ÚROKVÁ SAZBA A VÝOČET BUDOUÍ HODNOTY. Tp a duh úočeí, budoucí hodota ivestice Úo - odměa za zísáí úvěu (cea za službu peěz) Ročí úoová sazba (mía)() úo v % z hodot apitálu za časové období řipisováí úoů: p.a. očí p.q. čtvtletí p.d. deí p.s. půločí p.m. měsíčí Doba splatosti () doba, po teou je peěží částa zapůjčea Tp úočeí - jedoduché: vplaceé úo se epřičítají původímu apitálu a dále se eúočí - složeé: úo se přičítají a dále úočí - spojité: počet úočeí oste do eoeča Jedoduché FV = V * ( + * ) Složeé FV = V * ( + ) m* m (i) úoová sazba (t) doba splatosti m fevece připisováí úoů FV futue value V pezet value Závislost úou a době splatosti apitálu 00 Kapitál Úo 75 = 0% 50 = 0% 5 00 úo očátečí apitál čas 3 4 5 ř: Vpočítejte oečou hodotu vladu 00 000 Kč uložeou a dobu 5 let s úoovou sazbou 5% ( 0%, 0%) při jedoduchém úočeí.
ř: Jaou částu obdží pa Neveselý ze svého šestiměsíčího temíovaého vladu 00.000 Kč úočeého 5 % p.a.? Daň z úoů je 5 %. ř: Jaá je cea peěz půjčeých v zastaváě, účtuje-li si zastaváa % za týde? 3 očítejte: a) jedoduché úočeí b) složeé úočeí ř: Zjistěte, jaou hodotu bude mít vlad.000 Kč po 5 0-5 0 letech, bude-li 4 půměé zhodoceí 3 % - 8 % - 3 %. doba 5 let Zhodoceí 3 % 8 % 3 % 0 let 5 let 0 let ř: Idiái podali Holaďaům ostov Mahatta v oce 66 za 4 $. Koli b měli 5 Idiái des, db tuto hotovost eutatili za ohivou vodu, ale uložili do ba a úo 5, 7 ebo 9 % p.a.? Uvažujte a) jedoduché úočeí b) složeé úočeí 4 $ od. 66 5% 7% 9% jedoduché složeé ř: Jaé jsou úoové álad úvěu ve výši 00 000 Kč jedoázově splatého za 8 6 měsíců ( 30 dů ) včetě úou, je-li úoová sazba 9% p.a.? ř: Ja velou upí sílu bude mít mil. Kč za 30 let, očeává-li se iflace 5% očě? 7 ř: Spočítej a zázoi, ja se měí výše zúočeého apitálu (FV) s ostoucím počtem 8 úoových období za o, a vladu 0.000,- a očí úoovou sazbou 0 %. Sestav tabulu a gaf. 4 5 360 8640
. řepočet očích úoových sazeb při ůzé peiodě připisováí úoů. ř: Zjistěte, jaou hodotu bude mít vlad 000 Kč po 5, 0, 5 0 letech, bude-li 9 půměé zhodoceí 3%. oovejte jedoduché a složeé úoováí. Gaf. ř: Zjistěte, jaou hodotu bude mít vlad 000 Kč po 5 letech, bude-li půměé 0 zhodoceí 5% a úo budou připisová p.a., p.s., p.q., p.m., p.d.. Gaf. oužívaé ód: - AT - započítává se sutečý počet dí smluvího vztahu. Obvle se epočítá. de - 30E celé měsíce se započítávají bez ohledu a sutečý počet dí jao 30 dů - 30A liší se od 30E maximálě o jede de, teý je započte pouze v případě, že oec smluvího vztahu připade a posledí de v měsíci a současě začáte eí posledí de v měsíci Déla ou je 365 ebo 360 dí - AT/365 aglicá metoda - AT/360 facouzsá, či meziáodí - 30E/360 ěmecá, či obchodí ř: Rozhoděte, teá vaiata temíovaého účtu je výhodější a) % očí úoová sazba s p.d. b),5% očí úoová sazba s p.s. Efetiví úoová sazba ( e ) - očí úoová sazba, teá dává za o při p.a. stejou budoucí hodotu jao očí úoová sazba při častějším připisováí úoů. Saha o dosažeí stejého fiačího efetu při úočeí p.a. ( omiálí ú. sazba při očím úoovacím období je všší ež při úoovacím období atším ež o) Umožňuje poovat ůzé úoové sazb sovávaé za stejé časové období, avša s ůzou četostí připisováí úoů. + e = ( + ) m m ř: Najděte, teá odpovídá úoové sazbě 0% p.a., jsou-li úo připisová a) p.s. b) p.q. c) p.m. Spojité připisováí úoů i e - azývá se úoová itezita FV = V * ( + ) m* m lim ( + m FV = V * ( e * ) e = e - m ) m = e ř: Na oli vzoste apitál 0 000 Kč za 5 let při spojitém úočeí a sazbě 5,5%? 3
