Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna

Transkript

1 Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná veličina Náhodná veličina je proměnná, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu Náhodná veličina přiřazuje výsledkům náhodného pokusu (náhodným jevům) reálné číslo Náhodnou veličinu budeme označovat nebo Realizaci náhodné veličiny (ta je známa až po provedení náhodného pokusu) budeme označovat nebo Příklad (rozdíl mezi náhodnou veličinou a náhodným jevem): Provedeme náhodný pokus hod dvěma mincemi Množina všech možných výsledků náhodného pokusu je skládá se tedy ze čtyř elementárních náhodných jevů Náhodná veličina je definována jako:, a Realizace náhodné veličiny jsou, ty označujeme a 2 Distribuční funkce a její graf Jedním z prostředků pro popis náhodné veličiny je distribuční funkce, která každému reálnému číslu přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší nebo rovné než toto číslo Distribuční funkci náhodné veličiny je Každá distribuční funkce má tyto vlastnosti: Hodnoty distribuční funkce leží mezi 0 a 1, tj Distribuční funkce je funkcí neklesající, tj pro všechna platí: Pro každou distribuční funkci je: Je zprava spojitá (lze se setkat i s definicí, která pracuje s funkcí zleva spojitou, my ale budeme vždy používat funkci zprava spojitou) Patrice MAREK Stránka 1 z 6

2 Má nejvýše spočetně mnoho bodů nespojitosti Distribuční funkce náhodné veličiny spojitého typu je spojitá a distribuční funkce náhodné veličiny diskrétního typu je nespojitá 21 Diskrétní náhodná veličina Je to taková veličina, která může nabývat spočetně (konečně nebo nekonečně) mnoha hodnot Např: Počet narozených chlapců mezi 100 novorozenci je diskrétní náhodná veličina, která může nabývat hodnot 0, 1, 2,, 99, 100 Pravděpodobnost, že náhodná veličina bude mít hodnotu s pravděpodobností budeme zapisovat: Musí platit: Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny je po částech konstantní: Pro diskrétní náhodnou veličinu definujeme pravděpodobnostní funkci : Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce Patrice MAREK Stránka 2 z 6

3 Př 1: Nakreslete pravděpodobnostní a distribuční funkci pro hod kostkou Př 2: Nakreslete pravděpodobnostní a distribuční funkci pro součet bodů při hodu dvěma kostkami 22 Spojitá náhodná veličina Je to taková veličina, jejímiž hodnotami jsou všechna čísla z konečného nebo nekonečného intervalu Např: Měříme-li délku výrobku s přesností ± 05 mm, potom chyba, které se při měření dopustíme, je spojitá náhodná veličina, která může nabývat jakékoliv hodnoty z intervalu Distribuční funkce spojité náhodné veličiny je definována jako: kde funkce Každá funkce je funkcí hustoty (obdoba pravděpodobnostní funkce) s následujícími vlastnostmi je hustotou nějaké náhodné veličiny Pro funkci hustoty platí skoro všude Ukázka (Exponenciální rozdělení s parametrem ) Funkce hustoty Distribuční funkce Patrice MAREK Stránka 3 z 6

4 Př 3: Je dána funkce Určete hodnotu konstanty náhodné veličiny, tak aby tato funkce byla hustotou pravděpodobnosti nějaké Př 4: Je dána funkce Určete hodnotu konstanty náhodné veličiny, tak aby tato funkce byla pravděpodobnostní funkcí nějaké 23 Vztahy, které platí pro distribuční funkci Pro diskrétní náhodnou veličinu platí: Pro spojitou náhodnou veličinu platí: 3 Střední hodnota Střední hodnota náhodné veličiny je jednou z charakteristik polohy náhodné veličiny Střední hodnota vypočte: Pro diskrétní náhodnou veličinu Pro spojitou náhodnou veličinu Patrice MAREK Stránka 4 z 6

5 Pro náhodné veličiny a (, a konstanty platí Pro nezávislé navíc platí Př 5: V dílně pracují dva stroje (nezávisle na sobě) Pravděpodobnost, že se porouchá 1 stroj je 02 Pravděpodobnost, že se porouchá 2 stroj je 03 Náhodná veličina bude označovat počet porouchaných strojů a) Určete pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci této náhodné veličiny b) Vypočtěte střední hodnotu této náhodné veličiny 4 Rozptyl Rozptyl náhodné veličiny je jednou z charakteristik variability náhodné veličiny Rozptyl (další označení nebo ) je definován jako: Pro výpočet se používá výpočetní tvar rozptylu Pro diskrétní náhodnou veličinu: Výpočet jsme již definovali, je pouze druhá mocnina této hodnoty vypočteme: Poté již jen dosadíme do výpočetního tvaru rozptylu Pro spojitou náhodnou veličinu: Výpočet jsme již definovali, je pouze druhá mocnina této hodnoty vypočteme: Poté již jen dosadíme do výpočetního tvaru rozptylu Patrice MAREK Stránka 5 z 6

6 Pro náhodné veličiny a (, a konstanty platí Př 6: Pro předchozí příklad dopočtěte rozptyl náhodné veličiny Př 7: V osudí je 5 míčků 2 bílé a 3 černé Postupně jsou vytahovány míčky (bez vracení zpět) dokud není vytáhnut černý míček a) Vypočtěte pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci a nakreslete b) Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl počtu tahů potřebných pro vytažení černého míčku c) Určete pravděpodobnost, že bude na vztažení černého míčku potřeba méně než 3 tahů, tj Př 8: Pro funkci a) Dopočtěte hodnotu konstanty tak, aby se jednalo o hustotu pravděpodobnosti b) Vypočtěte c) Určete pravděpodobnost, že náhodná veličina bude mezi 15 a 2, tj (*) Př 9: Pro náhodnou veličinu je funkce hustoty definována takto: a) Nakreslete graf funkce hustoty b) Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny c) Dopočtěte distribuční funkci d) Určete pravděpodobnosti Patrice MAREK Stránka 6 z 6