2. Sestrojte graf závislosti prodloužení pružiny na působící síle y = i(f )

Transkript

1 1 Pracovní úkoly 1. Zěřte tuost k pěti pružin etodou statickou. 2. Sestrojte raf závislosti prodloužení pružiny na působící síle y = i(f ) 3. Zěřte tuost k pěti pružin etodou dynaickou. 4. Z doby kitu tělesa znáé otnosti a výcylky pružiny po zavěšení tooto tělesa určete ístní tíové zryclení. 5. Sestrojte rafy závislostí : ( k ) a. ω = f ( ) 1 b. ω = f 6. Při zpracování použijte lineární reresi. 2 Teoretický úvod Pružina působí silou F přío úěrnou její aktuální výcylce y z rovnovážné poloy ve sěru opačné k výcylce. F = ky, (1) kde k je tuost pružiny (k > 0). Pro sílu, podle 2. Newtonova zákona, platí F = a = ÿ. (2) Pokud dáe rovnice (1) a (2) do rovnosti a vyřešíe diferenciální rovnici, pak dojdee k řešení y = y sin ωt ϕ, (3) kde y je aplituda výcylky, ω je úlová frekvence a ϕ je počáteční fáze. Pro úlovou frekvenci platí k ω =. (4) Vzta ezi dobou kitu T a úlovou frekvencí je T = 2π ω = 2π k (5) Zavěsíe-li na pružinu těleso otnosti a necáe-li kity ustálit, pak pro tíovou sílu F G = a sílu pružnosti F p = k y platí F p F G = 0. (6) Rovnovážná poloa se posune o y níže. Z too ůžee určit tuost pružiny poocí statické etody, kde pro tuost k platí k = y. (7) Tuost ůžee určit také poocí dynaické etody úpravou rovnice (5) ( ) 2 2π k =. (8) T Pokud pro stejnou pružinu a stejné odnoty zěříe jak kity, tak prodloužení pružiny, pak ůžee vypočítat tíové zryclení jako ( ) 2 2π = y. (9) T 1 / 9

2 Pružina ,9 0, ,5 2, ,1 4, ,7 7, ,4 9, ,9 12, ,6 14, ,3 16, ,0 18, ,6 21, ,3 23, ,2 34,7 Pružina ,5 0, ,1 1, ,7 2, ,3 4, ,0 5, ,6 6, ,2 8, ,9 9, ,5 11, ,0 12, ,8 13, ,1 20,4 Pružina ,4 0, ,3 2, ,1 4, ,0 6, ,8 8, ,7 10, ,6 12, ,6 14, ,5 16, ,4 19, ,4 1, ,3 3, ,8 1,6 Pružina ,3 0, ,8 1, ,2 3, ,7 4, ,0 6, ,5 7, ,0 9, ,4 10, ,7 12, ,1 14, ,6 15, ,0 23,3 Pružina ,0 0, ,5 2, ,0 5, ,4 7, ,8 10, ,2 12, ,8 15, ,2 17, ,8 20, ,1 22, ,6 25, ,1 3,9 3 Měření Tabulka 1: Naěřené prodloužení pružiny v závislosti na otnosti závaží Měření bylo provedeno na 5 pružinác, které jsou očíslovány Statická etoda Měření statickou etodou bylo prováděno tak, že bylo na pružinu zavěšováno závaží o různé otnosti a poloa jejío spodnío konce byla ěřena poocí katetoetru. Hodnoty, které byly na katetoetru odečítány jsou vlastně výškou nad pracovní stole a jsou uvedeny v Tabulce č. 1. Hodnoty prodloužení byly pak určeny vůči počáteční poloze dolnío konce pružiny. Závaží byla volena tak, aby byla prodloužení dostatečně rozdílná, ale tak abyco se poybovali ještě v oblasti, kde je cování pružiny lineární. Prodloužení pružin v závislosti na použité závaží je vyneseno v rafec (obrázky č. 1, 2, 3, 4 a 5) společně s jejic proložení lineárníi funkcei. Vzlede k tou, že cyba ěření způsobená určená ze statistickéo zpracování je nízká, ůžee tedy brát cybu k určenou vzorce (statistická cyba je o řád enší) ( s k = 1 n ( ) 2 ( ) ) 2 s i s y, (10) n 1 y i i=1 y 2 i 2 / 9

3 y/ Pružina 1 Lineární rerese Obrázek 1: Graf závislosti prodloužení pružiny 1 na působící síle y/ Pružina 2 Lineární rerese Obrázek 2: Graf závislosti prodloužení pružiny 2 na působící síle 3 / 9

