= T = 2π ω = 2π 12 s. =0,52s. =1,9Hz.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "= T = 2π ω = 2π 12 s. =0,52s. =1,9Hz."

Věra Tomanová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 XIII Mechanicé itání Příad 1 Těeso itá haronicy s periodou 0,80 s, jeho apituda je 5,0 c a počátečnífáze nuová Napište rovnici itavého pohybu /y = 0,05 sin, 5πt) / Stručné řešení: Patí T = 0,8 s = ω = π T =,5π rad s 1 Poto, jestiže apituda y = 5,0 c = 0,05, áe Poud do vztahu dosazujee t v seundách) y = {y } sinω{t}) =0, 05 sin, 5π{t}) Příad Těeso itá pode rovnice y = 0,0 sin1t) curčete jeho periodu a frevenci /0,5 s, 1,9 Hz/ Stručné řešení: Protože v závorce sinu je výraz ωt, dostáváe, že ω =1rads 1 Odtud áe, že ω = π T = T = π ω = π 1 s =0,5s f = 1 T = ω π =1,9Hz Příad 3 Která z rovnic popisuje haronicý itavýpohyb?a)y = r sin t,b)y = ω sin t, c) y = ω sinωt), d) y = rω sinωt) /žádná správná ožnost/ Stručné řešení: a) Ne, protože by v rovnici useo být t, nioiv t b) Poud ω značíúhovou frevenci, pa je rovnice špatná Poznaeneje vša: poud by ae ω značio druhou ocninu apitudy a sutečná úhová frevence by bya rovna jedné, pa je rovnice správná) c) Ne, ísto prvního ω á být y apituda) Tentorát ani přeznačení nepoůže, protože apituda aúhová frevence neajístejné jednoty) d) jde o rovnici zrychení je-ir apituda), nioiv výchyy Příad 4 Těeso itá haronicy s periodou 0,5 s, apitudou 4,0 c a počáteční fází π 3 Určete první tři časy, dy je oažitá výchya +3,0 c /0,050s; 0,4 s; 0,300 s/ Stručné řešení: Úhová frevence itů je ω = π T =8π rad s 1 Rovnice pro oažitou výchyu á tvar y = y sinωt + ϕ 0 ) y =4, 0sin 8π{t} + π ) 3 c poud do posedního vztahu dosazujee t v seundách Poože x =8π{t} + π 3 a dosad e y =3,0c Pa řešíe rovnici 3, 0=4, 0sinx sin x = 3 4 což dává řešení usíe počítat v radiánech!) na intervau [0, π] x 1 =0, 85 rad, x = π x 1 =, 9 rad apřipočtení π e aždéu řešení sinusjeπ periodicý) dostanee dašídvě: x 3 =π + x 1 x 4 =3π x 1 =7, 13 rad, =8, 57 rad 1

periodu a frevenci /0,5 s, 1,9 Hz/ Stručné řešení: Protože v závorce sinu je výraz ωt, dostáváe, že ω =1rads 1 Odtud áe, že ω = π T = T = π ω = π 1 s =0,5s f = 1 T = ω π =1,9Hz Příad 3 Která z rovnic

2 Fáze x odpovídá času x =8πt + π 3 odtud t = x π/3 8π Po dosazení x 1 až x 4 dostanee t 1 = 0, 007 s t = 0,050 s t 3 = 0,4 s t 4 = 0,300 s Protože první čas je záporný, a tudíž nás nezajíá, určují prvnítři časy násedující vztahy Příad 5 Jaá je frevence netueného haronicého pohybu hotného bodu o hotnosti,0, je-i apituda itů 10 c a ceová enerie 1,0 J? /50 Hz/ Stručnéřešení: Ceová enerie v rovnovážné pooze je rovna ineticé enerii hotného bodu, patí tedy E = E = 1 v = 1 ω y = 1 πf) y =π f y odud ůžee vyjádřit E f = π y = 50,3 s 1 = 50 Hz Příad 6 Vypočtěte, s jaou frevencí by itao na pružině těeso o hotnosti 90, jestiže tuhost pružiny je 4,0 N 1 /1,06 Hz/ Špatný výsede ve senech) Stručné řešení: Pro frevenci vastních) itů těesa na pružině patívztah f = 1 π =1,06Hz Příad 7 Těeso o hotnosti 150 itá haronicy s apitudou 4,0 c a periodou 0,50 s Určete jeho axiánízrycheníaveteréfázi pohybu to je Jaájejehoaxiání rychost a ve teréfázi pohybu to je? Jaá jeaxiání potenciání enerie osciátoru? Špatné výsedy) Stručné řešení: Jeho axiánízrycheníá veiost ) π a = ω y = y = 4π T T y =6,3/s atěeso ho á v obou rajních poohách Jeho axiánírychostje v = ωy = π T y = 0,5 /s atěeso ji á při průchodu rovnovážnou poohou Maxiání potenciání enerie je rovna axiání ineticé enerii E p,ax = E,ax = 1 v = 1 4π T y = π T y = 0,019 J Příad 8 Nezatížená pružina se nachází v rovnovážné pooze Rozitáe-i na ni určité těeso, itá sfrevencí 1,8 Hz O oi bude pružina prodoužena proti rovnovážné pooze až seityutuí? /7,7 c/ Stručnéřešení: Těeso působínapružinu tíhovou siou F G Prodouženípružiny Δ,označíe-i její tuhost, ůžee vypočítat jao Přito víe, že Δ = F G = ω =

