ t. 7. Přímka p je určena ronicemi x+ y 4z+ 7= 0, x 5y + z + = 0. a) ( 8,,), b) (8,,). Určete její směroý ektor. Výsledky testu. a);. b);. b); 4. a); 5. b); 6. a); 7. b). Průodce studiem Pokud jste spráně odpoěděli nejméně e 4 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudoat kapitolu.5. znou. 59

37 Vzájemná poloha lineárních útarů E.6. Vzájemná poloha lineárních útarů E Výklad A. Vzájemná poloha dou přímek Uažujme E přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + s a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takoé hodnoty parametrů r, s, které dosazeny do uedených ronic určí týž bod. Pro r, s dostááme ronici ru - s = B - A, kde A = (a, a, a ), B = (b, b, b ), u = (u, u, u ) a = (,, ). Dosadíme souřadnice a dostaneme soustau tří ronic o neznámých r, s ru - s = b - a ru - s = b - a ru - s = b - a. Označme h hodnost matice soustay a h hodnost matice rozšířené. Pro přímky p, q pak nastane práě jedna z následujících možností: () Soustaa nemá žádné řešení a ektory u, jsou lineárně záislé (h =, h = ). Přímky p, q jsou ronoběžné, různé. () Soustaa nemá žádné řešení a ektory u, jsou lineárně nezáislé (h =, h = ). Přímky p, q jsou mimoběžné. () Soustaa má práě jedno řešení, ektory u, jsou pak lineárně nezáislé (h =, h = ). Přímky p, q jsou různoběžné. 60

38 Vzájemná poloha lineárních útarů E (4) Soustaa má nekonečně mnoho řešení. Pak jsou ektory u, lineárně záislé (h =, h = ). Přímky p, q jsou totožné. Řešené úlohy Příklad Rozhodněme o zájemné poloze přímek p: X = A + ru, q: Y = B + s, jestliže a) A = (-,, ), u = (,, -), B = (9, 4, -0), = (-9, -, ), b) A = (7, 5, ), u = (,, ), B = (0, -, -), = (,, ). Řešení: a) Platí = -u, ektory u, jsou lineárně záislé. Zjistíme, zda jsou přímky p, q totožné nebo ronoběžné. Budeme proto hledat společné body přímek p, q. Soustaa ronic má tar r + 9s = 0 r + s = r s =. Lze se snadno přesědčit, že soustaa nemá řešení a tedy přímky p, q jsou ronoběžné, různé. b) Vektory u, jsou lineárně nezáislé. Přímky p, q jsou různoběžky nebo mimoběžky. Nyní budeme řešit soustau ronic r s = 7 r s = 6 r s = 5. Soustaa má jediné řešení r = -, s =. Existuje tedy jediný průsečík přímek p, q, bod R = (,, ). Přímky p, q jsou různoběžné. Výklad B. Vzájemná poloha dou roin 6

39 Vzájemná poloha lineárních útarů E Pro dě roiny může nastat práě jedna z následujících možností: () Roiny nemají žádné společné body, pak jsou ronoběžné, různé. () Množina šech společných bodů obou roin je přímka, tj. obě roiny jsou různoběžné. () Roiny jsou totožné. Předpokládejme, že roiny jsou dány ektoroými ronicemi X = P + ka + lb, Y = Q + mc + nd, kde P = (p, p, p ), Q = (q, q, q ), a = (a, a, a ), b = (b, b, b ), c = (c, c, c ) a d = (d, d, d ). K získání společných bodů obou roin budeme řešit ronici P + ka + lb = Q + mc + nd s neznámými k, l, m, n. Dosadíme souřadnice a dostaneme soustau tří ronic o čtyřech neznámých. ka + lb mc nd = q p ka + lb mc nd = q p ka + l b mc nd = q p. Označíme h hodnost matice soustay a h hodnost matice rozšířené. Mohou nastat případy: () h =, h =, soustaa nemá řešení (roiny jsou ronoběžné různé), () h =, h =, soustaa má nekonečně mnoho řešení, která záisí na jednom parametru (roiny jsou různoběžné), () h =, h =, soustaa má nekonečně mnoho řešení, která záisí na dou parametrech (roiny jsou totožné). 6

