Dodatek C: Lommelovy funkce dvou proměnných

Transkript

1 DODATEK C: LOMMELOVY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH 45 Dodatek C: Lommeloy fnkce do proměnných C. Defnce Lommeloých fnkcí U ν, ), V ν, ) C. Určtý ntegrál yjádřený Lommeloým fnkcem C.3 Lommeloy fnkce pro specální hodnoty proměnných, Lommeloy fnkce do proměnných U ν, ), V ν, ) zaedl E. Lommel e do rozsáhlých článcích ěnoaných ýpočtům rozložení ntenzty dfrakčních jeech na krhoém otor resp. dsk a na stínítkách s přímkoým okraj. Přtom se defnc těchto fnkcí dopstl jsté nedůslednost, na ktero pozorníme odst. C.. V odst. C. podrobně kážeme, jak ntegrace per partes dfrakčního ntegrál pro krhoý otor resp. krhoý dsk ede na Lommeloy fnkce U, ), U, ), V 0, ) a V, ) a edeme grafy těchto fnkcí. V odst. C.3 ododíme několk lastností Lommeloých fnkcí, které jso žtečné př dsks dfrakčních jeů. C. Defnce Lommeloých fnkcí U ν, ), V ν, ) V prém z ctoaných článků defnoal Lommel fnkce U ν, ) a V ν, ) pro celočíselný řád ν = n řadam U n, ) = V n, ) = ) m ) n+m Jn+m ), ) ) m ) n+m Jn+m ) ) z, str. 43). Ve drhém článk zobecnl tyto fnkce také pro neceločíselný řád ν, a to takto U ν, ) = V ν, ) = ) m ) ν+m Jν+m ), 3) ) m ) ν m J ν m ) 4) z, str. 555). Pro celočíselný řád ν = n se ošem defnce ) a 4) lší neboť J n ) = ) n J n )) a mez takto zaedeným fnkcem platí ztah V n, ) = ) n V n, ). 5) Řada 3) pro fnkce U ν, ) konergje př lboolném ν pro šechny hodnoty proměnných a. Přesědčíme se o tom toto úaho: Z lastnost Besseloých fnkcí J ν x) x ) ν Γν + ) yplýá, že absoltní hodnota m tého člen řady 3) splňje neronost ) ν+m )m Jν+m ) ν+m ν+m Γν + m + ) = b m. Majoranta b m šak konergje, neboť b m+ = m b m ) Γν + m + ) ) m Γν + m + 3) = m ν + m + )ν + m + ) = 0.

2 46 DODATEK C: LOMMELOVY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH S defncí fnkcí U ν, ) pro lboolná ν tedy nejso potíže. Naprot tom lze kázat, že řada 4) konergje poze, když ν je celé číslo. Aby obešel tto nesnáz, defnoal posléze Lommel z, str. 559) fnkc V ν, ) pro lboolné ν ýrazem ) V ν, ) = U ν+, ) + cos + + νπ, 6) jehož soslost s řado 4) ozřejmíme další část tohoto odstace. Zdá se, že lteratře se ětšno požíá Lommeloých fnkcí U ν, ), V ν, ) defnoaných ztahy 3) a 6) sro. např. 3, str. 537, 538, 4, ztahy ), 9), 5 ztahy 7.587) a 88), 6, ztahy 8.578). Fnkce V ν, ) šak nebýají značeny křížkem.) Nejrozšířenější optcká monografe 7, str. 487, šak požíá defnce ) a ). Proto bdeme požíat zde zaedené symbolky, tj. psát V n, ) pro ) a V ν, ) pro 6). Pro pops Fresneloy dfrakce na krhoém otor resp. dsk se ystačí poze s fnkcem U, ), U, ), V 0, ) a V, ), takže na rozdílnost defnc je třeba dáat pozor poze fnkce V, ). Abychom poznal soslost praých stran ýrazů 4) a 6) bdeme praoat ýraz U n, ) V n+, ) + U n+, ) V n+, ) př celočíselném n. Vyjdeme z řad 3) a 4). Pro reálno část ypočteme U n, ) V n+, ) = = ) m ) n+m Jn+m ) = ) n = ) n = ) n Podobně magnární část m= ) m ) n m Jn m ) = ) n+m Jn+m ) ) n ) n+m Jn+m ) + ) n m Jn m ) = ) n m+) Jn m+) ) ) n+m Jn+m ). 7) = U n+, ) V n+, ) = = ) m ) n++m Jn++m ) Takže = ) n+ = ) n+ m= ) m ) n m Jn m ) = ) n++m Jn++m ) ) n ) n m Jn m ) = ) n++m Jn++m ). 8) U n, ) V n+, ) + U n+, ) V n+, ) = = ) n ) n+m Jn+m ) + ) n++m Jn++m ) m= = ) n m= Položíme-l e ytořjící fnkc pro Besseloy fnkce ) n+m Jn+m ). 9) =

3 C. Určtý ntegrál yjádřený Lommeloým fnkcem 47 t =, je t t ) = Reálná část ro. ) dáá ronost t ) t ) + = m= t m J m ) 0) a praá strana ztah 0) je řado 9). Dostááme tedy U n, ) V n+, ) + U n+, ) V n+, ) = ) = ) n + = ) = + nπ. ) U n, ) V n+, ) = cos Zaměníme-l této ronc n + za n dostááme V n, ) = U n+, ) + cos ) + nπ. ) ) + + nπ. 3) V tomto smysl je defnce 6) zobecněním ztah 3) pro lboolný řád ν. Upozorníme ještě na několk ztahů a zajímaostí, které z předcházejícího bezprostředně yplýají. Předeším je pozorhodné, že počítaný ýraz, tj. leá strana ro. ) zásí na n jen prostřednctím faktor ) n. Dále je zajímaé, že magnární část ro. ), tj. ) U n+, ) V n+, ) = sn + nπ 4) se dostane z reálné část ) přechodem od n k n +. Pro ýpočet Fresneloy dfrakce na krhoém otor resp. krhoé překážce jso žtečné specální případy ztahů ), ) a 4) pro n =. Ze 4) plyne ze ) U, ) + V 0, ) = cos U, ) V, ) = sn Z těchto ronc nebo přímo z )) pak dostááme tj. U, ) V 0, ) ± U, ) V, ) U, ) ± U, ) + V 0, ) V, ) ) +, 5) ) +. 6) = ± = ± C. Určtý ntegrál yjádřený Lommeloým fnkcem ) +, 7) ) +. 8) Rotačně symetrcké Fresneloy dfrakční jey býají popsoány Lommeloým fnkcem do proměnných. Uedeme nyní konkrétní případ a sce Fresnelo dfrakc na krhoém otor resp. na krhoém dsk, který kazje, jak k takoém yjádření dochází. Vlnoá fnkce charakterzjící Fresnelo dfrakc na krhoém otor resp. dsk obsahje ntegrál b a ) t t J 0 t) dt

4 48 DODATEK C: LOMMELOVY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH sro. 5.8)). V případě otor je a = 0, b =, případě dsk je a =, b =. Vypočítáme tedy metodo per partes nerčtý ntegrál I 0, ; t) = 0, ; t) = ) t t J 0 t) dt. ) Půjdeme přtom děma různým cestam založeným na do různých ztazích mez Besseloým fnkcem. Integrál ) je účelné poažoat za specální případ ntegrálů I n, ; t) = pro n = 0. Vztahů mez Besseloým fnkcem ) t t n+ J n t) dt, n, ; t) = d t ν+ J ν+ t) = t ν+ J ν t), dt d dt Jν t) t ν ) dt t J n t) t n ) = J ν+t) t ν z např. 6, ztahy , , str. 04, ztahy B.89), B.80)) bdeme požíat těchto konkrétních tarech. t n+ J n t) dt = tn+ J n+ t) + C, 3) d Jn t) dt t n = J n+t) t n. 4) Protože nakonec půjde o ýpočet rčtých ntegrálů, můžeme s doolt gnoroat ntegrační konstant C e 3) e ztazích, které bdo následoat.) Pohlížejme tedy na ntegrál I n jako na ntegrál tar I n = ) p q dt, kde p = t, q = t n+ J n t). Pak p = t t) a, zhledem k 3), q = tn+ J n+ t). Tak dostááme ) t t n+ J n t) dt = ) t t n+ J n+ t) ) t t n+ J n+ t) dt, tj. I n, ; t) = t) t n+ J n+ t) I n+, ; t). 5) Bdeme-l tto procedr ještě M krát opakoat, dostaneme I n, ; t) = t) Pro ntegrál I 0 tedy je M ) m ) m+ t n+m+ J n+m+ t) + ) M+ ) M+ In+M+, ; t). 6) I 0, ; t) = t) M ) m ) m+ t m+ J m+ t) + ) M+ ) M+ IM+, ; t). 7) Určtý ntegrál, který se yskytje e lnoé fnkc charakterzjící Fresnelo dfrakc na krhoém otor, dostaneme, když 7) dosadíme jednak t =, jednak t = 0, oba takto získané ýrazy I 0,, ), I 0,, 0) odečteme a přejdeme k tě pro M. Nejpre se šak jstíme, že ta člen stojícího na praé straně 7) mmo sm je nloá:

5 C. Určtý ntegrál yjádřený Lommeloým fnkcem 49 Poněadž I 0,, 0) = 0, platí 0 ) M+ 0 ) t = = = ) t t J 0 t) dt = ) t M+ J M+ t) dt ) M+ t M+ J M+ t) dt = 0 ) M+ t M+ J M+ t) dt = 0 ) M+ tm+ J M+ t) = J M+) M+ M+ M+ M+ M + )! = 0. t=0 ) m ) m+ Jm+ ) = = ) U, ) U, ). 8) Konergenc řad pro U, ) a U, ) jsme jž dokázal odst. C..) Podobně pohlížíme-l na ntegrál n jako na ntegrál tar n = p q dt, kde p = J ) nt) t n, q = t t, je podle 4) p = J n+ t)/t n a q = t). Je tedy ) dt t J n t) = t) J n t) tn t n tj. n, ; t) = t) Zopakjeme-l tto procedr ještě M krát, dostaneme n, ; t) = t) Specálně pro n = 0 je Určtý ntegrál M ) m+ ) m Jn+m t) t n+m 0, ; t) = t) M ) m+ ) m Jm t) t m ) t t J 0 t) dt = ) J n t) t n + n+, ; t). ) t J n+ t) dt t n, + ) M+ )M+ n+m+, ; t). 9) + ) M+ )M+ M+, ; t) 0) ) m ) m Jm ) = = ) V 0, ) V, ) = = ) V, ) + V 0, ). )

6 50 DODATEK C: LOMMELOVY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Dokázat, že ) M+ ) t J M+ t) dt = 0, je as obtížné. Ncméně o spránost ztah ) se můžeme přesědčt takto: Sečteme-l leé strany ronc 8) a ), dostaneme ntegrál od nly do nekonečna a ten je roen z např. 6, ztahy 6.783) a 4)) 0 ) t t J 0 t) dt = t M ). Poronáme-l prao stran této ronce se sočtem praých stran ronc 8) a ), dostaneme jedn z ronc C.8). Takto tedy stpjí fnkce U, ), U, ), V 0, ) a V, ) do teore dfrakce. Grafy těchto fnkcí jso na obrázcích až 4 z také 8, str. 8 84). Exstjí dost rozsáhlé tablky fnkcí U, ) a U, ) z 9, 0), dnes šak není obtížné ypočítat hodnoty Lommeloých fnkcí do proměnných přímo z defnce těchto fnkcí. C.3 Lommeloy fnkce pro specální hodnoty proměnných, Lommeloy fnkce mají mnoho pozorhodných lastností. Lze je nalézt půodních Lommeloých článcích a, nebo některých monografích o Besseloých fnkcích 3,, kap. XIV). Př dsks dfrakčních jeů moho být žtečné ýrazy, na které se Lommeloy fnkce redkjí př některých specálních olbách hodnot proměnných a. Pozorhodné jso tř zláštní případy: ) Pro ýpočet lnoé fnkce podél optcké osy jso žtečné ýrazy pro = 0 sro. 5.89)). Uážíme-l, že 0 J n )/ n = / n n!), je zřejmé z defnce C.), že Specálně U n, 0) = ) m n + m)! ) n+m. ) ) ) ) U 0, 0) = cos, U, 0) = sn, U, 0) = cos. ) Naprot tom 0 n J n ) = 0, když n =,,..., a 0 0 J 0 ) =, takže V 0, 0) =, V n, 0) = 0, pro n =,,.... 3) ) Z defnce C.) fnkcí U n, ) je zřejmé, že U 0 0, ) = J 0 ), U n 0, ) = 0, pro n, 4) a specálně ztah U n, ) 0 n = J n) n 5) U, ) = J ) 0 je potřebný pro ýpočet lnoé fnkce roně foksace z např. 7, 8.8., ztah 4)). ) Pro = což odpoídá hranc geometrckého stín, sro. 5.89)) platí 6) U n, ) = V n, ) = ) m J n+m ). 7) Specálně je z yjádření trgonometrckých fnkcí řadam Besseloých fnkcí, např. 6, 8.54) a ),, dodatek B. ), ))

