Následující úloh můžeme řešit jednak pomocí soustav lineárních rovnic, jednak pomocí doplňování Vennových diagramů: Ráno bylo na letišti 17 letadel, z nichž během dne odletělo 1 z toho se 3 letadla vrátila. Toho dne přiletělo na letiště celkem 32 letadel a odletělo jich 28. Každé z uvedených letadel startovalo toho dne na letišti nejvýše jednou. Kolik letadel bylo na letišti na konci dne? Řešení pomocí rovnic: Označíme si všechny oblasti ve Vennově diagramu proměnnými a sestavíme rovnice: A...letadla, která přiletěla B...letadla, která na letišti byla C...letadla, která odletěla a f d g e b c příklady 1
Zdroj úloh: ŠMM, svazek 30 Úloha 1: Snadná úloha: Ve třídě je 18 žáků, kteří mají alespoň jednoho bratra, 12 žáků, kteří mají aspoň jednu sestru a 23 žáci, kteří mají aspoň jednoho sourozence. Kolik žáků má sestru i bratra? příklad 2 2
Zdroj úloh: ŠMM, svazek 30 Úloha 2: Ve zprávě o průzkumu se píše Ze zkoumané skupiny 10 osob navštívilo 101 osob alespoň jednou nějaký kulturní podnik, z toho: kino 77 kino i divadlo 36 divadlo 63 kino i koncert 21 koncert 32 divadlo i koncert 29 kino, divadlo i koncert 1. Ve zprávě je chyba. Ukažte to. Řešení pomocí rovnic: Označíme si všechny oblasti ve Vennově diagramu proměnnými a sestavíme rovnice. Ukážeme, že vedou ke sporu s podmínkou nezápornosti: A...lidé, kteří navštívíli kino B...lidé, kteří navštívíli divadlo C...lidé, kteří navštívíli koncert a + d + f + g = 77 b + d + e g = 63 c + e + f + g = 32 d + g = 36 f + g = 21 e + g = 29 g = 1 Z posledních čtyř rovnic přímo určíme f = 6, e = 14, po dosazení do třetí rovnice: c + 14 + 6 + 1 = 32, tedz c = 3. Dostáváme nesmyslný počet prvků. a f c d g e b příklad 2 3
Ve zprávě o průzkumu se píše Ze zkoumané skupiny 10 osob navštívilo 101 osob alespoň jednou nějaký kulturní podnik, z toho: kino 77 kino i divadlo 36 divadlo 63 kino i koncert 21 koncert 32 divadlo i koncert 29 kino, divadlo i koncert 1. Ve zprávě je chyba. Ukažte to. X 21 8:27 4
X 21 8:39
Zdroj úloh: ŠMM, svazek 30 Úloha 3: V rodinném albu je 74 fotografií, na nichž je aspoň jeden člen rodiny (otec, matka, syn). Na 7 fotografiích jsou oba rodiče, na 3 fotografiích aspoň jeden z rodičů, na 17 oba muži a na 6 alespoň jeden z mužů. Na fotografiích je jen otec a na 2 je matka se synem. Určete přesně, na kolika fotografiích jsou kteří členové rodiny či které dvojice či trojice. Řešení pomocí rovnic: A...fotografie, kde je matka B...fotografie, kde je otec C...fotografie, kde je syn a + b + c + d + e + f + g = 74 d + g = 7 b + d + e + f + g = 3 e + g = 17 b + c + d + e + f + g = 6 b = f + g = 2 a f c d g e b Řešení přímo pomocí diagramů není bez výpočtů snadné: Přímo můžeme vyplnit jediné pole, všechny ostatní údaje vyplývají z výpočtů. Zkusme pokračovat po označení pole g = x. 4 3 7 (2 x) = 16+x 7 x x Teď již dopočteme vše potřebné z podmínky: 3+11+2x = 74, odtud x =. 2 x 17 x 6 (2 x) (17 x) 7 = 11+2x 21 20 2 12 21 příklad 3 6
V rodinném albu je 74 fotografií, na nichž je aspoň jeden člen rodiny (otec, matka, syn). Na 7 fotografiích jsou oba rodiče, na 3 fotografiích aspoň jeden z rodičů, na 17 oba muži a na 6 alespoň jeden z mužů. Na fotografiích je jen otec a na 2 je matka se synem. Určete přesně, na kolika fotografiích jsou kteří členové rodiny či které dvojice či trojice. X 21 8:48 7
A...všichni cestující z Prahy B...všichni dospělí C...všichni muži U...všichni cestující Zdroj úloh: ŠMM, svazek 30 Úloha 4: Na palubě výletní lodi cestuje: 9 kluků, dětí z Prahy, 9 dospělých mužů, 7 kluků z venkova, 14 Pražanů, 6 Pražáků mužského rodu, 7 venkovanek. Kolik bylo na lodi celkem cestujících? Kolik z nich bylo mužského pohlaví, kolik dospělých? Kolik bylo mezi cestujícími venkovských děvčat a kolik pražských kluků? Lze na všechny otázky jednoznačně odpovědět? příklad 4 8