Po etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2

Transkript

1 Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t te p eponu c v trojúhelníku s odv snami a = 3 cm, b = 4 cm. c = c = 5 c = 5 cm P íklad : Jak daleko od svislé st ny je pata ºeb íku dlouhého 8 m, který je op ený o st nu ve vý²ce 6 m? x = 8 6 x = 8 x = 8 m 5, 3 m ƒtverec ƒtverec je pravoúhlý rovnob ºník, má 4 shodné strany, dv na sebe kolmé shodné úhlop í ky, které se protínají v t ºi²ti a navzájem se p lí, t ºi²t je st edem soum rnosti tverce, úhlop í ka p lí úhel u vrcholu. ƒtverci se dá opsat i vepsat kruºnice. Obvod tverce: O = 4a [jednotky délky] Obsah tverce: S = a [jednotky plochy] Délka úhlop í ky: u = a = a P íklad 3: Vypo t te délku strany tverce, jehoº úhlop í ka má délku 6 cm. u = a + a a = u 6 a = cm 4, cm P íklad 4: Vypo t te obsah tverce o obvodu 0 cm. O = 4a a = O 4 = 5 cm S = a (= ( O 4 ) = O 16 ) S = 5 cm = 5 cm Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014

2 Obdélník Obdélník je pravoúhlý rovnob ºník, má dv shodné úhlop í ky, které se protínají v t ºi²ti a navzájem se p lí, obecn nejsou na sebe kolmé. Úhlop í ky jsou shodné, ale nejsou na sebe kolmé. Obdélníku se dá opsat kruºnice, ale nemá kruºnici vepsanou. ƒtverec je zvlá²tním p ípadem obdélníka. Obvod obdélníka: O = (a + b) [jednotky délky] Obsah obdélníka: S = a b [jednotky plochy] Délka úhlop í ky: u = a + b P íklad 5: Jaký obsah má tverec, který má stejný obvod jako obdélník o stranách a = 8 cm, b = 1 cm? Obvod obdélníka: O 1 = (a + b) O 1 = (8 + 1) = 40 cm Obvod tverce: O = 4a O 1 = O 4a = 40 a = 10 cm Obvod tverce: S = a S = 10 S = 100 cm P íklad 6: Vypo t te délky stran obdélníka o obsahu 00 cm, jestliºe jsou v pom ru a : b = 1 :. Obsah obdélníka: S = ab a b = 1 b = a S = a a = a 00 = a a = 100 a = 10 cm, b = 0 cm. Trojúhelník Trojúhelník má t i strany. Pro jejich velikost platí trojúhelníková nerovnost: sou et velikostí dvou stran je v t²í neº velikost t etí strany. Trojúhelník má t i vnit ní úhly. Sou et v²ech vnit ních úhl je 180. V závislosti na velikostech stran a úhl lze trojúhelníky rozd lit na obecné (v²echny t i strany i úhly r zné), rovnoramenné (dv shodné strany, dva shodné úhly), rovnostranné (t i shodné strany, t i shodné úhly), ostroúhlé (kaºdý úhel men²í neº 90 ), pravoúhlé (jeden pravý úhel, dva ostré úhly), tupoúhlé (jeden úhel v t²í neº 90 ). Trojúhelník má t i vý²ky, t i t ºnice a t i st ední p í ky. Vý²ka trojúhelníka je kolmice spu²t ná z vrcholu na prot j²í stranu. V²echny t i vý²ky se protínají v jednom bod (ortocentru). V ostroúhlém trojúhelníku je ortocentrum uvnit, v tupoúhlém vn. Ortocentrum pravoúhlého trojúhelníka je ve vrcholu, u kterého je vnit ní úhel o velikosti 90. T ºnice trojúhelníka je spojnice vrcholu a st edu prot j²í strany. T ºnice se protínají v t ºi²ti. T ºi²t se nikdy nenachází vn trojúhelníka. T ºi²t d lí t ºnici v pom ru 1 :. U rovnostranného trojúhelníka splývá t ºi²t s ortocentrem, pr se íkem os vnit ních úhl a pr se íkem os stran. St ední p í ka trojúhelníka je spojnice st ed jeho stran. Kaºdá st ední p í ka je rovnob ºná s jednou stranou trojúhelníka a její velikost je polovinou p íslu²né strany. Trojúhelníku se dá opsat i vepsat kruºnice. St ed kruºnice opsané je v pr se íku os stran, st ed kruºnice vepsané je v pr se íku os vnit ních úhl. Obvod trojúhelníka o stranách a, b, c: O = a + b + c [jednotky délky] Obsah trojúhelníka o stran a a vý²ce v a na stranu a: S = a v a [jednotky plochy] P íklad 7: Rovnoramenný trojúhelník má základnu a = 1 cm a ramena b = c = 10 cm. Ur ete velikost vý²ky na stranu a. v a = b ( a ) v a = = 64 v a = 8 cm Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014

