Bifurkační řízení rychlosti DC mikropohonu Doc. Ing. Josef Koláčný, CSc. Ing. Roman Kříž Vysoké učení technické v Brně, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií Ústav výkonové elektrotechniky a elektroniky Technická 8, 61600 Brno, Česká republika E-mail: kolacny@feec.vutbr.cz Tento článek se zabývá vlastnostmi nelineárního dynamického systému při změně zvoleného řídícího parametru. Ověřování chování bylo prováděno v laboratorních podmínkách na reálném funkčním vzorku elektromechanické soustavy, tvořené DC motorkem malého výkonu a chaos čipem. Chaos čip je navržen a realizován za účelem analýzy vzniku bifurkací a chaotických stavů v nelineárních dynamických systémech při změnách parametrů. Experimenty ilustrují vznik bifurkačního chování stavových proměnných soustavy s využitím časových závislostí sledovaných veličin, stavových trajektorií ( atraktorů ) a bifurkačního diagramu. 1. Úvod Teorie deterministického chaosu a s ní spojená teorie vzniku bifurkací prochází v poslední době rychlým rozvojem. Nelineární dynamické systémy, vykazující chaotické chování, je možné nalézt v nejrůznějších vědních oblastech. V ekologii je to například dynamika růstu populací, v astronomii pohyby planet, ve fyziologii tep srdce, atd. Nelineární dynamické systémy samozřejmě najdeme také v mechanických a elektromechanických soustavách. Obvod, vykazující bifurkační chování, příp. deterministický chaos, obvykle bývá nelineární dynamický zpětnovazební systém, který má své chování závislé na jemných změnách jednoho nebo více charakteristických parametrů. Pokud zobrazíme vybranou veličinu tohoto nelineárního systému, nacházejícího se v určitém limitním cyklu, získáme periodický průběh. Perioda však v závislosti na měnícím se parametru doznává změn (tzv. zdvojování period) a po překročení určité hodnoty dochází k aperiodickému průběhu (chaotický stav). Za účelem demonstrace chaotického chování v elektromechanických systémech byl sestaven laboratorní modul s chaos čipem a DC motorkem ( buzení permanentními magnety). 2. Popis reálné soustavy Pro ověřování vlastností reálného systému, který se nachází v různých ustálených stavech, byl jako základní prvek použit chaos modul. Signál z tohoto modulu je použit pro napájení malého DC motoru. Blokové schéma reálné soustavy je na Obr. 1 Obr. 1: Blokové schéma reálné soustavy
DC motor je mechanicky spojen s tachogenerátorem, který měří úhlovou rychlost hřídele napájeného motoru. Indukované napětí tachogenerátoru,zobrazované osciloskopem, je přímo úměrné úhlové rychlosti. Pro posouzení existence mezních stavů je důležitý tvar signálů v závislosti na čase. Proud ia(t) kotevním obvodem motorku ( pro jednoduchost )je snímán osciloskopem pomocí odporového bočníku, což plně vyhovuje záměru sledování. Obr. 2: Způsob záznamu sledovaných veličin 3. Bifurkační chování DC motoru Na následujících obrázcích z paměťového osciloskopu je zachycen průběh napájecího napětí u a (t), indukovaného napětí u i (t) tachogenerátoru /odpovídajícího úhlové rychlosti motorku ω(t) /a kotevního proudu ia(t), při změně zvoleného řídícího parametru chaos čipu. Vliv změny parametru na výstupní signál čipu je jednoznačně popsán bifurkačním diagramem na Obr. 11. Obr. 3: Časový průběh napětí u a a napětí u i perioda jedna, kanál 1 - napětí u i kanál 2 napětí u a
Obr. 4: Časový průběh kotevního proudu ia a napětí u i perioda jedna, kanál 1 - napětí kanál 2 kotevní proud Obr. 5: Časový průběh napětí u a a napětí u i perioda dvě, kanál 1 - napětí ui kanál 2 napětí u a Obr. 6: Časový průběh kotevního proudu ia(t) a napětí u i perioda dvě, kanál 1 - napětí kanál 2 kotevní proud
Obr. 7: Časový průběh napětí u a a napětí u i perioda čtyři, kanál 1 - napětí u i kanál 2 napětí u a Obr. 8: Časový průběh kotevního proudu ia a napětí u i perioda čtyři, kanál 1 - napětí u i kanál 2 kotevní proud Obr. 9: Časový průběh napětí u a a napětí u i chaos, kanál 1 - napětí u i kanál 2 napětí u a
Obr. 10: Časový průběh kotevního proudu ia a napětí u i chaos, kanál 1 - napětí u i kanál 2 kotevní proud Obr. 11: Bifurkační diagram závislost řídícího parametru na stavu soustavy Z uvedených záznamů osciloskopu je patrná existence limitních cyklů, jejichž perioda se s časem nemění. Vlivem změny řídícího parametru dochází k náhlému zdvojení periody, to znamená, že je možné opět pozorovat periodicky se opakující stavy, ale jejich perioda je násobkem dvou, čtyř, atd. periody základní( nazývané perioda jedna). Průběh sledovaných veličin v závislosti na čase, resp. vznik různých periodicky se opakujících maximálních hodnot, není dostatečně průkazný pro posuzování existence mezních stavů v systému. Na ustálené periodické chování však poukazuje uzavřená trajektorie ve stavovém prostoru. Tento stav nastává ve sledovaném systému, jak dokládají níže popsané stavové trajektorie (atraktory) řízeného DC motoru, viz. Obr. 12.
Obr. 12: Atraktory reálné soustavy a) perioda jedna, b) perioda dvě, c) perioda čtyři, d) chaotický atraktor (strange) Vzhledem k téměř nulovému zátěžnému momentu je kotevní proud velmi malý, což způsobuje sníženou kvalitu při záznamu atraktorů. Proto bylo měření chaotického atraktoru reálné soustavy přerušeno po několika málo cyklech. Přesto je možné pozorovat rozdíl náhodné chaotické trajektorie od předchozích trajektorií, které odpovídají jistému ustálenému stavu. Atraktory a bifurkační diagramy se svou soběpodobností řadí mezi fraktály. 4. Závěr Článek popisuje experimentální řízení malého DC motorku s využitím deterministicky chaotického signálu jako řídícího signálu. Takovéto řízení by mohlo být výhodné především pro speciální pracovní mechanismy vyžadující nepravidelný mechanický pohyb ( např. ventilátory, stěrače,míchadla, třídiče a pod. ). Tento článek vznikl za podpory grantu MSM 0021630516.
5. Reference [1] Kříž, R. Nelineární dynamický systém se změnou parametrů. Brno: Vysoké učení technické v Brně, Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií, 2007. 59 s. Vedoucí diplomové práce doc. Ing. Josef Koláčný, CSc. [2] Koláčný, J. Chaos and fractals in the field of electric drives. 4th International Mendel Conf. on Genetic Algorithms,Optimization Problems,Fuzzy Logic,Neural Network,Rough Sets, MENDEL 1998, Brno. [3] Koláčný, J. Elektrické pohony jako dynamické systémy, moderní přístup chaos, fraktály.celostátní seminář Elektrické pohony a jejich aplikace VIII.ICB-Brno Engineering Centre, 1998 Brno. [4] Bozhko, S., Asher, G.M., Abeyasekera, T., Koláčný, J.: Analysis of Chaos in PWM-based electrical Drive with Cascade Control, 7 th Int. Conference on Soft Computing, MENDEL 2001, Brno.