7 C.3 Lommeloy fnkce pro specální hodnoty proměnných, 5 Obrázek : Graf fnkce U, ). Užtím lastností U, ) = U, ) a U, ) = U, ) obdržíme z graf hodnoty fnkce U, ) obor 5 5, 0 0 8, str. 8.

8 5 DODATEK C: LOMMELOVY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Obrázek : Graf fnkce U, ). Užtím lastností U, ) = U, ) = U, ) obdržíme z graf hodnoty fnkce U, ) obor 5 5, 0 0 8, str. 83.

9 C.3 Lommeloy fnkce pro specální hodnoty proměnných, 53 Obrázek 3: Graf fnkce V 0, ). Užtím lastností V 0, ) = V 0, ) = V 0, ) obdržíme z graf hodnoty fnkce V 0, ) obor 5 5, 0 0 8, str. 84.

10 54 DODATEK C: LOMMELOVY FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Obrázek 4: Graf fnkce V, ). Užtím lastností V, ) = V, ), V, ) = V, ) obdržíme z graf hodnoty fnkce V, ) obor 5 5, 0 0 8, str. 85.

11 REFERENCE 55 U 0, ) = V 0, ) = J 0) + cos, 8) U, ) = V, ) = sn, 9) U, ) = V, ) = J 0) cos. 0) Reference Lommel E.: De Begngserschenngen ener kresrnden Oeffnng nd enes kresrnden Schrmchens. Abh. Bayer. Akad. Wss., Math.-Phys. Cl., 5. Band,. Abth., 885), Lommel E.: De Begngserschenngen gerandlng begrenzten Schrme. Abh. Bayer. Akad. Wss., Math.-Phys. Cl., 45. Band, 3. Abth. 886), Watson G.N.: A Treatse on the Theory of Bessel Fnctons. Cambrdge Unersty Press, London and New York Lke Y. L.: Integrals of Bessel Fnctons. McGraw Hll Co., New York Bateman H., Erdély A.: Hgher Transcendental Fnctons. Vol. II. McGraw-Hll Book Co., Inc., New York, Toronto, London Gradshteyn I. S., Ryzhk I. M.: Table of Integrals, Seres, and Prodcts. Academc Press, New York and London Born M., Wolf E.: Prncples of Optcs. 7th ed. Cambrdge Unersty Press Komrska J.: Scalar Dffracton Theory n Electron Optcs. In: Adances n Electroncs and Electron Physcs L. Marton, ed.), Vol. 30. Academc Press, Inc., New York and London Dekanosdze E. N.: Tables of Lommel s Fnctons of Two Varables. Pergamon Press, Oxford Hebermehl G., Mnkowtz G., Schltz G.: Tabellen der Lommelschen Fnktonen U w, z), U w, z). Akademe Verlag, Berln 965. Komrska J.: Foreroské metody teor dfrakce a e strktrní analýze. VUTIUM Brno 00. Gray A., Mathews G. B., MacRobert T. M.: A Treatse on Bessel Fnctons and Ther Applcatons to Physcs. nd ed. Macmllan, London 9.

12 56