Posouzení metoy částečného hegingu na přípau řízení měnového rizika neinanční instituce omáš ICHÝ, VŠB-U Ostrava i Abstract Financial risk management is an inherent part o each business activity. he analysis o available heging strategies, theirs interconnection with eicient market an irm value theories, as well as various empirical stuies are regular theme o scientiic papers. In this stuy we ocus on an alternative approach to heging o inancial risk o non-inancial institutions the partial heging approach with shortall acceptation. his approach initiates rom Föllmer an Leukert (1999) metho o quantile heging. It is also relate to cashlow at risk approach o Stein et al. (21). he approach to heging presente in this paper is base on a combine option position, so that a substantial ecrease in initial capital nees can be achieve by accepting o some probability o shortall. he strategy is stuie uner various circumstances given e.g. by risk neutral an real market probabilities. Simultaneously, it is compare to more stanar strategies o heging. Finally, we present two interesting inings: (i) real worl probability o shortall signiicantly iers rom the risk neutral one, (ii) at irst sight insigniicant error in simulation results can have important inluence on the interpretation o partial heging strategies. Keywors Combine option payo, FX rate risk, heging strategies, quantile heging, VaR JEL: G13, G32, F31 i Department o Finance, Faculty o Economics, VŠB-echnical University o Ostrava, Sokolská 33, 71 21 Ostrava, Czech Republic. tomas.tichy@vsb.cz his research is ue to the support provie by GAČR (Czech Science Founation Grantová Agentura České Republiky) uner the project No. 42/8/1237. he support is greatly acknowlege. 1. Úvo Neílnou součástí ekonomických aktivit jakéhokoliv subjektu je rozhoování o množství rizika, kterému bue vystaven. V rámci toho lze rozlišit rizika inanční a neinanční, jako napříkla riziko tržní a jeinečné na straně jené a obchoní či ponikatelské na straně ruhé. Při určitém zjenoušení lze za reistributory inančních rizik považovat inanční instituce. Právě tato jejich aktivita umožňuje subjektům, které projeví zájem, se inančního rizika buď vzát, nebo jej naopak převzít. Pro neinanční instituce, jako jsou výrobní poniky či poskytovatelé neinančních služeb, je uveená unkce klíčová pro úspěšné řízení inančního rizika tak, aby bylo maximalizováno záklaní kritérium instituce, řekněme maximalizace tržní honoty. Optimální řízení inančního rizika, respektive ostranění jeho vybrané části, má pozitivní opa na honotu irmy jenak z ůvou existence tržních neokonalostí (nenulové náklay bankrotu, špatný přenos inormací), jenak umožňuje subjektu soustřeit více svých kapacit (liských, inančních) na 29 Publishe by VŠB-U Ostrava. All rights reserve. ER-CEREI, Volume 12: 69 82 (29). ISSN 1212-3951 oi:1.7327/cerei.29.6.3
7 Ekonomická revue Central European Review o Economic Issues 12, 29 činnosti, ve kterých má ekonomickou výhou (výroba, poskytování služeb). Samotná proceura řízení inančních rizik je taktéž označována jako heging. Něky se rozlišuje heging v užším slova smyslu, který přestavuje ixaci buoucích cen ochází tak k ostranění jak negativních výkyvů, tak výkyvů pozitivních. Oproti tomu stojí takzvané pojištění (insurance), které se snaží zamezit nepříznivému vývoji při současně zachované možnosti proitovat z vývoje příznivého. Analýza a stuium strategií hegingu neinančních institucí, teoretická provázanost s teorií eektivních trhů a honotou irmy i empirická šetření zaměřená na postoj