40 Vzájemná poloha lineárních útarů E Řešené úlohy Příklad Rozhodněme o zájemné poloze roin: a) X = (,, ) + k(, 0, ) + l(-,, ), Y= (0,, -) + m(-,, ) + n(-,, -), b) X = (0, 0, ), + k(,, 0) + l(,, ), Y = (7, 5, 5) + m(,, ) + n(,, ), c) X = (,, ) + k(, 0, 4) + l(-6,, ), Y = (5,, 9) + m(, -, -) + n(, -, ). Řešení: a) Dostaneme soustau ronic: k l + m + n = l m n = k + l m + n =. Užijeme Gaussou eliminační metodu: A B Úpray 0 0 r r r 5r

41 Vzájemná poloha lineárních útarů E Je idět, že soustaa nemá řešení. Roiny jsou ronoběžné různé. b) Postupujeme stejně jako předchozím příkladu a ze soustay k + l m n = 7 k + l m n = 5 l m n = 4, získáme soustau k + l m n = 7 l m n = 4 m + n =. Platí h = h =. Nyní můžeme například n zolit liboolně. Položíme n = t. Dostaneme řešení k = + t, l = -t, m = - - t, n = t. Dosadíme toto řešení např. do ronice prní roiny: X = (0, 0, ) + ( + t)(,, 0) + (-t)(,, ), tj. X = (,, ) + t(-, -, -). Tím jsme získali ronici přímky, množiny šech společných bodů obou roin. Obě roiny jsou různoběžné. c) Soustau ronic k 6l m n = 4 l + m + n = 0 4k + l + m n = 8, upraíme na tar k 6l m n = 4 l + m + n = 0. Protože h = h =, můžeme dě neznámé zolit. Například k = r, l = s. Získáme řešení k = r, l = s, m = -r - s +, n = r - s -. Dosadíme toto řešení např. do ronice prní roiny: 64

42 Vzájemná poloha lineárních útarů E X = (,, ) + r(, 0, 4) + s(-, 6, 6). Je idět, že množina šech společných bodů obou roin je práě prní roina. Obě roiny jsou tedy totožné. Pokud budou roiny ρ, ρ dány obecnými ronicemi ax + by + cz + d = ax + by + cz + d = určíme jejich zájemnou polohu takto: Označme h hodnost matice předcházející soustay a h hodnost matice rozšířené. Potom platí: 0, 0, () Roiny ρ, ρ jsou ronoběžné, různé práě tehdy, když h =, h =. () Roiny ρ, ρ jsou různoběžné práě tehdy, když h = h =. () Roiny ρ, ρ jsou totožné práě tehdy, když h = h =. C. Vzájemná poloha přímky a roiny Budeme postupoat stejně jako předcházejících případech. Ronice přímky a ronice roiny určují soustau lineárních ronic a mohou nastat případy: () Soustaa nemá řešení; přímka nemá s roinou společný bod, je s roinou ronoběžná. () Soustaa má práě jedno řešení; přímka je s roinou různoběžná a má s ní společný práě jeden společný bod, průsečík. () Soustaa má nekonečně mnoho řešení; přímka leží roině. 65