3. Budoucí hodota auit, auita Budoucí hodota auit - pavidelé vlad jisti (stejé část) během celého období spořeí - úo z úoů - spořeí a vladí ížu, otevřeého podílového fodu, stavebí spořeí FV A m m Auita - výše pavidelé (stále stejé) splát úvěu během celého období spláceí - úo z úoů - spláta hpoté, úvěu stavebího spořeí, spotřebitelsého úvěu, pavidelé čepáí aspořeé část po učitou dobu ( důchod, eta) A V m m ř: Koli aspoří pa Tpělivý za 30 let, spoří-li pavidelě měsíčě.000 Kč: a) a temíovaý vlad (Ø očí úo 3%) b) do fodu peěžího thu (Ø očí zhodoceí 6%) c) do aciového fodu (Ø očí zhodoceí 5%) ř: Koli bude muset pavidelě měsíčě splácet paí Důvěřivá, vezme-li si úvě.000.000 Kč a 5 let za předpoladu, že úo čií % p.a. a jde o auití spláceí? eěží to: ohb peěžích postředů v čase (platb) a to ja příjm (zaméo +) ta výdaje (zaméo - ). ř: Uvažujme peěží to daé tabulou a úoovou míou 4% při a) očím připisováí úoů, b) spojitém připisováí. Ro 3 4 eěží to 0 00 00 300 ř: Účastí stavebího spořeí s aspořeou částou 9.000 Kč za o zísal od státu příspěve 5% z aspořeé část (.50 Kč). Baa mu abídla úočeí 3% očě. Vpočtěte: a) cílovou částu spořeí b) výos z této ivestice
4.Disot a ůzé duh disotováí (D) Je odměa ode de výplat do de splatosti pohledáv (předlhůtí úočeí) - ozdíl mezi FV a V - D = FV*d* d = disotí mía (%) - oužívá se ejčastěji po esot směe, část áhad předem - Kátodobé ceé papí s jmeovitou hodotou jao hodotou budoucí. - státí poladí pouáz (zis je ozdíl mezi upí a omiálí hodotou) - átodobá splatost Disotováí: Výpočet současé hodot z hodot budoucí ř Osoba A vstavila osobě B směu a částu 0.000 Kč s dobou splatosti 4 o, s disotí míou 8%. Koli osoba A ve sutečosti obdží? ř Vpočítejte, oli dostae vplaceo liet, jemuž baa esotuje směu 5 o omiálí hodotě 0.000 Kč 35 dí před dobou splatosti při disotí sazbě 9% p.a. Vztah mezi polhůtí úoovou sazbou a disotí sazbou. ři použití disotu je: současá hodota V = FV *( - d*) budoucí hodota ři použití jedoduchého polhůtího úočeí je: současá hodota budoucí hodota FV = V * ( + *)
000 900 Nomiálí výše apitálu disot 800 d = 0% 700 vplaceý apitál d = 0% čas 0,5 0,5 0,75 ř oovejte disotí sazbu a polhůtí úoovou sazbu. 6. Esotováa směa splatá za půl ou o omiálí hodotě 00 000 Kč s očí disotí sazbou %.. Jedoduché úočeí s očí úoovou sazbou %, přičemž za půl ou se musí splatit 00 000 Kč. Shodé výos: d d Disotí fato (v) udává současou hodotu jedotového vladu, teý je splatý za o při úoové sazbě. Složeé: v = ( + ) - Jedoduché: v = ( + ) - Spojité: v = e - V = FV * v Smíšeé úočeí: Doba úočeí eí v celých letech, 0 je počet celých let, l je zbte dob úočeí lomeý počtem příslušých jedote za o. FV = v * ( + ) 0 * ( + l * ) ř Koli musíme uložit, abchom za 5 let a 3 měsíce měli obos 00 000 Kč 7 při úoové sazbě 9,6% p.a.? Úo jsou připisová jedou za o, poechává a účtu a dále úoče. ř V ozámeí o auci 9 deích S s omiálí hodotou mil. Kč je jao max. 8 aceptovatelá (očí) úoová mía uvedeo 5,65%. Jaá cea S odpovídala této úoové míře? Jaou (očí) míu zisu ealizoval ivesto, teý S oupil za tuto ceu a podal ji za 58 dí (tj. 33 d před splatostí) za ceu 996 300 Kč? ř Směa a $0 000 je splatá za dva o a 5 měsíců. Jaý je její zálad 9 při spojitém úoováí s očí omiálí úoovou míou 5%?