3 P íklad 8: Ur ete obsah pravoúhlého trojúhelníku s p eponou c = 17 cm a odv snou a = 15 cm. b = c a b = = 89 5 = 64 b = 8 cm S = a b S = 15 8 S = 10 cm Kosodélník Kosodélník (rovnob ºník) je ty úhelník, jehoº prot j²í strany jsou shodné a rovnob ºné, sou et vnit ních úhl je 360, prot j²í úhly jsou shodné, úhlop í ky nejsou obecn shodné ani na sebe nejsou kolmé. Zvlá²tním p ípadem kosodélníka je tverec, obdélník, koso tverec. Kosodélníku nelze vepsat ani opsat kruºnici. Obvod kosodélníka: O = (a + b) [jednotky délky] Obsah kosodélníka: S = a v a [jednotky plochy] P íklad 9: Rovnob ºník má vnit ní úhel α = 50. Ur ete velikosti ostatních vnit ních úhl. α = γ β + δ = 360 (α + γ) = 360 ( ) = 60 α = γ = 50, β = δ = 130. Koso tverec Koso tverec je rovnob ºník, má 4 shodné strany, které nesvírají pravý úhel, má dv na sebe kolmé úhlop í ky, které se protínají ve st edu koso tverce a navzájem se p lí. Koso tverci lze vepsat kruºnici. Obvod koso tverce: O = 4a [jednotky délky] Obsah koso tverce: S = a v a = u 1 u [jednotky plochy],u 1, u jsou úhlop í ky. P íklad 10: Ur ete velikost strany koso tverce, jehoº úhlop í ky mají velikost 8 cm a 6 cm. a = ( u 1 ) + ( u a = = 5 a = 5 cm ) Lichob ºník Lichob ºník je ty úhelník, jehoº dv prot j²í strany jsou rovnob ºné (základny) a dal²í dv strany jsou r znob ºné (ramena). Úhlop í ky obecného lichob ºníka se navzájem nemusí p lit. Speciálními typy jsou lichob ºníky pravoúhlé (dva pravé úhly) a lichob ºníky rovnoramenné (shodná ramena, shodné úhlop í ky). Rovnoramenný pravoúhlý lichob ºník neexistuje. Spojnice st ed ramen lichob ºníka je st ední p í ka. Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014

4 (a) obecný lichob ºník (b) pravoúhlý lichob ºník (c) rovnoramenný lichob ºník Obvod lichob ºníka: O = a + b + c + d [jednotky délky] (a + c) v Obsah lichob ºníka: S = [jednotky plochy] (a + c) St ední p í ka lichob ºníka: S = P íklad 11: Vypo t te obvod rovnoramenného lichob ºníka o obsahu S = 36 cm, jehoº základna má velikost 8 cm, vý²ka 4 cm a ramena mají velikost 5 cm. c = 8 cm, b = d = 5 cm (a + c) v S = a = S v c = a = 10 cm O = a + b + c + d = O = 8 cm Kruºnice, kruh Kruºnice je mnoºina v²ech bod v rovin, které mají stejnou vzdálenost (polom r) od jednoho pevného bodu (st ed). Kruh je mnoºina v²ech bod v rovin, jejichº vzdálenost od st edu je men²í nebo rovna polom ru. Spojnice libovolných dvou bod na kruºnici je t tiva. Nejdel²í t tiva kruºnice prochází st edem a nazývá se pr m r kruºnice. Pr m r kruºnice d má dvojnásobnou velikost neº její polom r r. Plocha omezená t tivou a p íslu²ným obloukem se nazývá kruhová úse. Spojnice krajních bod t tivy a st edu omezí spole n s p íslu²ným kruhovým obloukem kruhovou výse. Pokud je t tivou pr m r, je úse (výse ) p lkruh. Mezikruºí je mnoºina v²ech bod v rovin, které mají od st edu mezikruºí vzdálenost mezi hodnotami r a R (polom ry dvou soust edných kruºnic). Obvod kruhu (délka kruºnice): O = πr = π d 4 Obsah kruhu: S = πr [jednotky plochy] Obsah mezikruºí: S = π(r r ) [jednotky délky] (a) kruºnice (b) kruhová úse (c) kruhová výse (d) mezikruºí P íklad 1: Kruhová výse p íslu²ná úhlu 10 má obsah 3π cm. Ur ete polom r kruºnice. Zadaná kruhová výse tvo í t etinu obsahu kruhu. Pro obsah kruhu tedy platí: S = 9π, ale také S = πr r = 3 cm Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014

