PLOŠNÉ INTEGRÁLY PLOCHY

Transkript

1 LOŠNÉ INTEGRÁLY V praxi se vyskytuje potřeba integrovat funkce nejen podle křivých čar, ale i podle křivých ploch (např. přes povrch koule). LOCHY lochy v prostoru, které byly zatí hlavně používány, byly grafy funkcí dvou proěnných. To je, stejně jako u křivek, speciální případ zadání plochy paraetricky, nebo speciální případ zadání plochy funkcí tří proěnných (tj., jako nožina bodů splňujících rovnost g(x, y, z) = 0 pro nějakou spojitou funkci g, obvykle ající spojité parciální derivace). locha je nožina {(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)); (u, v) I}, kde ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) jsou reálné spojité funkce definované na nějaké oezené intervalu I v rovině. ředchozí plocha se nazývá uzavřená, jestliže I je uzavřený a všechny body z hranice I se zobrazí do jediného bodu. Kulová plocha je uzavřená, povrch kvádru je uzavřenou plochou, graf funkce dvou proěnných není uzavřenou plochou. Necht, jsou plochy zadané na intervalech I, I resp., které ají společnou jednu svou stranu. Spojení ploch, je pak jejich sjednocení definované na I I. Značí se +. Indukcí lze tento poje zavést pro spojení konečně noha ploch. Např. povrch kvádru vznikne postupný spojení všech obdélníků této plochy. locha zadaná paraetry ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) na intervalu I se nazývá hladká, jestliže platí:. funkce ϕ, ψ, τ ají spojité první parciální derivace na I;. pro každé (u, v) I á atice ( ϕ ϕ hodnost ; ψ ψ ) τ τ 3. každý bod plochy je obraze jediného bodu (u, v) I s jedinou ožnou výjikou: obrazy bodů z hranice I ohou splývat. Kraj plochy se někdy nazývá hranice, ale pak je nutné odlišovat hranici plochy v R 3 (to je obvykle celá plocha) a hranici, která se tu nazývá kraj. ro představu si vezěte kruh, jakkoli položený v prostoru, třeba i zvlněný. Je jasné, co znaená kraj tohoto obrazce. řesná definice je dost koplikovaná a nebude zde uváděna. V případech zde používaných bude intuitivně jasné, co kraj plochy znaená. locha s prázdný kraje je totéž, co uzavřená plocha. o částech hladká plocha je spojení konečně noha hladkých ploch. říklade je povrch krychle nebo válce, nebo,,leporelo",,,sněhulák" nebo leniskata vynásobená úsečkou. ovrch krychle nebo válce, i,,sněhulák", jsou příklady po částech hladké uzavřené plochy.

2 Každá po částech hladká plocha je paraetricky zadaná reálnýi spojitýi funkcei ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v), které jsou definované na nějaké oezené intervalu I v rovině, přičež ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) ají spojité parciální derivace všude v I kroě konečně noha úseček. o částech hladká plocha, paraetricky zadaná zobrazení Φ na uzavřené intervalu I, se nazývá jednoduše uzavřená jestliže Φ je prosté na vnitřku I, konstantní na hranici I s hodnotou různou od hodnot na vnitřku I. Jednoduše uzavřená plocha rozděluje prostor na dvě souvislé části, jednu oezenou, zvanou vnitřek (značení ι ) a druhou neoezenou. Orientace plochy znaená, že lze luvit o dvou stranách plochy, jedna se označí za kladnou a druhá za zápornou. Je-li plocha orientována, norála vždy sěřuje nad kladnou stranu. U jednoduše uzavřených ploch, pokud není stanoveno