Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava KUŽELOSEČKY, KOLINEACE

Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava KUŽELOEČKY KOLINECE Deskriptivní geometrie Krista Dudková Radka Hamříková O T R V 0 0 5

OH 1. Kuželosečky 5 1.1. Řezy na kuželové ploše 5 1.. Elipsa 7 odová konstrukce elipsy 8 Popis elipsy 9 Proužková konstrukce elipsy 9 Oskulační kružnice 11 Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s elipsou 13 Tečna elipsy 14 Ohniskové vlastnosti elipsy 15 družené průměry elipsy 19 Rytzova konstrukce 19 Úkoly k řešení 1 Nápověda 1.3. Hyperbola 3 odová konstrukce hyperboly 3 Popis hyperboly 4 Oskulační kružnice 6 Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s hyperbolou 7 Tečna hyperboly 8 Ohniskové vlastnosti hyperboly 9 Úkoly k řešení 33 Nápověda 34 1.4. Parabola 35 odová konstrukce paraboly 35 Oskulační kružnice 36 Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s parabolou 37 Tečna paraboly 38 Ohniskové vlastnosti paraboly 39 Normála paraboly 41 Úkoly k řešení 43 Nápověda 44 1.5. Výsledky 45 Úkoly k řešení elipsa (zadání na straně 1) 45 Úkoly k řešení hyperbola (zadání na straně 33) 51 Úkoly k řešení parabola (zadání na straně 43) 55

. Kolineace 58.1. Nevlastní prvky 58 Nevlastní bod přímky 58 Nevlastní přímka roviny 60.. tředová kolineace v prostoru 61 Typy kolineací 63 Osová afinita v prostoru 64.3. tředová kolineace v rovině 65 Úkoly k řešení 67 Nápověda 68.4. Osová afinita v rovině 69 Úkoly k řešení 73 Nápověda 73.5. Výsledky 74 Úkoly k řešení středová kolineace v rovině (zadání na straně 67) 74 Úkoly k řešení osová afinita v rovině (zadání na straně 73) 78 Literatura 79 Poděkování Děkujeme doc. RNDr. Pavlu urdovi Cc. a Mgr. Jiřímu Doležalovi za pečlivou recenzi svědomitou korekturu a cenné připomínky. Ostrava prosinec 004 Krista Dudková Radka Hamříková

1. KUŽELOEČKY 1.1. Řezy na kuželové ploše 1. KUŽELOEČKY 1.1. Řezy na kuželové ploše Je dána rotační kuželová plocha která vznikne rotací dvou různoběžných přímek se společným bodem V kolem osy o jednoho z úhlů obou různoběžek. Rovina ρ je rovina kolmá k ose o neprocházející bodem V rovina σ je rovina řezu a rovina ω je rovina rovnoběžná s rovinou řezu σ která prochází bodem V (tzv. vrcholová rovina). Označme α odchylku povrchových přímek kuželové plochy od roviny ρ. Kružnice k V ω σ Je-li rovina řezu σ rovnoběžná s rovinou ρ je řezem kružnice k. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společný pouze bod V (obr. 1). α ρ Obr. 1 Elipsa ω V e σ Je-li rovina řezu σ různoběžná s rovinou ρ a svírá s rovinou ρ úhel menší než úhel α je řezem elipsa e. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společný pouze bod V (obr. ). α ρ Obr. 5

1. KUŽELOEČKY 1.1. Řezy na kuželové ploše Parabola V ω p σ Je-li rovina řezu σ rovnoběžná s povrchovou přímkou kuželové plochy tedy svírá s rovinou ρ úhel α je řezem parabola p. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společnou přímku ω je tečná rovina kuželové plochy (obr. 3). α ρ Obr. 3 Hyperbola ω V σ Je-li rovina řezu σ různoběžná s rovinou ρ a svírá s rovinou ρ úhel větší než úhel α je řezem hyperbola h. Vrcholová rovina ω má s kuželovou plochou společné dvě různoběžky které se protínají v bodě V (obr. 4). h α ρ Obr. 4 Vyzkoušejte si Nalijte obarvenou tekutinu do sklenice kuželovitého tvaru třeba na šampaňské shora zakryjte sklenici tvrdou podložkou a naklánějte ji postupně se vám ukáží všechny výše zmíněné kuželosečky. V analytické geometrii se kuželosečky popisují rovnicemi. V deskriptivní (konstruktivní) geometrii je sestrojujeme z daných geometrických prvků. Jedná se o tytéž kuželosečky důkazy zde nebudeme uvádět. 6

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa 1.. Elipsa Elipsa je po kružnici pravděpodobně nejčastěji používaná křivka. etkáte se s ní v promítacích metodách kde se objeví jako průmět kružnice. Elipsa je také rovinným řezem rotační válcové plochy rotační kuželové plochy (odtud název kuželosečky z úvodní kapitoly) a dalších ploch. Vyzkoušejte si elipsou se setkáte také v parcích a na zahradách kde se záhon tvaru elipsy osadí okrasnými rostlinami. Jak takový zahradník udělá elipsu jednoduše a přitom přesně? Postačí mu 3 kolíky a provázek konce provázku přiváže ke dvěma kolíkům ty zapíchne do země třetím kolíkem napne provázek a kreslí elipsu na záhonku. Vy si můžete vzít dva špendlíky nit tužku a kousek polystyrenu. Na špendlíky přivážete konce niti zapíchnete do polystyrenu a tužkou napínáte nit a kreslíte elipsu (obr. 5). a E Obr. 5 7

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Elipsa je množina všech bodů v rovině které mají od dvou pevně zvolených různých bodů E konstantní součet vzdáleností a který je větší než vzdálenost bodů E. odová konstrukce elipsy Podle definice je elipsa určena dvěma body E a velikostí a. Zvolme si body E jejichž vzdálenost je 8 cm. estrojme úsečku KL délky a = 10 cm. Mezi body KL zvolíme dělicí bod I jehož vzdálenost od krajních bodů úsečky je minimálně 1 cm. Například IK = 3 cm IL = 7 cm. Nyní sestrojíme oblouky kružnic k 1 ( Er = IK ) k ( r = IL ). Pro průsečík M = k 1 k platí: ME + M = IK + IL = 10 cm = a je tedy bod M bodem elipsy. Volbou jednoho dělicího bodu I získáme čtyři body elipsy další bod je druhý průsečík kružnic k k 1. Zbývající dva body získáme výměnou poloměrů obou kružnic. Volbou dalších dělicích bodů sestrojíme libovolné množství bodů elipsy. Na spojnici o 1 bodů E sestrojíme střed úsečky E dále body tak že platí: a = =. od je bodem elipsy protože E + = E + E + E = E + E + = = a podobný vztah platí i pro bod. V bodě sestrojíme přímku o o 1. ody C D které leží na o a platí pro ně že EC = C = a ED = D = a jsou zřejmě body elipsy. K I k k 1 M o C L a b E e o 1 D Obr. 6 8

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Popis elipsy střed a = = délka hlavní poloosy hlavní vrcholy b = C = D délka vedlejší poloosy C D vedlejší vrcholy e = E = excentricita E ohniska přímky EM M průvodiče bodu M o 1 hlavní osa o vedlejší osa Pro abe platí Pythagorova věta: e + b = a. Elipsa je osově souměrná podle o 1 a o a středově souměrná podle. Proužková konstrukce elipsy Obr. 7 Je dána elipsa délkou hlavní poloosy a a délkou vedlejší poloosy b. estrojíme osy o 1 a o a vrcholy elipsy. Na proužek papíru si vyznačíme součet délek poloos a+b koncový bod hlavní poloosy umístíme na vedlejší osu elipsy koncový bod vedlejší poloosy umístíme na hlavní osu elipsy. polečný bod poloos určí jeden bod M elipsy. Posouváním proužku papíru po osách dostaneme jakýkoli bod elipsy. Tuto konstrukci nazýváme součtová proužková konstrukce elipsy. Na proužek papíru si vyznačíme rozdíl poloos a-b koncový bod hlavní poloosy umístíme na vedlejší osu elipsy koncový bod vedlejší poloosy umístíme na hlavní osu elipsy. polečný bod poloos určí jeden bod M elipsy. Posouváním proužku papíru po osách dostaneme jakýkoli bod elipsy. Tuto konstrukci nazýváme rozdílová proužková konstrukce elipsy (obr. 7). Vyzkoušejte si Pomocí jedné z proužkových konstrukcí se pokuste sestrojit elipsu. 9

