N Q Z N N N, kde A Bjesymbolprokartézskýsoučinmnožin A, B(tj.množinuvšechuspořádanýchdvojic [a, b],kde a A, b B).Opětprosímpřijmětejakofakt, 1 že

Transkript

1 Jak rozeznáváme nekonečné množiny. Nejprve něco o zobrazeních: Nášvýkladbudezaložennaintuitivnípředstavězobrazení f: A Bjakoněčeho,cokaždému prvku a Apřiřazujenějakýprvek f(a) B. Mějmezobrazení f: A B.Řekneme,že fjeprostépokudzf(a)=f(b)plyne a=b.jinak řečeno,každýprvekzbjepřiřazennejvýšejednomuprvkuza. Prostézobrazení f: A Bnazvemebijekcípokudprokaždé b Bexistuje a Atak,že f(a)=b.lidskyřečeno,každýprvekzbjepřiřazenprávějednomuprvkuza. A nyní něco o velikostech množin: Existuje-liprostézobrazení f: A B,píšeme A Baříkáme,že Bmámohutnostvětší rovnunež A.Existuje-libijekce f : A B,píšeme A B aříkáme,že A, B majístejnou mohutnost.zadomácícvičenísidokažte,žeza B, B Cplynetaké A C. VelmidůležitájevětaCantor Bernsteinova:Pokudplatízároveň A B, B A,paktaké A B. Pro konečné množiny je tato věta triviální. Nekonečné množiny ale vykazují některé zvláštní vlastnosti.pokudjsou A, Bmnožiny A B(vlastnípodmnožina)pakjistě A B,nenívšak vyloučeno,žepronekonečné A, Bbudetaképlatit A B. Zde je malý příklad. Mějme N množinu přirozených čísel a M množinu sudých přirozených čísel.prostýmzobrazením N Mjenapříklad f(n)=4n,prostýmzobrazením M Nmůže být g(m)=m.platítedy N M.Bijekcí N Mje h(n)=2n.závěr:přirozenýchčíseljestejně jako čísel sudých(tj. tyto množiny mají stejnou mohutnost). Spočetné a nespočetné množiny. Prodalšíúvahynechťvýrok Anemávíceprvkůnež B znamená A B.Avýrok Amá víceprvkůnež B znamená B Aavšakjižnikoliv B A. Každou množinu, která nemá více prvků než přirozená čísla nazveme spočetnou. Příkladem spočetné množiny je množina racionálních čísel. Každou množinu, která má více prvků než přirozená čísla nazveme nespočetnou. Příkladem nespočetné množiny je množina reálných čísel. Jakvidíme,existují různěvelkánekonečna.důkaznespočetnosti Rsinajdetevliteratuře nebojejuslyšítenasoustředění,tentoúvodmusíbýtzesvépovahyjenvelmistručný.vámbude stačit přijmout tuto věc jako fakt. Co se týče spočetnosti Q, tak snadno nahlédnete N Q Z N N N, kde A Bjesymbolprokartézskýsoučinmnožin A, B(tj.množinuvšechuspořádanýchdvojic [a, b],kde a A, b B).Opětprosímpřijmětejakofakt, 1 že N N N N N N Z toho ale podle věty Cantor Bernsteinovy plyne Q N. Právě získané poznatky lze jednoduše aplikovat. Mějme A spočetnou podmnožinu reálných čísel. Rjenespočetná(atedyvětšínež A),protojistěexistujenespočetněmnohobodůzR nenáležející A. Podobně uvažujte v příkladech 3, 4, 5. 1 Avesvýchřešeníchjejvyužijte.

2 Téma: Datumodeslání: 6. série Velikosti množin ½ º ÞÒ ½ ½º ÐÓ Ó µ Marťanská abeceda má dvanáct písmen. Marťanskou větou rozumíme libovolnou konečnou posloupnost marťanských písmen. Je takových vět spočetně nebo nespočetně mnoho? ¾º ÐÓ Ó µ Jak jistě víte, rovinné geometrické objekty lze chápat jako množiny bodů v rovině. Tramtárijský vědeckýtýmobjevil,žejednotkovýčtverecobsahujestejnýpočetbodůjakojednotkováúsečka. 2 Může z toho tento vědecký tým usoudit, že též rovina obsahuje stejně bodů jako jednotková úsečka? º ÐÓ Ó µ Zlovolní obři kreslili na rovinu přímky. Mohli spočetným počtem přímek pokrýt celou rovinu? º ÐÓ Ó µ Racionálně uvažující lidé od sebe udržují pouze racionální vzdálenosti. Může existovat nespočetně mnoho racionálně uvažujících lidí? Jinými slovy: V rovině máme umístěno nespočetně mnoho bodů. Dokažte, že mezi nimi existují dva, které mají iracionální vzdálenost. º ÐÓ Ó µ Mějme nějakou konečnou množinu A bodů v rovině. Dokažte, že v rovině existuje bod, který z těchto bodů nelze zkonstruovat euklidovskými prostředky. Pod pojmem euklidovsky zkonstruovat si představujte něco takového: (1) Každý bod množiny A je euklidovsky zkonstruovatelný(dále jen euklidovský). (2) Mějme množinu B euklidovských bodů. a) Kružnici k(s, r),kde S Ba rjevzdálenostněkterýchdvoubodůvb,nazveme euklidovskou. b) Přímku KL,kde K, L B,nazvemeeuklidovskou. (3) V průniku dvou různých euklidovských kružnic, dvou různých euklidovských přímek, resp. euklidovské kružnice a euklidovské přímky leží euklidovské body. Euklidovské body dostaneme konečným počtem aplikací pravidel 1, 2, 3. Za tyto úlohy se omlouvají Michal, Punťa i Beneš. 2 Jakodomácícvičenísitakovétvrzenímůžetedokázat.Propotřebytétoúlohyznějvšak vycházejte.

