PRACOVNÍ SEŠIT ANALYTICKÁ GEOMETRIE. 8. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online
|
|
- Radomír Janda
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Připrav se na státní matritní zkošk z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 8. tematický okrh: ANALYTICKÁ GEOMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online příprav na SMZ z matematiky školní rok 2014/2015
2 Toto je bons číslo 1 k výkovém vide: Analytická geometrie. Než si video zapneš, tak si pracovní sešit vytiskni a při sledování videa si do něj doplňj veškeré poznámky, slova a příklady. Udrží tě to v pozornosti a bdeš se moci k zapsaným informacím později vracet. Když ž tě Analytická geometrie naví, nebo tě přestane bavit, dej si jednodše paz a pokračj později. Pracovní sešit ti bde složit hlavně k opakování, je v něm totiž úplně všechno, co k témat Analytická geometrie msíš znát. Není ž tedy třeba hledat informace v čebnicích, starých sešitech nebo si platit dočování. Příjemné čení s Prohlášení: Tento pracovní sešit je informačním prodktem, který doprovází výkové video Analytická geometrie. Jakékoliv šíření nebo poskytování videa a pracovního sešit třetím osobám bez sohlas atorky je zakázáno! Děkji za pochopení a respektování tohoto sdělení. Stažením tohoto materiál rozmíte, že jakékoli požití informací z tohoto materiál a úspěchy či neúspěchy z toho plynocí, jso poze ve Vašich rkách a atorka za ně nenese žádno zodpovědnost. 2
3 8. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Analytická geometrie je geometrie, ve které skoro nepožijeme pravítko, kržítko nebo jiné pomůcky. Podstato analytické geometrie je převádění úloh na. Tedy úlohy, které jsme dříve rýsovali, bdeme zde počítat pomocí metody sořadnic, a rovnic pomocí metod. 8.1 SOUŘADNICE BODU A VEKTORU NA PŘÍMCE Sořadnice na přímce S počítáním začneme nejprve v tom nejjednodšším, a to prostor, který má poze jedn dimenzi ( ) začneme na přímce. Abychom dali poloh jakéhokoliv bod v jednodimenzionálním prostor, tedy na přímce, potřebjeme znát jeho sořadnice v tomto případě jen jedn sořadnici. Pro rčení polohy sořadnice bdeme požívat os x se zvoleným bodem O a dano ( OI 1). Každém bod X této přímky přiřadíme reálné číslo = sořadnici x: X x x OX, leží-li bod X na polopřímce OI, x OX, leží-li bod X na opačné polopřímce k polopřímce OI. BOD a jeho sořadnice 3
4 Příklad: Zobrazte na přímce následjící body: A 4,5, 3 B, 3 C 2. Vzdálenost dvo bodů Pomocí sořadnic bodů můžeme vypočítat jejich vzdálenost: Vzdálenost dvo bodů A x A a x B B na přímce: AB Vypočítejte vzdálenost bodů P 6 a 2,5 Q. 5 KL : K 7, L. 4 Určete velikost úsečky Sořadnice střed úsečky Střed úsečky dělí úsečk na dvě stejné části. Pro střed S x S úsečky AB, kde A x A a x B B platí: x S x A x 2 B 4
5 Určete sořadnice střed úsečky : E 5, F 3 EF. Jso dány body C 9,6, S 4,1 S byl středem úsečky CD.. Vypočítejte sořadnice bod D tak, aby bod Vektor na přímce Orientovaná úsečka Orientovano úsečko rozmíme úsečk, která má pevně zvolený a bod. Graficky znázorňjeme orientovano úsečk jako úsečk se koncového bod. Velikostí orientované úsečky je počátečního a koncového bod. Příklad: Určete sořadnice vyznačených orientovaných úseček a rčete jejich velikost. Nenlový vektor je všech orientovaných úseček, které mají stejno (nenlovo) a stejný. Vektory označjeme:. Nlový vektor je množina všech orientovaných úseček délky. Nlový vektor označjeme: Každá orientovaná úsečka, která rčje nějaký vektor se nazývá místění vektor. 5