vrcholového managementu k hegingu jsou trvalým námětem věeckých i ryze oborných stuií. Z nejčerstvějších publikací lze jmenovat napříkla Bartramovu (27) analýzu citlivosti jak iremních cashlow, tak ceny akcií na měnové riziko nebo snahu Friberga a Ganslanta (27) o vyjáření olišnosti mezi proukty na trhu právě pomocí citlivosti na měnové riziko. V tomto článku je nicméně pozornost zaměřena na alternativní metou hegingu inančního rizika v širším slova smyslu. Cílem tey je přestavit a posouit metou částečného hegingu na bázi opce s kombinovanou výplatou, pro ovození matematických záklaů viz Föllmer a Leukert (1999). ato strategie umožňuje vhoným způsobem ostranit riziko nepříznivého vývoje při současně zachované možnosti proitovat z vývoje příznivého, přičemž jako významný aktor je chápán objem výchozího kapitálu potřebného pro realizaci strategie. Strategie částečným způsobem reaguje na přístup CFaR (cashlow at risk), stuovaný Steinem a kol. (21). Vybrané přístupy jsou aplikovány a porovnávány se záklaními strategiemi (viz ichý, 27) pro přípa subjektu výrobního typu, který očekává nutnost buoucí platby v zahraniční měně. Jená se tey o řízení měnového rizika právě to je totiž u neinančních institucí nejčastěji řízeno pomocí aktivit s inančními eriváty. Významné je sice i riziko vyplývající ze změny cen komoit, to však je nejčastěji řešeno prostřenictvím louhoobých smluv s obchoními partnery. Postup je násleující. V úvoní kapitole jsou stručně vysvětleny záklaní motivy hegingu neinančních institucí. Poté je objasněna záklaní terminologie inančních erivátů, přičemž se postupuje ve shoě s Hullem (28) či ichým (26), je však abstrahováno o etailů, které nejsou postatné pro osažení cíle článku. Další část článku je zaměřena na ílčí přístupy k řízení inančních rizik. Nejprve jsou shrnuty záklaní strategie (krytá pozice, nekrytá pozice, metoa s orwary, metoa s opcemi), násleně je objasněn princip strategie částečného zajištění na bázi opce s kombinovanou výplatou. ato strategie je v aplikační části článku srovnána se záklaními přístupy v rámci prostřeí einovaného rizikově neutrálními i reálnými pravěpoobnostmi. 2. Motivy hegingu neinančních institucí Obecně se má za to, že neinanční instituce jsou zakláány za účelem provozování činností neinančního charakteru, ať už se jená o poskytování služeb, obcho či výrobu. Při určitém zjenoušení lze říci, že přitom osahují zisku jako oměny za postoupené obchoní či ponikatelské riziko a taktéž prokázanou invenci. Rozhoně však nejsou vytvářeny za účelem přebírání rizika inančního. Jak implikuje již samotné označení, takové aktivity jsou jením ze záklaních ůvoů existence institucí inančních. Finančním rizikem je zpravila chápáno zejména riziko tržní, či přesněji riziko vyplývající ze změny tržních cen různých inančních aktiv, jako jsou akcie, luhopisy, měny a přípaně též inanční eriváty a komoity, a riziko úvěrové nebo též kreitní, které souvisí se schopností protistrany ostát svým závazkům a má tey vysokou ávku jeinečnosti. Mezi inanční rizika lze rovněž zařait riziko likviity a operační riziko. V tomto článku je pozornost zaměřena na možnosti snížení či okonce celkového ostranění měnového rizika, které je chápáno jako součást rizika tržního. Právě měnové riziko má významný poíl na celkovém riziku neinančních institucí a rovněž patří k rizikům, která jsou nejčastěji řízena. Pro subjekt, který obchouje se zahraničím, má totiž neočekávaná změna měnového kurzu 1 zásaní opa na ziskovost, ať už vzhleem k prostřekům vyávaným za vstupy (očekávaná krátká