SYLABUS PŘEDNÁŠKY 5 Z GEODÉZIE 1 (Měření délek) 1. ročník bakalářského studia studijní program G studijní obor G doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc. říjen 2015 1
Geodézie 1 přednáška č.5 MĚŘENÍ DÉLEK Podle principu určení vzdálenosti dvou bodů rozlišujeme přímé a nepřímé měření délek. Mezi přímá měření délek se řadí měření délek pásmem, měřickou latí, řetězci, invarovými dráty a lze sem zařadit i měření délek elektrooptickými dálkoměry. Nepřímo měřené délky jsou určovány prostřednictvím zprostředkující veličiny, obvykle úhlu (Skripta Geodézie 1, kap.7). Přímé měření délek V současné době se z výše uvedených pomůcek (skripta Geodézie 1, kap.7.1, str.138) používá pouze pásem, výjimečně i invarových drátů pro speciální měření kratších délek, vysoké přesnosti. Pásma Pásma se dělí obvykle na 2 základní skupiny, a to: pásma na kruhu (skripta Geodézie 1, kap. 7.1.1, str.139), v současnosti prakticky používána pouze pro hloubková měření v dolech (Geodézie v podzemních prostorách), pásma na vidlici, běžně používána. Pásma na vidlici Pásma na vidlici jsou vyráběna obvykle v délkách 20, 30 nebo 50m, a to z několika různých materiálů, s ohledem na jejich použití (obr.1 a 2). Nejběžnější skupinou jsou pásma ocelová, která mají koeficient teplotní délkové roztažnosti =1,1 až 1,2.10-5 K -1. Starší typy pásem mají šířku stuhy 20 mm a tloušťku do 0,5 mm s leptanou centimetrovou stupnicí a milimetrovým dělením pouze v prvním decimetru (obr.1). Stupnice bývá chráněna proti oděru umělou pryskyřicí. Současná pásma mají obvykle šířku stuhy 10 až 13 mm a tloušťku 0,15 až 0,4 mm. Lakovaná stupnice je tištěna v kontrastních barvách (obr.2), většinou s milimetrovým dělením po celé délce. Pásma jsou navinuta na umělohmotných vidlicích (nižší hmotnost), u některých typů opatřených i hrotem pro zapíchnutí vidlice do terénu. Méně vhodné je navíjení pásma do koženkových či umělohmotných tvrdých pouzder (kapslí), která se snadno zanášejí nečistotou a hrozí též poničení stupnice (obr.2). 2
V současné době jsou k dispozici též pásma umělohmotná (sklolaminátová), jejichž předností je nevodivost a jsou proto používána v prostředí, kde hrozí úraz elektrickým proudem. Povinně je předepsáno jejich použití na elektrifikovaných železničních tratích a na tratích se zabezpečovacím zařízením. Jejich nevýhodou je určitá nestabilita v tahu (změna délky) a nesmí se tedy napínat velkou silou. Stupnice jsou tištěny opět v kontrastních barvách a s milimetrovým dělením, jako u pásem ocelových (obr.2). Na trhu existují i pásma plátěná (textilní), která jsou vzhledem ke značné rozměrové nestabilitě pro měřické účely (v geodézii) nepoužitelná. Pro měření délek vysoké přesnosti se ve speciálních případech používají pásma invarová, délky 10 až 50 m, navíjená na kruhu. Invar je slitina železa a niklu s malou příměsí uhlíku a chromu, která má velmi nízký koeficient teplotní délkové roztažnosti =1,2.10-6 K -1, takže vliv teplotních změn (respektive nepřesnost jejich určení) se na délce změřené invarovým pásmem prakticky neprojeví. Postup při měření délek pásmem Vybavení Pásmo na vidlici, 2 až 3 olovnice, sada měřických jehel, napínací siloměr (obr.1), výtyčky, stojánky (počet podle potřeby), dvojitý pentagon či teodolit pro zařazování konce pásma do směru. Postup Postup závisí jednak na svažitosti terénu, jednak na požadované přesnosti měření. Délka se měří vždy dvakrát. Dvojí měření slouží jednak pro vyloučení omylu či hrubé chyby a dále, nepřekračuje-li dosažený rozdíl stanovenou mezní odchylku, ke zpřesnění výsledku průměrem obou měření. V rovinném terénu se délka měří vždy tam a zpět, ve svažitém terénu se délka měří zásadně po svahu dolů (obr.3), přičemž podruhé se počátek posune, aby měření bylo skutečně nezávislé (otvory po vpichu jehel by mohly svádět ke ztotožnění při opakovaném měření). 3
