Rovnice s parametrem ( lekce)
|
|
- Otto Mach
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Rovnice s parametrem ( lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října 2011
2 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a 2 16.
3 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0
4 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4
5 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) =
6 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = x 0 = 16 16
7 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = x 0 = = 0
8 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 Příklad 1 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 4) = a Řešení: 1 a 4 = 0 a = 4 x (4 4) = x 0 = = 0 x R
9 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0
10 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4
11 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16
12 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4
13 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4
14 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4 x = a + 4
15 Lineární rovnice s parametrem Příklad 1 2 a 4 0 a 4 x (a 4) = a 2 16 x = a2 16 a 4 (a 4)(a + 4) x = a 4 x = a + 4 Závěr: a a {4} x x R a R {4} x {a + 4}
16 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5.
17 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0
18 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2
19 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5
20 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = 5
21 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = 5 0 5
22 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 Příklad 2 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (2a + 1) = 5. Řešení: 1 2a + 1 = 0 a = 1 2 x (2 ( 1 2 ) + 1 ) = 5 x 0 = x
23 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a + 1 0
24 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2
25 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2 x (2a + 1) = 5
26 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2 x (2a + 1) = 5 x = 5 2a + 1
27 Lineární rovnice s parametrem Příklad 2 2 2a a 1 2 x (2a + 1) = 5 x = 5 2a + 1 Závěr: a a { 1 2 } a R { 1 2 } x x { } x 5 2a+1
28 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8.
29 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0
30 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4
31 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8
32 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = 8 + 8
33 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = = 0
34 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 Příklad 3 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8. Řešení: 1 a + 4 = 0 a = 4 (3x + 5) ( 4 + 4) = 2 ( 4) + 8 (3x + 5) 0 = = 0 x R
35 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a + 4 0
36 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4
37 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8
38 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4
39 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a + 4 5
40 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a x = 3 3
41 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a x = 3 3 x = 1
42 Lineární rovnice s parametrem Příklad 3 2 a a 4 (3x + 5) (a + 4) = 2a + 8 3x + 5 = 2a + 8 a + 4 2(a + 4) 3x = a x = 3 3 x = 1 Závěr: a a { 4} a R { 4} x x R x { 1}
43 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2.
44 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2
45 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a
46 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
47 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a 1 2a 1 = 0
48 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2
49 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
50 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = x 0 = 2 2 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
51 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = x 0 = = 0 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
52 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 Příklad 4 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem a R x (a 1) + a (x + 4) = 2. Řešení: x a x + a x + 4a = 2 / 4a 1 2a 1 = 0 a = 1 2 x ( ) = x 0 = = 0 x R 2a x x = 2 4a x (2a 1) = 2 4a
53 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0
54 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2
55 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a
56 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1
57 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1
58 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1 x = 2
59 Lineární rovnice s parametrem Příklad 4 2 2a 1 0 a 1 2 x (2a 1) = 2 4a x = 2 4a 2a 1 2 (2a 1) x = 2a 1 x = 2 Závěr: a a { } 1 2 a R { 1 2 } x x R x { 2}
60 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m.