/50 Hz/ Stručnéřešení: Ceová enerie v rovnovážné pooze je rovna ineticé enerii hotného bodu, patí tedy E = E = 1 v = 1 ω y = 1 πf) y =π f y odud ůžee vyjádřit E f = π y = 50,3 s 1 = 50 Hz Příad 6

3 ataé, že ω =4π f Z toho vypývá, že Δ = = ω = = 0,0766 = 7,7 c 4π f Příad 9 Vypočtěte déu závěsu ateaticého yvada, teré á dobu itu 1,0 s, je-i = 9,81 s /0,5 / Stručné řešení: Patí, že T =π odud vyjádříe, že = T =0,5 4π Příad 10 Mateaticé yvado o déce 1, á na Marsu dobu yvu 1,8 s Vypočtěte tíhové zrychení na Marsu /3,66 s / Stručné řešení: Patí, že T =π de značítíhové zrychenínamarsu Vyjádříe, že = 4π T = 3,66 /s Příad 11 Na stavební jeřábu se náraze větru rozýva zavěšenýpředět na závěsu o déce 8 Určete dobu itu, jestiže hotnost předětu je podstatně většínežhotnostzávěsu /10,6 s/ Stručné řešení: Vtaové případě ůžee těeso se závěse považovat za ateaticé yvado, pro jehož dobu itu patí T =π = 10,61 s Příad 1 Mateaticé yvado s váne déy 1,0 a uičou o hotnosti 1,0 vyoníe o úhe 30 Vypočtěte přírůste potenciání enerie uičy, rychost v rovnovážné pooze a axiání zrychení yvada /1,31 J; 0,5 s 1 ;4,9s / Špatná rychost) Stručné řešení: Kuičasezvedaovýšu h, pro terou patí naresetesiobráze, z rajní poohy ved te oici do svisé poohy) h = cos α = 1 cos α) Přírůste potenciání enerieje E p = h = 1 cos α) =1,31J Rychost v rovnovážné pooze určíe pode záona zachování echanicé enerie E p = E h = 1 v v = h v = 1 cos α) = 1,6 /s Maxiání zrychení yvada v tečné sěru trajetorii) nastává vevérajní pooze a je rovno a ax = sin α = 4,9 /s Je určeno tečnou sožou tíhovésíy trajetorii) 3

Vyjádříe, že = 4π T = 3,66 /s Příad 11 Na stavební jeřábu se náraze větru rozýva zavěšenýpředět na závěsu o déce 8 Určete dobu itu, jestiže hotnost předětu je podstatně většínežhotnostzávěsu /10,6 s/

4 Příad 13 Jestiže se výtah pohybuje stáou rychostí 3,0s 1 sěre vzhůru, itá vně zavěšené yvado o déce 80 c s dobou itu T 0 Jajepotřeba upravit déu závěsu, aby při zrychení výtahu 0,50 s sěre vzhůru bya doba itu opět T 0?Tíhové zrycheníje9,8s /prodoužit o 4,0 c/ Stručné řešení: Vpřípaděstáé rychostivýtahu působí na yvado pouze tíhovásía a pro dobu itu patí 1 T 0 =π Vpřípadězrychovánívýtahu působí na yvado roětíhovéještěsetrvačnásía a pro dobu itu patí T 0 =π + a Musí být tedy přenásobení jenovatei dostanee po dosazení Kyvado je potřeba o 4,0 c prodoužit 1 = + a 1 + a) = a = a = = 84,0 c Příad 14 Kyvadové hodinyjdoupřesně vnuovénadořsé výšce Ja se zění jejichchodzadobu 4 h, přenesee-i je do výšy 400 nad oře? Pooěr Zeě je 6378, κ =6, N /5,4 s/ Stručné řešení: Budee předpoádat, že na yvadovéhodinypůsobí pouze ravitačnísía Zeě Pro jejich periodu na zesé povrchu poto patí T 1 =π de a je ravitační zrychenínapovrchuzeě, a a = κ M Z R Z Pro periodu ve výšce h = 400 patí T =π a de a je ravitační zrychenívevýšce h = 400, M Z a = κ R Z + h) Zatíco na povrchu yvado hodin vyoná zat = 4 h = s počet itů n 1 = vyoná pouzen = t T itů anaěřítačas t = n T 1 = T 1 a t = t = R Z T a R Z + h t = 86394,6 s t T 1,vevýšce h Rozdí je t t = 5,4 s Příad 15 Dva izochronní haronicé ity téhož sěru ají frevenci 4,0 Hz, stejnou apitudu výchyy,0 c a rozdí fází π/ Napište rovnici sožených itů /y =,8 sin8πt + π 4 )c/ 4