VZTAH MEZI BUDOUÍ A SOUČASNOU HODNOTOU VÝNOS INVESTIE, VÝNOSOVÁ KŘIVKA. Výos do splatosti po poladičí pouázu či bezupoovou obligaci Obligace (Dluhopis) - je dlouhodobý ceý papí, teý vjadřuje dlužicý závaze emiteta vůči opávěému majiteli dluhopisu Doba splatosti d dochází e splaceí omiálí hodot dluhopisu - může být upavea emitet si vhadí pávo a předčasé splaceí dluhopisů - (call opce), toto pávo může být dáo majiteli dluhopisu (put opce) - dluhopis s pevou upoovou úoovou sazbou - dluhopis s pohblivou upoovou úoovou sazbou (RIBOR, LIBOR) - dluhopis s ulovým upoem ea dluhopisu () tží, teoeticá = + +. + + F = + ( + ) ( + ) ( + ) očí upoová úoová platba F omiálí hodota dluhopisu očátečí - = ( + ) * ( + ) - + F * = Koečá - = ( + ) + F ř: Vpočítej teoeticou ceu dluhopisu s pevou upoovou sazbou 0% p.a., 0 omiálí hodotou 000 Kč, se splatostí 3 o a při tží úoové míře %. - je li upo ulový ř: Vpočítejte teoeticou ceu dluhopisu s ulovým upoem se splatostí 3 o, omiálí hodota dluhopisu čií 000 Kč, při tží úoové míře % p.a. Výos z dluhopisu () - upoový úoový výos - ozdíl mezi ceou upí a podejí (F) NK FV V Dluhopis s ulovým upoem () ř: Jaý je výos dluhopisu s dobou splatosti 5 let, jestliže upí cea bla 0 000 Kč a podejí cea 000 Kč? Úo bl připisová p.a., p.s., p.q. a p.m.
ř: Koli bude stát obligace s omiálí hodotou 000 Kč, splatá za 3 (5 let) o, 3 jestliže její výos je 8% (9%)? Kupoová výosost Běžá výosost =. 00 B =. 00 tží cea F Výosost do dob splatosti ( DS ) TR = + +. + + F = + DS ( + DS ) ( + DS ) ( + DS ) Výosost za dobu džb ( DD ) 0 = + +. + + F = + DD ( + DD ) ( + DD ) ( + DD ) 0 atuálí tží cea Alivotí úoový výos (AUV) - část upoového úoového výosu, odpovídající době od výplat posledího upou do de, e teému jej počítáme AUV % = p * t v 360 p upoová úoová sazba dluhopisu t v déla výosového období Výosové období AUV... B B B 360 360 360 F B 360 s de l je počet let do splatosti dluhopisu Čistá cea dluhopisu L L AUV
Jiý uazatel výososti- edita zjedodušeí výososti do dob splatosti Výosost za dobu džb: 0 0 0 Apoximace zjedodušeí výpočtů výososti do dob splatosti Hawawi ( F ) DS 0,6 0, 4 F Obchodí metoda DS ( F ) ř: Uvažujte dva pětileté dluhopis v omiálí hodotě 0 000 Kč s očími upo, 4 přičemž dluhopis má upoovou sazbu 6% a tží ceu 9 560 Kč a dluhopis má upoovou sazbu 4% a tží ceu 0 670 Kč. Spočtěte a) běžý výos b) výos do splatosti c) apoximativí výos. ř: Uvažujte tři pětileté dluhopis v omiálí hodotě 0 000 Kč s očími upo, 5 přičemž dluhopis má upoovou sazbu 9,8% a tží ceu 0 000 Kč, dluhopis má up. Sazbu 6% a tží ceu 8 840 Kč a dluhopis 3 má up. Sazbu 4% a tží ceu 80 Kč. Spočtěte po tto dluhopis a) hubý výos do splatosti, b) čistý výos do splatosti s daňovou sazbou 5 %. ř: Jaé čisté výososti dosáhe liet, jestliže uložil a počátu ou 00 000 Kč a 6 šestiměsíčí temíovaý vlad při 0% úoové sazbě p.a. a v poloviě ou apitál včetě vplaceých úoů zovu oamžitě uložil a šestiměsíčí tem. Vlad při % úoové sazbě p.a.?úo z vladů podléhají dai z příjmů ve výši 5%. ř: Dluhopis s pevou upoovou úoovou platbou má up. Sazbu 0% p.a., omiálí 7 hodotu 000 Kč a upí ceu 950 Kč. o jedom oce se dluhopis podal za ceu 50 Kč. Jaá bla hubá a čistá výosost, jestliže úo podléhají dai z příjmu 5%.