pozice v zahraniční měně) nebo získaným za proej výstupů (očekávaná louhá pozice v zahraniční měně). Zatímco v prvém přípaě vee posílení (zražení) zahraniční měny ke zvýšení náklaů a oslabení (zlevnění) zahraniční měny ke snížení náklaů, ve ruhém přípaě tomu je z pohleu zisku naopak. Posílení zahraniční měny sice opět vee k růstu, avšak tentokrát výnosů z proeje prouktů. Obobně, oslabení zahraniční měny vee ke snížení výnosů a potažmo i zisku. Je tey nasnaě, že omezení měnového rizika vee, ceteris paribus, k jenoznačnému snížení rozptylu možného výsleku hospoaření subjektu. ento eekt nyní přiblížíme pomocí zjenoušeného příklau. Přepokláejme irmu FA, jejíž veškeré 1 Očekávaná změna měnového kurzu by měla být zahrnuta v cenové kalkulaci.
.ichý Posouzení metoy částečného hegingu na přípau řízení měnového rizika neinanční instituce 71 náklay jsou v omácí měně (CZK), avšak zákazníci platí v měně zahraniční (EUR). Při současném kurzu S = 28. CZK/EUR, ceně za jeen výrobek P = 5 EUR, náklaech na jeen výrobek 13 CZK a nasmlouvanému objemu proukce na jeen rok Q = 1 je zisk 1 mil. CZK. ento zisk však lze očekávat pouze v průměru, neboť jeho skutečná výše bue ána aktuálním kurzem CZK/EUR. Přepokláejme, že buoucí očekávaný kurz opovíá současnému a že směroatná ochylka výnosů kurzu je pro rozhoné obobí =.5%. Pak lze pravěpoobnostní rozložení buoucího kurzu S moelovat pomocí geometrického Brownova pohybu (přepoklááme, že náhoná složka je na bázi přírůstku Wienerova procesu W, tey normovaného normálního rozělení pravěpoobnosti) násleovně: 2 S S exp / 2 W. (1) Na záklaě tohoto vztahu generujeme 1 náhoných scénářů vývoje. Výslené pravěpoobnostní rozělení konečného kurzu S je zachyceno pomocí histogramu v levé části obrázku 1, v pravé části pak uváíme opa na pravěpoobnostní rozělení zisku irmy FA. Je zřejmé, že stření honota zisku sice je 1 mil CZK, avšak existuje významná pravěpoobnost, že zisk bue 3 mil CZK nebo okonce oje ke ztrátě 1 mil CZK. Ze je možné určit tzv. EaR (Earnings at Risk). V aném přípaě oje s pravěpoobností 1 % k menšímu zisku než 5.5 mil. CZK, tj. pro S 24. Doplňme též, že stření honota tohoto krajního výsleku bue přibližně 7.6 mil. CZK. 25 2 15 1 5 24 26 28 3 32 34 Obrázek 1 Histogram pravěpoobnostního rozělení konečného kurzu (vlevo) a zisku (vpravo) V této souvislosti je nutné zmínit, že uveená proměnlivost zisku nikterak nesouvisí s výrobním procesem a neměla by být provázána na oměňování běžných úseků poniku. Záklaní otázkou totiž je co vyrobit, pro koho a jak to vyrobit, skutečný buoucí kurz pak nikterak nesouvisí s kvalitou výrobku. Fixaci buoucího kurzu na úroveň kurzu očekávaného proto lze chápat jako pozitivní přínos. Lze namítnout, že za snižování rizika, ať už ponikatelského nebo inančního, by irma neměla být oměněna růstem své honoty, neboť to stejné mohou učinit samotní investoři (majitelé) prostřenicím vhoně zvolené struktury celkového portolia. o však platí jen ve značně ziealizovaném přípaě, viz napříkla známý moel MMI (Miller a Moigliani, 3 25 2 15 1 5-1 1 2 3 4 1958). V reálu je však nutné pracovat s mnoha alšími aktory, které zabraňují ekvivalenci kroků irmy a jenotlivce. V souvislosti se snižováním inančního rizika se jená přeevším o náklay úpaku. Ztráta způsobená nepříznivým vývojem na inančních trzích totiž může mít výrazný opa na likviitu společnosti, omezit její solventnost a potažmo způsobit i bankrot. Neostatek prostřeků obecně způsobuje snížení výkonu subjektu vzhleem k přehonocení obchoně-partnerských vztahů, možnému ochou klíčových