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Řešení: Příklad: estrojte elipsu jsou-li dány hlavní vrcholy elipsy a jeden její bod M. Určete osy elipsy střed vedlejší vrcholy a ohniska. M b a V o U m o 1 K řešení použijeme rozdílovou proužkovou konstrukci (obr. 8) (součtová se nemusí vejít na formát papíru). 1. o1 ;o1 =. + ; = střed úsečky 3. o ;o o 4. m; m( M r = a = ) 5. U; U = m o 6. V; V = MU o1 7. b; b = MV Obr. 8 o M C m 8. C; C o C = b D; D o D = b b a 9. E; E o1 CE = a ; o1 C = a. E V o 1 U D Obr. 9 Elipsu budeme považovat za určenou budeme-li znát hlavní vrcholy a ohniska. Potřebujeme-li elipsu vyrýsovat použijeme některou známou konstrukci (bodovou proužkovou). 10

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Oskulační kružnice Název oskulační pochází z latiny oskulum znamená polibek. Elipsa má s oskulační kružnicí společný jen jeden bod - vrchol kterým kružnice prochází ale oblouk oskulační kružnice se nejvíc blíží tvaru elipsy v blízkém okolí vrcholu. Oskulační kružnice nahrazují elipsu v okolí vrcholů. Uvedeme si dva postupy jak najít středy oskulačních kružnic elipsy. 1. Hlavním vrcholem vedeme rovnoběžku s vedlejší osou o vedlejším vrcholem C vedeme rovnoběžku s hlavní osou o 1. Průsečík rovnoběžek označíme 1 dostaneme obdélník C1. odem 1 sestrojíme kolmici na úhlopříčku C. Kolmice protíná hlavní osu v bodě O a vedlejší osu v bodě O C. Toto jsou středy oskulačních kružnic o a o C které procházejí body C. využitím souměrnosti elipsy sestrojíme středy O a OD oskulačních kružnic o a o D (obr. 10). o O D 1 C o C o o E O O o 1 D o D O C Obr. 10 11

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa. estrojíme kružnice k 1 (r = b) a k (Cr = a). Průsečíky 1 kružnic k k 1 spojíme a tato přímka protíná hlavní osu v bodě O a vedlejší osu v bodě O C (obr. 11). Dále je postup stejný jako v předchozím případě. o k O D k 1 1 C o C o o E O O o 1 D o D O C Obr. 11 Vyzkoušejte si Elipsu v technické praxi může nahradit ovál. Je složený ze čtyř oblouků kružnic. Kružnice procházející hlavními C o vrcholy jsou oskulační kružnice kružnice ve vedlejších o Y vrcholech sestrojíme podle návodu: na vedlejší ose O najdeme bod Y tak aby ležel mezi body C a vzdálenost E YC byla rovna poloměru oskulační kružnice o. Pomocná kružnice o( Y r = O ) (obr. 1) protíná D kružnici o ve dvou bodech průsečík jejich spojnice s X vedlejší osou elipsy je bod X. Oblouk kružnice k ( Xr = XC) je další část oválu k' sestrojíme souměrně. Obr. 1 o k o O k' o 1 1

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s elipsou M K Elipsa e rozdělí všechny body roviny do tří oblastí: a) M e ME + M = a body elipsy E L b) K KE + K > a vnější body elipsy c) L LE + L < a vnitřní body elipsy. Obr. 13 p t T U Přímka a elipsa e mohou mít tuto vzájemnou polohu: a) p e = nesečna b) q e = { UV} sečna UV je tětiva elipsy t e = T tečna; T je bod dotyku. c) { } V q Obr. 14 Nesečna obsahuje pouze vnější body elipsy. ečna obsahuje dva body U V elipsy vnitřní body elipsy i body vnější. Tečna má s elipsou společný bod T ostatní body jsou vnější. 13

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Tečna elipsy Tečna elipsy je přímka která má s elipsou společný právě jeden bod T (bod dotyku). Ostatní body této přímky jsou vnější body elipsy. Pro konstrukci tečny nelze definici použít. K tomu slouží následující věta. Věta Tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku.( Vnější úhel průvodičů bodu dotyku je ten který neobsahuje bod.) o Q P T C X t E o 1 D Obr. 15 Důkaz: Na elipse si zvolíme bod T sestrojíme jeho průvodiče TE T. Osu tohoto úhlu označíme t. Ukážeme že se jedná o tečnu elipsy v bodě T. Označíme P patu kolmice spuštěné z ohniska E na přímku t. od Q je průsečík této kolmice a průvodiče T. Trojúhelníky ΔETP a Δ QTP jsou podle věty usu shodné a ΔETQ je tedy rovnoramenný. Přímka t je osa souměrnosti tohoto trojúhelníka. Platí: ET = QT. Podle definice elipsy platí: a = ET + T. Dosazením předchozí rovnosti dostaneme: a = QT + T = Q. Na přímce t zvolíme bod X různý od bodu T. Přímka t je osa úsečky EQ pak platí XE + X = XQ + X. Podle trojúhelníkové nerovnosti v trojúhelníku Δ QX platí: XQ + X > Q = a. Je tedy bod X vnějším bodem elipsy. Protože jsme tento bod zvolili libovolně je každý bod přímky t kromě bodu T vnějším bodem elipsy. Přímka t je tečna elipsy. od Q je obrazem bodu E v osové souměrnosti s osou t proto se nazývá bod souměrně sdružený s ohniskem E podle tečny t. Věty které budou následovat plynou z předchozího tvrzení. 14

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Ohniskové vlastnosti elipsy o Q T C t P E o 1 g 1 v g D Obr. 16 Věta Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem E podle všech tečen elipsy je kružnice g 1 ( r = a). Podobně množina bodů souměrně sdružených s ohniskem podle všech tečen elipsy je kružnice g Er = a. ( ) Kružnice g 1 ( r = a) a g ( Er = a) se nazývají řídicí kružnice. Trojúhelníky Δ EP a Δ EQ jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je E a koeficient k = ) proto je P Q a platí že P = Q = a je tedy P = a (obr. 16). (V trojúhelníku Δ EQ je P střední příčka.) Věta Množina pat kolmic P spuštěných z ohnisek E na všechny tečny elipsy je kružnice v ( r = a). Kružnice v ( r = a) se nazývá vrcholová kružnice. 15

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Příklad: Vnějším bodem R elipsy veďte tečny k této elipse. Elipsa je určena hlavními vrcholy a ohnisky. Řešení pomocí vrcholové kružnice. Th o P' R t T C P T' E t' o 1 v D Obr. 17 Řešení: 1. v; v( r = a) vrcholová kružnice. Th Thaletova kružnice nad průměrem RE 3. P P'; v Th = { P P' } paty kolmic spuštěných z ohniska E na hledané tečny 4. t; t = RP t' ; t' = RP' hledané tečny 5. T; T PT t T' ; T' P'T' t' body dotyku. V řešení je použita vrcholová kružnice. Dále pak spojnice EP je kolmá k tečně a tedy trojúhelník EPR je pravoúhlý. Vrchol P leží na Thaletově kružnici nad přeponou ER tohoto trojúhelníka. 16

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Řešení pomocí řídicí kružnice. Q' o Q R t T C T' k E t' o 1 g 1 D Obr. 18 Řešení: 1. ;g r a řídicí kružnice ( ) g1 1 =. k( R r RE ) k; = 3. Q Q'; g1 k = { Q Q' } body souměrně sdružené s ohniskem E podle hledaných tečen 4. t osa úsečky EQ t' osa úsečky EQ' 5. T; Q t = { T} T' ; Q' t' = T' body dotyku. { } Tato konstrukce je prostorově náročná (bod Q nemusí vyjít na formát papíru) pak je výhodnější použít obě řídicí kružnice g 1 i g. 17