jinak, se za kladnou stranu bere vnější strana a norála tedy sěřuje ven, nikoli dovnitř. U grafů funkcí dvou proěnných se za kladnou stranu bere horní strana. Orientace hladké plochy znaená, že v každé její bodě je určen sěr norály a to spojitý způsobe: jestliže půjdete po jednoduše uzavřené křivce na dané ploše, usíte dojít do výchozího bodu ve stejné poloze. Je-li orientovaná křivka C částí kraje orientované plochy, říká se, že obě orientace jsou souhlasné, jestliže při chůzi po křivce v kladné sěru a po kladné straně plochy, áte plochu po levé straně. Nebude-li řečeno jinak, bude se vždy předpokládat, že plochy a jejich kraje jsou orientovány souhlasně. Musí se dávat pozor při orientaci po částech hladkých ploch, protože ve styčných hranách obecně neexistují norály. Necht jsou jednotlivé spojované plochy orientovány a necht jejich kraje jsou uzavřené křivky, které jsou orientovány souhlasně s příslušnýi plochai. ak je celá plocha orientována, jestliže části krajů, které se stýkají (právě dvě) jsou navzáje orientovány opačně. oznáky říklady Otázky LOŠNÉ INTEGRÁLY.DRUHU Myšlenka výpočtu integrálu funkce f : R na ploše je podobná jako u křivkového integrálu.druhu. oocí určovacích paraetrických funkcí se plocha,,narovná" a spočítá se integrál přes podnožinu roviny. Ono narovnání je trochu složitější než u křivek. Ta bylo nutné příslušnou funkci vynásobit faktore který odpovídal zěně délky při narovnání křivky (od ds se přešlo k dx). Stejně tak u plochy je třeba použít faktor, který udává zěnu velikosti křivé plochy při narovnání. V bodě (x, y, z) plochy se veli alá ploška ds okolo tohoto bodu dá považovat za rovinnou a zjistí se poěr její velikosti ku poěru jejího průětu, např. do roviny xy (není-li tento průět úsečka nebo bod). V rovině xy á průět velikost dx. dy. Skutečná ploška á velikost větší, a to ds = dx. dy/ cos γ, kde γ je úhel, který svírá norála k ploše v (x, y, z) s rovnoběžkou v (x, y, z) s osou z v kladné sěru. Je nutné předpokládat, že cos γ 0, tj., že ploška není rovnoběžná s osou z. odle druhé podínky definice hladkých ploch usí být v každé bodě plochy aspoň jeden uvedený kosinus nenulový. locha se rozdělí na nejvýše tři části, a v každé je jeden daný kosinus nenulový. Integrál přes plochu je pak součte integrálů přes tyto části.

3 odle volby takové části se berou průěty i do rovin xz nebo yz a dostávají se velikosti plošek dx. dz/ cos β, resp. dy. dz/ cos α, kde úhly β, α jsou opět úhly ezi norálou a příslušnýi osai (y, resp. x). Kosiny těchto úhlů se nazývají sěrové kosiny norály. DEFINICE. Necht f je funkce zadaná na hladké ploše, na které je v každé bodě cos γ 0. ak se definuje plošný integrál.druhu funkce f přes plochu jako dx dy f(s) ds = f(s) M cos γ. Na pravé straně je dvojrozěrný integrál, v ně se za proěnné S, x, y, γ usí dosadit příslušné hodnoty (viz dále). Saozřejě lze požadavek nenulovosti sěrového kosinu oslabit podínkou, že ůže nabývat 0 jen na alé nožině (nulové). řío z definice lze ukázat následující vlastnosti: OZOROVÁNÍ. Následující rovnosti platí, jakile ají sysl pravé strany, poslední nerovnost platí, pokud existuje levá strana.. (αf(s) + βg(s)) ds = α f(s) ds + β g(s) ds;. + f(s) ds = f(s) ds + f(s) ds; 3. f(s) ds O( ) ax S f(s), kde O( ) je