Kineatický odel koloého, syke řízeného roota Šolc rantišek, Toáš Neužil, Jaku Hraec, Jarosla Šeera Astrakt Článek popisuje ateatický odel syke řízeného koloého roota. Root je tořen čtyřkoloý podozke u kterého jsou postranní dojice kol spojeny řetěze. Kola jedné dojice ají tedy ždy stejnou rychlost a root tak ůže ěnit sěr sého pohyu pouze syke. Pohy takoého stroje je pak ětšinou popisoán jeho dynaický odele. Článek ukazuje ožnost jak lze za určitých předpokladů získat jednodušší kineatický odel takoého stroje. Klíčoá sloa: syke řízený root, koloý root, dierenciální podozek, kineatický odel, dynaický odel Úod Rooty použíající syke řízený podozek jsou poěrně hojně rozšířené. yskytují se e dou ariantách, pásoé a koloé. Jejich ýhodou je předeší eli jednoduchá a roustní konstrukce, eli dorá průchodiost otížný teréne a dorá anéroatelnost takoé terénu (root je např. schopen otáčet se na ístě). pásoé podoě se použíají téěř ýhradně oteřené terénu pro ojenské, zeědělské neo staení aplikace []. Koloé typy jsou ale často yužíány i éně náročné průysloé, neo dokonce e školní a laoratorní prostředí, iz např. root Pioneer -AT y MOBILEROBOT Inc. Jistou neýhodou těchto strojů je, kroě yšší spotřey energie, složitý odel jejich pohyu. Proto je ětšina takoých strojů řízena čloěke. následující textu je odeloán koloý podozek jehož schéa je uedeno na Or.. jejich kineatiky t.j. ez uážení jejich hotnosti a ez uážení sil, které jsou k jejich pohyu potřené. Pro popis pohyu podozků řízených syke už usíe zít úahu hotnosti a síly, usíe tedy použít ronice dynaiky. K ysětlení použijee jednoduchý příklad kola které se pohyuje e odoroné roině XY iz Or.. Or. chéa syke řízeného koloého roota ig. kid steered wheeled root Pohy syke řízených podozků nelze oecně popsat relatině jednoduchý kineatický odele jako tou je u podozků s tz. neholononí oezení, jejichž kola se ideálně alí t.zn. nedochází u nich ani ke syku ani k prokluzu kol. Typickýi předstaiteli takoých podozků jsou podozky s dierenciálně řízenýi koly, neo tz. Ackeranů podozek []. Pohy podozků s neholononí oezení lze pro alé rychlosti pohyu popsat ronicei Or. Kolo pohyující se roině ig. Motion o a wheel in XY plane Kolo o poloěru r je kolé k roině XY, otáčí se kole osy ronoěžné s roinou XY s úhloou rychlostí ω a je řízeno kole osy jdoucí jeho střede a kolé k roině XY. Úhel řízení je φ. Pokud nedochází k prokluzu ani syku kola je jeho pohy po oecné dráze popsán ronicei kineatiky x& y& & ϕ rω ε Oezení pohyu kola dané ronicí () je neholononí, je yjádřeno rychlostech pohyu a nelze je přeést na prostý unkční ztah který y každé časoé okažiku udáal ztah ezi polohou kola [x,y,φ] T, úhle řízení φ a celkoý () AT&P journal PLU 8
úhle (délkou) o který se kolo odalí. Záleží totiž na to jaký yl časoý průěh eličin φ a rω do tohoto okažiku. Kolo se např. dostane do různých poloh když yjede z nuloých počátečních podínek odalí se o a pak se potočí o φ9 o, neo když se napřed pootočí o φ9 o a pak se odalí o. Jestliže se ude kolo alit po příkoé dráze, iz Or., ale ude při pohyu prokluzoat neůžee odel () použít protože už neude platit, že rychlost pohyu kola je dána součine rω a usíe zít úahu prokluz, který oše záisí na silách, které půsoí ezi kole a podložkou XY. zhlede k tou, že syke řízené podozky jsou určeny předeší pro pohy nestrukturoané enkoní prostředí ojeuje se poěrně álo článků, které se zaýají jejich odeloání. Nicéně poslední doě se ojeilo několik článků, které snaží odeloat pohy těchto podozků rozuně deinoané strukturoané prostředí. Někteří autoři uádějí čistě dynaické odely a jejich řízení pak narhují poocí