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Příklad: Rovnoběžně se směrem s veďte tečny k elipse. Elipsa je určena hlavními vrcholy a ohnisky. Řešení pomocí vrcholové kružnice. s o P r C t' T P' E t o 1 T' v D Obr. 19 Řešení: 1. v; v( r = a) vrcholová kružnice. r; E r r s 3. P P'; v r = { P P' } paty kolmic spuštěných z ohniska E na hledané tečny 4. t; t s P t t' ; t' s P' t' hledané tečny 5. T; T PT t T' ; T'E PT' t' body dotyku. Tuto úlohu můžeme řešit také pomocí řídicích kružnic g 1 i g ale tato konstrukce je prostorově náročná. 18

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa družené průměry elipsy M K Obr. 0 N L Tětiva elipsy která prochází jejím středem se nazývá průměr elipsy. Jestliže platí že tečny v krajních bodech průměru MN jsou rovnoběžné s průměrem KL a tečny v krajních bodech průměru KL jsou rovnoběžné s průměrem MN pak průměrům KL a MN říkáme sdružené průměry elipsy. V některých úlohách např. při konstrukcích řezů těles rovinou se setkáte s elipsou zadanou sdruženými průměry. K sestrojení os a vrcholů elipsy slouží Rytzova konstrukce. Rytzova konstrukce M L Elipsa je určena sdruženými průměry KL a MN které se protínají ve středu elipsy. Určete osy a vrcholy elipsy. K N Jsou-li průměry k sobě kolmé pak se jedná o osy elipsy a body K L M N jsou vrcholy elipsy. Řešení: Obr. 1a M R L 1. n; n KL kolmice na delší průměr. R; R n R = L 3. RM spojnice bodů K n N Obr. 1b 19

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa U V M R O k L M + R 4. O; O = střed úsečky MR k; k Or = O 5. ( ) { } 6. U V;k MR = UV K n N Obr. 1c V M R O o U C k L o 1 7. o1 ;o1 = V hlavní osa o ;o = U vedlejší osa 8. a; a = MU = RV hlavní poloosa b; b = MV = RU vedlejší poloosa 9. ; o1 = a K D n N ; o1 = a 10. C; C o C = b D; D o D = b. Obr. 1d Nevyjde-li bod U na formát papíru sestrojíme vedlejší osu jako kolmici na hlavní osu středem elipsy. Hlavní osa je v ostrém úhlu sdružených průměrů. Je vhodné sestrojit tečny v krajních bodech průměrů konstrukce elipsy bude přesnější. 0

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Úkoly k řešení 1. estrojte elipsu znáte-li její střed ohnisko E a jeden její bod M.. estrojte elipsu znáte-li její vedlejší vrchol C ohnisko E a velikost vedlejší poloosy b. 3. estrojte elipsu znáte-li její ohniska E a tečnu t. 4. estrojte elipsu znáte-li její ohnisko E hlavní osu o 1 a tečnu t s bodem dotyku T. 5. estrojte elipsu znáte-li její střed tečnu t velikost hlavní poloosy a excentricitu e a > e. 6. estrojte elipsu znáte-li její střed velikost hlavní poloosy a tečnu t s bodem dotyku T. 7. estrojte elipsu znáte-li její ohnisko E a tři její tečny tt't''. Pokuste se úlohy vyřešit samostatně použijte vlastnosti elipsy které jste si osvojili v předchozím textu. Předpokládejte že úloha je vyřešena tzn. nakreslete si hotovou elipsu vyznačte v ní zadané prvky a doplňte další které se dají sestrojit. Hledejte v konstrukci další prvky elipsy abyste mohli určit její ohniska vrcholy na tečnách body dotyku. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je. 1

1. KUŽELOEČKY 1.. Elipsa Nápověda 1. třed a ohnisko leží na hlavní ose druhé ohnisko je souměrné podle středu se zadaným ohniskem a platí definice elipsy. oučet vzdáleností bodu M od ohnisek je roven velikosti hlavní osy tedy a. Najít hlavní a vedlejší vrcholy už nebude problém.. Vedlejší vrchol leží na vedlejší ose ohnisko na ose hlavní osy se protínají ve středu elipsy a protože osy jsou k sobě kolmé je trojúhelník Δ CE pravoúhlý. V tomto trojúhelníku známe přeponu CE. od leží na Thaletově kružnici nad CE. Vzdálenost vedlejšího vrcholu od středu elipsy je rovna b. 3. Známe-li ohnisko a tečnu automaticky sestrojíme kolmici na tečnu z ohniska a patu této kolmice. Vzdálenost paty kolmice od středu elipsy je rovna a. Na tečně vždy určíme bod dotyku. 4. Opět je dáno ohnisko a tečna. estrojte kolmici z ohniska na tečnu patu kolmice a také bod souměrně sdružený s ohniskem podle tečny. pojíte-li ho s bodem dotyku budete moci najít druhé ohnisko. 5. Zde nám pomůže vrcholová kružnice která protíná tečnu v patách kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu. Kolmice tedy sestrojíme a na nich budeme hledat ohniska. Vzdálenost ohnisek od středu je rovna e. Nezapomeňte na tečně najít bod dotyku. 6. Úloha bude mít podobný postup. Začneme vrcholovou kružnicí najdeme paty kolmic a kolmice sestrojíme. odem dotyku povedeme rovnoběžku se spojnicí středu elipsy s jednou patou kolmice dostaneme ohnisko. Druhé ohnisko bude souměrné podle středu. 7. Máme dány tři tečny. Můžeme sestrojit na každou z nich kolmici z ohniska. Tyto tři paty kolmic tvoří trojúhelník. Jimi prochází vrcholová kružnice. Její střed je střed elipsy najdeme ho jako střed kružnice opsané trojúhelníku. Na tečnách nezapomeneme sestrojit body dotyku.

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola 1.3. Hyperbola Hyperbola je množina všech bodů v rovině které mají od dvou pevně zvolených různých bodů E konstantní kladný rozdíl vzdáleností a který je menší než vzdálenost bodů E. odová konstrukce hyperboly Podle definice je hyperbola určena dvěma body E a velikostí a. Zvolme si body E jejichž vzdálenost je 64 cm.(viz obr..) estrojme úsečku KL délky a = 5 cm. Před bodem K zvolíme dělicí bod I jehož vzdálenost od krajních bodů úsečky je minimálně 07 cm. Například IK = 38 cm IL = 88 cm. Nyní sestrojíme oblouky kružnic k 1 ( Er = IK ) k ( r = IL ). Pro průsečík M = k 1 k platí: ME M = IL IK = 5 cm = a. od M je bodem hyperboly. Volbou jednoho dělicího bodu I získáme 4 body hyperboly další bod je druhý průsečík kružnic k k 1. Zbývající dva body získáme výměnou poloměrů obou kružnic. Volbou dalších dělicích bodů sestrojíme libovolné množství bodů hyperboly. Na spojnici o 1 bodů E sestrojíme střed úsečky E dále body tak že platí: a = =. od je bodem hyperboly protože E = E E = = a. Podobný vztah platí i pro bod. V bodě sestrojíme přímku o o 1. V hlavním vrcholu sestrojíme kolmici k ose o 1 a na ni naneseme vzdálenost E od středu hyperboly. Tento bod spojíme se středem a dostaneme přímku u. Podobně sestrojíme přímku v která je souměrná podle osy o 1 nebo osy o. 3

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola I K L o k M e b k 1 E a o 1 v u Obr. Popis hyperboly střed a = = délka hlavní poloosy hlavní vrcholy b délka vedlejší poloosy u v asymptoty e = E = excentricita E ohniska EM M průvodiče bodu M o 1 hlavní osa o vedlejší osa Pro abe platí Pythagorova věta: a + b = e. Hyperbola je osově souměrná podle o 1 a o a středově souměrná podle. 4