zaměstnanců, nemožnosti realizovat investiční příležitosti a samozřejmě též ováí management o běžného řízení. Samotný bankrot pak tyto problémy ále prohlubuje, přičemž je nutné na rámec běžných náklaů inancovat oatečné, s bankrotem související aktivity. Mezi alší pozitiva stabilizovaného cash low, ceteris paribus, je možné zařait zjenoušené řešení běžného chou poniku, eektivnější přenos inormací investorům či obecně všem stakeholrům apo. 2 Na ruhou stranu existují i prvky spojené s řízením inančních rizik, které mohou mít negativní opa na celkovou situaci poniku. Jená se zejména o růst rizika při nevhoně zvolených strategiích a taktéž o abnormálně vysoké transakční náklay v přípaě nízké likviity zvoleného prouktu (nízká konkurence na trhu). Dalším prvkem, který mluví proti snižování rizika, je princip reálných opcí na honotu vlastního kapitálu je možné pohlížet jako na opci na zpětný okup aktiv poniku o věřitelů za nominální honotu luhu. V neposlení řaě je nutné zmínit možný opa platných účetních přepisů, vyžaujících v některých přípaech účtovat o pozicích ve inančních erivátech v tzv. reálné honotě včetně pravielného přeceňování, zatímco zajišťovaná potřeba buoucí platby ve výkazech zohleněna není. Ačkoliv jsou tey obě pozice vzájemně kompenzovány, při zohlenění účetních přepisů ochází k luktuaci vykazovaných ukazatelů. 3 2 Porobněji jsou přínosy hegingu analyzovány Smithem a Stulzem (1985), přípaně Rossem (1996) a Stulzem (1996). 3 Neávná stuie vypracovaná po hlavičkou Deutsche Bank (viz Servaes a uano, 26) ukázala minimální opa zaveení příslušných stanarů IFRS, konkrétně článku 39, na ochotu se zajišťovat proti inančním rizikům, respektive na spektrum aplikovaných postupů. Je však nutné zůraznit, že většina subjektů uávala aplikaci zajišťovacího účetnictví, což není vžy průchoné.
72 Ekonomická revue Central European Review o Economic Issues 12, 29 3. Finanční eriváty Při aktivitách na inančních trzích je nutné rozlišovat louhou pozici a krátkou pozici. Dlouhou pozici lze chápat jako (oložené) vlastnictví inančního aktiva. S touto pozicí je spojen peněžní výaj na počátku (v okamžiku otevření pozice pořízení aktiva) a peněžní příjem v okamžiku ukončení pozice. Oproti tomu krátká pozice přestavuje (oložený) závazek vůči protistraně oat přemětné aktivum. S krátkou pozicí je spojen peněžní příjem na počátku (proej aktiva na krátko) a peněžní výaj při ukončení pozice přemětné aktivum je zpětně okoupeno, jelikož je nutné jej vrátit. V přípaě hegingu ochází ke kombinaci buoucích očekávaných pozic, respektive z nich plynoucích peněžních toků tak, aby byla ostraněna citlivost celkové pozice (portolia ílčích pozic) na vybrané aktory. Heging neinančních institucí je zpravila prováěn za účelem zajištění pozic v primárních aktivech prostřenictvím otevření pozic ve inančních erivátech. Primárními aktivy jsou pro tyto účely myšleny záklaní nástroje inančního trhu jako luhové cenné papíry, majetkové cenné papíry a taktéž měny či komoity. V této práci vystačíme ze skupiny primárních aktiv s měnami a bezrizikovými luhovými cennými papíry, ať už v měně omácí či zahraniční. Ze je výrazem bezrizikový obecně myšleno nulové riziko úpaku protistrany při nulové citlivosti na vývoj trhu jako celku, a tey opřeu známá výše výnosu pro anou splatnost, přičemž měnové riziko je zanebáváno. Ieálním příklaem jsou autoritou na úrovni vláy emitované luhopisy pro omácího investora. Příslušný výnos označujeme jako omácí bezrizikovou sazbou, r, a zahraniční bezrizikovou sazbou, r, přičemž v článku pro zjenoušení