ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY

Transkript

1 ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY 1. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(r) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období Připisováí úroků: p.a. ročí p.q. čtvrtletí p.d. deí p.s. půlročí p.m. měsíčí Doba splatosti () doba, po kterou je peěží částka zapůjčea Typy úročeí - jedoduché: vyplaceé úroky se epřičítají k původímu kapitálu a dále se eúročí - složeé: úroky se přičítají a dále úročí - spojité: počet úročeí roste do ekoeča Jedoduché FV = PV * ( 1 + r * ) Složeé FV = PV * ( 1 + r ) m* m r (i) úroková sazba (t) doba splatosti m frekvece připisováí úroků FV future value PV prezet value Závislost úroku a době splatosti kapitálu 200 Kapitál Úrok 175 r = 20% 150 r = 10% úrok Počátečí kapitál čas

2 Př: Vypočítejte koečou hodotu vkladu Kč uložeou a dobu 5 let s úrokovou 1 sazbou 5% ( 10%, 20%) při jedoduchém úročeí. Př: Jakou částku obdrží pa Neveselý ze svého šestiměsíčího termíovaého vkladu Kč úročeého 5 % p.a.? Daň z úroků je 15 %. Př: Jaká je cea peěz půjčeých v zastavárě, účtuje-li si zastavára 2 % za týde? 3 Počítejte: a) jedoduché úročeí b) složeé úročeí Př: Zjistěte, jakou hodotu bude mít vklad Kč po letech, bude-li 4 průměré zhodoceí 3 % - 8 % - 13 %. doba 5 let Zhodoceí 3 % 8 % 13 % 10 let 15 let 20 let Př: Idiái prodali Holaďaům ostrov Mahatta v roce 1626 za 24 $. Kolik by měli 5 Idiái des, kdyby tuto hotovost eutratili za ohivou vodu, ale uložili do baky a úrok 5, 7 ebo 9 % p.a.? Uvažujte a) jedoduché úročeí b) složeé úročeí 24 $ od r % 7% 9% jedoduché složeé Př: Jaké jsou úrokové áklady úvěru ve výši Kč jedorázově splatého za 8 6 měsíců ( 30 dů ) včetě úroku, je-li úroková sazba 9% p.a.? Př: Jak velkou kupí sílu bude mít 1 mil. Kč za 30 let, očekává-li se iflace 5% ročě? 7 Př: Spočítej a zázori, jak se měí výše zúročeého kapitálu (FV) s rostoucím počtem 8 úrokových období za rok, a vkladu ,- a ročí úrokovou sazbou 10 %. Sestav tabulku a graf

3 2. Přepočet ročích úrokových sazeb při růzé periodě připisováí úroků. Př: Zjistěte, jakou hodotu bude mít vklad Kč po 5, 10, letech, bude-li 9 průměré zhodoceí 3%. Porovejte jedoduché a složeé úrokováí. Graf. Př: Zjistěte, jakou hodotu bude mít vklad Kč po 5 letech, bude-li průměré 10 zhodoceí 5% a úroky budou připisováy p.a., p.s., p.q., p.m., p.d.. Graf. Používaé kódy: - AT - započítává se skutečý počet dí smluvího vztahu. Obvykle se epočítá 1. de - 30E celé měsíce se započítávají bez ohledu a skutečý počet dí jako 30 dů - 30A liší se od 30E maximálě o jede de, který je započte pouze v případě, že koec smluvího vztahu připade a posledí de v měsíci a současě začátek eí posledí de v měsíci Délka roku je 365 ebo 360 dí - AT/365 aglická metoda - AT/360 fracouzská, či meziárodí - 30E/360 ěmecká, či obchodí Př: Rozhoděte, která variata termíovaého účtu je výhodější 11 a) 12% ročí úroková sazba s p.d. b) 12,5% ročí úroková sazba s p.s. Efektiví úroková sazba (r e ) - ročí úroková sazba, která dává za rok při p.a. stejou budoucí hodotu jako ročí úroková sazba při častějším připisováí úroků. Saha o dosažeí stejého fiačího efektu při úročeí p.a. ( omiálí úr. sazba při ročím úrokovacím období je vyšší ež při úrokovacím období kratším ež rok) Umožňuje porovat růzé úrokové sazby srovávaé za stejé časové období, avšak s růzou četostí připisováí úroků. r m 1 + r e = (1 + ) m Př: Najděte r, která odpovídá úrokové sazbě 10% p.a., jsou-li úroky připisováy 12 a) p.s. b) p.q. c) p.m. Spojité připisováí úroků i e - azývá se úroková itezita FV = PV * ( 1 + r ) m* m lim (1 + m FV = PV * ( e r* ) r e = e r m r ) m = e r Př: Na kolik vzroste kapitál Kč za 5 let při spojitém úročeí a sazbě 5,5%? 13