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Příklad: estrojte hyperbolu jsou-li dána ohniska E hyperboly a její bod M. Určete osy hyperboly střed asymptoty a hlavní vrcholy. o u v M Q E o 1 Obr. 3 Řešení: 1. o1 ;o1 = E. E + ; = střed úsečky E 3. EM M průvodiče bodu M 4. Q; Q EM QM = M 5. 1 a; a = EQ 6. ; o1 o1 = = a 7. u v asymptoty hyperboly (viz bodová konstrukce obr. ). Hyperbolu budeme považovat za určenou budeme-li znát hlavní vrcholy ohniska a asymptoty. 5

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Oskulační kružnice Oskulační kružnice nahrazují hyperbolu v okolí vrcholů. Hlavním vrcholem vedeme rovnoběžku s vedlejší osou o. Průsečíkem rovnoběžky s asymptotou sestrojíme kolmici k asymptotě. Kolmice protíná hlavní osu v bodě O. To je střed oskulační kružnice o která prochází bodem. využitím souměrnosti hyperboly sestrojíme střed O oskulační kružnice o (obr. 4). o u v O O o 1 E o o Obr. 4 6

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s hyperbolou o u L v M E o 1 K Obr. 5 Hyperbola h rozdělí všechny body roviny do tří oblastí: a) M h ME M = a body hyperboly b) K KE K > a vnitřní body hyperboly c) L LE L < a vnější body hyperboly. u q o m v r p U T M E o 1 R t V N Obr. 6 Přímka a hyperbola h mohou mít tuto vzájemnou polohu: a) q h = q u v nesečna obsahuje pouze vnější body hyperboly b) p h = { U V} sečna vnitřní body úsečky UV jsou vnější body hyperboly m h = { M N} sečna vnitřní body úsečky MN jsou vnitřní body hyperboly c) t h = { T} tečna; T je bod dotyku ostatní body jsou vnější d) u v h = asymptoty obsahují pouze vnější body mají vlastnosti tečny e) r h = R rovnoběžka s asymptotou obsahuje vnější i vnitřní body a bod R hyperboly. { } 7

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Tečna hyperboly Tečna hyperboly je přímka která má s hyperbolou společný právě jeden bod T (bod dotyku). Ostatní body této přímky jsou vnější body hyperboly. Věta Tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku. (Vnější úhel průvodičů bodu dotyku je ten který obsahuje bod.) o u v T Q P o 1 E X t Obr. 7 Důkaz: Na hyperbole zvolíme bod T a sestrojíme jeho průvodiče TE T. Osu tohoto úhlu označíme t. Ukážeme že se jedná o tečnu hyperboly v bodě T. Označíme P patu kolmice spuštěné z ohniska na přímku t. od Q je průsečík této kolmice a průvodiče TE. Trojúhelníky Δ TP a Δ QTP jsou podle věty usu shodné a Δ TQ je rovnoramenný. Přímka t je osa souměrnosti tohoto trojúhelníka. Platí: T = QT. Pro bod T platí podle definice hyperboly: a = ET T dosazením rovnosti T = QT dostaneme: a = ET TQ = EQ. Na přímce t zvolíme bod X různý od bodu T. Přímka t je osa úsečky Q. Pak platí X XE = XQ XE. Podle trojúhelníkové nerovnosti v trojúhelníku Δ EXQ platí: XQ XE < QE = a. od X je tedy vnějším bodem hyperboly. Protože jsme tento bod zvolili libovolně je každý bod přímky t mimo bod T vnějším bodem hyperboly. Přímka t je tečna hyperboly. od Q je obrazem bodu v osové souměrnosti s osou t proto se nazývá bod souměrně sdružený s ohniskem podle tečny t. Věty které budou následovat plynou z předchozího tvrzení. 8

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Ohniskové vlastnosti hyperboly g 1 g o u v w Q T P E o 1 t P' Q' Obr. 8 Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem podle všech tečen hyperboly je Věta kružnice g 1 ( Er = a). Podobně množina bodů souměrně sdružených s ohniskem E podle všech tečen hyperboly je kružnice g r = a. ( ) Kružnice g 1 ( Er = a) a g ( r = a) se nazývají řídicí kružnice. Trojúhelníky Δ P a Δ EQ jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je a koeficient k = ). Proto je P EQ a platí že P = EQ = a je tedy P = a. (V trojúhelníku Δ EQ je P střední příčka.) Věta Množina pat kolmic P spuštěných z ohnisek E na všechny tečny hyperboly je kružnice v r = a. ( ) Kružnice v ( r = a) se nazývá vrcholová kružnice. 9

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Příklad: Vnějším bodem R hyperboly veďte tečny k hyperbole která je určena ohnisky a vrcholy. Řešení pomocí řídicí kružnice. g 1 o u v T T' E Q o 1 Q' R t t' k Obr. 9 Řešení: 1. ;g E r a řídicí kružnice ( ) g1 1 =. k( R r R ) k; = 3. Q Q'; g1 k = { Q Q' } body souměrně sdružené s ohniskem podle hledaných tečen 4. t osa úsečky Q t' osa úsečky Q 5. T; QE t = { T} T' ; Q'E t' = T' body dotyku. { } Jiné řešení úlohy je pomocí vrcholové kružnice. Toto řešení neuvádíme můžete si je zkusit sami s využitím podobné úlohy u elipsy. 30

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Příklad: Rovnoběžně se směrem s veďte tečny k hyperbole která je určena ohnisky vrcholy a asymptotami. Řešení pomocí vrcholové kružnice. o s u k t' v w P' T P o 1 E T' t Obr. 30 Řešení: 1. v; v( r = a) vrcholová kružnice. k; k k s 3. P P'; v k = { P P' } paty kolmic spuštěných z ohniska na hledané tečny 4. t; t s P t t' ; t' s P' t' hledané tečny 5. T; T P'T t T' ; T'E P'T' t' body dotyku. Tuto úlohu můžeme řešit také pomocí řídicích kružnic g 1 i g. 31

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Příklad: estrojte hyperbolu znáte-li asymptoty u v a bod M. V řešení použijeme konstrukci a vlastnosti hyperboly které vyplývají z vlastností rovinného řezu rotační kuželové plochy. l u X v K o L a P M b Y E a b o 1 l' Obr. 31 Řešení: estrojíme velikost hlavní poloosy a: 1. ; = u v. o ; osy různoběžek u v hlavní osa leží ve stejném úhlu jako bod M o1 3. KL; KL o M KLK ul v platí vztah 4. l; Thaletova půlkružnice nad KL 5. X; LX KL X l R KM LM = a 6. a; a = MX ke konstrukci jsme použili Eukleidovu větu o odvěsně. estrojíme velikost vedlejší poloosy b: 1. ; = u v. o ; osy různoběžek u v hlavní osa leží ve stejném úhlu jako bod M o1 3. PR; PR o1m PRP vr u platí vztah 4. l'; Thaletova půlkružnice nad PR 5. Y; MY PR Y l' PM RM = b 6. b; b = MY ke konstrukci jsme použili Eukleidovu větu o výšce. 3

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Úkoly k řešení 1. estrojte hyperbolu znáte-li její ohniska E a jednu její tečnu t.. estrojte hyperbolu znáte-li její hlavní osu o 1 ohnisko E a tečnu t s bodem dotyku T. 3. estrojte kuželosečku znáte-li její ohnisko E její tečny tt' a velikost hlavní poloosy a. 4. estrojte hyperbolu znáte-li její ohnisko její tečnu t a asymptotu u. Pokuste se úlohy vyřešit samostatně použijte vlastnosti hyperboly které jste si osvojili v předchozím textu. Předpokládejte že úloha je vyřešena tzn. nakreslete si hotovou hyperbolu vyznačte v ní zadané prvky a doplňte další které se dají sestrojit. Hledejte v konstrukci další prvky hyperboly abyste mohli určit její ohniska vrcholy asymptoty a na tečnách body dotyku. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je. 33