obsah plochy. Úhel γ se saozřejě ění spolu s bode (x, y, z) a pro výpočet plošného integrálu je obvykle třeba cos γ vyjádřit poocí nějakých souřadnic. VĚT. Necht plocha je grafe funkce h(x, y). oto cos γ = + ( h x ) ( h ) +. y VĚT. Necht je plocha dána paraetricky rovnosti x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v), z = τ(u, v). oto kde a J(ϕ, ψ) je Jakobián funkcí ϕ, ψ. cos γ = EG F, J(ϕ, ψ) ( ϕ ) ( ψ ) ( τ ) E = + + ( ϕ ) ( ψ ) ( τ ) G = + + F = ϕ ϕ + ψ ψ + τ ϕ τv. Nyní lze uvést převod plošného integrálu.druhu na obyčejný integrál přes rovinnou nožinu. VĚT. Necht f je funkce definovaná na hladké ploše.. Necht je plocha grafe funkce h definované na nožině. ak ( h ) ( h ) f(s) ds = f(x, y, h(x, y)) + + dx dy. x y 3

4 . Necht je plocha určena paraetricky funkcei ϕ, ψ, τ na nožině. ak f(s) ds = f(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)) EG F du dv. oznáky říklady Otázky Cvičení LOŠNÉ INTEGRÁLY.DRUHU DEFINICE. Necht je hladká orientovaná plocha a f : R 3 á souřadnice (f, f, f 3 ). ak se definuje plošný integrál.druhu funkce f přes rovností f. dn = R (f (x, y, z) dy dz + f (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy). Integrál na pravé straně je součte tří integrálů a každý lze brát přes projekci plochy do příslušné roviny (yz nebo xz nebo xy resp.). V definici je pro jednoduchost uvedena integrace přes celou rovinu (rozuí se, že integrovaná funkce se dodefinuje nulou ve zbývajících bodech). Opět se snadno ukáže: OZOROVÁNÍ. Následující 3 rovnosti platí, jakile ají sysl pravé strany.. (αf(s) + βg(s)) ds = α C f(s) ds + β C g(s) ds;. + f(s) ds = f(s) ds + f(s) ds; 3. f(s) ds = f(s) ds; odle uvedené definice plošného integrálu.druhu však nelze integrál většinou přío počítat, protože např. R (f (x, y, z) dy dz obsahuje i proěnnou x, která závisí na y a z. Tato závislost se usí do integrálu dosadit. oužije se věta o substituci na jednotlivé části integrálu podle toho, jak je plocha zadaná. VĚT. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše.. Necht je plocha grafe funkce g definované na nožině. ak f ds = ( f (x, y, g(x, y)) g x dx dy f (x, y, g(x, y)) g y dx dy + f 3(x, y, g(x, y)) dx dy).. Necht je plocha určena paraetricky funkcei ϕ, ψ, τ na nožině. ak f ds = ± f (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ψ, τ) du dv ± f (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, τ) du dv ± f 3 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, ψ) du dv, kde znaénka před integrály se určí podle souhlasu orientace plochy s obvyklou orientací souřadnicových nožin. 4

5 oslední věta o určení znaénka znaená, např. pro poslední integrál na pravé straně, že znaénko bude stejné jako znaénko Jakobiánu J(ϕ, ψ), pokud při pohledu seshora na rovinu xy vidíe kladnou stranu plochy v nějaké vybrané bodě, ve které se nějaké jeho okolí na ploše zobrazuje prostě na rovinu xy. OZOROVÁNÍ. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. oto f ds = (f (x, y, z) cos α + f (x, y, z) cos β + f 3 (x, y, z) cos γ) ds, kde uvedené kosiny jsou sěrové kosiny v bodech z. V integrálu f ds lze tedy f ds chápat jako skalární součin vektoru f s vektore ds = (cos α, cos β, cos γ) ds oznáky 3 říklady 3 Otázky 3 Cvičení 3 GUSSOV OSTROGRDSKÉHO VĚT Greenova věta převádí křivkový integrál po jednoduše uzavřené křivce na integrál přes vnitřek této křivky. osunutí o dienzi výše by se ěla dostat věta o převodu plošného integrálu po jednoduše uzavřené ploše na integrál přes vnitřek této plochy. Greenův vzorec ěl dvě podoby: pro křivkový integrál ze skalárního součinu s tečný vektore nebo s norálový vektore. VĚT. Necht G je otevřená podnožina prostoru a je jednoduše uzavřená orientovaná plocha ležící i s vnitřke v G. Necht f = (f, f, f 3 ) je funkce G R 3 ající spojité parciální derivace na G. ak platí ( f (x, y, z) dy dz + f (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy ) = = ι ( f x + f y + f ) 3 dx dy dz. z Důkaz je naznačen v oznákách a Otázkách. odobně jako Greenova věta, dá se i Gaussova Ostrogradského věta vyslovit pro konečná sjednocení ploch. oznáky 4 říklady 4 Otázky 4 STOKESOV VĚT Na rozdíl od Gaussovy Ostrogradského věty se bude v toto případě vycházet z Greenova vzorce pro skalární součin funkce a tečného vektoru: VĚT. Necht C je jednoduše uzavřená křivka v prostoru, která je kraje po částech hladké plochy ιc. Necht C i ιc leží v otevřené nožině G, na které je definována funkce f = (f, f, f 3 ) : G R 3 ající spojité parciální derivace na G. ak platí (f (x, y, z) dx + f (x, y, z) dy + f 3 (x, y, z) dz) = C 5

6 ιc ( ) ( f3 y f ) ( f dy dz + z z f ) ( 3 f dx dz + x x f ) dx dy. y odobně jako Greenova věta, dá se i Stokesova věta vyslovit pro plochy ající za kraj konečná sjednocení jednoduše uzavřených křivek v prostoru. říklady 5 Otázky 5 OUŽITÍ LOŠNÝCH INTEGRÁLŮ Obdobně jako u křivkových integrálů, se nyní dají počítat velikosti ploch a jejich těžiště. ro tuto velikost bude používán terín íra. DEFINICE.. Míra po částech hladké plochy je rovna ds.. Hotnost zakřivené desky ve tvaru po částech hladké plochy je rovna h ds, kde h je funkce na udávající hustotu. 3. Těžiště zakřivené desky ve tvaru po částech hladké plochy ající hustotu h á souřadnice T x = xh ds, T y = yh ds, T z = zh ds, kde je hotnost desky. V integrálech se usí za x, y, z, ds dosadit příslušné výrazy podle toho, jak je plocha popsána. Čitatelé ve vzorcích pro těžiště jsou oenty (statické) plochy vzhlede k roviná yz nebo xz nebo xy resp. Opět stejně jako u použití Greenovy věty pro íry rovinných obrazců, lze použít Gaussovu Ostrogradského větu pro výpočet objeu tělesa. ostup je zcela stejný. Je-li G otevřená podnožina prostoru ající za hranici uzavřenou po částech hladkou plochu G, pak obje V (G) tělesa G (nebo jeho uzávěru G) je roven V (G) = x dy dz = y dx dz = z dx dy = (x dy dz + y dx dz + x dx dy). G G G 3 G oznáky 6 říklady 6 Otázky 6 STNDRDY z kapitoly LOŠNÉ INTEGRÁLY LOCHY locha je nožina {(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)); (u, v) I}, kde ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) jsou reálné spojité funkce definované na nějaké oezené intervalu I v rovině. ředchozí plocha se nazývá uzavřená, jestliže I je uzavřený a všechny body z hranice I se zobrazí do jediného bodu. Necht, jsou plochy zadané na intervalech I, I resp., které ají společnou jednu svou stranu. Spojení ploch, je pak jejich sjednocení definované na I I. Značí se +. Indukcí lze tento poje zavést pro spojení konečně noha ploch. locha zadaná paraetry ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) na intervalu I se nazývá hladká, jestliže platí: 6

