7. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH A KVADRATICKÝCH ROVNIC

Transkript

1 7. SOUSTAVY LINEÁRNÍCH A KVADRATICKÝCH ROVNIC 7.1. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu lineárních rovnic: = 5 = 1 = 5 / 5 = 1 / y = y = 3 31 = 155 = 5 {[ ] K = 5; 5 = 5 / 7 = 1 / 14 1y = y = 31y = 155 y = 5 Soustavu lineárních rovnic můžeme algebraicky řešit dvěma základními způsoby. 1. způsob sčítací metoda. způsob dosazovací metoda V uvedeném řešení využíváme sčítací metodu. Rovnice v zadané soustavě násobíme tak, aby se po následném sečtení rovnic jedna neznámá vyrušila. 7.. Řeš pro reálné neznámé, y a z soustavu 3 lineárních rovnic: 3+ 5y 4z = 1 11 y z = 4 + 5z 3 + 5y 4z = 1 11 y z = 4 + 5z z = 11 y y 4 11 y 4 = y y = y = y = = 7 1= 1 = y = y = z = z = 3 {[ ] K = 1;;3 Při řešení tohoto příkladu důsledně uplatňujeme dosazovací metodu. Nejprve z. rovnice vyjádříme z. Dosadíme do 1. a 3. rovnice. Ty upravíme. Vyjádříme y, dosadíme do zbývající rovnice. Dostaneme výsledek pro neznámou a postupným zpětným dosazováním dopočítáme y a z. Obě metody lze kombinovat. Po dosazení za z a úpravě by bylo také možné (a šikovné) sečtením zbylých dvou rovnic přímo eliminovat y.

2 Strana 7.3. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu 1 lineární a 1 kvadratické rovnice: + 3y + 5y 3= 5 y = 5 + 3y + 5y 3= 5 y = 5 y = , = = + + = y1 = ± 1 = = 15 1 y = K = ;, 1; [ ] Je-li jedna z rovnic lineární a druhá kvadratická, postupujeme takto: z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a dosadíme do rovnice kvadratické. Z kvadratické rovnice získáme výsledek pro jednu neznámou (počet těchto výsledků může být, 1 nebo žádný). Dosazením do lineární rovnice dopočteme zbývající neznámou Řeš pro reálné neznámé a y soustavu kvadratických rovnic: + y = 1 y + y = 1 y y = y =± = 9 =± 3 K= 3; 1, 3;1,3; 1,3;1 {[ ] [ ] [ ] [ ] Při řešení soustavy, kterou tvoří samé kvadratické rovnice, musíme uplatnit sčítací metodu. Musíme eliminovat aspoň jeden kvadratický člen. V našem příkladu odečtením druhé rovnice od první eliminujeme. Pozor! Výsledkem jsou hned 4 uspořádané dvojice a y.

3 Strana Řeš pro reálné neznámé a y soustavu kvadratických rovnic: + 3y + 5 y = + y y 8= + 3y + 5 y = = y y + = = 3 y 5y 6 y1, 7 y = + = 1, = a) 5 14 y = + = 1, = b) K = [ 7; ], ;3, ;3, [ ;] Odečtením zadaných rovnic eliminujeme jak kvadratický člen pro, tak lineární člen pro. Dostaneme jednoduchou kvadratickou rovnici pro y, najdeme dva kořeny y a po zpětném dosazení získáme ke každé hodnotě y kořeny. Konečným výsledkem jsou zase 4 uspořádané dvojice a y.

4 Strana Řeš pro reálné neznámé a y soustavu kvadratických rovnic: 5 + y 1 = 5 ( ) ( y ) = 169 ( ) ( y ) = 5 ( ) ( y ) = = 1 y y = 156 y y y = 56 y = + 16 ( ) ( ) = 5 ( ) ( ) = = = = 9 1, a) = y = 14, b) = 9 y {[ ] [ ] K = ;14, 9;7 Rovnice upravíme na tradiční kvadratický tvar. Odečtením eliminujeme kvadratické členy a získáme lineární rovnici s a y. Vyjádříme jednu neznámou a dosazením do libovolné ze dvou rovnic přejdeme ke kvadratické rovnici s jednou neznámou. Výsledkem jsou dvě uspořádané rovnice. Tato soustava v analytické geometrii vyjadřuje průsečík kružnic. Očekávaný počet výsledků je, 1 nebo Řeš pro reálné neznámé, y a z soustavu 3 lineárních rovnic: 3+ 5y 7z = y z = y+ z = Řeš pro reálné neznámé a y soustavu 1 lineární a 1 kvadratické rovnice: y + y+ 3+ 1= = 3y Řeš pro reálné neznámé a y soustavu rovnic: + y = 14 y + y = 7.1. Řeš pro reálné neznámé a y soustavu rovnic: + y + + y = y + 4+ y = 8 84 y

5 Strana 5 7. K = {[ 5; 3;] 8. K = {[ 7,3;, ],[ 1;] 9. K = {[ ;8 ],[ 8;] 1. K = {[ ;1 ],[,8;1,6] Otázky, které mohou padnout při maturitní zkoušce: 1) Lze řešit soustavu rovnic, která má více neznámých než jaký je počet rovnic? ) Jaký je geometrický význam soustavy dvou lineárních rovnic? 3) Jaký je geometrický význam soustavy jedné lineární a jedné kvadratické rovnice? 4) Jaký je geometrický význam soustavy dvou kvadratických rovnic?