61 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky:
62 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0
63 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 x 2 x 1 + m
64 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 x 2 x 1 + m Upravíme 2m 2 + x = m 1 x + 1 m
65 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) / (2 + x)(x + 1 m)
66 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x / (2 + x)(x + 1 m)
67 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)
68 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 mx + x = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)
69 Příklad 5 Příklad 5 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2m 2 + x = m 1 x + 1 m. Řešení: Podmínky: 2 + x 0 x + 1 m 0 Upravíme 2m 2 + x x 2 x 1 + m = m 1 x + 1 m 2m (x + 1 m) = (m 1) (2 + x) 2mx + 2m 2m 2 = 2m 2 + mx x 2mx mx + x = 2m 2 2 mx + x = 2m 2 2 x (m + 1) = 2m 2 2 / (2 + x)(x + 1 m)
70 Příklad 5 1 m + 1 = 0
71 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1
72 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2
73 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = 2 2
74 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0
75 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R
76 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m
77 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m x 1 1
78 Příklad 5 1 m + 1 = 0 m = 1 x ( 1 + 1) = 2 ( 1) 2 2 x 0 = = 0 x R Podmínky: x 2 x 1 + m x 1 1 x 2
79 Příklad 5 2 m + 1 0
80 Příklad 5 2 m m 1
81 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2
82 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m + 1
83 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1
84 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2
85 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m
86 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m 2m 2 2 2m m
87 Příklad 5 2 m m 1 x (m + 1) = 2m 2 2 x = 2m2 2 m (m + 1) (m 1) x = m + 1 x = 2m 2 Podmínky: x 2 x 1 + m 2m 2 2 2m m m 0 m 1
88 Příklad 5 Závěr: m m { 1} m {0; 1} x x R { 2} x m R {0; ±1} x {2m 2}
89 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2.
90 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky:
91 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0
92 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 x 1 x m
93 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 x 1 x m Upravíme 2x + m x + 1 3m x m = 2
94 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m)
95 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m
96 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m
97 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m 2mx 2x = m 2 + m
98 Příklad 6 Příklad 6 Řešte rovnici s neznámou x R a parametrem m R 2x + m x + 1 3m x m = 2. Řešení: Podmínky: x x m 0 Upravíme x 1 x m 2x + m x + 1 3m x m = 2 / (x + 1)(x m) (2x + m) (x m) 3m (x + 1) = 2 (x + 1) (x m) 2x 2 + mx m 2 2mx 3mx 3m = 2x 2 + 2x 2mx 2m 2mx m 2 3m = 2x 2m 2mx 2x = m 2 + m x ( 2m 2) = m 2 + m
99 Příklad 6 1 2m 2 = 0
100 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2
101 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1
102 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1)
103 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = 1 1
104 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0
105 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0 x R
106 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0 x R Podmínky: x 1 x m
107 Příklad 6 1 2m 2 = 0 2m = 2 m = 1 x ( 2 ( 1) 2) = ( 1) 2 + ( 1) x (2 2) = = 0 x R Podmínky: x 1 x m x 1
108 Příklad 6 2 2m 2 0
109 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1
110 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m
111 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2
112 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1)
113 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2
114 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m
115 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m
116 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m m 2 m 2m
117 Příklad 6 2 2m 2 0 m 1 x ( 2m 2) = m 2 + m x = m2 + m 2m 2 m (m + 1) x = 2 (m + 1) x = m 2 Podmínky: x 1 x m m 2 1 m 2 m m 2 m 2m m 2 m 0
118 Příklad 6 Závěr: m m { 1} x x R { 1} m {0; 2} x m R { 1; 0; 2} x { } m 2
119 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1
120 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka:
121 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0
122 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a
123 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1
124 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1)
125 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1) x = ax + x a 2 a
126 Příklad 7 Příklad 7 Určete všechny hodnoty parametru a R, pro které má rovnice aspoň jeden záporný kořen. x x a = a + 1 Řešení: Podmínka: x a 0 x a Upravíme x x a = a + 1 / (x a) x = (x a) (a + 1) x = ax + x a 2 a ax = a (a + 1)
127 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0
128 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0
129 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0
130 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0 2 a 0
131 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 x R, x 0 2 a 0 x = a právě jedno řešení
132 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen.
133 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen.
134 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. b) Je-li a 0, je řešením x = a + 1. Tento kořen je záporný, právě když a + 1 < 0, tj. a < 1.
135 Příklad 7 ax = a (a + 1) 1 a = 0 0 x = 0 2 a 0 x R, x 0 x = a právě jedno řešení Zkoumáme, pro které hodnoty parametru má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. a) Pro a = 0 jsou řešeními dané rovnice všechna x R {0}, tedy i všechna x R. To znamená, že pro a = 0 má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. b) Je-li a 0, je řešením x = a + 1. Tento kořen je záporný, právě když a + 1 < 0, tj. a < 1. Závěr: Daná rovnice má aspoň jeden záporný kořen pro a = 0 a pro všechna a < 1.