speciálních technik teorie nelineárních systéů []-[5]. Kineatický odel je explicitně použit [6] kde je yjádřen aticí x koeicientů, které záisí na terénu. Model je získán experientálně poocí přídaných lečných kol s poocí lineární regrese naěřených dat. Experientálně získaný kineatický odel je uáděn také [7]. naše článku uádíe odel ekialentního dierenciálního podozku, který je získán siulací z oěřeného dynaického odelu. Zkouaný podozek roota je scheaticky yorazen na Or.. Dě postranní kola toří ždy pár spojený řetěze a poháněný saostatný otore. áha roota je cca 6kg, rozchod kol je.5 a rozor je.. Root je určen pro experienty jak laoratorní, resp. průysloé prostředí tak i pro experienty oteřené terénu.. Kineatický odel dierenciálně řízeného roota Kineatický odel neholononího dierenciálně řízeného roota je sestaen za předpokladu dokonalého alení jeho kol, tedy pohyu ez prokluzu a syku. cheaticky je tento podozek nakreslen na Or.. ϕ& + ložky rychlosti reerenčního odu COG pené ztažné systéu pak jsou x& y& + Polohu COG roota pené ztažné systéu pak získáe integrací složek rychlostí z ronice (). Orientaci získáe integrací otáčié rychlosti z ronice (). Model tedy ůžee yjádřit následující siulační schéate. Or. Model dierenciálně řízeného roota ig. Model o dierentially steered root jednotliých locích siulačního odelu jsou uedeny ronice které jsou nich počítány.. Dynaický odel syke řízeného roota cheatický nákres syke řízeného roota, podle kterého je sestaen jeho dynaický odel je ueden na Or. 5. () () Or. Neholononí podozek s dierenciální řízení ig. Nonholonoic plator Oecně zřejě nelze trdit, že pohyy syke řízeného a dierenciálně řízeného stroje udou, při stejné rozchodu kol a stejných rychlostech kol, stejné. Mateatický odel neholononího podozku z Or. je yjádřen ronicei kineatiky (). ronicích znaená rozchod kol roota. Ronice yjadřují podélnou, stranoou a otáčiou rychlost stroje záislosti na oodoých rychlostech pohonných kol.,. Or. 5 Geoetrie syke řízeného roota ig. 5 Geoetry o the skid-steered root Jednotlié syoly Or. 5 předstaují: a podélné síly, které yíjejí jednotliá kola stranoé síly, které yíjejí jednotliá kola rozor kol rozchod kol podélná rychlost stroje AT&P journal PLU 8
stranoá rychlost stroje φ orientace stroje podélná rychlost osy kola podélná rychlost osy kola COG těžiště stroje GC geoetrický střed stroje p paraetr podélné polohy těžiště <;> Konstrukce zkouaného stroje je takoá, že COG leží ose stroje. Pohy COG je pak yjádřen ronicei dynaiky () Mx && My && sin ϕ + Jϕ && ( + + ) + + ( + ) pa ( + )( p) a i i sin ϕ e kterých předstauje M... hotnost stroje a J... oent setračnosti stroje zhlede k COG. Pokud udee znát podélné a stranoé síly a snadno ypočítáe leé strany () a po patřičné integraci udee schopni ypočítat rychlost pohyu i polohu stroje. Určení sil a které znikají při prokluzu a syku pohonných kol je tedy kritické pro získání ěrohodného odelu. Pro ýpočet těchto sil jse nejpre použili odel pneuatiky uáděný [8], ukázalo se šak, že odel kolauje pro elký poěr / rychlostí kol. Použili jse proto odel, který počítá tyto síly s použití odiikace Coulooa odelu sykoého tření [9],[]. Náš odel předpokládá, že každé kolo kontaktu s podložkou prokluzuje podélné sěru prokluzoou rychlostí s (5) kde předstauje oodoou rychlost kola. e stranoé sěru je pak prokluzoá rychlost kola, iz Or. 5. Celkoá prokluzoá rychlost kola, udáající zájenou rychlost kontaktu kolo-podložka pak je s + ( ) (6) íla P kterou přenáší kontakt kola s podložkou je pak určena Coulooý odele P C µ W pro pro µ W C µ W > C kde W předstauje tíhu která zatěžuje kolo, µ je koeicient tření a C je tuhost pneuatiky. Tato síla se pak rozloží podélné a stranoé sěru poěru prokluzoých rychlostí P s P () (7) (8) Tento odel prokázal dorou shodu s odele pneuatiky z [8] a je schopen pracoat s nohe ětší poěre rychlostí /. K dokončení odelu je potřea ještě určit ztah ezi podélnýi a stranoýi rychlosti kol a asolutní rychlostí COG četně otáčié rychlosti. Tento ztah je dán následujícíi ronicei kineatiky x& & ϕ x& + & ϕ + pa & ϕ ( p) a & ϕ Dynaický odel stroje je tedy oproti odelu uáděnéu kapitole nohe složitější. iulační schéa odelu je uedeno na následující orázku. Or. 6 Dynaický odel syke řízeného roota ig. 6 Dynaical odel o the skid-steered root jednotliých locích siulačního odelu jsou uedeny ronice které jsou nich počítány. Naíc je e schéatu uedena ronice (), která proádí ýpočet podélné a stranoé rychlosti COG roota. x&. Kineatický odel syke řízeného roota (9) () Dynaická reakce syke řízeného stroje je eli rychlá. ysté přejde při skokoé zěně rychlostí, do ustáleného stau za éně než sec. Root se tak po ětšinu času nachází ustálené stau. ustálené stau jsou pak rychlosti a konstantní a odpoídají hodnotá, řídicích rychlostí. Můžee tak experientálně získat oecně nelineární zorazení (, ) (, ) ϕ& (, ) () Poronáe-li toto zorazení s () idíe, že principiálně souhlasí s kineatický odele neholononího dierenciálně řízeného podozku u kterého je ale zorazení řídicích rychlostí na podélnou, stranoou a otáčiou rychlost lineární. AT&P journal PLU 8
Model syke řízeného stroje je tedy yjádřen odoný siulační schéate jako odel dierenciálně řízeného podozku, iz Or. 7. Or. 7 Kineatický odel syke řízeného roota ig. 7 Kineatic odel o the skid-steered root Experientální zjištění zorazení () je oše eli zdlouhaé. Mnohe rychlejší je zjištění tohoto zorazení siulací dynaického odelu za předpokladu ěrohodnosti tohoto odelu. Ta. je ueden příklad ypočítaných hodnot z ronic () z níže uedeného eriikačního pokusu. porchu. Poocí ah a siloěrů yl zjištěn koeicient tření µ.6. COG leží podélné ose roota a jeho pozice je charakterizoána hodnotou p.5. Hodnota oentu setračnosti Jkg yla orientačně ypočtena z rozěrů a hotnosti roota. Koeicient tuhosti pneuatik yl odhadnut na C5Ns -. Poslední dě hodnoty neají podstatný li na choání roota ustálené stau. ýsledky siulačních experientů jsou uedeny Ta. a na následujících orázcích. ýsledky siulace yly oěřoány reálný experiente. Experient č. yl proeden s rychlosti,s - a -,s -. iuloaný root se pohyoal s rychlostí COG.7s - a otáčiou rychlostí -.rads -. COG opisoal kruh o poloěru.5.... sec Centre o rotation 5sec Longitudinal axis connecting COG with centre o ront axle sec \ -,5 -, -, -, -,,,,,,,5,5 -, -, -,99 -,86 -,7 -,6 -,9 -,7 -,5 -,,, -, -,99 -,87 -,7 -,6 -,9 -,7 -,5 -,,,, -, -,87 -,7 -,6 -,9 -,7 -,5 -,,,,5 -. -. 5sec COG, -,88 -,75 -,6 -,5 -,7 -,5 -,,,,5,7, -,75 -,6 -,5 -,7 -,5 -,,,,5,7,9, -,6 -,5 -,7 -,5 -,,,,5,7,9,6 -, -,5 -,7 -,5 -,,,,5,7,9,6,7 -, -,8 -,5 -,,,,5,7,5,6,7,86 -, -,5 -,,,,5,7,5,6,7,87,99 -, -,,,,5,7,5,6,75,87,99, -,5,,,5,8,5,6,75,88,,, Ta. ypočítané hodnoty unkce z ronic () -. -. -. -. -.... Or. 8 ýsledky siulace pohyu roota při -,s - a,s - ig. 8 Results o siulations o the skid-steering or -,s - a,s - Experient č. yl proeden s rychlosti,s - a s -. iuloaný root se pohyoal s rychlostí COG.6s - a otáčiou rychlostí -.rads -. COG opisoal kruh o poloěru... eriikace odelu eriikační pokusy yly proedeny na rootu U.T.A.R. iz Or. 7... sec Longitudinal axis connecting COG with centre o ront axle COG 5sec -. -. Centre o rotation sec -.6 -.8 5sec - -. -. -....6.8 Or. 7 Root U.T.A.R ig. 7 Root U.T.A.R Geoetrické rozěry a hotnost roota jsou uedeny již úodní kapitole. Experient yl proáděn na hoogenní Or. 9 ýsledky siulace pohyu roota při s - a,s - ig. 9 Results o siulations o the skid-steering or s - a,s - ýsledky reálného experientu č. yly: rychlost, otáčiá rychlost -.rads -, poloěr otáčení yl neěřitelný. AT&P journal PLU 8