6 Sořadnice vektor Je-li vektor rčen orientovano úsečko AB ( A xa B x B je rovna: x, tedy B A. x, ), sořadnice vektor Velikost vektor na přímce je rovna: Určete sořadnice vektorů a jejich velikost: 2 AB, A, 3 B 0 w 4, Y 12 XY, X 8,3, V 5,2 v UV, U 6 o OP, O, P 6 Operace s vektory Vektory lze sčítat a také násobit konstanto reálným číslem. Sočet vektorů Sočtem libovolných dvo vektorů: x v x v x x x. w x vypočítáme: w v, je w v, jehož sořadnici 6
7 Dále platí: v v sčítání vektorů je komtativní sčítání vektorů je asociativní v w v w o Opačný vektor Je-li B A, nazývá se vektor A B vektor k vektor a značí se. Platí: x x o Násobení vektor reálným číslem Pro každý vektor na přímce a každé reálné číslo k platí: k k x x Násobení vektor je tedy opět. Tto operaci si můžeme představit jako zvětšování či zmenšování vektor, eventálně změny jeho směr na. 7
8 Lineární kombinace vektorů Pokd provádíme operace výše zmíněné a je dohromady, říkáme, že tváříme lineární kombinace vektorů. Výsledkem lineární kombinace několika vektorů je opět Např.: Vektor a b v c w, kde a, b, c R, je lineární kombinací tří vektorů, v a w. Vypočítejte lineární kombinaci: a) 3v 2 vektorů 3,5 a 1 v. 3a b) 6b c 5 vektorů 10 1 a, b 3 2 a 1 c. Určete číslo a a sořadnice vektorů m 2 a a 4a 2 1 5m n 5 2 n tak, aby platilo: 8
9 8.2 SOUŘADNICE BODU A VEKTORU V ROVINĚ Nyní se přesneme z jednodimenzionálního prostor (tedy přímky) do prostor o jedn dimenzi složitějšího - bdeme se zabývat analyticko geometrií v. 2D = dvě dimenze: délka výška - Abychom dali poloh jakéhokoliv bod v rovině, bdeme potřebovat znát jeho. Pro rčení polohy sořadnic bodů bdeme požívat sostav sořadnic v rovině Oxy, tj. dvojici na sebe číselných os x a y se zvoleným společným počátkem, bodem O, který je os, ten na obo osách odpovídá čísl 0. X x; y BOD v rovině a jeho sořadnice Určete sořadnice bodů na obrázk: A B C D ; ; ; ; Zobrazte v Oxy následjící body. K L 2; 3 3,5; 2 M 0; 1,5 N 1; 0 9
10 Vzdálenost dvo bodů Pomocí sořadnic bodů můžeme vypočítat jejich, neboli velikost úsečky, ktero rčjí. Vzdálenost dvo bodů A x A ; y A B ; v rovině: x B y B a AB Vypočítejte vzdálenost bodů M 4,5; 1 a 1,5; 3 N. Jso dány body C 1; 4 a D x; 3 byla rovna 5., rčete číslo x, tak aby velikost úsečky CD 10
11 Sořadnice střed úsečky Střed úsečky je charakterizován tím, že dělí úsečk na dvě části. Pro střed S x S ; y S A ; a B ; x A y A úsečky AB, kde x B y B platí: x S xa xb, 2 y S 2 Určete sořadnice střed úsečky : A 3; 5, B 2; 1 AB. 1 2 bod S byl středem úsečky CD. Jso dány body C ; 2, S 3; 1. Vypočítejte sořadnice bod D tak, aby Vektor v rovině Orientovaná úsečka Již jsme si v předchozí kapitolce řekli, co je to orientovaná úsečka, že má počáteční a bod, jak ji graficky znázorňjeme a jak vypočítáme její. 11
12 Příklad: Určete sořadnice vyznačených orientovaných úseček a rčete jejich velikost. Připomínám Nenlový vektor je množina všech úseček, které mají stejno (nenlovo) a stejný. Vektory označjeme:. Nlový vektor je množina všech orientovaných úseček délky. Nlový vektor označjeme: Každá orientovaná úsečka, která rčje nějaký vektor se nazývá místění vektor. Na obrázk vidíte několik orientovaných úseček, všechny ale rčjí jeden vektor, protože každá z těchto orientovaných úseček má stejno a stejný. Pozn.: Orientované úsečky AB, CD rčjí vektor právě tehdy, mají-li úsečky AD, BC společný. 12