43 Vzájemná poloha lineárních útarů E Řešené úlohy Příklad Rozhodněme o zájemné poloze přímky p: X = (,, ) + t(-, -4, ) a roiny ρ: x + y + z + 4 = 0. Řešení: Napíšeme parametrické ronice přímky p: x = t y = 4t z = + t. Dosadíme do ronice roiny: ( - t) + ( - 4t) + ( + t) + 4 = 0. Po úpraě dostaneme 8 = 0. Ronice nemá řešení, to znamená, že neexistuje společný bod přímky p a roiny ρ. Přímka p je ronoběžná s roinou ρ ( dané roině neleží). Úlohy k samostatnému řešení. Určete zájemnou polohu přímek p, q. V případě, že jsou různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku: a) p: x = + r, y = 7 + r, z = 5 + 4r, q: x = 6 + s, y = - - s, z = s, b) p: x = + r, y = r, z = + r, q: x = - + s, y = - + s, z = s, c) p: x = + r, y = - + 4r, z = 5 + r, q: x = 5s, y = - s, z = - + s, x y 4z + 5 = 0 d) p: q: 5x z + = 0, x + 4y + 5z = 0 y + z = 0, x + y + z + = 0 e) p: q: x y z = 0, y x + z = 0 + y = 0, x + y z = 0 f) p: x = - t, y = 4-5t, z = -4-4t, q: 8x z + = 0.. Pro jakou hodnotu čísla k jsou přímky p: x = - + r, y = -r, z = + 4r a q: x = + ks,y = + 4s, z = 7 + s různoběžné?. Zjistěte zájemnou polohu roin α, β a případě, že jsou různoběžné, rozhodněte, zda jsou na sebe kolmé a určete parametrické ronice přímky, níž se roiny protínají: a) α: x - y + 5z - 7 = 0, β: x - y + 5z + = 0, 66

44 Vzájemná poloha lineárních útarů E b) α: 4x + y - 4z + = 0, β: x + y + z - = 0, c) α: x - z + = 0, β: x = + r, y = s, z = r, d) α: x - y - z - 5 = 0, β: x + 9y - z + = 0, e) α: x = + r - s, y = + s, z = + p + q, β: x = -p -q, y = + p + q, z = - + p - q, f) α: x = r + s, y = r + s, z = + s, β: x = 7 + p + q, y = 5 + p + q, z = 5 + p + q, g) α: x = + r - 6s, y = + s, z = + 4r + s, β: x = 5 + p + q, y = - p - q, z = 9 - p + q, h) α: x - y + z =, β: x = 5 + r + s, y = r, z = s. 4. Určete čísla k, l tak, aby roiny α, β byly ronoběžné: a) α: x + ky + z - 5 = 0, β: lx - 6y - 6z + = 0, b) α: x - y + kz - 9 = 0, β: x + ly + z - = Určete číslo l tak, aby roiny α, β byly na sebe kolmé: a) α: x - 5y + lz - = 0, β: x + y + z + 5 = 0, b) α: 5x + y - z - = 0, β: x + ly - z + = Rozhodněte o zájemné poloze přímky p a roiny ρ. V případě, že jsou různoběžné, určete souřadnice jejich průsečíku. a) Přímka p je dána body A, B a roina ρ body MNQ, A = (,, ), B = (,, ), M = (,, ), N = (,, ), Q = (, 5, ). b) Přímka p je dána body E = (,, ), F = (4, 5, 0) a roina ρ: x + y + z + 4 = 0. c) p: x = 5t, y = 0, z = t, ρ: x = + r + s, y = - r + s, z = r - s. d) p: x = - + t, y = - 4t, z = t, ρ: 4x - y - 6z - 5 = 0. e) p: x = + t, y = - - t, z = 6t, ρ: x + y + z - = 0. f) p: x = - - t, y = + t, z = + t, ρ: x + y - z + 6 = Pro které hodnoty k, l leží přímka p: x = + 4t, y = - 4t, z = - + t roině ρ: kx + y - 4z + l = 0? 8. Pro které hodnoty k, l je roina ρ: kx + ly + z - 5 = 0 kolmá k přímce p: x = + t, y = 5 - t, z = - - t? 9. Pro jakou hodnotu k je přímka p ronoběžná s roinou ρ: a) p: x = - + t, y = + kt, z = - - t, ρ: x - y + 6z + 7 = 0, 67