Postup měření délky se zásadně liší podle požadavků na přesnost výsledku, danou účelem, kterému má sloužit. Při nižších požadavcích na přesnost (např. pro účely mapování) se měří délky vodorovné (vodorovnost pásma se odhaduje pomocí olovnice obr.5), konec pásma se provažuje olovnicí (obr.6), zařazení konce pásma se provádí od oka přes pásmo na výtyčku, napnutí pásma odhadem. Při pečlivém měření lze dosáhnout směrodatné odchylky průměru dvou měření σ d 25 mm/100 m. Při vyšších požadavcích na přesnost (např. v inženýrské geodézii) se délka rozděluje na úseky (kratší než délka pásma), jejichž konce se stabilizují kolíky s hřebíčkem a do směru zařazují teodolitem. Délky se měří šikmé z kolíku na kolík komparovaným pásmem, které je napínáno siloměrem předepsanou silou (100N nebo 50N), převýšení hlav kolíků se určí nivelací. Směrodatná odchylka takto měřené délky se uvažuje hodnotou σ d 7 mm/100 m. Při speciálních velmi přesných měřeních invarovými pásmy se délka dělí rovněž na úseky, které jsou na koncových bodech osazeny čepy s verniery v trojnožkách umístěných na stativech, pásmo je napínáno silou 100 N závažími hmotnosti 10 kg přes kladky, převýšení mezi čepy je určeno nivelací. Směrodatná odchylka měřené délky se uvažuje hodnotou σ d 2 mm/100 m. (Podrobněji je postup uveden ve skriptech Geodézie 1, kap. 7.1.3, str.140, popř. ve skriptech Geodézie 1,2 Návody ke cvičení, kap. 3.1, str.27). Opravy Přímé měření délek je stejně jako každé měření zatíženo nevyhnutelnými chybami, a to jak chybami systematickými, tak i nahodilými. Zvláště systematické chyby mohou velmi nepříznivě ovlivnit přesnost měřené délky, a proto je nezbytné znát příčiny jejich vzniku a způsob eliminace, zpravidla vhodným postupem nebo početně. 4
Systematické chyby o chyba z nesprávné délky měřidla, o chyba ze změny délky měřidla způsobená teplotní roztažností, o chyba z protažení měřidla, o chyba z nevodorovné polohy měřidla, o chyba z vybočení ze směru, o chyba z průhybu měřidla. Nahodilé chyby o chyba z provážení konce pásma, o chyba z přiřazení nuly, o chyba z odečtení konce pásma. Systematické chyby Chyba z nesprávné délky měřidla Jedná se o systematickou chybu stálé velikosti, způsobenou odchylkou použitého měřidla od délkového normálu. Pro každé vyráběné měřidlo je stanovena mezní odchylka, o kterou se smí lišit od etalonu (kontrolního měřidla). Splnění této podmínky je označeno na měřidle tzv. cejchem. Skutečná délka měřidla se zjišťuje tzv. kalibrací, při které jsou určovány skutečné rozměry metrových úseků pásma v příslušném oborovém metrologickém pracovišti (např. Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický ve Zdibech u Prahy) na komparátoru. Kalibrace pásma probíhá při určité tzv. komparační teplotě t 0, obvykle blízké 20 C. O výsledku kalibrace se vystavuje kalibrační protokol, ve kterém jsou pro jednotlivé metrové úseky uvedeny opravy na správnou délku, napínací síla, teplota při kalibraci a koeficient teplotní délkové roztažnosti měřidla. Za předpokladu rovnoměrného nárůstu chyby celkové délky pásma se oprava vypočte ze vztahu:, kde Δl je odchylka délky pásma od nominální hodnoty, l je délka pásma, d je měřená délka. Při použití kalibračního protokolu se vyhledá oprava k příslušné délce úseku. Chyba ze změny délky měřidla způsobená teplotní roztažností