přepoklááme, že výnosová křivka je plochá. ey pro vztah, Bt; NH expr, (2) ke B t; je cena luhového cenného papíru v čase t, se splatností v a nominální honotou NH, platí, že r (či r ) přestavuje roční výnos a je stejné pro všechna, ke t. Finančními eriváty jsou myšlena speciická aktiva, jejichž honota je ovozena o honoty poklaových aktiv, proto též sekunární nástroje inančního trhu. Důležitým znakem je rovněž minimální potřeba počátečního kapitálu a ále charakter termínového kontraktu, tey vypořáání obchou v buoucím čase za přeem sjenaných pomínek. Jinak řečeno, v čase t ochází k ohoě o právu či povinnosti učinit v čase = t +, ke označuje obu o zralosti (splatnosti, realizace; time to maturity), s aným aktivem S (poklaové aktivum, unerlying asset) obcho za přeem ohonutých pomínek jená se zejména o cenu K. u označujeme jako realizační či oací cenu (exercise price, strike price či elivery price). Nejjenouššími inančními eriváty jsou orwary a utures. Oba kontrakty jsou založeny na povinnosti buoucí směny poklaového aktiva (s neznámou buoucí cenou) za přeem známou částku v přípaě louhé pozice se jená o povinost nákupu poklaového aktiva, v přípaě krátké pozice pak o povinnost proeje. Záklaní olišností je, že utures přestavují oproti orwarům kontrakt, který je stanarizován takovým způsobem, že s ním je možné jenouše obchoovat na organizovaném trhu. Na ruhou stranu, orwar umožňuje vyspeciikování jenotlivých parametrů tak, 4 aby byly splněny konkrétní potřeby obou stran kontraktu. o má za násleek olišnou likviitu těchto kontraktů i olišné možnosti osažení perektního zajištění utures mohou vést k problémům vzhleem k nesoulau kótovaných parametrů se zajišťovanou pozicí. Jená-li se o časový nesoula, pak hovoříme o elta-hegingu, v přípaě nesoulau zajišťovaného a poklaového aktiva o cross-hegingu. Honota orwaru (přípaně i utures) v čase t se splatností v buoucím čase opovíá rozílu aktuální honoty poklaového aktiva a realizační ceny iskontované bezrizikovou sazbou (v přípaě nulového oatečného výnosu): F S r t, exp K. (3) Pro orwar na zahraniční měnu však má vztah tuto poobu: F r S r t, exp exp K. (4) Je ze tey nutné zohlenit výnos yzického práva k zahraniční měně. V obou přípaech je rovněž možné ormulovat tzv. orwarovou cenu. a přestavuje úroveň realizační ceny kontraktu, při které je jeho honota nulová. Konkrétně pro nulový oatečný výnos: F, exp t K r S (5) a pro orwar na měnu: F, exp t K r r S. (6) K inančním erivátům se ále řaí swapy a opce. Swapem je obecně myšlena opakovaná směna vou aktiv (tey napříkla opakující se orwar). Vzhleem k oboustranně symetrickému vztahu mezi stranami kontraktu strana s louhou pozicí má povinnost koupit a strana s krátkou pozicí má povinnost proat je možné orwary, utures a swapy označit jako lineární inanční eriváty. 4 Zejména typ/ruh poklaového aktiva, jeho množství, kvalita, oba zralosti.
.ichý Posouzení metoy částečného hegingu na přípau řízení měnového rizika neinanční instituce 73 Oproti tomu opce jsou příklaem nelineárního inančního erivátu. Záklaní vlastností je možnost (tj. opce) strany s louhou pozicí vybrat si, za opce bue, či nebue uplatněna. Opce obecně přestavuje právo strany s louhou pozicí uskutečnit v aný čas obcho s poklaovým aktivem S, tj. směnit jej za realizační cenu K. Pole typu obchou rozlišujeme call opce, z nichž vyplývá právo koupit poklaové aktivum, proto též kupní opce, a put opce, z nichž naopak vyplývá právo proat poklaové aktivum, proto též proejní opce. V závislosti na tom, jakým způsobem je určen možný čas uplatnění opce s, hovoříme