136 Cvičení Cvičení Řešte rovnice s neznámou x R: 1. a 2 x x + a = 1, a R, 2. xa 2 = a (1 + 3x) 3, a R, m x + m + x m = 1, m R, x + 1 ( ) (m + 1) x 6 = 3 1 m2 m, m R, x x 5. px 2 p 2 = 1 (4x + 1), p R {0}. p
137 Cvičení 1. a x 2. a x a {1} x R a {0} x a { 1} a R {±1} x { } x 1 a+1 a {3} x R a R {0; 3} x { } 1 a 3. m x 4. m x m { 1} x R {±1} m { 1} x m {1} x m {2} x R {0} m R {±1} x {m 2} m R { 1; 2} x { 3m 3} 5. p p = 2 p = 2 x x x R p R {0, ±2} x = 1 p(p+2).
138 Cvičení Cvičení 6. Určete všechny hodnoty parametru p R tak, aby řešením rovnice 2p (xp + 1) (p 2 + 1) x = 2 bylo kladné reálné číslo. 2x + a2 2x a2 7. Řešte v R rovnici + a + 3 a 3 = (a2 + 4)x a 2 s parametrem 9 a R {±3}. Potom určete všechny hodnoty parametru a, pro něž má daná rovnice aspoň jeden záporný kořen. 8. Rozhodněte, pro které hodnoty reálného parametru a má následující rovnice s neznámou x kladný kořen: a) 6a ax + 2x = 15, b) x 2 3 ax+1 2 = a 1 2.
139 Cvičení 6. p p ( ; 1) {1} x > 0 x 7. a a = 2 x x a R { 3; 2; 3} x = 6a2 (a 2) 2 a R { 3; 0; 2; 3} aspoň jeden záporný kořen [ 3(2a 5) 8. a) a 2 > 0 a ( ; 2) ( [ 5 2 ; )], b) 3a+4 2 3a > 0 a ( 4 3 ; 2 ) ] 3
Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou ( lekce)
Iracionální nerovnice a nerovnice s absolutní hodnotou (15. - 16. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 22. října
VíceSoustavy rovnic a nerovnic
Soustavy rovnic a nerovnic Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 2. září 20 Příklad Příklad Určete všechna čísla x, y R
Více13. Kvadratické rovnice 2 body
13. Kvadratické rovnice 2 body 13.1. Rovnice x 2 + 2x + 2 m = 0 (s neznámou x) má dva různé reálné kořeny, které jsou oba menší než tři, právě a) m (1, 17), b) m = 2, c) m = 2 m = 5, d) m 2, 5, e) m >
VíceRovnice v oboru komplexních čísel
Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a
VíceROVNICE A NEROVNICE. Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0108
ROVNICE A NEROVNICE Kvadratické rovnice Algebraické způsoby řešení I. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0108 KVADRATICKÁ ROVNICE V rámci našeho poznávání rovnic a jejich řešení jsme narazili pouze na lineární
VíceROVNICE A NEROVNICE. Lineární rovnice s absolutní hodnotou II. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M1r0107
ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice s absolutní hodnotou II. Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M1r0107 LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU V této lekci rozšíříme naše znalosti o počítání lineárních rovnic,
VíceUžití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)
Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září
VíceAnalytická geometrie ( lekce)
Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011 Vektory Vektorový součin Vektorový
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
Více2. Řešení algebraické
@016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax
Vícea a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
Více6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou
@06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou
VíceLINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU
LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU LINEÁRNÍ ROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU je lineární rovnice, ve které se vyskytuje jeden nebo více výrazů v absolutní hodnotě. ABSOLUTNÍ HODNOTA x reálného čísla x je
Více7. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH A KVADRATICKÝCH ROVNIC
7. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH A KVADRATICKÝCH ROVNIC 7.1. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu lineárních rovnic: = 5 = 1 = 5 / 5 = 1 / 3 1 15y = 15 1+ 15y = 3 31 = 155 = 5 {[ ] K = 5; 5 = 5 / 7 = 1 / 14 1y =
VíceMatematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
VíceLineární rovnice. Rovnice o jedné neznámé. Rovnice o jedné neznámé x je zápis ve tvaru L(x) = P(x), kde obě strany tvoří výrazy s jednou neznámou x.
