Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. II Název: Studiu haronických kitů echanického oscilátoru Pracoval: Lukáš Vejelka stud. skup. FMUZV (73) dne 2.2.23 Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při ěření 5 Teoretická část Výsledky ěření 8 Diskuse výsledků 4 Závěr Sezna použité literatury Celke ax. 2 Posuzoval: dne
Zadání úlohy. Zěřte tuhost k pěti pružin etodou statickou. 2. Sestrojte graf závislosti prodloužení pružiny na působící síle y = y (F ) 3. Zěřte tuhost k pěti pružin etodou dynaickou. 4. Z doby kitu tělesa znáé hotnosti a výchylky pružiny po zavěšení tohoto tělesa určete ístní tíhové zrychlení g. ( k ) ( ) 5. Sestrojte grafy závislostí: ω = f, ω = f. 6. Při zpracování použijte lineární regresi. 2 Teoretický úvod ěření Tuhostí pružiny intuitivně chápee její schopnost bránit se natahování či stlačování. Pro jednoduchost se budee pohybovat pouze v oblasti deforací, kde je velikost síly F potřebná k prodloužení pružiny o y příoúěrná touto prodloužení, tj. F = ky. Tuhost pružiny k tak ůžee dle definice chápat jako velikost síly F, kterou potřebujee k jejíu prodloužení o jeden etr. To však platí pouze u idealizované lineární pružiny [3]. Proto se při ěření reálných pružin budee pohybovat pouze v oblastech deforací, kde je podínka linearity splněna. Pro úplnost dodeje, že okažitá výchylka y haronického oscilátoru s nulovou počáteční fází kitající úhlovou frekvencí ω s aplitudou y je rovna y(t) = y sin(ωt) [3]. Metoda statická Statická etoda ěření tuhosti pružiny vychází z rovnováhy sil. Po zavěšení závaží dojde k prodloužení pružiny o y, následně je závaží v klidu. Na závaží hotnosti visící na pružině o neznáé tuhosti k v tíhové poli Zeě působí tíhová síla G a pružina silou F. Zanedbáe-li vztlakovou sílu a hotnost pružiny, lze na základě podínky rovnováhy a síly pružiny [3] pro prodloužení y pružiny psát y = G k = g = A. () k Na základě naěřených dat y a pro různá závaží jse schopni poocí etod regresní analýzy získat konstantu A a posléze i tuhost pružiny k. V celé referátu k značí tuhost pružiny [N ], G tíhovou sílu působící na závaží [N], y prodloužení pružiny při zavěšení závaží [], hotnost závaží [kg] a g =. 9,8 s 2 je tíhové zrychlení. Metoda dynaická V případě ěření etodou dynaickou necháe na pružině kitat závaží vhodné hotnosti. Zěříe čas t, za který oscilátor vykoná n kitů. Závaží vykonává haronický kitavý pohyb [3], jehož úhlová frekvence ω k 2π lze vyjádřit jako ω =. Neboť ω = T a T = t n, jsou snadno ěřitelné veličiny a t vázány vztahe t = 2πn k = B. (2) Na základě naěřených dat t a pro různá závaží jse schopni poocí etod regresní analýzy získat konstantu B a posléze i tuhost pružiny k. Tíhové zrychlení Z naěřených dvojic veličin, konkrétně prodloužení y z etody statické a násobku periody t = nt z etody dynaické pro jednotlivá závaží, lze určit tíhové zrychlení g v ístě ěření. Dle vztahu (9) v [3] jsou veličiny t a y vázány vztahe t = 2πn g y = C y. (3) Na základě dostatečného nožství dat jse schopni poocí etod regresní analýzy konstantu C a posléze i tíhové zrychlení g zjistit. 2