45 Vzájemná poloha lineárních útarů E b) ρ: x - y + kz - = 0, p: x y + z + = 0 4x y + 4z + = 0. Výsledky úloh k samostatnému řešení 4 5. a) různoběžné, (-, 5, -), b) totožné, c) mimoběžné, d) různoběžné, (,, ), e) mimoběžné, f) ronoběžné.. k =.. a) ronoběžné, b) různoběžné, nejsou kolmé, p: x = - + t, y = - t, z =, c) ronoběžné, d) různoběžné, kolmé, p: x = 55 + t, y = t, z = 7 + 4t. e) ronoběžné, f) různoběžné, nejsou kolmé, p: x = - t, y = - t, z = - t, g) totožné, h) různoběžné, nejsou kolmé, x = 7 + 4t, y = + t, z = t. 4. a) k =, l = -4, b) k =, l =. 5. a) l = 6, b) l = a) různoběžné, R = (,, ), b) ronoběžné, c) totožné, d) ronoběžné, e) různoběžné, R = (, -, 6), f) totožné. 7. k =, l = k = -, l = a) k = -, b) k = -. 68

46 Metrické lastnosti lineárních útarů E.7. Metrické lastnosti lineárních útarů E Výklad Mějme E přímky p se směroým ektorem u a q se směroým ektorem. Zolme liboolný bod M a eďme jím přímky p se směroým ektorem u a q se směroým ektorem. Přímky p, q rozdělují roinu na čtyři konexní neorientoané úhly, z nichž da a da mají stejnou elikost. Označme jejich elikost α, β. Odchylkou přímek p, q pak rozumíme úhel ϕ, kde ϕ = min {α, β}. Pro totožné přímky položíme ϕ = 0. Odchylka dou přímek je tedy úhel ϕ pro směroé ektory u, je jejich úhel ψ. Pak buď ψ π 0,. Nechť π 0, a ψ je odchylkou obou π přímek, tj. ϕ = ψ, nebo ψ, π, potom odchylkou ϕ přímek je číslo π ψ, tj. ϕ = π - ψ. Pro oba případy můžeme užít jediného ztahu cos ϕ= cos ψ = u. u.. () Odchylku ϕ dou roin ρ, σ definujeme pomocí jejich normáloých ektorů n ρ, n σ ztahem cos ϕ = n. n n ρ ρ σ. n σ. () Spránost ztahu plyne z ěty o ronosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. ). Obdobně definujeme odchylku přímky p se směroým ektorem u od roiny ρ s normáloým ektorem n ztahem sin u. n ϕ = cos ψ =, () u. n 69

47 Metrické lastnosti lineárních útarů E kde ϕ = π ψ (obr. 4). ρ. n ρ φ. ψ p σ u φ n σ. σ φ n. ρ Obr. Obr. 4 Řešené úlohy Příklad Určeme odchylku ϕ roin ABC a BCD: A = (,, ), B = (,, ), C = (,, 0), D = (,, ). Řešení: K určení normáloých ektorů n a n roin ABC a BCD užijeme ektoroého součinu: i j k n = ( B A) x (C A) = 0 0 = (, 0, 0), 0 n i j k = ( D B) x (D C) = 0 0 (, 0, 0). =

48 Metrické lastnosti lineárních útarů E Užijeme ztahu () pro odchylku dou roin: cos ϕ = ( ).. =, ϕ = 0. Řešené úlohy Příklad Vypočtěme odchylku roiny α: x - y + = 0 a přímky AB, A = (5, 5, 5), B = (, 5, ). Řešení: Dostááme n = (, -, 0) pro normáloý ektor roiny α a u = B - A = = (-, 0, -) pro směroý ektor přímky AB. Dále podle () sin ϕ = ( 0,, ).(, 0, ) + ( ). ( ) + ( ) π = atedy ϕ =. 6 Výklad ρ(x 0, α). Vzdálenost bodu X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) od roiny α: ax + by + cz + d = 0 označíme Z bodu X 0 edeme kolmici p na roinu α (obr. 5). Označíme průsečík A = p α. X x 0 p α n A. Obr. 5 7