4 3. Budoucí hodota auity, auita Budoucí hodota auity - pravidelé vklady jistiy (stejé částky) během celého období spořeí - úroky z úroků - spořeí a vkladí kížku, otevřeého podílového fodu, stavebí spořeí FV = m r m A r Auita - výše pravidelé (stále stejé) splátky úvěru během celého období spláceí - úroky z úroků - splátka hypotéky, úvěru stavebího spořeí, spotřebitelského úvěru, pravidelé čerpáí aspořeé částky po určitou dobu ( důchod, reta) PV r A = 1 1 r 1+ m m Př: Kolik aspoří pa Trpělivý za 30 let, spoří-li pravidelě měsíčě Kč: a) a termíovaý vklad (Ø ročí úrok 3%) b) do fodu peěžího trhu (Ø ročí zhodoceí 6%) c) do akciového fodu (Ø ročí zhodoceí 15%) Př: Kolik bude muset pravidelě měsíčě splácet paí Důvěřivá, vezme-li si úvěr Kč a 5 let za předpokladu, že úrok čií 12% p.a. a jde o auití spláceí? Peěží tok: Pohyb peěžích prostředků v čase (platby) a to jak příjmy (zaméko +) tak výdaje (zaméko - ). Př: Uvažujme peěží toky daé tabulkou a úrokovou mírou 4% při a) ročím připisováí úroků, b) spojitém připisováí. Roky Peěží toky Př: Účastík stavebího spořeí s aspořeou částkou Kč za rok získal od státu příspěvek 25% z aspořeé částky (2.250 Kč). Baka mu abídla úročeí 3% ročě. Vypočtěte: a) cílovou částku spořeí b) výos z této ivestice 4

5 4.Diskot a růzé druhy diskotováí (D) Je odměa ode de výplaty do de splatosti pohledávky (předlhůtí úročeí) - rozdíl mezi FV a PV - D = FV*d* d = diskotí míra (%) - Používá se ejčastěji pro eskot směek, část áhrady předem - Krátkodobé ceé papíry s jmeovitou hodotou jako hodotou budoucí. - státí pokladí poukázky (zisk je rozdíl mezi kupí a omiálí hodotou) - krátkodobá splatost Diskotováí: Výpočet současé hodoty z hodoty budoucí Př Osoba A vystavila osobě B směku a částku Kč s dobou splatosti 14 1 rok, s diskotí mírou 8%. Kolik osoba A ve skutečosti obdrží? Př Vypočítejte, kolik dostae vyplaceo kliet, jemuž baka eskotuje směku 15 o omiálí hodotě Kč 35 dí před dobou splatosti při diskotí sazbě 9% p.a. Vztah mezi polhůtí úrokovou sazbou a diskotí sazbou. Při použití diskotu je: současá hodota PV = FV *(1 - d*) budoucí hodota Při použití jedoduchého polhůtího úročeí je: současá hodota budoucí hodota FV = PV * (1 + r*) 5