Jedná se o systematickou chybu proměnné velikosti, závislou na rozdílu teploty při měření t a při kalibraci t 0. Oprava se vypočte ze vzorce: ( ), kde je koeficient teplotní délkové roztažnosti (pro ocel =1,1 až 1,2.10-5 K -1 a pro invar =0 až 1,2.10-6 K -1 ), d je měřená délka. Do jisté míry je problémem změření teploty pásma v terénu, která se od obvykle měřené teploty vzduchu může poněkud lišit a použití kontaktních teploměrů je poměrně komplikované. Příklad: pro ocelové pásmo, délku d = 100 m a rozdíl teplot +5 C činí oprava o 2 = 6 mm. 5
Chyba z protažení měřidla Systematická chyba proměnné velikosti, závisející na rozdílu mezi napínací silou při měření F a při kalibraci F 0, na průřezu pásma q, dále na modulu pružnosti E materiálu, z něhož je měřidlo zhotoveno a na délce pásma l. Oprava se vypočte ze vztahu: ( ) Příklad: pro ocelové pásmo, délku pásma l = 20 m, rozdíl napínacích sil +50 N, průřez pásma q=4 mm 2 a modul pružnosti E=200 000 N/mm 2 činí oprava o 3 = 1,2 mm. Chyba z nevodorovné polohy měřidla Jedná se o systematickou chybu proměnné velikosti, avšak stejného znaménka, tedy tzv. jednostrannou, závisející na velikosti odklonu pásma od vodorovné polohy. Při sklonu pásma ať již nahoru či dolů vždy naměříme větší vzdálenost (obr.7). Oprava délky má tedy vždy záporné znaménko a počítá se ze vztahu:. Příklad: pro ocelové pásmo, délku pásma l = 20 m, převýšení mezi koncovými body h = 0,5 m činí oprava o 4 = 6,2 mm (při h = 2 m je o 4 = 100 mm!!). S touto opravou souvisí i přesnost určení převýšení h, kde např. při h = 1 m způsobí chyba v převýšení 0,05 m chybu v délce 2,5 mm. Chyba z vybočení ze směru Systematická chyba obdobného charakteru jako chyba z nevodorovné polohy měřidla, tedy jednostranná, při které se rovněž naměří vždy větší délka. Tato chyba se vylučuje vhodným měřickým postupem, s ohledem na požadovanou přesnost určení délky, tedy zařazením mezibodů od oka přes konec pásma, dvojitým pentagonem nebo teodolitem. Chyba z průhybu pásma Jedná se o jednostrannou systematickou chybu, závislou na délce pásma l, působení zemské tíže G a napínací síle F. Opět se vždy naměří větší délka, takže oprava má záporné znaménko a počítá se ze vzorce, platného pro vodorovné pásmo: kde G = m.g, m hmotnost 1 m pásma, g tíhové zrychlení 9,81 m/sec 2. Příklad: pro ocelové pásmo, délku pásma l = 20 m, G = 0,20 N/m (m = 0,02 kg), F = 100 N, činí oprava o 5 = 1,3 mm., 6
Nahodilé chyby Chyba z provážení konce pásma Velikost této chyby závisí na pečlivosti měřiče, na výšce pásma nad terénem, na sklonu terénu a na uklidnění olovnice při provažování (obr.6), zejména při větrném počasí. Chyba z přiřazení nuly Chyba je způsobena nepřesným přiložením počátku měřidla ke značce výchozího bodu (např. kolík s křížkem nebo hřebíčkem). Přesnost přiřazení nuly je také důvodem zásady měření délky po svahu, aby se počátek pásma nemusel provažovat olovnicí, což je při odpovídajícím napětí pásma obtížné. Přesnost měření závisí i na fixaci jednoho konce (počátku) pásma. Chyba z odečtení konce pásma. Tato chyba závisí na síle odečítacího indexu, který může být tvořen například výtyčkou na koncovém bodě, jejíž nesvislost může rovněž výsledek značně ovlivnit. Přesnější měření vyžadují pro odečtení konce pásma použití olovnice. Použití délek pro souřadnicové výpočty Pro souřadnicové výpočty je nutno měřené délky převést na nulovou hladinovou plochu (oprava z nadmořské výšky, vliv sbíhavosti tížnic sylabus přednášky č.2, str.5) a do zobrazovacího systému (sylabus přednášky č.6, str.8 až 10). Oprava na nulovou hladinovou plochu: kde H je průměrná nadmořská výška koncových bodů měřené délky, d je měřená vzdálenost, R je střední poloměr Země, tj. 6 381 km. Oprava ze zobrazení: Pro Křovákovo zobrazení: ( ) kde m 1, m 0 a m 2 jsou délková zkreslení zobrazovacích rovnoběžek, které procházejí koncovými body a středem délky. Hodnoty se určí z tabulek nebo grafů. Oprava dosahuje extrémních hodnot -0,10 m/km až +0,13 m/km. (Přesnější vzorce jsou uvedeny ve skriptech Geodézie 1,2 Návody ke cvičení, kap. 3.6.2.3, str.39). Pro Gauss-Krügerovo zobrazení: kde y je rovinná souřadnice (vzdálenost od základního poledníku). Oprava je vždy kladná a u 3 pásu dosahuje hodnoty 0,14 m/km. Elektronické dálkoměry Elektronické dálkoměry lze rozdělit v zásadě na radiové a světelné. Princip elektronického měření délek je založen na určení tranzitního času, který urazí radiová či světelná vlna ve viditelném či infračerveném spektru od dálkoměru (vysílače) k odraznému systému a zpět. (Podrobněji je o elektronickém měření délek pojednáno ve skriptech Geodézie1, kap.7.3, str.159, detailně pak v předmětu Geodetické přístroje 2). 7,,,
Pro praktické využití je přesnost elektronických dálkoměrů udávána vztahem pro směrodatnou odchylku délky: 8 [ ], popř. též: ( ). Délky měřené elektronickými dálkoměry je třeba redukovat o tzv. fyzikální redukci, která opravuje měřenou délku o vliv prostředí (atmosférické podmínky) v okamžiku měření oproti podmínkám standardním, které jsou pro dálkoměr nastaveny výrobcem. Jedná se o vliv teploty vzduchu, atmosférického tlaku a vlhkosti vzduchu, obvykle měřených pouze u stanoviska přístroje, takže oprava je pouze přibližná (dálkoměrný paprsek probíhá různě teplými a různě vlhkými vrstvami vzduchu při měnícím se atmosférickém tlaku, s ohledem na délku měřené vzdálenosti a převýšení koncových bodů). Opravy je možno určit z tabulek, nomogramů nebo početně ze vzorců dodaných výrobci a zavést do paměti dálkoměru. Současné totální stanice si počítají a zavádějí fyzikální opravy automaticky po dosazení naměřených hodnot teploty, tlaku a vlhkosti, stejně jako opravy matematické (z nadmořské výšky a ze zobrazení), ovšem po nastavení odpovídajících hodnot. Je tedy vždy třeba před zahájením měření délek zkontrolovat v totální stanici aktuálnost nastavených hodnot! Nepřímé měření délek Jak již bylo zmíněno v úvodu této kapitoly, používá se při nepřímém měření délek zprostředkujících veličin. Podle typu dálkoměru lze rozlišit dálkoměry na (skripta Geodézie1, kap. 7.2, str.147): mechanické, optické, popř. fyzikální (ty byly uvedeny v přímém měření délek) Mechanické dálkoměry V současné době se používá v geodézii měřického kolečka, pro rozměřování nivelačních pořadů (podobně jako používá policie pro zaměření situace při dopravních nehodách). Ostatní historické typy dálkoměrů (skripta Geodézie1). Optické dálkoměry Dálkoměry s konstantním úhlem (dvojobrazové dálkoměry) nebo s konstantní latí (paralaktické měření délek). Lať je umístěna v cíli nebo v přístroji (Zeiss BRT 006), vodorovně nebo svisle. Přístroj může udávat délku vodorovnou nebo šikmou. Autoredukční přístroje převádí šikmou vzdálenost mechanicko-optickou cestou na vodorovnou. Většina uvedených typů byla používána v geodézii ještě v 2. polovině 20. století, ale jejich využití prakticky skončilo se zavedením elektronických dálkoměrů do praxe. Výjimkou může být ryskový dálkoměr a paralaktické měření délek pro některé speciální práce v inženýrské geodézii. Princip již nepoužívaných dálkoměrů je uveden ve skriptech Geodézie1, kap.7.2 a alespoň obecně by měl být součástí znalostí geodeta (samostudium). Ryskový dálkoměr Je součástí prakticky všech teodolitů a nivelačních přístrojů. Je tvořen dvojicí krátkých vodorovných rysek, symetricky umístěných k vodorovné rysce ryskového kříže. Vzdáleností krajních rysek y a ohniskovou vzdáleností dalekohledu f je určen dálkoměrný úhel konstantní velikosti δ. Na stupnici latě, svisle postavené na cílovém