49 Metrické lastnosti lineárních útarů E Vzdálenost bodů X 0, A je pak hledanou zdáleností. Pro normáloý ektor n = (a, b, c) roiny α platí X A = tn, t R a tedy A - X 0 = t. n = t a + b + c 0. Označme A = (x A, y A, z A ). Z ektoroé ronice X A = tn 0 dostaneme x = x + t a A y = y + t b A z = z + t c A Poněadž A α musí být ax A + by A + cz A + d = 0. Dosadíme za x A, y A a z A do předchozí ronice a dostaneme a(x 0 + ta) + b(y 0 + tb) + c(z 0 + tc) + d = 0. Odtud ax 0 + by0 + cz0 + d t = a + b + c. Užijeme ronici pro zdálenost bodů A, X 0 a získáme ztah A X = 0 ax + by + cz + d a + b + c = ρ ( X α) 0,. Vzdálenost bodu X 0 = (x 0, y 0, z 0 ) od přímky p: x = x + u t, y = y + u t, z = z + u t, která je dána bodem X = (x, y, z ) a směroým ektorem u(u, u, u ), označíme ρ(x 0, p). Z lastností ektoroého součinu a ze ztahu pro ýpočet obsahu ronoběžníka (obr. 6) yplýá ronost u JJJJJJG XX 0 = u.d. Z ronice yjádříme d a dostaneme ztah : 7

50 Metrické lastnosti lineárních útarů E X 0 JJJJJJG u XX 0 d = = ρ ( X 0, p). u d p. u X Obr. 6 Práce analytické geometrii je natolik rozmanitá, že se nelze spoléhat jen na použití zorců. Obykle je nutno nejpre rozážit prostoroé řešení příkladu a potom jej analytickou metodou yřešit. Řešené úlohy Příklad Určeme bod Y, který má stejnou zdálenost od bodů A = (,, ) a B = (-, 0, ) a leží na přímce p: x = t, y = - t, z = - t. Rozbor úlohy (obr. 7):. Určíme souřadnice bodu C, který je středem úsečky s koncoými body A, B.. Stanoíme ronici roiny α procházející bodem C kolmo k přímce AB. (Roina α je množina šech bodů, které mají stejnou zdálenost od bodů A, B).. Určíme Y = p α. Bod Y má požadoanou lastnost. Řešení:. Bod C je středem úsečky s koncoými body A, B a tedy platí C= ( A + B), tj. C = (0,, ). 7

51 Metrické lastnosti lineárních útarů E A p C Y α B Obr. 7. Roina α má ronici ax + by + cz + d = 0. Má-li C ležet roině α, je a.0 + b. + c. + d = 0. Vektor AB = (-, -, 0) můžeme poažoat za normáloý ektor roiny α. Platí d = 0, d =. Roina α má pak ronici a po úpraě x y + = 0 4x + y - = 0.. Souřadnice společného bodu přímky p a roiny α nalezneme řešením soustay ronic x = t, y = - t, z = - t, 4x + y - = 0. Z prních tří ronic dosadíme do čtrté a dostaneme t = -. Dosazením do prních tří ronic získáme souřadnice bodu Y = (,, ). 74