13 Sořadnice vektor v rovině Je-li vektor rčen orientovano úsečko AB ( A x ; y, B x ; y vektor ; x y jso rovny: x y x y B B x A y A A A B, tedy B A. B ), sořadnice Dá se říci, že rozdíl dvo bodů je vektor Velikost vektor Velikost vektor ; x y v rovině je rovna: Určete sořadnice vektorů a jejich velikost: AB, A 5; 3, B 9; 0 UV, U 12; 4, V 7,5; 1 v Posntí o vektor Zobrazení roviny, které každém bod X v rovině přiřadí bod vektor. Co z toho vyplývá? X, se nazývá o Když k bod přičt vektor, znamená to, že daný bod v daném směr o dano velikost a dostan se tím do nového bod 13
14 V rovině je dán bod A 7; 6 a vektor 3; 16 B A. rčete sořadnice bod V rovině rčete sořadnice bod A 7; 11 a 13; 4 B. D C a, je-li a B A : 1 C 5; 2, Operace s vektory Stejně jako v 1D prostor (na ) lze i v 2D v vektory sčítat, násobit reálným číslem a navíc také počítat tzv. sočin vektorů. Sočet vektorů Sočtem libovolných dvo vektorů: x ; y, v x ; y v v je vektor w v, jehož sořadnice x w; y w vypočítáme: x y w w x y x v y v Sčítání dvo vektorů si můžeme představit jako dvo sil ve fyzice. Sočet vektorů B A w v C A. a v C B je vektor 14
15 Stále platí, že: v v sčítání vektorů je komtativní sčítání vektorů je asociativní v w v w o Opačný vektor Je-li B A, nazývá se vektor A B opačný vektor k vektor a značí se. Platí: x ; y x ; y o Násobení vektor reálným číslem Pro každý vektor ; v rovině a každé reálné číslo k platí: k k x ; k x y y. Násobení vektor je tedy opět. Tto operaci si můžeme představit vektor v daném směr, který rčje, nebo eventálně v opačném směr. Lineární kombinace vektorů Pokd provádíme operace výše zmíněné a kombinjeme je dohromady, říkáme, že tváříme lineární kombinace vektorů. Výsledkem lineární kombinace několika je opět vektor Např.: Vektor a b v c w, kde a, b, c R, je lineární kombinací tří vektorů, v a w. 15
16 Vypočítejte lineární kombinaci: a) 3v 4 vektorů 1,5; 2 a 5; 0 v. b b) 2a 5c vektorů a 7;, b 9; 0 a 1; 2 c. Skalární sočin vektorů v rovině Skalárním sočinem dvo vektorů: x ; y, v x ; y v x x v v v je číslo: Pro každé vektory, v, w a každé reálné číslo k platí: v v w k v k v v w wv Vypočítejte skalární sočin vektorů: 1 8; 11, v ; 3 4 a) b) a 2; 7, b 3; 0 c) n 5; 2, p 2; 5 16
17 o o v v o o 8. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Velikost úhl dvo vektorů Jak je definován úhel dvo vektorů? Jestliže mají dva vektory UOV úhel vektorů, v., v místění OU, OV, nazývá se velikost úhl Pro úhel dvo libovolných (nenlových) vektorů platí:, v cos v Odtd vyplývá: Skalární sočin dvo vektorů, v je roven právě tehdy, jestliže aspoň jeden z vektorů, v je nlový vektor, nebo jso oba dva vektory nenlové a navzájem. v 0 o o v v o o o v o o v o, v V rovině je dán trojúhelník KLM : K 0; 2, L 3; 5, M 2; 0 obvod a velikosti vnitřních úhlů.. Určete jeho 17
18 8.3 PŘÍMKA V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky Je jasné, že každé dva různé body A, B rčjí právě jedn AB. Vektor B A se nazývá vektor přímky AB. Pozn.: Každá přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů, každý z nich je nenlovým násobkem jiného směrového vektor. Rovnice: X, kde t R se nazývá parametrické vyjádření přímky rčené bodem A a směrovým vektorem. Proměnná t se nazývá. Pokd výše zmíněné vyjádříme v sořadnicích X x; y, A x ; y, x ; y vyjádření přímky vypadat následovně: A A bde x x y y A A t x t y, t R Určete parametrické vyjádření přímky procházející body: 2; 5, B 10; 3 Dále zjistěte, zda bod C 4; 2 na této přímce leží či ne. A. 18
19 Doplňte x-ovo sořadnici bod?; 16 K 4,5; 7, L 3; 2. M tak, aby ležel na přímce m KL, Obecná rovnice přímky Vektor na směrový vektor přímky se nazývá vektor této přímky. Nejčastěji ho značíme:.. Rovnice:, kde a, b, c R a aspoň jedno z čísel a,b je nenlové, se nazývá obecná rovnice přímky. n a; b Určete obecno rovnici přímky procházející body: A 2; 5, B 10; 3 zjistěte, zda bod C 8; 7 na této přímce leží či ne.. Dále 19