Výos do splatosti Výos do splatosti VÝNOSOVÉ KŘIVKY - vztah mezi výosem do splatosti a dobou do splatosti dluhopisů (státí) - oétí dluhopis lišící se pouze dobou do splatosti (shodé další vlastosti) - s delší dobou do splatosti větší výos (ostoucí) Výosová řiva: bezupoových dluhopisů upoových dluhopisů Fowadová Rostoucí Klesající Doba splatosti Doba splatosti Bezup. dluh. Kup. dluh. Fowad. výos Bootstappig odhad výosové řiv bezupoových dluhopisů pomocí upoových dluhopisů ř: Máme tři upoové dluhopis v om. hodotě 0 000 Kč s očími upo. 8 - jedoletý s up. sazbou 5,8% a tží ceou 9 980 Kč - dvouletý s up. sazbou 7,% a tží ceou 9 960 Kč 3 - tříletý s up. sazbou 8,9% a tží ceou 9 90 Kč. Odhaděte odpovídající hodot výosové řiv bezupoových dluhopisů.
FORWARDOVÁ KŘIVKA (očeáváí) - zázoňuje závislost mezi fowadovými výos do splatosti a dobou do splatosti bezupoových či upoových dluhopisů - řiv ostoucí: fowadová leží vžd ad výosovými řivami - je z ou a o, z ou a dva, z ou a tři - řiv lesající: fowadová leží vžd pod výosovými řivami - je-li ostoucí: th očeává zvýšeí úoových sazeb - je-li lesající, očeává sížeí úoových sazeb ř: Zjistěte bod fowadové výosové řiv, jestliže záte bod výosové řiv: 9 * = 8%, * = 9%, 3 * = 0% při spojitém připisováí úoů. F, ( ) DURAE Je to aitmeticý půmě dob do splatosti jedotlivých plateb (omě pořizovací ce), teé souvisejí s dluhopisem a jsou váže veliostmi plateb disotovaých e di emise. - půměá doba do splatosti - půměá doba po zísáí příjmů spojeých s dluhopisem (Macaulaova) D Mac... F - dále je duace míou citlivosti dluhopisu a změ tžích sazeb (modifiovaá) D mod = D Mac ( + )
D duace je tím ižší čím: mod všší jsou platb ploucí z dluhopisu do splatosti dříve platba z daého istumetu astává atší je celová doba do splatosti V - čím meší hodota duace, tím meší jsou změ v jeho tží ceě vzhledem e změám tžích úoových sazeb + 4% - % ř: Vpočítejte D Mac, D mod dluhopisu s pevou upoovou úoovou sazbou 8%, jestliže 30 omiálí hodota dluhopisu je.000 Kč, doba do splatosti 3 o, atuálí tží cea je 950,5 Kč a výosost do dob splatosti ted 0%. (Kupoové platb jsou vpláce x očě, pví bude ásledovat za o). O oli se změí cea tohoto dluhopisu, jestliže se změí úoové sazb o %. Změ hodot dluhopisu při změách tží úoové mí. ř: V tabulce jsou uvede změ počátečí a ocové hodot tříletého dluhopisu 3 v omiálí hodotě 0.000 Kč s očími upo a up. sazbou 0% při tží úoové míře 0%, jestliže tží úoová mía lese (vzoste) o 5% (tj. i = + 5 %). i V V FV FV -5% 36,6 36,6 3 5,50-57,5 0% 0 000,00 3 30,00 5% 8 858,39-4,6 3 47,50 6,5 Zpřesěí apoximací výpočtu duace se azývá ovexita.(x) X =. t (t +). ( + ) -t + (+) FV ( + ) - ( + ) V