52 Metrické lastnosti lineárních útarů E Kontrolní otázky. Jsou-li směroé ektory u, lineárně nezáislé, která z možností platí pro přímky p, q: a) ronoběžné různé nebo různoběžné, b) ) ronoběžné různé nebo mimoběžné, c) různoběžné nebo mimoběžné.. Obecné ronice dou roin αβ, určují soustau dou lineárních ronic o třech neznámých. Která z možností platí, jsou-li roiny různoběžné: a) h =,h =, b) h = h =, c) h= h =.. Ronice přímky a ronice roiny určují soustau lineárních ronic. Jaká je zájemná poloha přímky s roinou, má-li soustaa práě jedno řešení: a) ronoběžná, b) různoběžná, c) totožná. 4. Jaký součin ektorů použíáme pro ýpočet odchylek lineárních útarů E : a) skalární, b) ektoroý, c) smíšený. 5. Který ze ztahů definuje odchylku ϕ přímky p se směroým ektorem u od roinyα s normáloým ektorem n: a) cos ϕ = un u n, un b) si n ϕ =, u n c) tg ϕ = un u n, 6. Jakou metodu použijeme při ýpočtu zdálenosti bodu od přímky: a) ýpočet ýšky trojúhelníka, b) ýpočet objemu trojstěnu, c) ýpočet odchylky dou přímek. 75

53 Metrické lastnosti lineárních útarů E Odpoědi na kontrolní otázky. c),. b),. b), 4. a), 5. b), 6. a). Úlohy k samostatnému řešení. Určete odchylku přímek p, q: a) p: x = + t, y = - - t, z = t, q: x = - + t, y = + t, z = -5 + t, x b) p: x = - + t, y = 0, z = - t, q: z 5 = y = 0 0, c) p: x y z = q: x + y z 4 = 0,. Vypočtěte odchylku roin α a β, jestliže x 6y 6z + = 0 x + y + 9z = 0. a) roina α je dána body A, B, C a roina β body B, C, D: A = (,, ), B = (,, ), C = (,, 0), D = (,, ), b) α: 4x - y + z - = 0, β: x = - r + s, y = - r + s, z = + r - s, c) α, β jsou roiny stěn čtyřstěnu ABCD protínající se hraně AB, A = (0,, 6), B = (,, 4), C = (5, 0, ), D = (0,, 0).. Najděte odchylku přímky p od roiny ρ, jestliže a) p: x = + t, y = + t, z = - - t, ρ: x + y = 0, b) přímka p je dána body A = (5, 5, 5) a B = (, 5, ) a ρ: x - y + = Stanote zdálenost bodu M od roiny α, jestliže a) M = (-, -4, ), α: x - y + z + = 0, b) M = (,, -), α: 5x - y + z + 4 = 0, c) M = (-,, -) a roina α je dána body A, B, C: A = (, -, ), B = (-,, ), C = (4, -5, -), d) M = (,, -), α: x = r + s, y = - r + s, z = - + s. 5. Určete zdálenost bodu X 0 od přímky a, jestliže a) X 0 = (,, ), a: x = - t, y = + t, z = 7 - t, b) X 0 = (,, -), a: x = + t, y = + t, z = + 4t, 76

54 Metrické lastnosti lineárních útarů E c) X 0 = (,, -), a: x y 9 = 0 y z + 7 = 0. x y + z + = 0 x y + z + 7 = Napište ronici přímky m, která prochází bodem K = (,, ) a je kolmá k roině ρ: x = - r + s, y = + r + s, z = 4 - r + s. 7. Určete ronici roiny souměrnosti úsečky AB: A = (,, 0), B = (-, 5, 4). 8. Určete bod Q souměrně sdružený s bodem P = (, -5, 7) podle přímky p, která prochází body A = (5, 4, 6) a B = (-, -7, -8). 9. Zjistěte souřadnice bodu Q souměrně sdruženého s bodem P = (,, -4) podle roiny α: x + y - z = Určete zdálenost ronoběžných roin α a β: a) α: x - y - z - = 0, β: x - y - z - 6 = 0, b) α: x - y + 6z - 4 = 0, β: 4x - 6y + z + = 0.. Vypočtěte zdálenost ronoběžných přímek p a q, jestliže a) p: x = + t, y = - + t, z = - + t, q: x = + t, y = + t, z = - + t, b) přímka p je dána body A, B: A = (7, 7, ), B = (0, 9, 4) a q:. Najděte kolmý průmět bodu A = (, -, 4) do roiny α: x + y + z - 0 = 0.. Určete obecnou ronici roiny procházející bodem X 0 = (,, -) ronoběžně s přímkami p: x = + t, y = - - t, z = 7 + t, q: x = -5 + t, y = - t, z = - - t. 4. Určete obecnou ronici roiny, která prochází bodem X 0 = (, -, ) a přímkou p: x = + t, y = - t, z = - + t. 5. Určete obecnou ronici roiny procházející přímkou p: x = + t, y = + t, z = - - t ronoběžně s přímkou q : x y + z = x + y z 5 == 6. Určete parametrické ronice přímky procházející bodem X 0 = (, -, -4) ronoběžně s roinou α: x - y - z - 7 = 0, která protíná přímku p: x = + t, y = -4 - t, z = + t. 7. Stanote parametrické ronice přímky, která je ronoběžná s roinami α: x + y - z - 5 = 0, β: x - 4y + 9z + 7 = 0 a protíná přímky p: x = -5 + t, y = - 4t, z = - + t, q: x = - t, y = - + t, z = + 4t. 0, 0. 77