5 (a) kvádr (b) krychle (c) trojboký hranol Hranol, kvádr, krychle Hranol má dv shodné rovnob ºné podstavy, jejichº tvar ur uje typ hranolu. Podstavou je n úhelník. Pro n = 3 (podstavou je trojúhelník) mluvíme o trojbokém hranolu, pro n = 4 (podstavou je ty úhelník) mluvíme o ty bokém hranolu atd. Pokud je podstava tvo ena pravidelným n úhelníkem, jde o pravidelný n boký hranol. Podstavou pravidelného trojbokého hranolu je tedy rovnostranný trojúhelník, podstavou pravidelného ty bokého hranolu je tverec. St ny hranolu tvo í jeho plá². Vý²ka hranolu je kolmá vzdálenost jeho podstav. Hranoly jsou kolmé nebo kosé. Objem hranolu: V = S p v [jednotky objemu], S p je obsah podstavy, v je vý²ka hranolu Povrch hranolu: S = S p + S pl [jednotky plochy], S p je obsah podstavy, S pl je obsah plá²t Kvádr je kolmý hranol, podstavou je obdélník. Prot j²í st ny kvádru jsou shodné a rovnob ºné. Kvádr je rovnob ºnost n. Kvádr má 6 st n, 8 vrchol a 1 hran. Kvádr má t i r zné délky st nových úhlop í ek. T lesové úhlop í ky mají stejnou velikost. Objem kvádru: V = a b c [jednotky objemu] Povrch kvádru: S = (ab + bc + ac) [jednotky plochy] Délka st nové úhlop í ky kvádru: u 1 = a + b, u = b + c, u 3 = a + c Délka t lesové úhlop í ky kvádru: u = a + b + c Krychle (pravidelný ²estist n) je zvlá²tní p ípad kvádru. St ny jsou tvo eny shodnými tverci. Krychle má v²echny st ny i hrany shodné. Objem krychle: V = a 3 [jednotky objemu] Povrch krychle: S = 6a [jednotky plochy] Délka st nové úhlop í ky krychle: u 1 = a + a = a Délka t lesové úhlop í ky krychle: u = a + a + a = a 3 P íklad 13: Objem krychle je stejný jako její povrch. Ur ete délku hrany krychle. V = a 3, S = 6a a 3 = 6a a 3 6a = 0 a (a 6) = 0 a = 6 cm P íklad 14: Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odv snami a = 3 cm, b = 4 cm. Velikost vý²ky hranolu se rovná velikosti p epony podstavy hranolu. Vypo t te objem hranolu. P epona podstavy: c = a + b = c = v = 5 cm V = S p v S p = a b = 3 4 S p = 6 cm V = 6 5 V = 30 cm 3 Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014

6 Rota ní válec Rota ní válec je tvo en dv ma rovnob ºnými shodnými kruhovými podstavami a plá²t m. Spojnice st ed podstav je kolmá na podstavy. Vzdálenost podstav je vý²ka válce. Objem válce: V = S p h = πr h [jednotky objemu] Povrch válce: S = S p + S pl = πr + πrh [jednotky plochy] P íklad 15: Rovnostranný válec (h = r) má objem V = 000π cm 3. Ur ete jeho povrch. V = πr h = πr (r) = πr 3 V 000π r = 3 π = 3 = = 10 π S = πr + πrh = πr + πr(r) = πr + 4πr = 6πr S = 6π(10 ) S = 600π cm Opakovací kurz pro Z, Gymnázium Jírovcova, 014