6 Nomiálí výše kapitálu diskot 800 d = 10% 700 vyplaceý kapitál d = 20% čas 0,25 0,5 0,75 1 Př Porovejte diskotí sazbu a polhůtí úrokovou sazbu Eskotováa směka splatá za půl roku o omiálí hodotě Kč s ročí diskotí sazbou 12%. 2. Jedoduché úročeí s ročí úrokovou sazbou 12%, přičemž za půl roku se musí splatit Kč. Shodé výosy: r = 1 d d Diskotí faktor (v) udává současou hodotu jedotkového vkladu, který je splatý za 1 rok při úrokové sazbě r. Složeé: v = ( 1 + r ) -1 Jedoduché: v = ( 1 + r ) -1 Spojité: v = e -r PV = FV * v Smíšeé úročeí: Doba úročeí eí v celých letech, 0 je počet celých let, l je zbytek doby úročeí lomeý počtem příslušých jedotek za rok. FV = Pv * ( 1 + r ) 0 * ( 1 + l * r ) Př Kolik musíme uložit, abychom za 5 let a 3 měsíce měli obos Kč 17 při úrokové sazbě 9,6% p.a.? Úroky jsou připisováy jedou za rok, poecháváy a účtu a dále úročey. Př V ozámeí o aukci 91 deích SPP s omiálí hodotou 1 mil. Kč je jako max. 18 akceptovatelá (ročí) úroková míra uvedeo 5,65%. Jaká cea SPP odpovídala této úrokové míře? Jakou (ročí) míru zisku realizoval ivestor, který SPP koupil za tuto ceu a prodal ji za 58 dí (tj. 33 dy před splatostí) za ceu Kč? Př Směka a $ je splatá za dva roky a 5 měsíců. Jaký je její základ 19 při spojitém úrokováí s ročí omiálí úrokovou mírou 15%? 6

7 VZTAH MEZI BUDOUÍ A SOUČASNOU HODNOTOU VÝNOS INVESTIE, VÝNOSOVÁ KŘIVKA 1. Výos do splatosti pro pokladičí poukázku či bezkupoovou obligaci Obligace (Dluhopisy) - je dlouhodobý ceý papír, který vyjadřuje dlužický závazek emiteta vůči oprávěému majiteli dluhopisu Doba splatosti kdy dochází ke splaceí omiálí hodoty dluhopisu - může být upravea emitet si vyhradí právo a předčasé splaceí dluhopisů - (call opce), toto právo může být dáo majiteli dluhopisu (put opce) - dluhopisy s pevou kupoovou úrokovou sazbou - dluhopisy s pohyblivou kupoovou úrokovou sazbou (PRIBOR, LIBOR) - dluhopisy s ulovým kupoem ea dluhopisu (P) trží, teoretická P = F ( 1+ y) ( 1+ y) ( 1+ y) ( 1+ y) ročí kupoová úroková platba F omiálí hodota dluhopisu Počátečí - P = (1 + y) y * (1 + y) - + F * y = Koečá - P = ( 1 + y ) 1 + F y Př: Vypočítej teoretickou ceu dluhopisu s pevou kupoovou sazbou 10% p.a., 20 omiálí hodotou 1000 Kč, se splatostí 3 roky a při trží úrokové míře 11%. - je li kupo ulový Př: Vypočítejte teoretickou ceu dluhopisu s ulovým kupoem se splatostí 3 roky, 21 omiálí hodota dluhopisu čií 1000 Kč, při trží úrokové míře 11% p.a. Výos z dluhopisu (y) - kupoový úrokový výos - rozdíl mezi ceou kupí a prodejí (F) y NK FV = PV 1 Dluhopis s ulovým kupoem (y) Př: Jaký je výos dluhopisu s dobou splatosti 5 let, jestliže kupí cea byla Kč a 22 prodejí cea Kč? Úroky byly připisováy p.a., p.s., p.q. a p.m. 7