DLUHOISOVÉ ORTFOLIO DURAE Je aitmeticý půmě dob do splatosti jedotlivých plateb (omě pořizovací ce), teé souvisejí s dluhopisem a jsou váže veliostmi plateb disotovaých e di emise. D mac - půměá doba do splatosti - půměá doba po zísáí příjmů spojeých s dluhopisem (Macaulaova) ř: Vpočítej duace po dluhopis s tží úoovou míou 0% Doba do splatosti F D mac Kupoová sazba c: 5% 0% 5%,0000,0000,0000 3,8490,7355,647 5 4,699 0 6,7590 0 9,3649 50 0,9063 00 0,999 - dále je duace míou citlivosti dluhopisu a změ tžích sazeb (modifiovaá), o oli se změí cea dluhopisu opačým směem při změě výosů D - mod duace je tím ižší čím: všší jsou platb ploucí z dluhopisu do splatosti dříve platba z daého istumetu astává atší je celová doba do splatosti čím meší hodota duace, tím meší jsou změ v jeho tží ceě vzhledem e změám tžích úoových sazeb - vztah mezi ceou dluhopisu a výosem:. V. V ř: Uvažujme tříletý bezupóový dluhopis, teý má omiálí hodotu FV =.000 Kč a postuje výos 5%. Do tohoto upou ivestujeme a) a o b) a 5 let. Vpočtěte výos, ztátu, jestliže de po áupu se výos síží, espetive zvýší o %. ři změě ve výosech hozí: a) izio apitálové ztát ( zvýší-li se výos) b) izio ztát z eivestice (síží-li se výos)
Ivestičí hoizot: átý utpíme ztátu při vzestupu výosů (apitálová ztáta výos z eivestice) dlouhý utpíme ztátu při polesu výosů (ztáta z eivestice apitálový výos) Saha o elimiaci obou uvedeých izi (imuizaci): Je-li ivestičí hoizot ove (Macaulaově) duaci, potom se výos a ztát avzájem poývají, a to při vzestupu i polesu výosů. Duace upóového dluhopisu je vážeý půmě duací (dob do splatosti) jedotlivých peěžích toů epezetovaých upó a omiálí hodotou, de váh odpovídají podílu jedotlivých disotovaých peěžích toů a celové ceě dluhopisu. Duace upóového dluhopisu je středí (půměá) doba života tohoto dluhopisu. D D D...... D Duace potfolia složeého z dluhopisů je vážeý půmě duací jedotlivých dluhopisů, přičemž váh odpovídají podílu ce jedotlivých dluhopisů a celové ceě potfolia. D = w D + w D +. + w D ř: hceme ivestovat částu.000.000 Kč a dobu 3 let, přičemž dispozici máme bezupóové dluhopis s dobou splatosti,, 3, 4, 5 let s jedotým výosem 5% (uvažujeme plochou výosovou řivu). Vtvoříme potfolia A, B, tato: A = 3, FV =.57.65 Kč B =, FV = 55.50 Kč = 4, FV = 607.753 Kč =, FV = 55.000 Kč =5, FV = 638.4 Kč Kovexita potfolia složeého z dluhopisů je vážeý půmě ovexit jedotlivých dluhopisů, přičemž váh odpovídají podílu ce jedotlivých dluhopisů a celové ceě potfolia. X = X X...... X
.000.000 B A 5% Y (%) Klesou-li výos o %, zhodotí se potfolio o větší výos (ouový i pocetí) ež o oli lese jeho hodota, zvýší-li se výos o % ř: hceme ivestovat částu.000.000 Kč, přičemž máme dispozici dluhopis A, B s ásledujícími paamet: A: = 5, c = %, = % B: =, c = 0%, = 0% Ja budeme ivestovat a 3 o?