2. Použité přístroje, ěřidla, poůcky a hodnoty Na ěření vertikální výchylky závaží použijee katetoetr, jehož přesnost, viz tabulka, bude ít pro výslednou nejistotu ěření největší význa. Pro výpočet tak bude stačit znát hotnosti závaží s přesností na g. Tabulka : Použité ěřící přístroje a jejich ezní chyby ěření. Měřidlo/veličina veličina[jednotka] ezní chyba zdroj Katetoetr y [] 3 [3] Go!Motion detektor t[s],4 s vzork. frekv. Hotnost závaží [kg] 4 kg odhad Pro výpočet tuhosti pružiny dle statické etody budu používat hodnotu tíhového zrychlení g = 9,8 s 2, relativní zaokrouhlovací chyba η g = 5 5 [2]. n-násobek periody T bude ěřen poocí detektoru Go!Motion v rozhraní Data logger. Jako zátěž budou použity různé kobinace hotností ze sady závaží g, 2 g, 3 g, 5 g, g, 5 g. 2.2 Popis postupu vlastního ěření Pokus bude probíhat s pěti pružinai a škálou různých hotností závaží. Přípravíe stojan pro zavěšení zkouaných pružin. Nastavíe správnou vodorovnou i svislou polohu katetoetru poocí. Statická etoda. Zavěsíe zkouanou pružinu. 2. Naíříe katetoetr na závěs pružiny. 3. Zavěsíe příslušné závaží o hotnosti. 4. Odečtee prodloužení y pružiny. 5. Postup opakujee pro další závaží. Dynaická etoda. Zavěsíe zkouanou pružinu. 2. Zavěsíe příslušné závaží o hotnosti. 3. Závaží oscilátor uvedee do kitavého pohybu. 4. Zěříe čas t, za který oscilátor vykoná n kitů. 5. Postup opakujee pro další závaží. 3 Výsledky ěření 3. Laboratorní podínky Teplota v laboratoři: 22,3 C Atosférický tlak: 99,5 hpa Vlhkost vzduchu: 25,4 % 3.2 Naěřené hodnoty Naěřené hodnoty ze statické i dynaické etody jsou zachyceny v souhrnné tabulce 2. 3
Tabulka 2: Naěřené hodnoty prodloužení y a n-násobku period t pro jednotlivé hotnosti závaží. Hotnost závaží Pružina A Pružina B Pružina C Pružina D Pružina E [g] y [c] t[s] y [c] t[s] y [c] t[s] y [c] t[s] y [c] t[s] - - - - - 2,48 3,64 2,2 5,8 2,55 3,44 3,65 2,76 8,28 6,8,8 2, 3,85 4,2,26,8 5 2,85 3,6 4,7 7,76,4 2,4 6,6 5,28,36 7 4,45 3,74 9,7 9,6 2, 3,4 9,3 6,2,35,72 6, 4,56 28,32,84 3, 3,64 3,35 7,36,89 2,28 2 7,55 33,95 3,63 3 8,29 5,84 3,94 7,37,26 5 9,44 6,24 4,55 4,4 9, 8,4 6,76 5,55 2 2,6 6,48 6,6 5,8,36 2,85 5, 25 5,9 7,2 7,74 28 7,7 3 9,3 8,76 9,45 6,2 6,92 6,47 6,92 35 22,3 9,4,5 4 25,45 9,68 2,48 6,76,46 8,8 5 4,23 9,4 Poznáka k naěřený hodnotá v tabulce 2. Přesnost ěření katetoetre není pro dané vzdálenosti při běžné provozu laboratoře lepší než. Čas byl odečítán z grafického výstupu y = f(t) sonaru Go!Motion, kde byla použita axiální vzorkovací frekvence 25 Hz, čeuž odpovídá nejistota v ěření času, 4 s. Záěrně bylo naěřeno více dat. Některé rozsahy dat nejsou danýi etodai snadno ěřitelné vysoká perioda kitu, příliš alé výchylky. Taková data nejsou do statistického výpočtu zahrnuta a jsou považovány za hrubé chyby. Počet period v čase t je n =. 3.3 Způsob zpracování dat Metoda statická Z naěřených hotností a výchylek y pro danou pružinu vytvoříe graf závislosti y = f(). Grafe proložíe regresní příku procházející počátke dle rovnice (). Ze sěrnice A této příky a znalosti tíhového zrychlení g vypočítáe tuhost k dané pružiny. Graf závislosti y = y (F ) Hotnosti zatížení vynásobíe tíhový zrychlení g, číž získáe velikost působících sil F. Vykreslíe graf závislosti výchylek y na působící síle F. Proložíe vhodnou regresní příku, pro lineární oblast pružin lze očekávat lineární závislost. Podle grafu lze také určit, v které oboru zatížení se pružina chová lineárně. Metoda dynaická Z naěřených hotností a časů t pro danou pružinu vytvoříe graf závislosti t = f(). Grafe proložíe ocninou křivku dle rovnice (2). Z regresního koeficientu B a znalosti počtu kitů n vypočítáe tuhost k dané pružiny. Tíhové zrychlení Z naěřených dvojic prodloužení y a času n-násobku periody t všech pružin vykreslíe graf závislosti t = f(y ). Proložíe regresní křivku dle rovnice (3). Z regresního koeficientu C vypočítáe s poocí počtu kitu n hledané tíhové zrychlení g. 4