4 5 y/ Pružina 3 Lineární rerese Obrázek 3: Graf závislosti prodloužení pružiny 3 na působící síle 5 y/ Pružina 4 0 Lineární rerese Obrázek 4: Graf závislosti prodloužení pružiny 4 na působící síle 4 / 9

5 0.3 y/ Pružina 5 Lineární rerese Obrázek 5: Graf závislosti prodloužení pružiny 5 na působící síle Pružina č. k/k s 2 s k /k s 2 η 1 4,2 0,17 4,1% 2 46,3 2,02 4,4% 3 6,3 0,31 4,9% 4 7,2 0,34 4,8% 5 19,3 0,39 2,0% Tabulka 2: Tuosti pružin zjištěné statickou etodou kde s je odadnutá cyba otnosti závaží, y i naěřené prodloužení pružiny v i-té ěření, je s y je cyba naěřenéo prodloužení, je tíové zryclení, které zde beru jako = 9, 81 s 2 [1] a n je počet ěření. Kvůli otřesů v ístnosti neělo sysl odečítat desetiny ilietru na katetoetru, přestože na ně je noniová stupnice. S přesností závaží si nejse zcela jist, ale cyby podobnýc sad závaží se poybují kole 1. Odady cyb jsou tedy s = 1 a s y = Dynaická etoda Dynaická etoda určení tuosti pružiny je založena na ěření doby kitu pružina, na které je zavěšeno závaží o znáé otnosti. U dynaické etody jse pro každé ěřené závaží provedl tři ěření doby 10 kitů, abyc oezil ožnost rubé cyby ěření. Naěřené odnoty (10 T 1, 10 T 2, 10 T 3 ) a jejic střední odnoty (10 T ) jsou uvedeny v Tabulce č. 3. Měření doby kitu bylo prováděno stopkai, takže nepřesnost ěření je určena zejéna reakční dobou. Střední cybu reakční doby odaduji jako s 10 T = 0, 2 s, takže vzlede k tou, že jse provedl ěření vždy po 10 kitec, tak pro střední dobu jednoo kitu platí s T = 0, 02 s. Cybu ěření jse také počítal etodou přenosu cyb následující vzorce s k = 4π 2 1 n 1 ( n (s ) 2 ( ) ) 2 2i s T Ti 2 Ti 3 i=1, kde s beru stejně jako u statické etody 1. (11) 5 / 9

6 Pružina 1 / 10 T 1 /s 10 T 2 /s 10 T 3 /s 10 T/s 30 4,91 4,97 4,90 4, ,64 5,68 5,62 5, ,36 6,26 6,44 6, ,91 6,79 6,74 6, ,36 7,32 7,36 7, ,68 7,86 7,91 7, ,27 8,29 8,33 8, ,61 8,61 8,76 8, ,71 10,55 10,59 10,62 Pružina 3 / 10 T 1 /s 10 T 2 /s 10 T 3 /s 10 T/s 40 4,63 4,46 4,58 4, ,08 5,16 5,12 5, ,52 5,59 5,44 5, ,91 6,04 5,95 5, ,42 6,38 6,32 6, ,75 6,72 6,74 6, ,15 7,10 7,07 7, ,72 8,80 8,82 8,78 Pružina 2 / 10 T 1 /s 10 T 2 /s 10 T 3 /s 10 T/s 80 2,38 2,24 2,40 2, ,66 2,60 2,72 2, ,15 3,19 3,10 3, ,18 5,31 5,21 5, ,71 5,79 5,85 5, ,40 6,29 6,24 6, ,82 6,71 6,75 6, ,07 7,08 7,14 7, ,61 7,55 7,48 7,55 Pružina 4 / 10 T 1 /s 10 T 2 /s 10 T 3 /s 10 T/s 30 3,67 3,75 3,91 3, ,19 4,37 4,32 4, ,79 4,86 4,78 4, ,29 5,28 5,28 5, ,65 5,63 5,65 5, ,04 6,01 5,99 6, ,38 6,38 6,41 6, ,74 6,89 6,73 6, ,19 8,36 8,28 8,28 Pružina 5 / 10 T 1 /s 10 T 2 /s 10 T 3 /s 10 T/s 80 3,70 3,67 3,66 3, ,99 4,13 4,06 4, ,01 4,98 5,03 5, ,76 5,83 5,66 5, ,50 6,45 6,38 6, ,13 7,04 6,96 7, ,72 7,66 7,58 7, ,27 8,12 8,13 8, ,61 8,65 8,61 8, ,05 9,09 9,14 9,09 Tabulka 3: Naěřené doby 10 kitů v závislosti na otnosti závaží 6 / 9