20 Přímka a prochází bodem 1; 2 Určete obecno rovnici přímky a. A a je rovnoběžná s přímko p : x 3y Směrnicový tvar přímky Pokd pravíme rovnici přímky tak, že vyjádříme y, dostaneme následjící tvar: a c ax by c 0 y x b b V podstatě získáme přímk jako graf lineární fnkce. Takto můžeme vyjádřit každo přímk, která není s oso y. Rovnice:, kde k, q R se nazývá směrnicový tvar rovnice přímky. Číslo k se nazývá přímky. q rčje, ve kterém bodě přímka protíná os y 0 ; q k rčje úhl, který přímka svírá s kladno polooso x Platí: k tg y k x 20
21 Napište rovnici přímky p (ve směrnicovém tvar), která prochází bodem 5; 2 s kladno polooso x svírá úhel 120. X a Určete směrnicový tvar přímky p : x 5 2t, y 2 t, t R. Polohové vztahy bodů a přímek v rovině Pokd bdeme rčovat vztahy bodů a přímek, bdeme zjišťovat odpovědi na otázky typ: Prochází přímka daným bodem? Leží tento bod na přímce? Jso dané dvě přímky rovnoběžné? Jso dané přímky na sebe kolmé? atp. Bod a přímka Vzájemná poloha bod a přímky může být v rovině následjící: bod B leží na přímce p / přímka p prochází bodem B zapisjeme: sořadnice bod rovnici přímky 21
22 bod B neleží na přímce p / přímka p neprochází bodem B zapisjeme: sořadnice bod rovnici přímky, neplatí pro ně předepsaná rovnost Určete, zda přímka prochází daným bodem: a) 2 p : y 2x 7, A ; b) q : x 5t B 4; 3,4 y 3 0,5t, t R Dvě přímky Dvě přímky v rovině moho mít následjící vzájemno poloh: přímky aa,, bb v zapisjeme:, jso rovnoběžné splývající / totožné směrový/normálový vektor je směrového/normálového vektor v a bod B leží na přímce A přímky aa,, bb v, jso rovnoběžné různé zapisjeme: směrový/normálový vektor je násobkem směrového/normálového vektor v 22
23 přímky aa,, bb v, jso různoběžné zapisjeme: nebo mají společný právě jeden bod ; vektor není násobkem vektor v Určete vzájemno poloh přímek: a) AB : A 3; 8, B 2;5 a, b : 6x 10y b) m : y x 5, 6, n : x 2 3 t, y 6 2t, t R 5 c) p : x 2 2t y 4 t, t R q : x 6 4s y 6 2s, s R Je dána přímka : 2x y 2 0 a a bod X 3; 1 p : X p, p a a také rovnici přímky q : X q, q a.. Napište rovnici přímky 23
24 Metrické vztahy bodů a přímek v rovině Vzdálenost bod od přímky Vzdálenost bod P ; a : ax by c 0 vypočítáme: x P y P od přímky d ax P by P c Vzdálenost dvo rovnoběžných přímek Při počítání vzdálenosti dvo přímek a, b, převedeme tto úloh na počítání vzdálenosti přímky a od bod B b. Odchylka dvo různoběžných přímek Odchylka přímek a, b se směrovými vektory, v je úhel 0; 2, pro který platí: cos v v 24
25 Určete vzdálenost dvo rovnoběžek: m : 2x 3y 6 0, n : 4x 6y 1 0. Určete velikost vnitřních úhlů trojúhelník, jehož strany leží na přímkách, které mají rovnice: 7x y 10 0, 4x 3y 12 0, x 7y 3 0. Vypočítejte obsah rovnoběžník ABCD, jestliže: A 5; 3, 2; 5 C 2; 4 a rčete sořadnice bod D. B, SKVĚLE, TEORII K ANALYTICKÉ GEOMETRII MÁŠ ZA SEBOU! HURÁ 25
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
VíceDá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory
Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
VíceM - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
Více11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při
. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
VíceDUM č. 10 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla
projekt GML Brno Docens DUM č. 10 sadě Ma- Přípraa k matritě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla 14. Ator: Magda Krejčoá Datm: 1.08.01 Ročník: matritní ročníky Anotace DUM: Analytická
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceM - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
VíceAnalytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE
Technická niverzit v Liberci Fklt přírodovědně-hmnitní pedgogická Ktedr mtemtiky didktiky mtemtiky NLYTICKÁ GEOMETRIE Pomocný čební text Petr Pirklová Liberec, listopd 2015 NLYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH
VíceRovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
VíceAnalytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
VíceM - Analytická geometrie pro třídu 4ODK
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
VíceZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY
ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky
VíceSEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/ III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická geometrie
SEZNAM ANOTACÍ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Označení sady DUM Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceVEKTOR. Vymyslete alespoň tři příklady vektorových a skalárních fyzikálních veličin. vektorové: 1. skalární
VEKTOR Úvod Vektor je abstraktní pojem sloužící k vyjádření jistého směru a velikosti. S vektorovými veličinami se setkáváme například ve fyzice. Jde o veličiny, u nichž je rozhodující nejen velikost,
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
Více1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceOdvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
Více8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky
8. Parametrické vyjádření a obecná rovnice přímky a roviny Repetitorium z matematiky Podzim 2012 Ivana Medková Osnova: 1 Geometrie v rovině 1. 1 Parametrické vyjádření přímky 1. 2 Obecná rovnice přímky
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 1. přednáška 22.9.2016 Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 19 Organizační pokyny přednášející:
Více2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21
2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému
Víceu. Urči souřadnice bodu B = A + u.
75 Posntí o vektor Předpoklady: 701 Vrátíme se ještě jedno k zavedení sořadnic vektor : 1 = b1 a1, = b a, 3 = b3 a3 symbolicky zapisjeme = Vztah můžeme i obrátit: = + (do bod se dostaneme z bod posntím
Více1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.
1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/
VíceShodná zobrazení v rovině
Shodná zobrazení v rovině Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz. Zapisujeme Z: X X. Množinu obrazů všech
Více3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY
3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky
Více3) Vypočtěte souřadnice průsečíku dané přímky p : x = t, y = 9 + 3t, z = 1 + t, t R s rovinou ρ : 3x + 5y z 2 = 0.
M1 Prog4 D1 1) Určete vektor c kolmý na vektory a = 2 i 3 j + k, b = i + 2 j 4 k. 2) Napište obecnou a parametrické rovnice roviny, která prochází bodem A[ 1; 1; 2] a je kolmá ke dvěma rovinám ρ : x 2y
Více1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice
1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice 1.A) 210; B) 990; C) 29260; D) 1/5; E) 1/240; F) 157; G) 81/712; H) 1/100; I) 3,98*10 11 ; J) 86296950; K) 65824; L) 195878760; 2. A) x 3 +3x 2 +2x; x Z,
Více4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
VíceM - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK.