( k ) Grafy závislostí ω = f, ω = f ( k ) ( Závislosti ω = f (resp. ω = f ( ) ) ) lze očekávat lineární. Sěrnice regresních příek budou odpovídat (resp. k). Sěrnice obsahují k (resp. ), které budou paraetry kitavého pohybu. Čí větší bude paraetr (resp. k), tí bude úhlová frekvence ω enší (resp. větší). Závislosti s regresníi příkai budou pro své paraatery zakresleny v jedno grafu. 3.4 Zpracování dat Vypočtené regresní koeficienty a jejich chyby z prograu QtiPlot jsou v tabulce 3. Veličiny příslušící pružiná A,B,C,D,E jsou po řadě indexovány i =, 2,..., 5. Tabulka 3: Tabulky výstupních dat z regresní analýzy dat prograe QtiPlot. Regresní koeficienty A i statické etody Regresní koeficienty B i statické etody A = (, 634 ±, 7) kg B = (5, 35 ±, 29) s kg 2 A 2 = (2, 8237 ±, 93) kg B 2 = (34, 72 ±, 24) s kg 2 A 3 = (, 3 ±, 5) kg B 3 = (, 6 ±, 39) s kg 2 A 4 = (, 338 ±, 44) kg B 4 = (23, 33 ±, ) s kg 2 A 5 = (, 243 ±, 22) kg B 5 = (9, 7 ±, 7) s kg 2 Regresní koeficient C C = (9, 97 ±, 8) s 2 Tuhosti k,2,...,5 podle statické etody vypočítáe poocí poslední rovnosti z () k i = g A i. (4) Tuhosti k,2,...,5 podle dynaické etody vypočítáe poocí poslední rovnosti z (2) Tíhové zrychlení g vypočítáe podle poslední rovnosti z (3) Výpočet nejistoty ěření ( ) 2 2πn k i =. (5) B i ( ) 2 2πn g =. (6) C V rovnicích (4), (5), (6) vystupují vlastní regresní koeficienty, jejichž odchylky znáe a veličiny n a g. Počet period znáe přesně, chyba ěření času a hotnostní odchylky jsou zahrnuty v regresních datech. Relativní chyby regresních koeficientů jsou o několik řádu vyšší, zaokrouhlovací chyba tíhového zrychlení g by se v kvadratické zákonu hroadění chyb projevila iniálně, lze ji zanedbat. Ve všech případech vypočtee nejprve relativní chybu η koeficientů A/B a poocí ní vypočtee absolutní chybu ε hledaných tuhostí (resp. tíhového zrychlení), tj. 3.5 Číslené výsledky ěření Tuhosti pružin k i ε ki = η A/B k i, ε g = η C g. Výsledné tuhosti pružin i s ezníi chybai jsou v tabulce 4. Zěřené tuhosti pružin z obou etod jsou uspokojivě porovnatelné. Nejhůře vyšla pružina s největší tuhostí pružina E jejíž nejistota je příliš velká. Důvody daných chyb se věnuji v části diskuze výsledků. Místní tíhové zrychlení g Zrychlení je uvedeno v tabulce 5. 5
Tabulka 4: Tabulky tuhostí pružin vypočítaných na základě dat z obou etod. Pružina Statická etoda Dynaická etoda Pravděp. A k = (5, 47 ±, 3) N k = (6, 7 ±, 9) N P B k 2 = (3, 47 ±, 4) N k 2 = (3, 27 ±, 7) N P C k 3 = (3, 5 ±, 6) N k 3 = (32 ± 3) N P D k 4 = (7, 37 ±, 2) N k 4 = (7, 25 ±, 9) N P E k 5 = (4 ± ) N k 5 = (42 ± 22) N P Tabulka 5: Místní tíhové zrychlení. Hodnota Pravděp. g = (9, 9 ±, 9) s 2 P,68 3.6 Grafické výsledky ěření Poznáka.: Ve všech grafech protokolu jsou křivky v grafech regresní proložení příslušných závislostí, v legendách většiny grafů nejsou pro přehlednost jejich popisy i rovnice uváděny. V grafech nejsou zakresleny chybové úsečky, předpokládáe, že chyby ěření jsou enší než velikost označujících značek. Graf : Statická etoda - závislosti y = y () 35 3 25 Pružina A Pružina B Pružina C Pružina D Pružina E y [c] 2 5 5 2 3 4 5 [g] 6
Graf 2: Závislost výchylky y na působící síle F = g 4 35 3 25 Pružina A Pružina B Pružina C Pružina D Pružina E y[c] 2 5 5 2 3 4 5 F [N] Graf 3: Dynaická etoda - závislosti t = t() 4 2 t[s] 8 6 4 2 Pružina A Pružina B Pružina C Pružina D Pružina E 2 3 4 5 [g] 7
Graf 4: Závislost času t na výchylce y 2 Pružiny A,B,C,D,E regrese t = C y 8 t[s] 6 4 2 5 5 2 25 3 y [c] 8
Graf 5: Závislost ω = f( k) s paraetre 35 3 25 3 g g 5 g 3 g ω [ s ] 2 5 5 2 3 4 5 6 7 [ k N ] ( Graf 6: Závislost ω = f ) s paraetre k 5 4 Pružina C Pružina D Pružina E ω[s ] 3 2,5,,5,2 [g 2 ] 9