3 Řešení 6. série 1. úloha Marťanská abeceda má dvanáct písmen. Marťanskou větou rozumíme libovolnou konečnou posloupnost marťanských písmen. Je takových vět spočetně nebo nespočetně mnoho? Označme si A množinu všech marťanských vět. Je vidět, že vezmeme-li zápispřirozenéhočíslavdvanáctkovésoustavěajednotlivécifry {0,1,...,11} nahradíme jednotlivými marťanskými písmeny, dostaneme marťanskou větu. Při tomto postupu nám dvě různá přirozená čísla kódují dvě různé marťanské věty.ztohobezprostředněplyne N A. Michal Beneš Mějmenaopakmarťanskouvětuajejíjednotlivápísmenanahraďmeciframi {1,2,...,12}, dostanemepřirozenéčíslozapsanévtřináctkovésoustavě. 3 Přitomtopostupunámdvěrůzné marťanskévětykódujídvěrůznápřirozenáčísla.ztohobezprostředněplyne A N.Výsledkem úlohyjetedy A N. 2. úloha Jak jistě víte, rovinné geometrické objekty lze chápat jako množiny bodů v rovině. Tramtárijský vědeckýtýmobjevil,žejednotkovýčtverecobsahujestejnýpočetbodůjakojednotkováúsečka. 4 Může z toho tento vědecký tým usoudit, že též rovina obsahuje stejně bodů jako jednotková úsečka? Jednotkovou úsečku můžeme ztotožnit s intervalem 0, 1. Nejdříve ukážeme ekvipotenci 0,1 R.Nerovnost 0,1 Rjeočividná.Dálesirozmysleme,žefunkce f: R (0,1); f(x)=arccotg(x)/π jebijekcímezimnožinami Ra(0,1).Tonámdávádruhoupotřebnounerovnost R 0,1. Jednotkový čtverec lze ztotožňovat s množinou 0, 1 0, 1, celou rovinu ztotožíme s množinou R R.Vzhledemk 0,1 Rmámetakéekvipotenci 0,1 0,1 R R.Zezadaní úlohy 0,1 0,1 0,1,aztohokonečně 0,1 R R,cožjsmechtěliukázat. Poznámky k došlým řešením: Řešitelé, kteří použili Cantor-Bernsteinovu větu, měli většinou celou úlohu správně a dostali 5 bodů. Ti, co ji nepoužili, hledali bijekci mezi přímkou a úsečkou nebo mezi čtvercem a rovinou a většinou zapomněli na krajní body, případně na hranici čtverce. Tito řešitelé dostali 4 body. Jeden kladný imaginární bod jsem udělil jednomu velice elegantnímu řešení a těm, kdo se pokusili dokázat domácí cvičení. Dva kladné imaginární body dostali ti, kteří dokázali(bez chyby) domácí cvičení, tedy nikdo. Nejčastější byly důkazy pomocí funkce tangens nebo racionálních funkcí, ale také geometrické důkazy využívající buď kruhové inverze, nebo rovnoběžného promítání a následovného promítání zbodu(úsečka půlkružnice přímka,nebočtverec jehlan rovina). 3 Vítepročbylonutnépoužítdvěrůznéčíselnésoustavy? 4 Jakodomácícvičenísitakovétvrzenímůžetedokázat.Propotřebytétoúlohyznějvšak vycházejte.