1. KUŽELOEČKY 1.3. Hyperbola Nápověda 1. Najdeme osy a střed hyperboly. Z ohnisek spustíme kolmice na tečnu najdeme paty kolmic a body souměrně sdružené. Získáme a a na tečně bod dotyku.. Z ohniska spustíme kolmici na tečnu najdeme patu kolmice a bod souměrně sdružený. pojnice tohoto bodu s bodem dotyku protíná osu v druhém ohnisku. 3. pustíme kolmice z ohniska na obě tečny a najdeme paty kolmic. Vzdálenost středu kuželosečky od pat kolmic je rovna velikosti hlavní poloosy. třed je průsečík kružnic které mají poloměr a a střed v patách kolmic. (Podle počtu průsečíků těchto kružnic máme dvě jedno nebo žádné řešení výsledkem může být i elipsa.) 4. Na asymptotu se díváme jako na tečnu. Vedeme tedy kolmice z ohniska k tečně a asymptotě. Dostaneme paty kolmic P P' střed hyperboly je průsečík osy úsečky PP' a asymptoty. 34

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola 1.4. Parabola Parabola je množina všech bodů v rovině které mají od zvolené přímky d a zvoleného bodu který na přímce d neleží stejnou vzdálenost. odová konstrukce paraboly Zvolíme bod a přímku d bodem vedeme kolmici o k přímce d. Průsečík přímek o a d označíme D. Na přímce o zvolíme bod X a sestrojíme bod M paraboly jehož vzdálenost od bodu i od přímky d je rovna velikosti úsečky DX. Množina bodů které mají od bodu vzdálenost DX je kružnice se středem a poloměrem DX. Množina bodů které mají od přímky d vzdálenost DX jsou dvě rovnoběžky s přímkou d. Použijeme rovnoběžku která leží v polorovině d. Průsečík kružnice s rovnoběžkou je bod M. Touto konstrukcí získáme dva body paraboly. třed V úsečky D splňuje definici a je tedy bodem paraboly. d Q M Popis paraboly D V X o d řídicí přímka ohnisko V vrchol o osa p = d = D parametr QM M průvodiče bodu M bod Q je pata kolmice spuštěné z bodu M na řídicí přímku d Obr. 3 Parabola je nestředová kuželosečka je osově souměrná pouze podle své osy o. 35

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Příklad: estrojte parabolu je-li dáno ohnisko paraboly její bod M a osa o. Určete řídicí přímku a vrchol paraboly. d Q V M V' k Q ' o Řešení: k; k M r = M 1. ( ). Q Q';QQ' kqq' o M QQ' 3. d; d o Q d d' ; d' o Q' d' řídicí přímka 4. 1 1 V V'; V = d V' = d' vrcholy parabol. d' Obr. 33 Parabolu budeme považovat za určenou budeme-li znát vrchol ohnisko a řídicí přímku. Oskulační kružnice Oskulační kružnice nahrazuje parabolu v okolí vrcholu. d Poloměr oskulační kružnice je roven o V parametru. třed O leží na ose paraboly ve vzdálenosti p od vrcholu V. V O o Obr. 34 36

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Vzájemná poloha bodů a přímek roviny s parabolou d Q M N Parabola rozdělí všechny body roviny do tří oblastí: a) M Md = M body paraboly b) N Nd > N vnitřní body paraboly V o c) L Ld < L vnější body paraboly. L Obr. 35 d V T u r t V U s o Přímka a parabola p mohou mít tuto vzájemnou polohu: a) u p = nesečna obsahuje pouze vnější body paraboly b) r p = { UV' } sečna vnitřní body úsečky UV' jsou vnitřní body paraboly c) t p = { T} tečna; T je bod dotyku ostatní body jsou vnější d) o p = { V} s p = { } osa a všechny rovnoběžky s osou obsahují vnější i vnitřní body a bod paraboly V. Obr. 36 37

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Tečna paraboly Tečna paraboly je přímka která má s parabolou společný právě jeden bod T (bod dotyku). Ostatní body této přímky jsou vnější body paraboly. Věta Tečna půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku. (Vnější úhel průvodičů bodu dotyku je ten který obsahuje vrchol V.) d Q v T t P V o X R Obr. 37 Důkaz: Na parabole zvolíme bod T a sestrojíme jeho průvodiče T TQ. Osu vnějšího úhlu průvodičů bodu T označíme t. Ukážeme že se jedná o tečnu paraboly v bodě T. Označíme P patu kolmice spuštěné z ohniska na přímku t. od Q je průsečík kolmice P a řídicí přímky d. Trojúhelníky Δ TP a Δ QTP jsou podle věty usu shodné. Trojúhelník Δ TQ je rovnoramenný a přímka t je osou souměrnosti tohoto trojúhelníka. Na přímce t zvolíme bod X různý od bodu T. Přímka t je osa úsečky Q pak platí X = XQ. V pravoúhlém trojúhelníku Δ XRQ bod R je průsečík kolmice vedené z bodu X k přímce d je přepona XQ větší než odvěsna XR. od X je tedy vnějším bodem paraboly. Protože jsme tento bod zvolili libovolně je každý bod přímky t mimo bod T vnějším bodem paraboly. Přímka t je tečna paraboly. od Q je obrazem bodu v osové souměrnosti s osou t proto se nazývá bod souměrně sdružený s ohniskem podle tečny t. Věty které budou následovat plynou z předchozího důkazu. 38

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Ohniskové vlastnosti paraboly d v t Q T P D V o Obr. 38 Věta Množina bodů Q souměrně sdružených s ohniskem podle všech tečen paraboly je řídicí přímka d. Trojúhelníky Δ DQ a Δ VP jsou stejnolehlé (střed stejnolehlosti je a koeficient k = 1 ) proto je VP DQ. VP je vrcholová tečna paraboly. Věta Množina pat kolmic P spuštěných z ohniska na všechny tečny paraboly je vrcholová tečna v. 39

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Příklad: Vnějším bodem R paraboly veďte tečny k této parabole která je určena ohniskem a řídicí přímkou. d k R Q Q' V T' T t o Řešení: 1. k; k( R r = R ). Q Q';d k = { Q Q' } body souměrně sdružené s ohniskem podle hledaných tečen 3. t osa úsečky Q t' osa úsečky Q 4. T; QT t = { T } QT d T' ; Q'T' t' = { T' }Q'T' d body dotyku. t' Obr. 39 Příklad: Rovnoběžně se směrem s veďte tečny k parabole která je určena ohniskem a řídicí přímkou. l d v s t Q P V T o Řešení: 1. l; l l s. Q; l d = Q bod souměrně sdružený s ohniskem podle hledané tečny 3. t; t s osa úsečky Q hledaná tečna 4. T; QT t = { T } QT d bod dotyku. Obr. 40 40

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Normála paraboly Normála paraboly je kolmice na tečnu paraboly v bodě dotyku. Normálu značíme n. d v n t Q T P K D V L N o Označíme: K = t o N = n o L; TL o L o. Obr. 41 Úsečku KL nazýváme subtangenta bodu T. Úsečku LN nazýváme subnormála bodu T. Věta ubtangenta je půlena vrcholem. Velikost subnormály je rovna parametru. oučet subtangenty a subnormály je půlen ohniskem. Důkaz: Protože Δ KP je podle věty usu shodný s Δ TPQ je KTQ kosočtverec. Trojúhelníky Δ KDQ a Δ LT jsou proto shodné a tedy KD = L. Protože DV = V je bod V středem subtangenty KL. Trojúhelníky Δ QD a Δ TLN jsou shodné a tedy LN = D = p. Protože KD = L a LN = D je bod střed úsečky KN. 41

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Příklad: estrojte parabolu znáte-li dvě její tečny s body dotyku t + T t' + T'. ( t t' nejsou kolmé.) Řešení: T + T' 1. ; = t d. R; t t' = { R} Q l T 3. o' ; o' = R R Q' l' V f' T' f Obr. 4 t' o' o 4. l; l o' T l l' ; l' o' T' l' průvodiče bodů dotyku 5. f; l f v osové souměrnosti s osou t f' ; l' f' v osové souměrnosti s osou t' 6. ; f f' = {} 7. o; o o' o 8. Q Q' body souměrné s ohniskem podle tečen 9. d; d = Q Q'. Konstrukce směru osy v předchozí úloze nevyplývá z ohniskových vlastností paraboly. 4