55 Metrické lastnosti lineárních útarů E Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) π π ϕ ϕ ϕ 4 =, b) =, c) cos =..a) ϕ = 0, b) ϕ = , c) ϕ = a) ϕ = π, b) ϕ = π. 4. a) ρ (M, α) =, b) ρ (M, α) = 0, c) ρ (M, α) = 4, 6 d) ρ (M, α) = a) ρ (X 0, a) = 4 4 5,6, b) ρ (X 0, a) = 6, c) ρ (X 0, a) = x = + t, y = + t, z = - 5t. 7. 6x - 4y - 8z + 9 = Q = (4,, -). 9.Q = (-5,, 0). 0. a) d =, b) d =,5.. a) d = 4, b) d = 6.. (5, 0, 5).. 9x + y + 5z - 6 = x + 6y + 5z - = x - 4y + z + 5 = x = + 5t, y = - - 6t, z = t. 7. x = - + 8t, y = - - t, z = - 4t. Kontrolní test. Jsou dány body A = (,, 4), B = (,, 4), C = (,, ), D = (0, 5, 0). Určete zájemnou polohu přímek AB, CD: a) různoběžné, b) ronoběžné totožné, c) mimoběžné.. Určete zájemnou polohu roin: :x y z 0, α + + = β : A = (,7,0), u= (,,0), = (0,, ). a) ronoběžné, b) různoběžné, c) ronoběžné totožné.. Napište ronici průsečnice roin :x y z 0, α + + = :4x 5y z 0. β + + = a) b) x = 6 6t y = 5+ 5t z = t x = 6+ 6t y = 5 5t z = 5t 78

56 Metrické lastnosti lineárních útarů E 4. Určete zájemnou ronici přímky a roiny: p : P = (,, ), u= (,, ), α :9x+ y+ z+ = 0. a) různoběžné, b) ronoběžné, c) leží roině. 5. Vypočtěte odchylku přímek p, q, jsou-li: p: x+ y z= y+ z 4= 0, q : x + y z + 4 = 4x y + z 0 = 0. o o o a) 79 0, b) 8 0, c) Vypočtěte odchylku přímky p a roiny α : p : P = (,,0), u= (9,, 4), α : A = (5,4,), B = (8,7,6),C = (,,). a) 75 o o 0, b) 87 40, c) 7. Určete zdálenost dou roin: α β : x y 6y+ 5= 0, :x y 6z= 0. a) 5, b) 5, c) 5. o Určete zdálenost bodu A = (,,) od přímky p :B = (,,0),C = (,4,). a) 6, b) 6, c) 66. Výsledky testu. b),. c),. a), 4. b), 5. a), 6. b), 7. b), 8. a). Průodce studiem Pokud jste spráně odpoěděli nejméně 6 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudoat kapitoly.6.,.7. znou. 79