4 Závěr některých řešení(většinou 0 bodů) zněl: Obě množiny jsou nespočetné, mají tedy stejnoumohutnost.to, že jsou dvě množiny nespočetné, ještě neznamená, že mají stejnou mohutnost!!! 3. úloha Zlovolní obři kreslili na rovinu přímky. Mohli spočetným počtem přímek pokrýt celou rovinu? Obři rovinu spočetným počtem přímek pokrýt nemohli. Důkaz veďme sporem. Mějme nějaké pokrytí roviny spočetným počtem přímek. Zvolme libovolnou kružnici. Každá ze zvolených přímek ji protne nejvýše ve dvou bodech, takže všechny přímky dohromady s ní mají spočetně mnohospolečnýchbodů.kružnicemávšaknespočetněmnohobodů,takže obří přímkynepokrývají ani celou zvolenou kružnici, natož celou rovinu. 4. úloha Racionálně uvažující lidé od sebe udržují pouze racionální vzdálenosti. Může existovat nespočetně mnoho racionálně uvažujících lidí? Jinými slovy: V rovině máme umístěno nespočetně mnoho bodů. Dokažte, že mezi nimi existují dva, které mají iracionální vzdálenost. Nechť A, Bjsoulibovolnídvarůzníracionálněuvažujícílidé.Každýdalšíbod Cvrovinělze jednoznačně popsat pomocí vzdáleností AC, BC a poloroviny určené přímkou AB, ve které leží. Je-li C racionálně uvažující člověk, pak AC, BC Q. Každého racionálně uvažujícího člověkalzetedypopsatpomocíuspořádanétrojice[x, y, z],kde x, y Qaz { 1, 2}.Množina Q Q { 1, 2}všakmástejněprvkůjakomnožinapřirozenýchčísel.Tojejiždokazované tvrzení. Poznámky k došlým řešením: Všechna správná řešení byla založena na stejné myšlence, jako autorské řešení. Vyskytly se dvě zaznamenáníhodné chyby: Všechnyracionálněuvažujícíbody/lidispojímlomenoučarou,tu narovnám,adostanu přímku, na níž jsou body, které mají mezi sebou racionální vzdálenosti. Tedy je jich spočetně. Vypadátojakoelegantnířešení,alebohuželjetošpatně.Proč?Ktomu,abychmohl nějakou množinu bodů pospojovat lomenou čarou potřebuju ty body probírat jeden podruhém atomohuudělatjentehdy,je-litěchbodůspočetněmnoho.uvědomte si, že podobnou úvahou by šlo dokázat, že dvojice rovnoběžek ve vzdálenosti jedna má spočetně mnoho bodů. Body spojím křivkou, narovnám, na vzniklé(polo)přímce budou body ve vzdálenosti alespoň jedna, je jich tedy spočetně. Kdyby byla množina bodů nespočetná, tvořila by nějakou křivku/část křivky.... To samozřejmě není pravda. Existují i mnohem šerednější nespočené množiny bodů. Jedna taková(tzv. Cantorovo diskontinuum) je tvořena těmi čísly z 0, 1, která lze v trojkové soustavě zapsat bez použití jedničky. Jiný popis téže množiny: z jednotkové úsečky vymažu prostřední třetinu(koncové body nechám), ze dvou vzniklých úseček opětvymažuprostřednítřetinu,atd. Ponekonečněmnohakrocích (korektněřečeno: vezmu průnik všech mezivýsledků) dostanu Cantorovo diskontinuum. Tato množina má mnoho zajímavých vlastností, rozhodně ji však nelze považovat za křivku. 5. úloha Mějme nějakou konečnou množinu A bodů v rovině. Dokažte, že v rovině existuje bod, který z těchto bodů nelze zkonstruovat euklidovskými prostředky.

5 Pod pojmem euklidovsky zkonstruovat si představujte něco takového: (1) Každý bod množiny A je euklidovsky zkonstruovatelný(dále jen euklidovský). (2) Mějme množinu B euklidovských bodů. a) Kružnici k(s, r),kde S Ba rjevzdálenostněkterýchdvoubodůvb,nazveme euklidovskou. b) Přímku KL,kde K, L B,nazvemeeuklidovskou. (3) V průniku dvou různých euklidovských kružnic, dvou různých euklidovských přímek, resp. euklidovské kružnice a euklidovské přímky leží euklidovské body. Euklidovské body dostaneme konečným počtem aplikací pravidel 1, 2, 3. Označmesi A 1 = A.Dálenechť nznačípočetprvkůmnožiny A.Povšiměmesi,ženové euklidovské 5 bodynámdávájenpravidlo(3).euklidovskákružniceodvozenázmnožiny A 1 můžemítjedenznrůznýchstředůanejvýše `n 2 n 2 poloměrů.různýcheuklidovskýchpřímek můžeexistovatnejvýše `n 2 n 2.Euklidovskýchkružnicaeuklidovskýchpřímeknaleznemetedy vprvnímkrokunejvýše n 2 + n 3 2n 3.Protožesedvaztěchtoobjektůmohouprotínatnejvýše vedvoubodech,dostávámevprvnímkrokunejvýše8n 6 novýcheuklidovskýchbodů.vtuto chvílitedymámenalezenumnožinu A 2 euklidovskýchbodů,kterélzenaléztpoprvnímkroku. Tatomnožinamánejvýše n+8n 6 prvků(odhadyjsousamozřejměsilněnadsazené). Množinuvšecheuklidovskýchbodůpakdostanemejako A 1 A 2 A 3... Každázmnožin A i máalejenkonečněmnohoprvků.naznačenésjednocenítedynemůžemítvíceprvkůnež množina N N,aprotoeuklidovskýchbodůexistujejenspočetněmnoho.Bodůvrovinějeale nespočetně. Některých bodů v rovině tedy euklidovskými prostředky nedosáhneme. 5 Tozde(idále)rozumějvevztahukmnožině A.