Lineární rovnice Rovnice je zápis rovnosti mezi dvěma algebraickými výrazy, které obsahují alespoň jednu proměnnou, kterou nazýváme neznámá. Rovnice má levou stranu L a pravou stranu P. Rovnost pak zapisujeme
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především
VíceJméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A
æ æ Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2.
VíceSoustavy rovnic diskuse řešitelnosti
Tématická oblast Datum vytvoření 22. 8. 2012 Ročník Stručný obsah Způsob využití Autor Kód Matematika - Rovnice a slovní úlohy 4. ročník osmiletého gymnázia Řešení soustav dvou rovnic o dvou neznámých
Více12. Soustava lineárních rovnic a determinanty
@7. Soustava lineárních rovnic a determinanty Determinanty x V této lekci si ukážeme řešení soustavy lineárních rovnic (dvou rovnici pro dvě neznámé a tří rovnic pro tři neznámé) pomocí determinantů. Definice:
Více14. Exponenciální a logaritmické rovnice
@148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic
VíceLineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla.
Lineární funkce Lineární funkcí se nazývá každá funkce, která je daná rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Číslo b je hodnota funkce f v bodě 0. Definičním oborem lineární funkce je množina
VíceROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY
Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH ROVNICE, NEROVNICE A JEJICH SOUSTAVY CIFRIK C. Úloha 1 [kvadratická rovnice s kořeny y_1=x_1^2+x_2^2, y_2=x_1^3+x_2^3]
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceZáklady matematiky pracovní listy
Dagmar Dlouhá, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny pro předmět Základy matematiky vyučovaný Katedrou matematiky
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
Více2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x
VíceVariace. Lineární rovnice
Variace 1 Lineární rovnice Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice Rovnice je
VíceLineární rovnice pro učební obory
Variace 1 Lineární rovnice pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Rovnice Co je rovnice
Vícepro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A
Přijímací zkouška na MFF UK pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2018, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé úlohy
VíceRovnice a nerovnice v podílovém tvaru
Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu
VícePoznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.
@083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.7/1.5./34.93 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší odborná
VíceVÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R. + c)det A= 3det B, d)det A= 6det B, e)det A=6detB.
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(14. 4. 2010), varianta R 1. Které z následujících tvrzení je pravdivé? a) Každý polynom má aspoň jeden komplexní kořen. + b) Existují polynomy, které nemají žádný
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
VíceFunkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
Více4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou
@04 4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou rovnice Když se řekne s racionalitou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje nějaký zlomek a neznámá je ve jmenovateli zlomku. Na co si dát pozor? u rovnic je
VíceCVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VíceLineární rovnice o jedné neznámé a jejich užití
Lineární rovnice o jedné neznámé a jejich užití Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období
VícePolynomy. Matice a determinanty. 1. Rozložte na součin kořenových činitelů polynom. P(x) = x 4 6x Řešení: x 4 6x 2 +8 = (x+2)(x 2)(x+ 2)(x 2)
Polynomy 1 Rozložte na součin kořenových činitelů polynom P(x = x 4 6x 2 +8 x 4 6x 2 +8 = (x+2(x 2(x+ 2(x 2 2 Rozložte na součin ireducibilních reálných polynomů polynom P(x = x 6 64 x 6 64 = (x 2(x 2
VíceOkruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i
VíceJedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n,
Soutavy lineárních algebraických rovnic Jedná se o soustavy ve tvaru A X = B, kde A je daná matice typu m n, X R n je sloupcový vektor n neznámých x 1,..., x n, B R m je daný sloupcový vektor pravých stran
VíceCVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
VíceNázev: Práce s parametrem (vybrané úlohy)
Název: Práce s parametrem (vybrané úlohy) Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 6. (4.