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Úkoly k řešení 1. estrojte parabolu znáte-li její řídicí přímku d a dva body M M' paraboly.. estrojte parabolu znáte-li její ohnisko a dva body M M' paraboly. 3. estrojte parabolu znáte-li její ohnisko a její tečnu t s bodem dotyku T. 4. estrojte parabolu znáte-li její osu o a tečnu t s bodem dotyku T. Pokuste se úlohy vyřešit samostatně použijte vlastnosti paraboly které jste si osvojili v předchozím textu. Předpokládejte že úloha je vyřešena tzn. nakreslete si parabolu vyznačte v ní zadané prvky a doplňte další které se dají sestrojit. Hledejte v konstrukci další prvky paraboly abyste mohli určit její ohnisko vrcholřídicí přímku a na tečnách body dotyku. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je. 43

1. KUŽELOEČKY 1.4. Parabola Nápověda 1. Ohnisko má od bodu M stejnou vzdálenost jakou má bod M od řídicí přímky d. Rovněž vzdálenost ohniska od bodu M' je rovna vzdálenosti tohoto bodu od řídicí přímky.. Podobně jako v předchozím příkladě je vzdálenost řídicí přímky od bodů M M' stejná jako vzdálenost těchto bodů od ohniska. Řídicí přímku sestrojíme jako společnou tečnu dvou kružnic. 3. a) Pomocí ohniskových vlastností paraboly. estrojíme bod Q souměrně sdružený s ohniskem podle tečny. Průvodič TQ je rovnoběžný s osou. b) Pomocí vlastností subtangenty a subnormály. estrojíme normálu v bodě T. Kružnice se středem v ohnisku a o poloměru T je Thaletova kružnice nad součtem subtangenty a subnormály. 4. a) Pomocí vlastností subtangenty a subnormály. estrojíme normálu v bodě T. Na ose získáme součet subtangenty a subnormály. b) Pomocí ohniskových vlastností paraboly. estrojíme průvodiče bodu T. Jeden je rovnoběžný s osou druhý je s ním souměrný podle tečny t. 44

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh 1.5. Výsledky Jestliže se vám nepodařilo vyřešit úlohy samostatně ani s nápovědou zde najdete podrobný návod. Pro ty kteří úlohy vyřešili je zde kontrola. amozřejmě že se některé úlohy dají řešit více postupy. To že se váš postup neshoduje s naším nemusí znamenat že ho máte špatně. Úkoly k řešení elipsa (zadání na straně 1) Úloha 1 Q k M C O o 1. ao1 ;o1 = E. ; o1 E = 3. k( M r ME ) k; = 4. M 5. Q; Q = M k 6. + Q O; O = střed úsečky Q 7. a; a = O E o 1 8. ; o1 = = a 9. o;o o1 o 10. C D;C D o EC = ED = a. D Kružnice k protíná přímku M ve dvou bodech pro druhý průsečík neplatí definice elipsy. Úloha má tedy jediné řešení. 45

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha Th E o' 1 ' O o C k o' o 1 1. EC. E + C O; O = střed úsečky EC Th; Th O r = OC 3. ( ) 4. k; k( C r = b) 5. ';Th k = { ' } 6. o1 ;o1 = E o' 1 ;o' 1 = E' 7. o;o o1 o o' ;o' o' 1 ' o' ' ' o 8. a; a = EC D' Th E ' O C k o' o 1 9. ; o1 = = a ' '; ' ' o' 1 '' = '' = a 10. C D;C D o EC = ED = a C' D';C' D' o' EC' = ED' = a. ' o' 1 D Počet řešení závisí na počtu společných bodů kružnic k a Th. Je-li EC > b pak má úloha dvě řešení. Je-li EC < b pak má úloha nemá řešení. Je-li EC = b pak se nejedná o elipsu. 46

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 3 E o C P r T t o 1 1. o1 ;o1 = E. E + ; = střed úsečky E 3. r; r t E r P; t r = P 4. { } 5. v( r P ) v; = 6. ;o1 v = { } 7. o;o o1 o 8. C D;C D o EC = ED = a v 9. T; T t T P. D Úloha 4 E t o P C D r T v Q o 1 1. r; r t E r P; t r = P. { } 3. Q; Q r PQ = EP 4. TQ 5. ; o 1 QT = { } 6. E + ; = střed úsečky E v; v r = P 7. ( ) 8. ;o1 v = { } 9. o;o o1 o 10. C D;C D o EC = ED = a. 47

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 5 r o o' 1 P o' ' E' T' C T C' t E o 1 D' k D ' ' v ( ) 1. v; v r = a. P; t v = {} P 3. r; r t P r 4. k; k( r = e) 5. E E';r k = { E E' } 6. o1 ;o1 = E o' 1 ;o' 1 = E' 7. o;o o1 o o' ;o' o' 1 o' 8. ;o1 v = ' ';o' 1 v = ' ' { } { } 9. C D;C D o EC = ED = a C' D';C' D' o' E'C' = E'D' = a {} { } 10. ; o 1 k = ' ;o' 1 k = ' 11. T; T t T P T' ; T' t 'T' P. Počet řešení závisí na počtu společných bodů kružnice k a přímky r. Je-li přímka r sečna kružnice k pak má úloha dvě řešení. Je-li přímka r tečna kružnice k pak má úloha jedno řešení. Je-li přímka r nesečna kružnice k pak úloha nemá řešení. 48

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 6 o P r C T P' r' E o 1 t v D ( ) 1. v; v r = a. P P'; t v = { P P' } 3. r; r t P r r' ; r' t P' r' 4. P 5. ; r' T P 6. o1 ;o1 = 7. E; r o = 1 { E} 8. o;o o1 o 9. ;o1 v = { } 10. C D;C D o EC = ED = a. 49

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 7 o r' r P' t C P T T' E t' o 1 t'' P'' T'' D v r'' 1. r r' r''; r t E r r' t' E r' r'' t'' E r' '. P P' P''; r t = {} P r' t' = { P' } r'' t'' = { P'' } 3. střed kružnice opsané trojúhelníku Δ PP' P' ' sestrojíme ho tedy jako průsečík os stran PP' PP'' 4. ;o E o1 1 = 5. ; o1 E = 6. v; v( r P = a) = { } 7. ;o1 v = 8. o ;o o 1 o 9. C D;C D o EC = ED = a 10. T T' T''; T t T P T' t' T' P' T'' t'' T'' P''. 50

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úkoly k řešení hyperbola (zadání na straně 33) Úloha 1 o u v w Q T P E o 1 t P' Q' 1. o1 ; o1 = E. E + ; = 3. o; o o1 o 4. P; P t P t 5. EP' ; EP' t P' t 6. w; w( r P = a) = { } 7. ;o1 w = 8. Q; Q P PQ = P 9. T; T = EQ t 10. u v asymptoty. 51

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha o u v w T E o 1 t P Q 1. EP; EP t P t. Q; Q EP PQ = EP 3. ; = TQ o 1 4. P; P t P t 5. E + ; = 6. o ; o o 1 o 7. w; w( r P = a) = { } 8. ;o1 w = 9. u v asymptoty. 5

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 3 u t' o h v w e P' w h l' o e C e T h o e 1 e E h e h T' e e e h h o h 1 T e D e l P t T' h 1. EP; EP t P t. EP' ; EP' t' P' t' 3. l; l( P r = a) 4. l' ; l' ( P' r = a) HYPEROL ELIP 5. h h ; = l l' 5. e e ; = l l' 6. h h h e e e o 1 ; o1 = E 6. o 1; o1 = E h h h h h e e e e e 7. o ; o o1 o 7. o ; o o1 o h h h e e e 8. w ; w ( r = a) 8. w ; w ( r = a) h h 9. { e e ;o1 w = } 9. ;o e e { 1 w = } h h h h h h h e e e e e e e 10. ; o1 = E 10. ; o1 = E 11. u v asymptoty. e e e e e e e 11. C D ; C D o C E = D E = a. 53

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 4 o u v w Q T P E o 1 P' s t 1. P; P t P t. P' ; P' u P' u 3. s; s PP' osa úsečky PP 4. ; = s u 5. o1 ; o1 = 6. o ; o o 1 o 7. w; w( r P = a) = { } 8. ;o1 w = 9. E; E o1 E = 10. v asymptota 11. Q; Q P PQ = P 1. T; T = EQ t. 54