4 Diskuze výsledků Velkou chybu do ěření vnáší ěřící etody v oblastech rychlých kitů a alých výchylek u pružin s velkou tuhostí. To je patrno z grafických výsledků, viz grafy, 2 a 3. Největší odchylky od regresní křivky jsou pro nejtužší pružiny E a C v oblastech alých prodloužení a zatížení. Tuhost ěřených pružin nebyla znáa, nelze tedy porovnat. Tíhové zrychlení se podařilo zěřit úspěšně, neboť tabelovaná hodnota [4] tíhového zrychlení leží v části intervalu nejistoty naěřené hodnoty, viz výsledek z tabulky 5. Dle teoretických předpokladů byly očekávány závislosti y = y (), y = y (F ), ω = f( ( k) a ω = f lineární, závislost t = f(y ) a t = f() ocninné. Správnost teoretických předpokladů dokazuje rozložení dat kole příslušných regresních křivek v grafech 6. Z grafu 2 je navíc ožné pozorovat obtížnost ěření nejtužší pružiny E. Většina dvojic intervalů nejistot pro jednotlivé pružiny z obou etod se překrývá. Zbylé případy jsou způsobeny použití regresní analýzy, která předpokládá, že veličiny jsou určeny se stále stejnou chybou, což neohlo být zcela splněno. Paraetrické grafy závislostí úhlové frekvence na tuhosti (resp. hotnosti) bohužel neobsahují velké nožství dat. Při ěření je problé ěřit větší rozsah dat s překrývajícíi se hotnosti. Zdroje chyb je alá přesnost ěření katetoetre, vyšší nepřesnost je způsobena pohybe osob v laboratoři. Svůj vliv ůže ít i různý prohyb sledované části pružiny v závislosti na zatížení. Zkreslení ěřených veličin způsobuje i současné zavěšení více závaží vedle sebe, kdy oscilátor přestane kitat v jedné příce. Pro přesnější ěření by bylo nutno v případě nutnosti kobinovat závaží je zavěsit pod sebe. Liitující je i vzorkovací frekvence senzoru pohybu. Velký vliv á lidský činitel, předevší únava a nepozornost laboranta. Lepších výsledků by bylo ožné dosáhnout okažitý zanášení veličin do grafu a porovnávání s regresní křivkou. Oblasti s velký rozptyle by se přeěřily, třeba i s větší hustotou proěření oblastí zátěží. Pro vyšší zatíženích éně tuhých pružin nestačila výška stojanu, což zhoršovala i skutečnost, že používaný sonar nesníá pohyb ve vzdálenosti do 5 c nad čidle. 5 Závěr Hlavní cíle bylo zěřit tuhost pěti pružin statickou i dynaickou etodou. Výsledky obou etod zachycuje tabulka 6. Pružinou s největší tuhostí byla pružina E, následovaly pružiny C, A, D a pružinou s nejenší tuhostí byla pružina B. Na základě grafických i číselných výsledků je zřejé, že slabinou obou etod je alá zátěž tužších pružin. Měření periody kitu poocí sonaru je oproti použití stopek velké zpřesnění v oblastech kitů s vysokou frekvencí, kde lidské sysly zaostávají. Tíhové zrychlení bylo zěřeno g = (9, 9 ±, 27) s 2 P. Metoda určení tíhového zrychlení poocí prodloužení pružiny a periody kitu je navzdory jednoduchosti provedení i obyčejnosti ěřících přístrojů poěrně přesná. ) Tabulka 6: Tabulka zěřených tuhostí pružin A,B,C,D,E Pružina Statická etoda Dynaická etoda Pravděp. A k = (5, 47 ±, 3) N k = (6, 7 ±, 9) N P B k 2 = (3, 47 ±, 4) N k 2 = (3, 27 ±, 7) N P C k 3 = (3, 5 ±, 6) N k 3 = (32 ± 3) N P D k 4 = (7, 37 ±, 2) N k 4 = (7, 25 ±, 9) N P E k 5 = (4 ± ) N k 5 = (42 ± 22) N P Sezna použité literatury [] Brož J. a kol: Základy fysikálních ěření. SPN, Praha 967, st. 2.5., čl. 2.6... [2] Englich, J.: Úvod do praktické fyziky I. MATFYZPRESS, Praha 26, st., 2. [3] Valentová, H.: Fyzikální praktiku, studijní text, MFF UK. (.2.23). http://physics.ff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_2.pdf [4] Mikulčák, J a kol : Mateatické fyzikální a cheické tabulky. Proetheus, Praha 988, str. 29.