3.1.2 Harmonický pohyb

Transkript

1 3.1.2 Haronický pohyb Předpoklady: 3101 Graf závislosti výchylky koštěte na čase: Poloha na čase poloha [c] čas [s] U některých periodických pohybů graf závislosti výchylky na čase přibližně odpovídá grafů funkcí sinus a kosinus (v reálných pohybech se výchylka na rozdíl do funkcí sinus a cosinus zenšuje) v ideální případě by byl stejný v takové případě by se jednalo o haronický kitavý pohyb. Př. 1: Nakresli graf závislosti výchylky na čase u kyvadla pokud se kývá s periodou 2 sekundy a s axiální výchylkou 10 c. Předpokládej haronický pohyb kyvadla. y[c]

2 Př. 2: Do předchozího obrázku doplň graf pohybu kyvadla, které se kývá se stejnou periodou 2 s, ale s poloviční axiální výchylkou c. y[c] Př. 3: Nakresli do jednoho obrázku grafy závislosti výchylky na čase u dvou kyvadel. První se kývá periodou 2 sekundy a s axiální výchylkou 10 c, druhé s periodou 1, sekundy a stejnou axiální výchylkou. Předpokládej haronický pohyb kyvadel. y[c] Př. 4: Z výsledků předchozích příkladů urči jak ovlivňuje tvar grafu výchylky na čase: a) hodnota axiální výchylky b) perioda pohybu. Hodnota axiální výchylky určuje výšku grafu. Perioda pohybu určuje délku jedné vlnovky grafu. Chcee najít rovnici, která popisuje předchozí grafy a říká, ve které ístě se v dané okažiku kyvadlo nachází (jaká je jeho okažitá výchylka). Budee srovnávat graf výchylky kyvadla s grafe funkce y = sin x. 2

3 y a x y[c] y ax Graf funkce: y = asin x (číslo a určuje výšku grafu, x je proěnná, na které závisí hodnoty y) Graf výchylky: y = y ( t) ax sin Výšku grafu určuje axiální výchylka y ax. Proěnou, na které výchylka závisí, je čas t. Čas uvnitř sinu usíe násobit nějaký výraze, abycho zajistili, že pro t = bude končit první vlnovka a začínat druhá (jako u funkce y = asin x pro x = 2π ). Jak určit výraz označený? Pro t = končí první vlnovka a začíná druhá platí = 2π (když dosadíe do rovnice y = y t t =, usíe počítat sin ze 2π, aby končila první vlnovka a začínala ax sin ( ) druhá). = 2π 2π = Okažitá výchylka haronicky kitajícího tělesa je dána rovnicí y = y t (základní rovnice haronického kitání). 3

4 t Základní rovnici haronického kitání ůžee upravit do tvaru: y = y 2π. Po dosazení t = (zjišťujee stav na konci první periody) y = y 2π = y sin ( 2π 1). Z rovnice je zřejé, že v okažiku t = se oscilátor nachází na konci první periody. Poloha na čase poloha [c] čas [s] Př. : Z grafu zaznaenávajícího pohyb koštěte urči periodu a axiální výchylku (útlu zanedbej tí, že za axiální výchylku zvolíš axiální výchylky přibližně v polovině pohybu) a sestav rovnici haronického pohybu. Do rovnice dosaď časy, pro které áš naěřené výsledky a srovnej spočtené hodnoty s naěřenýi. y = 140c 3 kity 8 sekund 8 = = s 3 y = y t y = 140 t Dosadíe za t časy, pro které áe naěřené polohy koštěte a které jsou v rozezí sekunda (v té době ělo koště axiální výchylku kole 140 c) a porovnáe výsledky výpočtu s naěřenýi hodnotai. t = 40s y = = 72 c Hodnota v tabulce 90 c. t = 42s y = = 14 c Hodnota v tabulce 40 c. 4

5 t = 0s y = = 139 c Hodnota v tabulce -13 c. t = 60s y = = 96 c Hodnota v tabulce 6 c. Ačkoliv si hodnoty zcela neodpovídají, je zřejé, že rovnice pohyb koštěte přibližně předpovídá. Pedagogická poznáka: U předchozího příkladu je potřeba upozornit studenty, aby při zadávání hodnot do kalkulačky zkontrolovali, jestli ji ají přepnutou do ódu R (radiány). Většinou to tak není, protože častěji studenti určují hodnoty gonioetrických funkcí z úhlů zadávaných ve stupních. Ještě lépe je to vidět z grafu, srovnávajícího hodnoty naěřené a vypočtené z naší rovnice. Poloha zěřená a spočtená poloha zěřená [c] poloha spočtená [c] čas [s] Př. 6: Okažitá výchylka kyvadla je popsána rovnicí y 3sin ( πt) výchylku kyvadla a jeho periodu. Rovnici y 3sin ( πt) =. Urči axiální = srovnáe s obecný tvare rovnice pro haronický pohyb y = y t. y = 3 t 2 je vidět, že platí: y = y t y = 3, = 2.

6 Př. 7: Okažitá výchylka kyvadla je popsána rovnicí y 0, 0sin ( 3t ) =. Urči axiální výchylku kyvadla a jeho periodu. Z vypočtených hodnot odhadni hodnotu okažité výchylky v čase t = 2s. Odhad ověř výpočte. Rovnici y 0, 0sin ( 3t ) y = y t. = srovnáe s obecný tvare rovnice pro haronický pohyb ( t) y = 0, 0sin 3 je vidět, že platí: y = 0,0, 2π t = 3t. y = y t Dopočtee periodu: 2π t = 3t. 2 π 3 2 π = = s = 2,1s 3 Odhad okažité výchylky: V čase 2s se kyvadlo nachází v alé záporné výchylce (za 0,1 sekundy se á vrátit do počáteční polohy). Výpočet okažité výchylky pro 2s y = 0,0sin 3t = 0,0sin 3 2 = 0,014 t = : ( ) ( ) Malá záporná výchylka odpovídá odhadu, neboť kyvadlo se nachází na konci první periody. Výchylku haronického pohybu ůžee vyjádřit i poocí frekvence 1 y = y t = y 2π t = y sin 2 f t s frekvencí. ( π ) 1 f =. - rovnice haronického pohybu Ještě jednodušší výraz uvnitř sinu získáe pokud použijee úhlovou frekvenci (u kruhového pohybu jse ji říkali úhlová rychlost) ω = 2π f. ( π ) sin ( ω ) y = y sin 2 f t = y t - tento způsob zápisu rovnice haronického pohybu je nejčastější. Součin ω t á význa úhlu, značíe ho ϕ a říkáe u fáze kitavého pohybu. Př. 8: 1 Struna na kytaře kitá s frekvencí 440 Hz (koorní a ). Urči periodu a úhlovou frekvenci jejího pohybu a napiš rovnici jejího haronického kitání, pokud je její axiální výchylka 2. f = 440 Hz y = 2 = 0, = s 0,0023s f = 440 = ω = 2π f = 2π 440 = 880π rad s = 276 rad s -1-1 Rovnice haronického kitání: y = y sin ( ωt) = 0, 002sin ( 276t ) 6

7 Př. 9: (doácí) Z echaniky již víe, že v grafu závislosti polohy na čase jsou schovány i grafy časových závislostí rychlosti a zrychlení. Zkus do jednoho obrázku nakreslit pro pohyb koštěte všechny tyto tři grafy. Řešení příkladu je uvedeno na počátku příští hodiny. Shrnutí: Okažitou výchylku haronického kitavého pohybu ůžee popisuje rovnice y = y t = y sin ( ωt). 7