1. série. Různá čísla < 1 44.

Transkript

1 série Téma: Termínodeslání: Různá čísla ½ º Ò ½ ½º ÐÓ je řirozené q9+9 q ¾º ÐÓ ` není řirozené º ÐÓ Nechť c je řirozené číslo Rozhodněte, které z čísel c+ c a c c je větší a své tvrzení dokažte º ÐÓ Dokažte, že 999 < < 44 º ÐÓ Určete celou část čísla S: S= Uozornění: Některé z úloh v této sérii lákají k oužití kalkulačky či jiné výočetní techniky S jejich omocí asi snadno zjistíš, že číslo uvedené v rvním říkladě této série je rovno dvěma Tovšakneníúlněvše,cooToběchcemeVmatematicenenídůležitýjenomvýsledek,ale též zdůvodnění jeho srávnosti Je totiž otřeba řesvědčit i toho nejzarytějšího odůrce, že toto číslo je skutečně dvě, a ne třeba, , což by oužitá kalkulačka mohla zaokrouhlit na číslo dvě

2 Řešení série úloha je řirozené q9+9 q atedy Užitímvzorce(a+b) = a +a b+ab + b snadnonahlédneme,že ( ± 6) = ± 6+8 ±6 6=9 ±9 6, (R) q q9 9 6= q(+ q 6) + ( 6) =+ 6+ 6= Proty,kteřímajíocit,žesnadnonenahlédnou,anebjakjsmenatořišli:Označme x = 9+9 6ax = 9 9 6Numerickéodhadynámnaoví,žeokudje x + x celé číslo, ak je to číslo Zkusme vyočítat součin těchto čísel: x x = q(9+9 6)(9 9 6)= 9 8 6= 5= 5 Čísla x a x mají hezký součin (= 5) a možná i součet (= ) Jsou to tedy možná kořenykvadratickérovnice x x 5 řiomeňtesivztahymezikořenyolynomuajeho koeficienty(tzv Viètovy vztahy) Ze vzorce ro kořeny kvadratické rovnice vede římá cesta krovnosti(r) Poznámkyoravovatele: Většinařešitelůřišlanato,žedanéčíslojeřešenímrovnice x + 5x 8=0Někteřívšakoomnělizdůvodnit,žejedinýmreálnýmkořenemtétorovniceje číslo x=mohlobysetotižstát,žezískanárovnicebymělavícenežjedenkořenpakby ještě bylo otřeba zdůvodnit, že číslo je řešením naší ůvodní úlohy úloha ` není řirozené Nechť M={A+B 6 A, B Z}Lehceověřímevýočtem,žemnožina Mjeuzavřená na oerace sčítání, odčítání a násobení, tedy nař a, b M a ± b M atd Tedy ` = X+Y 6ronějakáceláčísla Xa Y;všimnětesi,že Y 0(Tohlevětšina

3 zvásdokazovalaomocíbinomickévěty)nynídokážeme,žežádnéčíslotvaru A+B 6, kde B 0 není racionální Toto číslo (solu s číslem A B 6) je kořenem olynomu x Ax+A 6B,cožjeolynomsceločíselnýmikoeficientyStačítedydokázattvrzení: VětaNechť x 0 jekořenemolynomu x n + a n x n + +a x+a 0,kde n aa k Z ro k=0,,, n Pakje x 0 čísloceléneboiracionální Důkaz: Nechť x 0 =,kde, q Z, q 0Dálemůžemeředokládat,že aqjsou q nesoudělná Dosazením do olynomu a úravou dostáváme n = a n n q a n n q a 0 q n Výraz na ravé straně je zřejmě dělitelný číslem q, což vzhledem k ředokladu nesoudělnosti aq(atedytakénesoudělnosti qa n )dává q= ±,cožjsmechtělidokázat Pro B 0 je tedy C = A+B 6 číslo celé nebo iracionální Celé však není, jinak by 6= C A B byločísloracionální 6jekořenemolynomu x 6,atedydlevětyje iracionální, neboť není číslem celým(roč?) Většina z vás ukázala(nebo rohlásila za zřejmé), že druhá odmocnina ze šesti je číslo iracionální a násobek, res součet čísla iracionálního s číslem celým je oět iracionální Což je srávně, náš důkaz je trošičku ukecanější, ovšem jen roto, aby vás seznámil s tvrzením, kterésevámtřebabudeněkdyhodit Poznámky oravovatele: Většina řešitelů vyřešila úlohu standardním zůsobem(tj rozis omocíbinomickévětyavyjádřenívetvaru A+B 6, A, B N)aobdržela5+0iNěkteří vyšliztvrzení(5+ 6) n +(5 6) n NProtože5 6 <,latí(5+ 6) NTento zůsobsemilíbil( 5+i)Záorná ibylaudělovánazazbytečněsložitéaneřehledné ostuy úloha Nechť c je řirozené číslo Rozhodněte, které z čísel c+ c a c c je větší a své tvrzení dokažte První číslo je menší než druhé, jak snadno nahlédneš, když si romyslíš následující úravy: c+ c= < = c c c++ c c+ c Poznámky oravovatele: Třetí úloha byla velice jednoduchá, a roto byla hodnocena oněkud náročněji Obzvláště řísně byl hodnocen ostu, ři kterém řešitel vyšel z dokazované nerovnosti a dosěl k všeobecně latnému tvrzení Není-li totiž zmíněno, že tyto úravy byly ekvivalentní, je toto řešení logicky chybné Všichni tito řešitelé obdrželi 4 + 0i Vyskytla se ovšemidlouhářadajinýchřešení Jensenovanerovnost,AGnerovnost,