Tíhové zrycheníje9,8s /prodoužit o 4,0 c/ Stručné řešení: Vpřípaděstáé rychostivýtahu působí na yvado pouze tíhovásía a pro dobu itu patí 1 T 0 =π Vpřípadězrychovánívýtahu působí na yvado

5 Stručné řešení: Patí, že y 1 = y sinπft) y = y sin πft + π ) Pro rovnici sožených itů áe Aprotože patí, že dostáváe, že y = y 1 + y sin α +sinβ =sin α + β cos α β y = y [sin πft + π ) ] +sinπft) y =y sin πft + π +πft cos πft + π πft y =y sin πft + π ) cos π 4 4 y = y sin πft + π ) 4 Po dosazení y =,0c,f =4,0Hzáe y =, 8sin 8π{t} + π ) c 4 Příad 16 Na dvou pružinách jsou zavěšena těesa o hotnostech 1 a,přičež 1 > Po zavěšenítěes se obě pružiny prodoužiy o stejnou déu Které těeso bude po vychýenízrovnovážné poohy itat s větší periodou? Které těeso bude ít při itavé pohybu se stejnou apitudou výchyy větší enerii? Hotnost pružiny ůžee zanedbat /perioda stejná, enerie prvního je větší/ Stručné řešení: 1 Protože se pružiny vychýiy o stejnou déu Δ, znaená to, že Δ = 1 1 =, atedy odocnění a přenásobení π áe 1 1 = 1 1 = 1 π =π 1 přičež naevo a napravo je nyní dobaituprvní a druhé pružiny, tedy T 1 = T Perioda itu bude stejná Enerii vypočtee pode vztahu E = 1 y, de je tuhost pružiny Enerie je tedy přío úěrná veiosti tuhosti pružiny Jestiže 1 = 1 a 1 >, poto taé 1 >, a tedy enerie prvního těesa bude větší Příad 17 Těeso o hotnosti 0,1 je zavěšeno na nitce a ta zase na pružině o tuhosti 160 N 1 Jaá síbýt apituda výchyy těesa, aby jeho itání byoharonicé? /y < 0, 6c/ 5

1 a,přičež 1 > Po zavěšenítěes se obě pružiny prodoužiy o stejnou déu Které těeso bude po vychýenízrovnovážné poohy itat s větší periodou?

6 Stručné řešení: Nita usíbýt v aždé oažiu napjatá, taže zrycheníitavého pohybu a nesí přeročit tíhové zrychení Musítedybýt a< ω y < y < y < Po dosazení y < 6,1 Příad 18 Dřevěný hranoohustotě arozěrech 10 c 0 c 0 c pove na hadině vody Hrano poněud zatačíe do vody a uvoníe Jaá by bya perioda itů hranou, poud bycho odpor prostředí ohi zanedbat? /0,6 s/ Stručné řešení: Poud hrano pove předpoádáe, že poožen, tedy podstavu tvoří 0x0 c čtverec), pa je v rovnováze tíhová avztaovásía Poud jej zatačíe o aou hobu y níže do vody, pa rozdí v tíhové a vztaové síe je roven tíze objeu navíc vytačené apainy, terý činí Sy tedy F = V ϱ =Sϱ)y Sía je tedy přío úěrná výchyce a způsobuje ta haronicé itání Porovnání vztahů F =Sϱ)y nyní odvozen) a vztahu pro síu způsobující haronicé ity dostáváe, že atedy Pro periodu itů T áe F = ω y ω y = Sϱy ω = Sϱ 4π T = Sϱ = abϱ = abϱ odud 4π T = abϱ Zbývá vyjádřit hotnost hranou: = ϱ h V = ϱ h abc, odud po dosazení vyjde c =10c=0,1) T = 4ϱ h cπ ϱ = 0,6 s 6

/0,6 s/ Stručné řešení: Poud hrano pove předpoádáe, že poožen, tedy podstavu tvoří 0x0 c čtverec), pa je v rovnováze tíhová avztaovásía Poud jej zatačíe o aou hobu y níže do vody, pa rozdí v tíhové a

Podobné dokumenty

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015

Řešení testu 1b. Fyzika I (Mechanika a molekulová fyzika) NOFY021. 19. listopadu 2015 Řešení testu b Fyzika I (Mechanika a olekulová fyzika) NOFY0 9. listopadu 05 Příklad Zadání: Kulička byla vystřelena vodorovně rychlostí 0 /s do válcové roury o průěru a koná pohyb naznačený na obrázku.