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úkoly k řešení parabola (zadání na straně 43) Úloha 1 Q d V V' M ' k o' o k' 1. Q; Q d MQ d. Q' ;Q' d M'Q' d 3. k; k( M r = MQ ) 4. ;k'( M' r M'Q' ) k' = 5. ; k k' = { } 6. o; o d o 7. 1 V; V = d. Q' M' V závislosti na počtu průsečíků kružnic k k' dostaneme jedno dvě nebo žádné řešení úlohy. Úloha d m d' Q V M V' Th Q'' o' o 1. m; m( Mr = M ). ;m'( M'r M' ) m' = 3. dd' společné tečny kružnic mm' 4. o; o d o 5. o' ; o' d' o' 6. 1 1 V V'; V = d V' = d'. Q' T t M' m'' T' t' Q''' m' Úloha má dvě řešení. V případě že kružnice mají vnitřní dotyk se nejedná o parabolu. (Řídicí přímka by procházela ohniskem.) Ke konstrukci společných tečen dvou kružnic využijeme stejnolehlosti nebo posunutí (viz obr.). 55

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 3 a) d v t Q D P V T o 1. P; P tp t. Q; Q P QP = P 3. d; Q dd TQ 4. o; oo d 5. 1 V; V = d. b) K d D v V T L t Th N o 1. n; n tt n. Th( r T ) Th; = 3. K; t Th = { K} 4. N; n Th = { N} 5. o; o = KN 6. L; L otl o 7. L + K V; V = 8. D; D o VD = V 9. d; D dd o. n 56

1. KUŽELOEČKY 1.5. Výsledky úloh Úloha 4 d v t Q T P K D V L N n o 1. n; n tt n. K; t o = { K} 3. N; n o = { N} 4. L; L otl o 5. L + K V; V = 6. N + K ; = 7. D; D o VD = V 8. d; D dd o. Uvedli jsme řešení pomocí subtangenty a subnormály. Druhé řešení je zřejmé z obrázku. 57

. KOLINECE.1. Nevlastní prvky. Kolineace.1. Nevlastní prvky Nevlastní bod přímky p q V U X=X' V' ' q' U' p' Obr. 43 Mějme dány různoběžky p p' a bod který neleží na žádné z nich. odům přímky p přiřadíme body přímky p' tak aby spojnice odpovídajících si bodů procházela bodem. tejně přiřadíme bodům přímky p' body přímky p. Promítáme-li z bodu bod přímky p na přímku p' zobrazí se jako ' ; ' = p'. (Viz obr. 43.) Chceme-li takto promítnout bod U přímky p na přímku p' zjistíme že spojnice U je s přímkou p rovnoběžná a neprotíná přímku p v žádném bodě neexistuje tedy průmět bodu U na přímku p'. Podobně chceme-li zobrazit bod V' přímky p' na přímku p je spojnice V' rovnoběžná s přímkou p a hledaný průmět neexistuje. Zavedeme tedy pojem nevlastní bod přímky a problém s neexistujícími obrazy bude vyřešen. V Nevlastním bodem přímky rozumíme množinu všech spolu rovnoběžných přímek tedy směr (obr. 44). Obr. 44 od U přímky p se zobrazí do nevlastního bodu přímek p' q'. Označíme ho U'. Podobně nevlastní bod V přímek p q se zobrazí do vlastního bodu V' přímky p'. 58

. KOLINECE.1. Nevlastní prvky Příklad: Mějme dány různoběžky p p' a bod který neleží na žádné z nich. Na přímce p jsou dány body C D (viz obr. 44). estrojte jejich obrazy obraz průsečíku přímek p p' a obrazy úseček CD U C. p V D' D U X=X' C' V' ' U' C ' p' Obr. 45 Řešení: 1. ' ; ' = p' podobně body ' C' D'. X' ; X' = X = p p' samodružný bod 3. U' ; obraz bodu U 4. V' ; obraz bodu V 5. obrazem úsečky je úsečka ' ' 6. obrazem úsečky CD je úsečka C'D' 7. obrazem úsečky U je polopřímka ' ' 8. obrazem úsečky C není úsečka ' C' ale polopřímky ' ' a C' D'. Protože bod U leží mezi body C bude U' ležet mezi body ' C'. Proto se obraz úsečky C roztrhne na dvě polopřímky. 59

. KOLINECE.1. Nevlastní prvky Nevlastní přímka roviny a b α U a' V α' b' Obr. 46 Jsou dány rovnoběžné roviny α α'. V rovině α zvolíme dvě různoběžky a b v rovině α ' sestrojíme přímky a' b' tak že a a' a b b'. Přímky a a' mají společný nevlastní bod U a přímky b b' mají společný nevlastní bod V. Tyto nevlastní body určují nevlastní přímku rovin α α'. Nevlastní přímkou roviny rozumíme množinu všech spolu rovnoběžných rovin tedy dvojsměr (obr. 46). 60

. KOLINECE.. tředová kolineace v prostoru.. tředová kolineace v prostoru V α a U U' a' α' ' I o V' ' Obr. 47 Jsou dány různoběžné roviny α α' a bod který v žádné z nich neleží. Uvažujme zobrazení které bodům roviny α přiřadí body roviny α' tak že spojnice odpovídajících si bodů prochází bodem. Na obr. 47 je bodu přiřazen bod ' bodu přiřazen bod '. ody určují přímku a roviny α jejím obrazem v rovině α' je přímka a' určená body ' '. Roviny α α' se protínají v přímce o. odem se přímka o zobrazuje sama na sebe stejně se zobrazí sám na sebe každý její bod. Na obr. 47 je bod I průsečík přímky o a přímky a. Zobrazí se sám na sebe a přímka a' jím tedy prochází. Odpovídající si přímky a a' se protínají na přímce o. Hledáme-li obraz bodu U přímky a jehož spojnice U je rovnoběžná s přímkou a' dostaneme nevlastní bod U' přímky a'. Hledáme-li obraz nevlastního bodu V přímky a vedeme bodem rovnoběžku s a. Její průsečík V' s přímkou a' je hledaný bod. 61

. KOLINECE.. tředová kolineace v prostoru V α η U u μ U' α' ' I o v' V' ' Obr. 48 Tak jako jsme v obr. 47 vedli bodem rovnoběžku s přímkou a' povedeme nyní bodem rovinu μ rovnoběžně s rovinou α'. Průsečnice u rovin α a μ se zobrazí bodem do nevlastní přímky roviny μ. Obdobně povedeme bodem rovinu η rovnoběžně s rovinou α. Průsečnice v' rovin α ' a η je obrazem nevlastní přímky roviny η. Výše popsané zobrazení se nazývá středová kolineace v prostoru. od nazýváme střed kolineace přímku o nazýváme osa kolineace. Přímky u a v' se nazývají úběžnice. Každý bod U přímky u se nazývá úběžník. Každý bod V' přímky v' se také nazývá úběžník. 6

. KOLINECE.. tředová kolineace v prostoru Typy kolineací Kolineace je dána dvěma různými rovinami a středem který v žádné z nich neleží. Podle toho jsou-li roviny různoběžné nebo rovnoběžné a je-li střed vlastní či nevlastní bod dostáváme následující možnosti. α s α C o C C' o ' ' ' α' α' ' C' Obr. 49a Obr. 49b Různoběžné roviny a vlastní střed středová kolineace (viz obr. 49a). Různoběžné roviny a nevlastní střed (směr) osová afinita (viz obr. 49b). α C α s C α' ' ' C' α' ' ' C' Obr. 49c Obr. 49d Rovnoběžné roviny a vlastní střed prostorová stejnolehlost (viz obr. 49c). Rovnoběžné roviny a nevlastní střed (směr) prostorové posunutí (viz obr. 49d). 63