8 Př: Kolik bude stát obligace s omiálí hodotou Kč, splatá za 3 (5 let) roky, 23 jestliže její výos je 8% (9%)? Kupoová výosost Běžá výosost y k =. 100 yb =. 100 P trží cea F P Výosost do doby splatosti ( y DS ) P TR = F = 1 + y DS (1 + y DS ) 2 (1 + y DS ) (1 + y DS ) Výosost za dobu držby ( y DD ) P 0 = F = 1 + y DD (1 + y DD ) 2 (1 + y DD ) (1 + y DD ) P 0 aktuálí trží cea Alikvotí úrokový výos (AUV) - část kupoového úrokového výosu, odpovídající době od výplaty posledího kupou do de, ke kterému jej počítáme AUV % = p k * t v 360 p k kupoová úroková sazba dluhopisu t v délka výosového období Výosové období AUV P = B + B s ( 1 + y) 360 ( 1+ y) 360 ( 1+ y) 360 ( 1+ y) 360 B F B kde l je počet let do splatosti dluhopisu Čistá cea dluhopisu P L L P = P + AUV 8

9 Jiý ukazatel výososti- redita zjedodušeí výososti do doby splatosti P P0 r = + Výosost za dobu držby: P0 k P0 Aproximace zjedodušeí výpočtů výososti do doby splatosti Hawawiy ( F P) + r DS 0,6P + 0, 4F Obchodí metoda ( F P) + r DS P Př: Uvažujte dva pětileté dluhopisy v omiálí hodotě Kč s ročími kupoy, 24 přičemž dluhopis 1 má kupoovou sazbu 6% a trží ceu Kč a dluhopis 2 má kupoovou sazbu 14% a trží ceu Kč. Spočtěte a) běžý výos b) výos do splatosti c) aproximativí výosy. Př: Uvažujte tři pětileté dluhopisy v omiálí hodotě Kč s ročími kupoy, 25 přičemž dluhopis 1 má kupoovou sazbu 9,8% a trží ceu Kč, dluhopis 2 má kup. Sazbu 6% a trží ceu Kč a dluhopis 3 má kup. Sazbu 14% a trží ceu Kč. Spočtěte pro tyto dluhopisy a) hrubý výos do splatosti, b) čistý výos do splatosti s daňovou sazbou 15 %. Př: Jaké čisté výososti dosáhe kliet, jestliže uložil a počátku roku Kč a 26 šestiměsíčí termíovaý vklad při 10% úrokové sazbě p.a. a v poloviě roku kapitál včetě vyplaceých úroků zovu okamžitě uložil a šestiměsíčí term. Vklad při 12% úrokové sazbě p.a.?úroky z vkladů podléhají dai z příjmů ve výši 15%. Př: Dluhopis s pevou kupoovou úrokovou platbou má kup. Sazbu 10% p.a., omiálí 27 hodotu Kč a kupí ceu 950 Kč. Po jedom roce se dluhopis prodal za ceu Kč. Jaká byla hrubá a čistá výosost, jestliže úroky podléhají dai z příjmu 25%. 9

10 VÝNOSOVÉ KŘIVKY - vztah mezi výosem do splatosti a dobou do splatosti dluhopisů (státí) - kokrétí dluhopisy lišící se pouze dobou do splatosti (shodé další vlastosti) - s delší dobou do splatosti větší výos (rostoucí) Výosová křivka: bezkupoových dluhopisů kupoových dluhopisů Forwardová Rostoucí Klesající Výos do splatosti Výos do splatosti Doba splatosti Doba splatosti Bezkup. dluh. Kup. dluh. Forward. výosy Bootstrappig odhad výosové křivky bezkupoových dluhopisů pomocí kupoových dluhopisů Př: Máme tři kupoové dluhopisy v om. hodotě Kč s ročími kupoy jedoletý s kup. sazbou 5,8% a trží ceou Kč 2 - dvouletý s kup. sazbou 7,2% a trží ceou Kč 3 - tříletý s kup. sazbou 8,9% a trží ceou Kč. Odhaděte odpovídající hodoty výosové křivky bezkupoových dluhopisů. 10