MOBILNÉ ROBOTY ýsledky reálného experientu č. yly: rychlost.7s-, otáčiá rychlost yla.5rads-, poloěr otáčení.5. Při reálné experientu se root pohyoal pod kaerou, která zaznaenáala jeho pohy iz Or.. Zázna yl yhodnocen po proedení experientu. [] Kozlowski, K., Pazderski, D. Modelling and control o a -wheel skid-steering oile root, Int. J. Appl. Math. Coput. ci., ol., no, pp. 77-96,. [5] Colyer R.E., Econoou J.T. Modelling and iulation o kid-teer Wheeled ehicles. Proceedings o the 7th IATED Int. Con. Modelling, Identiication and Control. 998. [6] Anousaki, G.C., Kyriakopulos, K.,J. iultaneous Localization and Map Building o kid-teered Roots. IEEE R&A Magazine, No., March, 7. [7] Mandow, A., Martínez, J.L., Morales, J., Blanco, J.L. Experiental kineatics or wheeled skid-steer oile roots. IRO Int. Con. on Intelligent Roots and ystes, Oct. 9, 7, andiego, CA UA. [8] Wong, J.Y. (978). Theory o Ground ehicles. J.Willey.978. [9] Laura, R. Ray. Nonlinear Tire orce Estiation and Road riction. Autoatica, ol., No. 997. [] Arstrong-Heloury, B. Control o achines with riction. Autoatica.. 99. Or. Proedení reálného experientu ig. Arrangeent o real experient 5. Záěr Článek popisuje toru quasi kineatického odelu syke řízeného roota. Tento kineatický odel je ytořen poocí ěrnějšího, ale nohe složitějšího dynaického odelu. Jeho hlaní ýhodou je jeho jednoduchost. Např. pokud y se root pohyoal po úsecích e kterých y platilo neo - zjistíe, jednoduchý poronání ýsledků hodnot () z Ta. s ýraze pro ýpočet otáčié rychlosti (), že pohy syke řízeného stroje je stejný jako pohy dierenciálně řízeného neholononího roota s rozchode.. Získaný kineatický odel oše platí pouze pro pohy roota na konkrétní odoroné hoogenní porchu na které jsou dodrženy konstantní adhezní podínky, které yly použity při torě a siulaci dynaického odelu. I když je tedy ěrohodnost kineatického odelu značně oezena ůže jeho použití zjednodušit řadu ýpočtů, které ohou ýt potřené jak pro nárh řídicího systéu roota, tak pro on-line ýpočty potřené při saotné řízení reálné čase. Astract The paper introduces atheatical odels o a skid steered oile plator or rootics. The plator consists o a rectangular steel construction with our wheels. Two anks o two drie wheels on each side are linked to two DC electrical otors ia chain on sprocket drie and gearing. The two drie asselies or the let and right anks are identical ut they operate independently to steer the ehicle y skid. Wheels o the ehicle consist o ris and shallow tread pneuatic tyres. Dynaic and quasi-kineatic odels are introduced. Pro. Ing. rantišek Šolc,Cc. ysoké učení technické Brně akulta Elektrotechniky a kounikačních technologií Ústa autoatizace a ěřicí techniky Kolejní 6 Brno E-ail: solc@eec.utr.cz Poděkoání Práce znikla s inanční podporou projektu MŠMT M567 Literatura [] L. Chapeny-Barnes,. Coppersith, K. Dowling, The Terregator oile root, Carnegie Mellon Uni. Pittsurgh, Pensylania, Tech. Rep. CMU-RI-TR-9-, 99. [] iegwart, R., Nourakshsh, I.R. Introduction to Autonoous Moile Roots, A Bradord Book, MIT Press, London,97 [] Carraciolo L., De Luca A., Ianniti. Trajectory Tracking control o a our-wheel Dierentially Drien oile Root. Proceedings o the IEEE Int. Con. on Rootics & Autoation. 999. AT&P journal PLU 8 5