. KOLINECE.. tředová kolineace v prostoru Osová afinita v prostoru a α s b I II o ' ' a' b' α' Obr. 50 V osové afinitě je s směr afinity a přímka o = α α' je osa afinity. Odpovídající si body leží na přímkách rovnoběžných se směrem afinity. Odpovídající si přímky se protínají na ose o. Obrazem rovnoběžek jsou rovnoběžky. (Viz obr. 50.) 64

. KOLINECE.3. tředová kolineace v rovině.3. tředová kolineace v rovině tředovou kolineaci v rovině získáme rovnoběžným promítnutím středové kolineace v prostoru do roviny. o D C III C' ' II I IV ' D' Obr. 51 tředová kolineace je dána středem osou o a párem odpovídajících si bodů ' jejichž spojnice prochází bodem. K obdélníku CD sestojíme kolineární čtyřúhelník ''C' D'. (Rovnoběžnost se nezachovává.) Při konstrukci použijeme následující vlastnosti kolineace: odpovídající si přímky se protínají na ose kolineace spojnice odpovídajících si bodů procházejí středem kolineace. Popis konstrukce: 1. I; I = C o samodružný bod. C ' I 3. C' ; C' = C 'I 4. II; II = o 5. ' II 6. ' ; ' = ' II 7. III; III = CD o 8. D C' III od D' jsme mohli také sestrojit pomocí 9. D' ; D' = D C'III přímky D a jejího samodružného bodu IV. 10. ''C'D'. 65

. KOLINECE.3. tředová kolineace v rovině Příklad: tředová kolineace je dána osou o středem a párem odpovídajících si bodů ' jejichž spojnice prochází bodem. Najděte obě její úběžnice p V V U X=X' V' u o v' ' p' U' U' Obr. 5 Řešení: 1. p; p p o libovolně zvolená přímka. p' ; ' p' p' o = p o = X obraz přímky p 3. U' 4. U; U = U' p úběžník přímky p 5. V 6. V' ; V' = V p' úběžník přímky p' 7. u; U u u o úběžnice 8. v' ; V' v' v' o úběžnice. Rovnoběžným promítnutím prostorové středové kolineace (viz obr. 48) do roviny se zachovává rovnoběžnost. Úběžnice u v' jsou proto rovnoběžné s osou o. Dá se dokázat že platí: vzdálenost jedné úběžnice od osy kolineace je stejná jako vzdálenost druhé úběžnice od středu kolineace. 66

. KOLINECE.3. tředová kolineace v rovině Úkoly k řešení 1. Mějme dánu středovou kolineaci osou o středem a úběžnicí u. K trojúhelníku C sestrojte kolineární trojúhelník ''C' jestliže a) trojúhelník C nemá s úběžnicí u žádný společný bod b) trojúhelník C má s úběžnicí u společný vrchol C c) strana C trojúhelníku C leží na úběžnici u d) úběžnice u protíná hranici trojúhelníka C ve dvou libovolných bodech různých od vrcholů. Pokuste se úlohy vyřešit samostatně pomoc hledejte v předchozím textu. Potřebujete k úlohám nápovědu? Tady je. 67

. KOLINECE.3. tředová kolineace v rovině Nápověda 1. a) třed kolineace spojíme s úběžníkem U jedné strany trojúhelníka samodružným bodem této strany vedeme rovnoběžku s U. Na ní sestrojíme kolineární body třetí vrchol sestrojíme pomocí samodružného bodu některé strany trojúhelníka. b) třed kolineace spojíme s úběžníkem C samodružným bodem strany C vedeme rovnoběžku s C. Na ní sestrojíme kolineární body třetí vrchol sestrojíme pomocí samodružného bodu některé strany trojúhelníka. Obrazem trojúhelníka není trojúhelník! c) třed kolineace spojíme s úběžníkem C samodružným bodem strany C vedeme rovnoběžku s C. Na ní sestrojíme kolineární body. třed kolineace spojíme s úběžníkem bodem ' vedeme rovnoběžku s. Obrazem trojúhelníka není trojúhelník! d) třed kolineace spojíme s úběžníkem U jedné strany trojúhelníka samodružným bodem této strany vedeme rovnoběžku s U. Na ní sestrojíme kolineární body třetí vrchol sestrojíme pomocí samodružného bodu některé strany trojúhelníka. Obrazem trojúhelníka není trojúhelník! 68

. KOLINECE.4. Osová afinita v rovině.4. Osová afinita v rovině Je-li ve středové kolineaci v rovině střed nevlastní mluvíme o osové afinitě v rovině. finita je určena osou o a párem odpovídajících si bodů '. Přímka s = ' je směr afinity. C o IV I II III D ' D' s ' C' Obr. 53 Osová afinita je dána osou o a párem odpovídajících si bodů '. Jejich spojnice je směr afinity s. K rovnoběžníku CD sestojíme afinní čtyřúhelník ''C' D'. Při konstrukci použijeme následující vlastnosti afinity: odpovídající si přímky se protínají na ose afinity spojnice odpovídajících si bodů jsou rovnoběžné se směrem afinity rovnoběžnost se zachovává. Popis konstrukce: 1. I; I = D o samodružný bod. 'I 3. D' ; D' 'I DD' s 4. II; II = o 5. 'II 6. ' ; ' 'II ' s 7. III; III = CD o 8. D'III 9. C' ;C' D'III CC' s 10. ''C'D'. od C' jsme mohli také sestrojit pomocí přímky C a jejího samodružného bodu IV. Také lze bod C' získat doplněním ' ' D' na rovnoběžník ''C' D'. 69

. KOLINECE.4. Osová afinita v rovině Příklad: Osová afinita je dána osou o. estrojte směr afinity s tak aby obrazem rovnoběžníka CD byl čtverec ''C' D' čtverec sestrojte. o V ' ' Th I D III D' II k s C' C IV Obr. 54 Ve čtverci jsou strany k sobě kolmá a úhlopříčka svírá se stranou čtverce úhel 45. Řešení: 1. I; I = CD o. II; II = D o 3. III; III = D o 4. Th Thaletova kružnice nad průměrem I II 5. k kružnice jako množina bodů ze kterých je úsečka II III vidět pod úhlem 45 6. D' ; D' = Th k 7. s; s = DD' směr afinity 8. ' ; ' D'II ' s 9. C' ;C' D'I CC' s 10. ' ; ' D'III ' s. 70

. KOLINECE.4. Osová afinita v rovině Příklad: Osová afinita je dána osou o a párem odpovídajících si bodů kružnici o středu a poloměru r její afinní obraz. '. estrojte ke Th h III C O II C' v D ' IV I ' o s D' v' ' h' Obr. 55 Obrazem kružnice bude elipsa. V kružnici si zvolíme dva kolmé průměry jejich afinním obrazem budou sdružené průměry elipsy tu sestojíme Rytzovou konstrukcí. Nebo se pokusíme najít v kružnici takové kolmé průměry aby jim odpovídaly osy elipsy. Osy jsou k sobě kolmé stejně jako průměry v kružnici leží proto střed kružnice i elipsy na stejné Thaletově kružnici. Ta prochází samodružnými body kolmých průměrů. Řešení: 1. I II samodružné body kružnice. s osa úsečky ' 3. O; O = s o 4. Th; Th( O r = O ) 5. III IV;Th o = { III IV} 6. v; v = III v' ; v' = ' III h; h = IV h' ; h' = ' IV h' v' osy elipsy 7. C D průsečíky přímek h v s kružnicí 8. ' 'C'D' afinní obrazy bodů C D jsou vrcholy hledané elipsy. 71

. KOLINECE.4. Osová afinita v rovině Příklad: estrojte průsečíky přímky s elipsou. o v' C' p' X' C K' p X K E I o 1 L D L' D' Obr. 56 Existuje afinní vztah mezi elipsou a vrcholovou kružnicí elipsy. Osou této afinity je hlavní osa elipsy směr afinity je k ose kolmý. Řešení: 1. v' ; v' ( r = ) vrcholová kružnice elipsy. C' ;C' = v' o obraz bodu C v afinitě 3. I; I = p o 1 4. X; X p 5. X' obraz bodu X 6. p' ; p' = X' I 7. K' L'; v' p' = { K'L' } 8. K L obrazy bodů K' L' - hledané průsečíky přímky s elipsou. 7