11 FORWARDOVÁ KŘIVKA (očekáváí) - zázorňuje závislost mezi forwardovými výosy do splatosti a dobou do splatosti bezkupoových či kupoových dluhopisů - křivky rostoucí: forwardová leží vždy ad výosovými křivkami - je z roku a rok, z roku a dva, z roku a tři - křivky klesající: forwardová leží vždy pod výosovými křivkami - je-li rostoucí: trh očekává zvýšeí úrokových sazeb - je-li klesající, očekává sížeí úrokových sazeb F, k = ( k + ) y k k + y k DURAE Je to aritmetický průměr dob do splatosti jedotlivých plateb (kromě pořizovací cey), které souvisejí s dluhopisem a jsou vážey velikostmi plateb diskotovaých ke di emise. - průměrá doba do splatosti - průměrá doba pro získáí příjmů spojeých s dluhopisem (Macaulayova) D Mac = 1 2 F ( 1+ y) ( 1+ y) ( 1+ y) P dále je durace mírou citlivosti dluhopisu a změy tržích sazeb (modifikovaá) D mod = D Mac (1 + y) 11

12 D mod durace je tím ižší čím: P = 1 P y vyšší jsou platby plyoucí z dluhopisu do splatosti dříve platba z daého istrumetu astává kratší je celková doba do splatosti PV - čím meší hodota durace, tím meší jsou změy v jeho trží ceě vzhledem ke změám tržích úrokových sazeb P + 4% y - 1% y Př: Vypočítejte D Mac, D mod dluhopisu s pevou kupoovou úrokovou sazbou 8%, jestliže 30 omiálí hodota dluhopisu je Kč, doba do splatosti 3 roky, aktuálí trží cea je 950,25 Kč a výosost do doby splatosti tedy 10%. (Kupoové platby jsou vyplácey 1x ročě, prví bude ásledovat za rok). O kolik se změí cea tohoto dluhopisu, jestliže se změí úrokové sazby o 1%. Změy hodot dluhopisu při změách trží úrokové míry. Př: V tabulce jsou uvedey změy počátečí a kocové hodoty tříletého dluhopisu 31 v omiálí hodotě Kč s ročími kupoy a kup. sazbou 10% při trží úrokové míře 10%, jestliže trží úroková míra klese (vzroste) o 5% (tj. i = + 5 %). i PV PV FV FV -5% , , ,50-157,5 0% , ,00 5% 8 858, , ,50 162,5 Zpřesěí aproximací výpočtu durace se azývá kovexita.(x) X = 1. t (t +1). (1 + r) -t + (+1) FV (1 + r) - (1 + r) 2 PV 12

13 DLUHOPISOVÉ PORTFOLIO DURAE Je aritmetický průměr dob do splatosti jedotlivých plateb (kromě pořizovací cey), které souvisejí s dluhopisem a jsou vážey velikostmi plateb diskotovaých ke di emise. D - průměrá doba do splatosti - průměrá doba pro získáí příjmů spojeých s dluhopisem (Macaulayova) + F y ( 1+ y) ( 1+ y) 1 P1 + 2 P2 + + P = Dmac = P P mac Př: Vypočítej durace pro dluhopis s trží úrokovou mírou 10% Doba do splatosti Kupoová sazba c: 5% 10% 15% 1 1,0000 1,0000 1, ,8490 2,7355 2, , , , , , dále je durace mírou citlivosti dluhopisu a změy tržích sazeb (modifikovaá), o kolik se změí cea dluhopisu opačým směrem při změě výosů D - 1 P = P y durace je tím ižší čím: vyšší jsou platby plyoucí z dluhopisu do splatosti dříve platba z daého istrumetu astává kratší je celková doba do splatosti mod čím meší hodota durace, tím meší jsou změy v jeho trží ceě vzhledem ke změám tržích úrokových sazeb - vztah mezi ceou dluhopisu a výosem: 1. PV y 2. PV y Př: Uvažujme tříletý bezkupóový dluhopis, který má omiálí hodotu FV = Kč a poskytuje výos 5%. Do tohoto kupou ivestujeme a) a 2 roky b) a 5 let. Vypočtěte výos, ztrátu, jestliže de po ákupu se výosy síží, respektive zvýší o 1%. 13