4 4 úloha Dokažte, že 999 < < 44 Položme A= Uvažujmečíslo999 A,snadnonahlédneme,žesedá sát ve tvaru 999 A = Jednásetedyosoučinčinitelů,znichžkaždýjetvaru (číslo ) (číslo+) číslo = číslo číslo < Tudížkaždýzčinitelůvuvedenémsoučinujemenšínežjednaarotoičíslo997 A < Jednoduchou úravou ak máme A < < Tímjsmeukázalinerovnostnaravo Druhý odhad je mnohem snažší a lyne naříklad z tohoto vyjádření čísla A: A= > 998 > 999, neboťkaždýzčinitelůvevyjádřeníčísla AjeažnaoslednívětšínežProto A > 999,což jsme chtěli Poznámky oravovatele: Řešení došla sousta a ta srávná z nich byla vesměs stejná Ten, kdořešilúlohuřímýmvýočtemnaočítači,mělsmůlu(tj0+0i),ačkolivtřebauvedl rogramčiodhadchybyvyskytloseněkolikřešeníomocístirlingovavzorce Zatyjsem strhával dva až ět bodů 5 úloha Určete celou část čísla S: S= Pre ľubovoľné rirodzené n zrejme latí odhad r n++ n n n+ r + n Stirlingůvvzorecjevzorecroodhadfaktoriálu: n! ( n e )n πnpotížjejednakvtom, žejetovelicesilnétvrzenískomlikovanýmdůkazem,jednakvtom,coznamenáono Řada řešitelů rostě nahradí faktoriál jeho odhadem a netráí je, zda je jejich ostu korektní

5 (druhú z uvedených nerovností overíme tak, že obe jej strany umocníme na druhú) Odtiaľ lynie n n++ n = q aanalogicky n ( qn+ n ),tj n+ n =( n+ n) n++ n n+ n ( n+ n) r n+ r n n Sčítanímtýchtonerovnostíre n=,,,,000dostávame 6 <( 00 ) S ( ) <6, takžeceláčasť Sjerovná6 Poznámka: Aj keď úloha ochádza z(7 ročníka šanielskej) matematickej olymiády, ri ktorej sa znalosť diferenciálneho a integrálneho očtu neredokladá, majú integrovania schoníjedinci(ajštátnecelky)istúvýhodu:ľahkototižrídunanáadodhadovaťčíslo n omocouvýrazovtyu R a+ a x dx=( a+ a) Rozdielmedzinamidokázanýmhornýmadolnýmodhadomjeribližne /= =06,takžesmemalivlastnešťastie,žesmesasobomaodhadmi zmestili medzi dvesusednéceléčíslanerovnosť n++ n nsavšakdávylešiťna n+9/6+ n 7/6 narijejoužitínámuvedenýrozdielvyjderibližne 9/6 /= / <0Naoak,akmiestoodhadu n n+/+ n /oužijemehrubší odhad n n+ n,otomnámvýjderozdielvodhadochväčšíako,takžetakýto odhadurčitenemôžemeoužiťrevšetky n Poznámky oravovatele: Vyskytly se tyto tyy řešení: omocí vyšší matematiky, integrálů (5 + 0i); omocí elementárních nerovností(5 + 0i); ouze výsledek, šatné řešení 0 bodů