o evropských opcích nebo opcích amerických. Přepokláejme vystavení opce v čase t =. Zatímco evropskou opci bue možné uplatnit pouze v obě zralosti s =, právo plynoucí z vlastnictví opce americké bue možné realizovat kykoliv v průběhu intervalu [;], s[;]. Speciickým přípaem je bermuská opce, kterou je sice taktéž možné uplatnit v průběhu celé životnosti, avšak jen v konkrétních iskrétních okamžicích, tj. s{,1,2,...,}. Opce bez stanovení alších speciických pomínek ovlivňujících jejich uplatnění jsou zpravila označovány pro svou jenouchost jako PV opce (plain vanilla options). Jsou-li v pomínkách kontraktu stanoveny alší úaje, které ále komplikují výplatní unkci, označujeme tyto opce jako exotické. V této práci buou pro účely hegingu měnového rizika aplikovány opce s relativně jenouchými výplatními unkcemi, konkrétně evropská call opce: call S K, (7) evropská put opce: put K S, (8) hotovostní igitální call opce (cash-or-nothing-call): call ig / cash Q I S K, (9) výplatou je tey částka Q, poku cena poklaového aktiva osáhne ceny realizační, a call opce s bariérou v obě zralosti: call up / out S K I S U. (1) ato opce má tey stejnou výplatu jako běžná call opce, poku cena poklaového aktiva v obě zralosti nepřesáhne bariéru U. Za účelem určení ceny opcí lze stanarně aplikovat moel le Blacka a Scholese (1973), jehož variace na měnu vypaá násleovně: t, call exp r S N (11) exp r K N. Ze N x přestavuje pravěpoobnost, že náhoná veličina z normovaného normálního rozělení pravěpoobnosti bue menší nebo rovna x (istribuční unkce) a 2 S ln r r K 2. Vzhleem k tomu, že hotovostní igitální call opce bue uplatněna, pouze poku S přesáhne K, lze její honotu vyjářit z moelu Blacka a Scholese takto: ig cash call r Q N t / exp.(12), 4. Záklaní metoy řízení měnového rizika Hegingové strategie lze obecně rozlišit o několika skupin le toho, s jakými aktivy pracují. Mezi záklaní metoy patří metoy s orwary či utures a metoy s jenouchými opcemi. Mimoto existují alší vě možnosti, jak při řešení inančního rizika postupovat zaujmout buď krytou, anebo nekrytou pozici. Jelikož všechny čtyři přístupy byly porobně analyzovány v přecházejícím článku, viz ichý (27), je prezentována pouze přehleová tabulka 1. abulka 1 Záklaní pozice řízení měnového rizika (na jenotku zahraniční měny) Název Varianta A Nástroj S Počáteční cashlow Konečné cashlow ze zajištění Celková pozice v čase (zajištění + výchozí pozice) S e r S S r r exp Varianta B S Varianta C F K S K S exp r r r Varianta D F K' K K' e S K' S expr r Varianta E K K S K S ; K expr Varianta F K' S K' S ; K' exp r
74 Ekonomická revue Central European Review o Economic Issues 12, 29 Pro snazší objasnění přepokláejme situaci, ky je určitému subjektu známo, že po uplynutí časového úseku, > a =, bue muset nakoupit zahraniční měnu ZM v množství Q ZM za účelem uhrazení cen výrobních vstupů. Zajišťované aktivum, které bue zároveň poklaovým aktivem využitých erivátů, označíme jako S, F x přestavuje orwar s realizační cenou x z pohleu omácí měny, x je opce na nákup zahraniční měny za měnu omácí. Varianta A přestavuje krytou pozici. Na počátku, tey v čase t =, je nakoupena zahraniční měna v takovém objemu, aby její zúročení zahraniční bezrizikovou sazbu r přes časový úsek poskytlo právě objem Q ZM. Počátečním cashlow v omácí měně tey je výaj S exp r Q. V čase ZM násleně bueme isponovat zahraniční měnou v objemu exp r QZM exp r Q, což lze ZM v omácí měně vyjářit na záklaě kurzu platného v čase takto: S Q ZM. Celková pozice v čase pak bue tvořena louhou pozicí v zahraniční měně