Více9. Soustava lineárních rovnic
@097 9. Soustava lineárních rovnic Definice: Nechť x, y, z, t,... jsou reálné proměnné, a, b, c, d,... jsou reálné konstanty. Kombinace proměnných a konstant tvaru ax+b=0, ax+by+c=0, ax+by+cz+d=0, ax+by+cz+dt+e=0,
VíceKvadratické rovnice. Řešení kvadratických rovnic. Kvadratická rovnice bez lineárního členu. Příklad 1:
Kvadratické rovnice V zadání lineární rovnice se může vyskytovat neznámá ve vyšší než první mocnině. Vždy ale při úpravě tato neznámá ve vyšší než první mocnině zmizí, odečte se, protože se vyskytuje na
VíceMatematika I (KMI/5MAT1)
Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny
Více4 Rovnice a nerovnice
36 Rovnice a nerovnice 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice a jejich soustavy Požadované dovednosti řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA Vektory Operace s vektory... 8 Úlohy k samostatnému řešení... 8
1 Lineární algebra 1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 8 11 Vektory 8 111 Operace s vektory 8 8 112 Lineární závislost a nezávislost vektorů 8 8 113 Báze vektorového prostoru 9 9 12 Determinant 9 9 13 Matice 1 131 Operace
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceO rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
VíceMATEMATIKA. Diofantovské rovnice 2. stupně
MATEMATIKA Diofantovské rovnice 2. stupně LADISLAVA FRANCOVÁ JITKA KÜHNOVÁ Přírodovědecká fakulta, Univerzita Hradec Králové V tomto článku se budeme zabývat některými případy diofantovských rovnic 2.
Více( ) Obecná rovnice elipsy. Předpoklady: Př. 1: Najdi střed, vrcholy a ohniska elipsy dané rovnicí ( x ) ( y )
7.5.9 Obecná rovnice elipsy Předpoklady: 7508 Př. : Najdi střed, vrcholy a ohniska elipsy dané rovnicí Rovnici upravíme do správného tvaru: ( x ( y + Z rovnice víme: S [ ; ], a =, Excentricita: Hlavní
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceExponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.
Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ
Více3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE
3.3. EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ ROVNICE A NEROVNICE V této kapitole se dozvíte: jak je definována eponenciální a logaritmická rovnice a nerovnice a jaká je základní strategie jejich řešení. Klíčová slova
VíceŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceLineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceProjekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ Lineární rovnice
2. Lineární rovnice označuje rovnici o jedné neznámé, ve které neznámá vystupuje pouze v první mocnině. V základním tvaru vypadá následovně: ax + b = 0, a 0 Zde jsou a a b nějaká reálná čísla, tzv. koeficienty
Více2.8.6 Parametrické systémy funkcí
.8.6 Parametrické sstém funkcí Předpoklad:, 0,, 50, 60 Stejně jako parametrická rovnice zastupuje mnoho rovnic najednou, parametrick zadaná funkce zastupuje mnoho funkcí. Pedagogická poznámka: Názornost
Více7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice
7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.