AKIOVÉ ORTFOLIO Ivestičí stategie, d je optimalizová výos vzhledem iziu ivestice. Acie A, A, A 3, Váh a, a, a 3, Výosové poceto p (půměá mía zisu) Rizio σ p směodatá odchla Koelace stupeň závislosti mezi dvěma ebo více poměými Kovaiace statisticý pojem odvozeý od běžého ozptlu, teý popisuje ozsah, v jaém se dvě poměé pohbují stejou měou p a p N p ( ) p p ( ( ) p ) ij N i i j j p i j ij ij Kovaiačí oeficiet σ ij Koelačí oeficiet ρ ij Rozptl: součet duhých moci odchle jedotlivých hodot od aitmeticého půměu děleý počtem hodot (σ ). Směodatá odchla: duhá odmocia ozptlu (σ). ř: Je dáo potfolio s vahami a = 0,7 a a = 0,3 a jeho tři výosové vaiat s těmito paamet: Vaiata avděpodobost Výos A Výos A 0, % 3% 0, % 8% 3 0,3 6% 4% 4 0,4 -% -5% a) alezěte výos a izio potfolia b) alezěte ovaiačí matici
Koelačí oeficiet: - ρ ij = dooalá pozitiví oelace - ρ ij = - dooalá egativí oelace - ρ ij = 0 výosová poceta eoelují ř: Zjisti oelaci mezi výosovými pocet acií: a) A 4-6 - 8-0 b) c) A 0-9 -3 7 - - 9-4 A 4-6 - 8-0 A 3 3-5 0 7-3 A 3 3 3 3 3 A 3 3 3 3 3 Rizio potfolia p : Směodatá odchla p a a a a Kovaiačí matice: ř: Jsou dá ovaiace σ = -3, σ = 6, σ = 5, σ = 0. Učete ovaiačí matici a izio potfolia, jestliže a = 0,7 a a = 0,3. Ja se změí izio potfolia, jestliže se váh pohodí?
DERIVÁTY Fovadové otat fovad - temíovaé otat plěí v budoucosti Fovad závaze oupit či podat Opčí otat opce Opce pávo oupit či podat - učitý počet acií - učitý počet acií - za učeou ceu - za učeou ceu - dohodutému datu - dohodutému datu Fovad: - mám závaze oupit dlouhá pozice ( log positio ) - mám závaze podat átá pozice ( shot positio ) F cea fovadu S obchodí cea T oamži uzavřeí otatu t - oamži uzavřeí obchodu spojitá očí úoová mía F t = S t e (T-t) ř: ea acie je 0.000 Kč, přičemž očí fowadová cea je ova F t =.000 Kč při očí úoové míře 8%. Jaým způsobem tuto situaci vužijeme? Futues otat: stadadizovaé všichi aupují (podávají) stejý otat a předem staoveý počet acií, vpořádaý e stejému datu a většiou gaatovaý buzou či jia Rizio ztát: dlouhá pozice (oupit) musím oupit, i dž cea acií polese - ( S T F t ) átá pozice (podat) musím podat, i dž cea acií stoupe - ( F t S T ) Kátá Dlouhá F t S T
Opce pávo oupit či podat all opce (áupí) pávo oupit ut opce (podejí) pávo podat - učitý počet acií - učitý počet acií - za učeou ceu X - za učeou ceu X - dohodutému datu - dohodutému datu dlouhá pozice upuje Evopsé opce může být uplatěa pouze v čase T Ameicá opce může být uplatěa i před časem T all opce uplatěa pávě tehd dž S T > X zis = max { S T - X ; 0} ut opce uplatěa pávě tehd dž S T < X zis = max { X - S T ; 0} átá pozice podává zis zis call put X cea X cea latba za vstup do dlouhé pozice c zis zis all shot all log c X -c X cea cea zis zis c cea X ut log X ut shot -c cea