14 Při změě ve výosech hrozí: a) riziko kapitálové ztráty ( zvýší-li se výosy) b) riziko ztráty z reivestice (síží-li se výosy) Ivestičí horizot: krátký utrpíme ztrátu při vzestupu výosů (kapitálová ztráta > výos z reivestice) dlouhý utrpíme ztrátu při poklesu výosů (ztráta z reivestice > kapitálový výos) Saha o elimiaci obou uvedeých rizik (imuizaci): Je-li ivestičí horizot rove (Macaulayově) duraci, potom se výosy a ztráty avzájem pokrývají, a to při vzestupu i poklesu výosů. Durace kupóového dluhopisu je vážeý průměr durací (dob do splatosti) jedotlivých peěžích toků reprezetovaých kupóy a omiálí hodotou, kde váhy odpovídají podílu jedotlivých diskotovaých peěžích toků a celkové ceě dluhopisu. Durace kupóového dluhopisu je středí (průměrá) doba života tohoto dluhopisu. D = D P + D P D P 1 1 P + P P Durace portfolia složeého z dluhopisů je vážeý průměr durací jedotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu ce jedotlivých dluhopisů a celkové ceě portfolia. D = w 1 D 1 + w 2 D w D Př: hceme ivestovat částku Kč a dobu 3 let, přičemž k dispozici máme bezkupóové dluhopisy s dobou splatosti 1, 2, 3, 4, 5 let s jedotým výosem 5% (uvažujeme plochou výosovou křivku). Vytvoříme portfolia A, B, takto: A = 3, FV = Kč B = 2, FV = Kč = 4, FV = Kč = 1, FV = Kč =5, FV = Kč Kovexita portfolia složeého z dluhopisů je vážeý průměr kovexit jedotlivých dluhopisů, přičemž váhy odpovídají podílu ce jedotlivých dluhopisů a celkové ceě portfolia. X = X P + X 1 1 P X P + P P P 14

15 P B A 5% Y (%) Klesou-li výosy o 1%, zhodotí se portfolio o větší výos (koruový i procetí) ež o kolik klese jeho hodota, zvýší-li se výosy o 1% Př: hceme ivestovat částku Kč, přičemž máme k dispozici dluhopisy A, B s ásledujícími parametry: A: = 5, c = 12%, y = 12% B: = 2, c = 0%, y = 10% Jak budeme ivestovat a 3 roky? 15

16 Forvardové kotrakty forvardy DERIVÁTY - termíovaé kotrakty plěí v budoucosti Forvard závazek koupit či prodat Opčí kotrakty opce Opce právo koupit či prodat - určitý počet akcií - určitý počet akcií - za určeou ceu - za určeou ceu - k dohodutému datu - k dohodutému datu Forvard: - mám závazek koupit dlouhá pozice ( log positio ) - mám závazek prodat krátká pozice ( short positio ) F cea forvardu S obchodí cea T okamžik uzavřeí kotraktu t - okamžik uzavřeí obchodu r spojitá ročí úroková míra F t = S t e r (T-t) Př: ea akcie je Kč, přičemž ročí forwardová cea je rova F t = Kč při ročí úrokové míře 8%. Jakým způsobem tuto situaci využijeme? Futures kotrakty: stadardizovaé všichi akupují (prodávají) stejý kotrakt a předem staoveý počet akcií, vypořádaý ke stejému datu a většiou garatovaý burzou či jiak Riziko ztráty: dlouhá pozice (koupit) musím koupit, i když cea akcií poklese - ( S T F t ) krátká pozice (prodat) musím prodat, i když cea akcií stoupe - ( F t S T ) Krátká Dlouhá F t S T 16

17 Opce právo koupit či prodat all opce (ákupí) právo koupit Put opce (prodejí) právo prodat - určitý počet akcií - určitý počet akcií - za určeou ceu X - za určeou ceu X - k dohodutému datu - k dohodutému datu dlouhá pozice kupuje Evropské opce může být uplatěa pouze v čase T Americká opce může být uplatěa i před časem T all opce uplatěa právě tehdy když S T > X zisk = max { S T - X ; 0} Put opce uplatěa právě tehdy když S T < X zisk = max { X - S T ; 0} krátká pozice prodává zisk zisk call put X cea X cea Platba za vstup do dlouhé pozice c zisk zisk all short all log c X -c X cea cea 17

18 zisk zisk c cea X Put log X Put short -c cea 18