7 . funkce ϕ, ψ, τ ají spojité první parciální derivace na I;. pro každé (u, v) I á atice ( ϕ ϕ hodnost ; ψ ψ ) τ τ 3. každý bod plochy je obraze jediného bodu (u, v) I s jedinou ožnou výjikou: obrazy bodů z hranice I ohou splývat. Kraj plochy se někdy nazývá hranice, ale pak je nutné odlišovat hranici plochy v R 3 (to je obvykle celá plocha) a hranici, která se tu nazývá kraj. ro představu si vezěte kruh, jakkoli položený v prostoru, třeba i zvlněný. Je jasné, co znaená kraj tohoto obrazce. locha s prázdný kraje je totéž, co uzavřená plocha. o částech hladká plocha je spojení konečně noha hladkých ploch. ovrch krychle nebo válce jsou příklady po částech hladké uzavřené plochy. Každá po částech hladká plocha je paraetricky zadaná reálnýi spojitýi funkcei ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v), které jsou definované na nějaké oezené intervalu I v rovině, přičež ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v) ají spojité parciální derivace všude v I kroě konečně noha úseček. o částech hladká plocha, paraetricky zadaná zobrazení Φ na uzavřené intervalu I, se nazývá jednoduše uzavřená jestliže Φ je prosté na vnitřku I, konstantní na hranici I s hodnotou různou od hodnot na vnitřku I. Jednoduše uzavřená plocha rozděluje prostor na dvě souvislé části, jednu oezenou, zvanou vnitřek (značení ι ) a druhou neoezenou. Orientace plochy znaená, že lze luvit o dvou stranách plochy, jedna se označí za kladnou a druhá za zápornou. Je-li plocha orientována, norála vždy sěřuje nad kladnou stranu. U jednoduše uzavřených ploch, pokud není stanoveno jinak, se za kladnou stranu bere vnější strana a norála tedy sěřuje ven, nikoli dovnitř. U grafů funkcí dvou proěnných se za kladnou stranu bere horní strana. Orientace hladké plochy znaená, že v každé její bodě je určen sěr norály a to spojitý způsobe: jestliže půjdete po jednoduše uzavřené křivce na dané ploše, usíte dojít do výchozího bodu ve stejné poloze. Je-li orientovaná křivka C částí kraje orientované plochy, říká se, že obě orientace jsou souhlasné, jestliže při chůzi po křivce v kladné sěru a po kladné straně plochy, áte plochu po levé straně. Nebude-li řečeno jinak, bude se vždy předpokládat, že plochy a jejich kraje jsou orientovány souhlasně. Musí se dávat pozor při orientaci po částech hladkých ploch, protože ve styčných hranách obecně neexistují norály. Necht jsou jednotlivé spojované plochy orientovány a necht jejich kraje jsou uzavřené křivky, které jsou orientovány souhlasně s příslušnýi plochai. ak je celá plocha orientována, jestliže části krajů, které se stýkají (právě dvě) jsou navzáje orientovány opačně. LOŠNÉ INTEGRÁLY.DRUHU V bodě (x, y, z) plochy se veli alá ploška ds okolo tohoto bodu dá považovat za rovinnou a zjistí se poěr její velikosti ku poěru jejího průětu, např. do roviny xy (není-li tento průět úsečka nebo bod). V rovině xy á průět velikost dx. dy. Skutečná ploška á velikost větší, a to ds = dx. dy/ cos γ, kde γ je úhel, který svírá norála k ploše v (x, y, z) s rovnoběžkou v (x, y, z) s osou z v kladné sěru. Je nutné předpokládat, že cos γ 0, tj., že ploška není rovnoběžná s osou z. odle druhé podínky definice hladkých ploch usí být v každé bodě plochy aspoň jeden uvedený kosinus nenulový. 7