bodě, rysky vytínají laťový úsek l (obr.8). Za předpokladu vodorovné záměry (tedy záměry kolmé na lať) platí vztah: d = a + f + b, kde a = (f/y).l = k.l. z podobnosti šrafovaných trojúhelníků v obr.8, b je vzdálenost objektivu od středu přístroje. Pro f + b = c pak platí d = k.l + c. Vnitřní zaostřovací čočkou se dosáhne c = 0. Vhodnou volbou konstanty y lze dosáhnout hodnoty k = 100. Potom d = 100.l. Příklad: rozdíl čtení horní a dolní rysky na lati v obrázku l=1,125m 1,000m = 0,125 m, potom d=100.l=12,5 m Pro šikmou záměru (velká většina záměr) je nutno měřenou šikmou délku redukovat na vodorovnou a vyloučit vliv nekolmosti záměrné přímky na svisle postavenou tachymetrickou lať (obr.9). V obrázku 9 je symbolem ζ (řecké písmeno zéta) označen zenitový úhel, l je průmět laťového úseku l čteného na svislé lati, do kolmice ke střední záměře, dané vodorovnou ryskou ryskového kříže. Úhlem ε je označen výškový úhel (používaný u starších přístrojů), pro který platí: ε = 100 gon ζ. 9
Vliv nekolmosti latě k záměře se početně vyloučí z pravoúhlého trojúhelníka, jehož je l /2 odvěsnou a l/2 přeponou (obr.9) vzorcem: Vodorovná délka d v se potom vypočte ze vztahu: a po dosazení za l : (rovnice pro záměru kolmou na lať) Dálkoměr s konstantní délkou latě (paralaktické měření délek) Soupravu pro měření délek pomocí latě konstantí délky (tzv. základnové latě) tvoří teodolit odpovídající třídy přesnosti (vteřinový či dvouvteřinový, např. Zeiss Theo 010A nebo 010B), vodorovná základnová lať konstantní délky 2 m a 2 stativy (obr.10). Základnová lať je konstruována tak, aby při běžných pracích nebylo nutno uvažovat vliv tepelné roztažnosti (vzdálenost cílových značek je zajištěna invarovým drátem). Základnová lať se skládá ze dvou cca 1m dlouhých částí, které jsou tvořeny trubkovou konstrukcí, spojených uprostřed kulovitou střední částí s čepem pro vložení do trojnožky. Krabicová libela na horní ploše slouží k urovnání latě do vodorovné polohy. Na koncích ramen jsou v rámečcích uloženy skleněné destičky s cílovými znaky (obr.11). Cílový znak rombického tvaru je umístěn i na střední části (obr.12), kam je možno cílit pro určení směru na koncový bod. Velmi důležité je správné složení obou dílů latě, které je zajištěno výstupkem na jedné části latě a odpovídajícím vybráním na druhé části (jednotlivé díly se po zapojení nesmí vůči sobě otáčet). Spojení se zajistí převlečnou maticí. Cílové trojúhelníkové značky jsou bílé, na vrchol postavené trojúhelníky na černém pozadí (obr.13). Přesná délka latě je udána dvěma páry černých dvojrysek s ohledem na měřenou vzdálenost (jemnější značky pro krátké vzdálenosti), popř. na rubové straně dvě černé kruhové výseče, otočené proti sobě (obr.14). 10
11
Základnová lať musí být umístěna kolmo k měřené délce, k čemuž slouží sklopný kolimátor (obr.12), v jehož zorném poli se zobrazuje bílý klínek, který je nutno, po uvolnění svěrného šroubu trojnožky, pootáčením latě nasměrovat na teodolit. Po zacílení je třeba svěrný šroub opět s citem dotáhnout. Při měření musí být dále lať ve vodorovné poloze. Paralaktický úhel δ (obr.15) se měří v polovičních laboratorních jednotkách (sylabus přednášky č.3, str.13) a délka se počítá podle vzorce:. 12