M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a
VíceVEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN
VEKTORY A ANALYTICKÁ GEOMETRIE PAVLÍNA RAČKOVÁ JAROMÍR KUBEN Brno 2014 Verze 30. listopadu 2014 1 Volné a vázané vektory v rovině a prostoru 1.1 Kartézská soustava souřadnic, souřadnice bodu, vzdálenost
VíceMatematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
VíceMay 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková
Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky
Víces p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu
MATE ZS 2013 KONZ 3A Analytická geometrie lineárních útvarů v rovině a v rostoru Přímka v rovině 1 Parametrická rovnice římky v rovině: t R s o : X = A + t s, kde, Vektor s nazýváme směrový vektor římky,
VíceVzorce počítačové grafiky
Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u
VíceZáklady matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti
Více14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
VíceRovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Více7.2.3 Násobení vektoru číslem I
7..3 Násobení ektor číslem I Předpoklad: 70 Př. : Zakresli do sosta sořadnic alespoň dě různá místění ektorů: = 3; = 3;0 = ; a) ( ) ( ) c) ( ) - - - x - Pedagogická poznámka: Předchozí příklad není zbtečný.
VíceRovnice přímky v prostoru
Rovnice přímky v prostoru Každá přímka v prostoru je jednoznačně zadána dvěma body. K vyjádření všech bodů přímky lze použít parametrické rovnice. Parametrická rovnice přímky p Pokud A, B jsou dva různé
VíceAnalytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně
19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =
Více3.3. Operace s vektory. Definice
Operace s ektory.. Operace s ektory Výklad Definice... Nechť ϕ je úhel do nenloých ektorů, (obr. ). Skalárním sočinem ektorů, rozmíme číslo, které bdeme označoat. (někdy strčně ) a které definjeme roností.
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VícePříklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
VíceZákladní geometrické tvary
Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.
Více- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:
1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.
VícePRACOVNÍ SEŠIT FUNKCE. 4. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 4. tematický okruh: FUNKCE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger epertka na online přípravu na SMZ z matematiky
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceVZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
Více7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat
Více1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceSyntetická geometrie I
Kolineace Pedagogická fakulta 2018 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Incidence Incidence je základní vztah - nedefinujeme ji. Bod leží na přímce = Přímka prochází bodem = Bod je incidentní s přímkou. Definice
VíceGymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
VíceICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika analytická geometrie. Mgr. Pavel Liška
Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace
VíceKolmost rovin a přímek
Kolmost rovin a přímek 1.Napište obecnou rovnici roviny, která prochází boem A[ 7; ;3] a je kolmá k přímce s parametrickým vyjářením x = + 3 t, y = t, z = 7 t, t R. Řešení: Hleanou rovinu si označíme α:
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
Více7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
VíceKapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceVY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí
VíceCZ.1.07/1.5.00/
Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.7/1.5./34.527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 6 České Budějovice Název
VícePRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
VíceVELIKOST VEKTORU, POČETNÍ OPERACE S VEKTORY
VELIKOST VEKTORU, POČETNÍ OPERACE S VEKTORY Vektoru můžeme přisoudit velikost. S vektory také můžeme provádět početní operace, které jsme zvyklí provádět s čísly, tzn. že je možné je sčítat, odčítat a
VíceAnalytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceShodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem
Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A
VíceCVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
Víceobecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
VíceUrci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]
1 Parametricke vyjadreni primky Priklad 16 Priklad 17 Priklad 18 jestlize Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3] Urci,
VíceAnalytická geometrie
Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více0 x 12. x 12. strana Mongeovo promítání - polohové úlohy.
strana 9 3.1a Sestrojte sdružené průměty stopníků přímek a = AB, b = CD, c = EF. A [-2, 5, 1], B [3/2, 2, 5], C [3, 7, 4], D [5, 2, 4], E [-5, 3, 3], F [-5, 3, 6]. 3.1b Určete parametrické vyjádření přímek
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceSHODNÁ A PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ
Technická univerzita v Liberci Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Katedra matematiky a didaktiky matematiky HODNÁ PODOBNÁ ZOBRZENÍ V ROVINĚ Pomocný učební text Petra Pirklová Liberec, září 2013
Více10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
Více