VíceSoustavy rovnic pro učební obory
Variace 1 Soustavy rovnic pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Soustavy rovnic
VíceSoustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých
Soustavy lineárních a kvadratických rovnic o dvou neznámých obsah 1.a) x + y = 5 x 2 + y 2 = 13 3 b) x - y = 7 x 2 + y 2 = 65 5 c) x - y = 3 x 2 + y 2 = 5 6 3. a) x + 2y = 9 x. y = 10 12 b) x - 3y = 1
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Číslo projektu CZ07/500/34080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
VíceFakulta informacnch technologi CVUT v Praze Prijmac zkouska z matematiky 2018
Fakulta informacnch technologi CVUT v Praze Prijmac zkouska z matematiky 208 Kod uchazece ID:.................. Varianta: 4 Prklad. (3b) Mezi csly a, b, c, d, e plat nasledujc vztahy. Cslo a nen vets nez
VíceMgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných
VíceŠablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou
Šablona 10 VY_32_INOVACE_0106_0110 Rovnice s absolutní hodnotou 1 Identifikační údaje školy Číslo projektu Číslo a název šablony Autor Tematická oblast Číslo a název materiálu Anotace VÝUKOVÝ MATERIÁL
Více2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny
. Mocniny. Mocniny a odmocniny 8. ročník. Mocniny a odmocniny Příklad : Vyjádřete jako mocninu : a)... b) (- ). (- ). (- ). (- ). (- ). (- ) c)...a.a.a.a.b.b.b.b d)..a.b e) a. a. a. a Příklad : Vyjádřete
Více----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
VíceCVIČNÝ TEST 11. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21
CVIČNÝ TEST 11 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je k dispozici m přepravek na ovoce. Prázdná přepravka
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
Více5. Na množině R řeš rovnici: 5 x 2 2 x Urči všechna reálná čísla n vyhovující nerovnostem: 3 5
I 16 VADRO (váha 80) E 1. Na obrázku vpravo je graf funkce g dané předpisem: y = a + b + c. Urči koeficienty a, b, c.. Zapiš definiční obor a obor hodnot funkce f na obrázku vpravo. f: y = 0,5 4 + 3. Na
VíceTest A. 1) Určete hodnoty výrazu. 2) Pro přípustné a upravte výraz. (a) a 5 2
Test A V nadpisu v přiložené mřížce vyplňte označení testu (A), vaše jméno, příjmení a obor pro který skládáte příjmací zkoušku. Vaše odpovědi v mřížce zaškrtněte (např. a ). V případě omylu zakroužkujte
VíceKVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,
KVADRATICKÉ FUNKCE Definice Kvadratická funkce je každá funkce na množině R (tj. o definičním ooru R), daná ve tvaru y = ax + x + c, kde a je reálné číslo různé od nuly,, c, jsou liovolná reálná čísla.
VíceRovnice s absolutní hodnotou
Rovnice s absolutní hodnotou Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, první ročník, okruh Rovnice a nerovnice Pracovní list vytvořil: Mgr. Helena Korejtková Období vytvoření VM: prosinec
VíceM - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK
M - Příprava na 2. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK Souhrnný studijní materiál k přípravě na 2. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo listopadu až ledna. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen,
Více[ 0,2 ] b = 2 y = ax + 2, [ 1;0 ] dosadíme do předpisu Soustavy lineárních nerovnic. Předpoklady: 2206
..7 Soustavy lineárních nerovnic Předpoklady: 06 Pedagogická poznámka: První příklad je opakování, pokud se u někoho objeví problémy, je třeba je řešit před hodinou 0009. Př. : Urči předpis funkce f. Odhadni
VíceSOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VíceVÝUKOVÝ MATERIÁL PRO ŽÁKY
PROJEKT Zlepšení podmínek výuky učebních oborů CZ.1.07./1.1.06/01.0079 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky VÝUKOVÝ MATERIÁL PRO ŽÁKY Vyučovací
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceDigitální učební materiál
Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_3_INOVACE_CH9_1_07 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51
VícePřírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na rovnice a nerovnice
Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na rovnice a nerovnice Bakalářská práce BRNO 006 Hana Kotulková Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala sama a čerpala jsem pouze
VíceJan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceCVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 29 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Smrk má vysokou klíčivost, jen 5 % semen nevyklíčí.
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
VíceMO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi
Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší
VíceZnění otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď C C B B C
Matematické myšlení: Znění otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo 6 8 0. Které číslo doplníte místo 5 7 7 5 3. Které číslo doplníte místo 70 7 76
Více