8 locha se rozdělí na nejvýše tři části, a v každé je jeden daný kosinus nenulový. Integrál přes plochu je pak součte integrálů přes tyto části. odle volby takové části se berou průěty i do rovin xz nebo yz a dostávají se velikosti plošek dx. dz/ cos β, resp. dy. dz/ cos α, kde úhly β, α jsou opět úhly ezi norálou a příslušnýi osai (y, resp. x). Kosiny těchto úhlů se nazývají sěrové kosiny norály. DEFINICE. Necht f je funkce zadaná na hladké ploše, na které je v každé bodě cos γ 0. ak se definuje plošný integrál.druhu funkce f přes plochu jako dx dy f(s) ds = f(s) M cos γ. Na pravé straně je dvojrozěrný integrál, v ně se za proěnné S, x, y, γ usí dosadit příslušné hodnoty (viz dále). ožadavek nenulovosti sěrového kosinu lze oslabit podínkou, že ůže nabývat 0 jen na alé nožině (nulové). VĚT. Necht plocha je grafe funkce h(x, y). oto cos γ = + ( h x ) ( h ) +. y Necht je plocha určena paraetricky funkcei ϕ, ψ, τ na nožině. ak norálový vektor n k ploše je vektorový součine vektorů parciálních derivací n = ( ϕ, ψ, τ ) ( ϕ, ψ, τ ) Vektorový součin vektorů a = (a, a, a 3 ) = a i+a j+a 3 k a b = (b, b, b 3 ) = b i+b j+b 3 k je definován i j k a b = a a a 3 b b b 3 = a a 3 b b 3 i a a 3 b b 3 j + a a b b k Nyní lze napsat převod plošného integrálu.druhu na obyčejný integrál přes rovinnou nožinu. VĚT. Necht f je funkce definovaná na hladké ploše.. Necht je plocha grafe funkce h definované na nožině. ak ( h ) ( h ) f(s) ds = f(x, y, h(x, y)) + + dx dy. x y. Necht je plocha určena paraetricky funkcei ϕ, ψ, τ na nožině. ak f(s) ds = f(ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v)) n du dv. říklad. Vypočtěte povrch koule B o poloěru a poocí sférických souřadnic. Řešení. Máe vypočítat integrál ds. B Sféru B tedy paraetrizujee ϕ(u, v) = a cos u cos v, ψ(u, v) = a sin u cos v, τ(u, v) = a sin v, 8

9 kde u ( π, π), v ( π, π ). Spočítáe parciální derivace u (ϕ, ψ, τ), v (ϕ, ψ, τ) a spočítáe vektorový součin těchto dvou vektorů. Výsledek označe n = (n, n, n 3 ). ak platí n + n + n 3 = a4 cos v. Dostáváe π ds = a B π π π cos v dv du = 4πa. říklad. Zintegrujte funkci x + y + z přes povrch krychle. říklad. Vypočtěte z ds, kde je část kužele daná paraetrizací x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α, r [0, a], ϕ [0, π] a α (0, π/) je konstanta. LOŠNÉ INTEGRÁLY.DRUHU DEFINICE. Necht je hladká orientovaná plocha a f : R 3 á souřadnice (f, f, f 3 ). ak se definuje plošný integrál.druhu funkce f přes rovností f. dn = R (f (x, y, z) dy dz + f (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy). Integrál na pravé straně je součte tří integrálů a každý lze brát přes projekci plochy do příslušné roviny (yz nebo xz nebo xy resp.). V definici je pro jednoduchost uvedena integrace přes celou rovinu (rozuí se, že integrovaná funkce se dodefinuje nulou ve zbývajících bodech). odle uvedené definice plošného integrálu.druhu však nelze integrál většinou přío počítat, protože např. R (f (x, y, z) dy dz obsahuje i proěnnou x, která závisí na y a z. Tato závislost se usí do integrálu dosadit. oužije se věta o substituci na jednotlivé části integrálu podle toho, jak je plocha zadaná. VĚT. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše.. Necht je plocha grafe funkce g definované na nožině. ak f ds = ( f (x, y, g(x, y)) g x dx dy f (x, y, g(x, y)) g y dx dy + f 3(x, y, g(x, y)) dx dy). f ds = f(x, y, g(x, y)). n dx dy, kde n = ( g x, g y, ) je norálový vektor k ploše.. Necht je plocha určena paraetricky funkcei ϕ, ψ, τ na nožině. ak f ds = ± f (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ψ, τ) du dv ± f (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, τ) du dv ± f 3 (ϕ(u, v), ψ(u, v), τ(u, v))j(ϕ, ψ) du dv, 9

10 kde znaénka před integrály se určí podle souhlasu orientace plochy s obvyklou orientací souřadnicových nožin. f ds = f(x, y, g(x, y)). n dx dy, kde ( ϕ n =, ψ, τ ) ( ϕ, ψ, τ ) je norálový vektor k ploše. OZOROVÁNÍ. Necht f : R 3 je funkce definovaná na hladké ploše. oto f ds = (f (x, y, z) cos α + f (x, y, z) cos β + f 3 (x, y, z) cos γ) ds, n f ds = f. n ds, kde uvedené kosiny jsou sěrové kosiny v bodech z. Ve druhé vyjádření jde o složku f ve sěru norály k ploše (spočítáno skalární součine f a jednotkového vektoru n = (cos α, cos β, cos γ). n říklad. Vypočtěte integrál I = x dy dz + y dz dx + z dx dy, M kde M je sféra o poloěru a orientovaná ve sěru vnější norály. Řešení. Substitucí převedee integrál do sférických souřadnic. olože tedy ϕ(u, v) = a cos u cos v, ψ(u, v) = a sin u cos v, τ(u, v) = a sin v, kde u ( π, π), v ( π, π ). oto I = x dy dz + y dz dx + z dx dy = M π ( π ) = a 3 (cos u cos 3 v + sin u cos 3 v + sin v cos v) dv du = π π π ( π ) = cos v dv du = 4πa 3, π π což jse ěli spočítat. GUSSOV OSTROGRDSKÉHO VĚT VĚT. Necht G je otevřená podnožina prostoru a je jednoduše uzavřená orientovaná plocha ležící i s vnitřke v G. Necht f = (f, f, f 3 ) je funkce G R 3 ající spojité parciální derivace na G. ak platí ( f (x, y, z) dy dz + f (x, y, z) dx dz + f 3 (x, y, z) dx dy ) = = ι ( f x + f y + f ) 3 dx dy dz. z 0

11 STOKESOV VĚT VĚT. Necht C je jednoduše uzavřená křivka v prostoru, která je kraje po částech hladké plochy ιc. Necht C i ιc leží v otevřené nožině G, na které je definována funkce f = (f, f, f 3 ) : G R 3 ající spojité parciální derivace na G. ak platí (f (x, y, z) dx + f (x, y, z) dy + f 3 (x, y, z) dz) = C ιc ( ) ( f3 y f ) ( f dy dz + z z f ) ( 3 f dx dz + x x f ) dx dy. y DEFINICE. OUŽITÍ LOŠNÝCH INTEGRÁLŮ. Míra po částech hladké plochy je rovna ds.. Hotnost zakřivené desky ve tvaru po částech hladké plochy je rovna h ds, kde h je funkce na udávající hustotu. 3. Těžiště zakřivené desky ve tvaru po částech hladké plochy ající hustotu h á souřadnice T x = xh ds, T y = yh ds, T z = zh ds, kde je hotnost desky. V integrálech se usí za x, y, z, ds dosadit příslušné výrazy podle toho, jak je plocha popsána. Čitatelé ve vzorcích pro těžiště jsou oenty (statické) plochy vzhlede k roviná yz nebo xz nebo xy resp. Opět stejně jako u použití Greenovy věty pro íry rovinných obrazců, lze použít Gaussovu Ostrogradského větu pro výpočet objeu tělesa. ostup je zcela stejný. Je-li G otevřená podnožina prostoru ající za hranici uzavřenou po částech hladkou plochu G, pak obje V (G) tělesa G (nebo jeho uzávěru G) je roven V (G) = x dy dz = y dx dz = z dx dy = (x dy dz + y dx dz + x dx dy). G G G 3 G říklad. Najděte těžiště horní polosféry.