7 Pružina č. k/k s 2 s k /k s 2 η 1 4,5 0,3 7,1% 2 55,4 6,3 11,3% 3 7,4 0,6 7,7% 4 8,1 0,7 8,7% 5 23,4 1,8 7,5% Tabulka 4: Tuosti pružin zjištěné dynaickou etodou ω s = 80 = 100 = 150 Lin. r. 1 Lin. r. 2 Lin. r k k s 2 ( k ) Obrázek 6: Graf závislosti ω = f V Tabulce č. 4 jsou uvedeny vypočtené odnoty k i s cybou ěření. 3.3 Měření tíovéo zryclení Pro výpočet tíovéo zryclení byly použity všecny odnoty, které se oly použít pro rovnici (9) (de facto tedy byly použity všecny ěření dynaickou etodou a odpovídající ěření pro dané otnosti statickou etodou). s = 4π 2 1 n 1 n i=1 ( (s y T 2 i ) 2 ( ) ) 2 2 yi s T Ti 3 Títo způsobe vycází tíové zryclení jako = (12, 1 ± 0, 9) s Grafy závislostí ( k ) Graf závislosti ω = f je označen jako Obrázek č. 6 a druý raf vyjadřující ω = f á označení Obrázek č. 7. (12) ( ) 1 7 / 9

8 ω s Pružina 1 Pružina 2 Pružina 3 Pružina 4 Pružina 5 Lin. r. 1 Lin. r. 2 Lin. r. 3 Lin. r. 4 Lin. r k Obrázek 7: Graf závislosti ω = f ( ) 1 4 Diskuse Hodnoty tuosti pružin vypočtené statickou etodou a dynaickou etodou se poěrně odně liší. U 3 pružin se dokonce ani neprotínají intervaly uvažující cybu ěření. Nejspíše to je způsobeno zejéna tí, že jse zanedbal otnost pružin, která se uplatňuje zejéna při kitání pružiny. Také jse zanedbal to, že některé pružiny se začnou protaovat až poto, co je na nic zavěšeno dostatečná otnost závaží - to je nejspíše způsobeno tí, že je určité napětí i v nenatažené pružině. Dále jse zanedbal to, že sice závaží ěla asi poěrně přesnou otnost, ale závaží ěla pro lepší zavěšování na sobě připevněné provázky, jejicž otnost se taky ola v enší íře uplatnit pro alé otnosti závaží. Sice byla odečítána poloa spodnío konce pružiny katetoetre, ale kvůli otřesů v budově a kvůli tou, že je těžké úplně zastavit kity pružin, jse usel odadovat polou rovnovážnéo bodu spodnío konce pružiny, protože pružina, byť s alou aplitudou, kitala. Také jse zanedbal to, že jse se ol dostat pro některé závaží do nelineární oblasti pružiny. Ale vlede k tou, že naěřené odnoty prodloužení jsou velice blízké rafu příky, tak tento problé nejspíše nenastal. Vzlede k tou, že tíové zryclení v é ěření vyšlo jako = (12, 1 ± 0, 9) s 2, což se od tabelované odnoty [1] = 9, 8 s 2 značně liší. To ukazuje na to, že v ěření byla skutečně přítona systeatická cyba. Zkoušel jse zpracovat ěření pro jednotlivé pružiny zvlášť, ale ěření každé pružiny zvlášť také vykazuje takto velkou systeatickou cybu. 8 / 9

9 5 Závěr Zjištěné odnoty tuostí pružin obě etody ěření Pružina č. Statickou etodou Dynaickou etodou 1 (4, 2 ± 0, 2)k s 2 (4, 5 ± 0, 3)k s 2 2 (46 ± 2)k s 2 (55 ± 6)k s 2 3 (6, 3 ± 0, 3)k s 2 (7, 4 ± 0, 6)k s 2 4 (7, 2 ± 0, 3)k s 2 (8, 1 ± 0, 7)k s 2 5 (19, 3 ± 0, 4)k s 2 (23, 4 ± 1, 8)k s 2 Hodnota zjištěnéo tíovéo zryclení = (12, 1 ± 0, 9) s 2 6 Literatura [1] J. Brož, V. Roskovec, M. Valouc: Fyzikální a ateatické tabulky SNTL, Praa / 9