Závislost odporu vodičů na teplotě František Skuhravý Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd datum měření: 4.4.2003
Úvod do problematiky Důležitou charakteristikou pevných látek je konduktivita γ (dříve nazývaná měrná elektrická vodivost), která je definována Ohmovým zákonem v diferenciálním tvaru: j = γ E. Podle její velikosti lze látky zhruba dělit do tří skupi: nevodiče < 0 8 (Ωm) < polovodiče < 0 6 (Ωm) < vodiče. Přímá úměrnost mezi proudovou hustotou j a intenzitou elektrického pole E je důsledkem srážek elektronů s kmitajícími atomy krystalové mříže (fonony) nebo s poruchami (přímšsi, dislokace, plošné poruchy). Tyto srážky lze popsat relaační dobou τ, která udává, jak rychle se sytém narušený vnějším polem vrací do rovnováhy. V případě srážek elektronů s fonony je relaační doba totožná se střední dobou mezi dvěma srážkami. Pro konduktivitu lze odvodit vztah: γ = e2 nτ m = enµn, () kde e je elementární náboj, n je koncentrace elektronů, m je efektivní hmotnost elektronů a µn je jejich pohyblivost. Obrovské rozdíly v hodnotách konduktivity kovů (vodiče) a polovofičů a rovněž její rozdílnou teplotní závislost vysvětluje kvantová teorie pevných látek eistencí pásové struktury. Elektrony obsazují pásy dovolených energií, které jsou od sebe odděleny pásy zakázaných energií (tzv. zakázané pásy).. Vodiče (kovy) V kovech je vodivostní pás zaplněn právě do poloviny (alkalické kovy, jednomocné kovy Cu, Ag, Au,...) nebo se dovolené pásy překrývají (dvojmocné kovy). Teplotní závislost odporu(vodivosti) je dána teplotní závislostí relaační doby resp. pohyblivosti. Se zvyšující se teplotou roste amplituda kmitů iontů a zvzšuje se tak pravděpodobnost srážek elektronů s iontz. Střední doba mezi dvěma srážkami(relaační doba) klesá, a tedy klesá konduktivita kovu(roste rezistivita ρ). Závislost odporu kovů na teplotě lye v širokém teplotním oboru(s výjimkou nízkých teplot) dosti přesně popsat polznomem druhého stupně. Často dokonce postačí (pro nepříliš široký intervaly teplot) uvažovat pouze lineární závislost a odpor měřeného vzorku vyjádřit pomocí vytahu: R = R 0 [+α(t t 0 )], (2) kde R 0 je odpor při teplotě t 0 = 0 C a α je teplotní součinitel odporu. 2 Pracovní úkol. Proměřte závislost odporu vodiče na teplotě tak, že změříte 0 hodnot odporu s teplotním krokem 3 C. 2. Spočtěte průměrnou hodnotu teplotního součinitele odporu a jeho směrodatnou chybu. Výsledek zapište ve tvaru α±δα a správně zaokrouhlete. 2
3. Naměřenou závislost R(t) znázorněte graficky a spočtěte rovnici této přímkové závislosti lineární regresí. Z koeficientů rovnice (R = kt+q) určete srovnáním s rovnicí (2) součinitel α a odpor R 0. Obě hodnoty teplotního součinitele odporu porovnjete s tabulkovou hodnotou. 3 Postup měření Z lednice vyndáme kádinku s vodičem v olejové lázni a dáme ji na elektromagnetickou míchačku (viz Obr. ). Olejovou lázeň a RLC měřič následně propojíme pomocí svorek a na měřiči nastavíme optimální rozsah. Do olejové lázně zasuneme digitální teploměr. Olejovou lázeňzahřívámeasteplotnímkrokem3 Cpostupnězaznamenávámedeset hodnotodporů. Digitální teploměr Kádinka Vodič Topné těleso Olejová lázeň Elektromag. míchačka RLC měřič E37 Obr. : Schematické znázornění uspořádání eperimentu. 4 Naměřené a vypočítané hodnoty 5 Zpracování výsledků Nejdříve postupnou metodou vypočítáme hodnoty teplotního součinitele odporu α i R α i = i+5 R i 8,59 8,0 př.: α R i t i+5 R i+5 t i = i 8,0 6 8.59 = 4,050 0 3 K. a následně i průměrnou hodnotu α: αi α = n = 0,022 = 4,24 0 3 K. 5 3
Tab. : Naměřené hodnoty odporů R, vypočítané hodnoty teplotního součinitele odporu α i, směrodatné chyby α i a druhé mocniny směrodatné chyby 2 α i pro různé hodnoty teploty vodiče t i. t i [ C] R i [Ω] t i+5 [ C] R i+5 [Ω] α i [K ] α i 2 α i 8,0 6 8,59 4,050 0 3,900 0 4 3,667 0 8 4 8,8 9 8,70 4,30 0 3 7,000 0 5 4,909 0 9 7 8,29 22 8,80 4,220 0 3 2,000 0 5 3,402 0 0 0 8,39 25 8,9 4,30 0 3 7,000 0 5 4,760 0 9 3 8,49 28 9,0 4,30 0 3 7,000 0 5 5,060 0 9 Vypočítáním odchylky α od průměrné hodnoty teplotního součinitele odporu α α i = α i α,př.: α = 0,00405 0,00424 =,9 0 4 a následně její druhé mocniny 2 α i = ( α i α ) 2,př.:(α α) 2 = 0,0009 2 = 3,667 0 8 lze určit chybu měření jako δα = 2 α n(n ) = 5,83 0 8 5(5 ) = 0.05 0 3 K a výslednou hondotu teplotního součinitele odporu α = (4,240±0,05) 0 3 K. Pro ověření našeho výpočtu vykreslíme naměřené hodnoty odporu při různých teplotách do grafu (Obrázek 2), provedeme lineární aproimaci dat a 0 = n 2 n i y n n y i n n ( n ) 2 2 i = 2845 85,46 264,49 45 28450 2025 = 8,052, a = n n y i n n y n n ( n ) 2 = 2644,9 45 85,46 2 i 28450 2025 4 = 0,034
9.2 9.0 y = 0, 034 + 8, 055 8.8 Odpor R [Ω] 8.6 8.4 8.2 8.0 7.8 0 5 0 5 20 25 30 Teplota t [ C] Obr. 2: Naměřená závislost odporu vodiče na teplotě (plné body) a linární aproimace naměřených hodnot (přerušovaná čára). a získanou rovnici aproimační přímky y = a 0 + a = 8,052 + 0,034 porovnáme s teoretickým vztahem (2) pro teplotní součinitel odporu: Pro t 0 = 0 dostáváme, že R = R 0 +R 0 αt R 0 = 8,052Ω a α = a a 0 = 4,2 0 3 K. 6 Závěr Z naměřených dat odporu vodiče při různých teplotách jsme vypočítali průměrný teplotní součinitel odporu. Jeho hodnota je α = (4,240±0,05) 0 3 K. Naměřená data jsme následně znázornili graficky a provedli jejich linární aproimaci. Porovnáním rovnice přímky linární aproimace a teoretické teplotní závislosti jsme určili teplotní součinitel odporu α = 4,2 0 3 K a odpor R 0 = 7,668Ω. Porovnáním eperimentální a tabulkové hodnoty (α = 4,33 0 3 K pro měd ) můžeme říci, že provedný eperiment byl vhodně navržen a proveden. 5