v objemu Q ZM, krátkou pozicí v zahraniční měně ve stejném objemu a krátkou pozicí v omácí měně bezriziková výpůjčka, která byla užita k počátečnímu S exp r r Q nákupu zahraniční měny, tj. ZM. ato varianta je proto zcela bezriziková, neboť veškeré parametry jsou známy již o počátku. Úzce spjatou je Varianta B nekrytá pozice. Ze není v počátečním čase t = vyvinuta žáná aktivita. Pozice je ponechána zcela nekrytá, konečné cashlow vychází z měnového kurzu platného v konečném čase, S QZM. Ve srovnání s Variantou A neochází k žánému snížení rizika, je však ponechána možnost proitovat z příznivého vývoje. V souvislosti s tím neexistuje potřeba počátečního kapitálu. Varianty C a D jsou založeny na využití erivátových kontraktů typu orwar na zahraniční měnu. Obě varianty poskytují stejné jištění jako Varianta A, avšak s minimální potřebou počátečního kapitálu. U Varianty C přepoklááme, že je realizační cena kontraktu K určena takovým způsobem, že je výchozí honota orwaru nulová, S expr r. Počáteční cashlow je proto nulové, cashlow v čase je výaj nákup zahraniční měny za realizační cenu K. Vzhleem ke kompenzaci se zajišťovanou pozicí je celková pozice ána touto realizační cenou, tj. stejně jako u Varianty A máme S expr r Q. ZM Alternativně, neopovíá-li realizační cena měnovému kurzu očekávanému v rizikově neutrálním prostřeí, Varianta D, nemůže být honota orwaru nulová. Pak je v počátečním čase třeba výchozí pozici v erivátu inancovat bezrizikovou zápůjčkou/ výpůjčkou v omácí měně. Vzhleem ke kompenzaci zajišťované pozice s orwarem a realizační ceny s bezrizikovou pozicí v omácí měně opět opovíá celková konečná pozice Variantám A a C: S K ' S K K ' Q ZM S exp r r QZM. Na obě varianty, Variantu C i Variantu D, lze rovněž pohlížet z pozice zahraniční měny. Pak by se jenalo o otevření opačné pozice ve orwaru na nákup omácí měny za měnu zahraniční. Je tomu tak proto, že louhá pozice ve orwaru F (DM/ZM) je totožná s krátkou pozicí ve orwaru F ' (ZM/DM). Pro některé subjekty nemusí být žáoucí ostranit celkové riziko, nýbrž jen jeho část právě tu, která má nejvíce negativní opa na inanční situaci. Za tímto účelem lze využít různé opce. K nejjenoušším možnostem patří louhá pozice v call opci na zahraniční měnu s realizační cenou ve výši očekávaného kurzu, přípaně put opce na omácí měnu (z pohleu měny zahraniční). Jelikož opce poskytují právo, jsou s nimi vžy spojeny počáteční výaje, konkrétně ve výši ceny opce (neboli opční prémie). Call opce ává svému vlastníkovi možnost nákupu za výhonější z cen tey buď za cenu aktuální, nebo realizační. Cashlow celkové pozice v čase proto opovíá minimu z těchto vou cen, S K ;, sníženému o převeené výaje na nákup opce. V rámci Varianty E je přepokláána realizační cena na úrovni očekávaného kurzu. ímto způsobem sice bue zachována možnost proitovat z příznivého vývoje kurzu, avšak po započtení počátečních náklaů na otevření opční pozice bue stření honota opovíat ostatním variantám 5 a meián bue velmi pravěpoobně horší (tj. nejčastějším výslekem buou vyšší výaje). Z toho ůvou může být vhoné aplikovat Variantu F na bázi opce s realizační cenou vyšší, než je očekávaný kurz. Doplňme, že tak jako bylo možné u orwarů vytvořit stejnou pozici pomocí opačné pozice ve orwaru z pohleu ruhé měny, u opcí je možné osáhnout téhož íky put opci na omácí měnu. Postata uveených přístupů je graicky srovnána pomocí obrázku 5, v prvním řáku je obsažena krytá a nekrytá pozice, ve ruhém a ve třetím pak strategie s orwarem a opcí, přičemž napravo jsou strategie s eriváty s realizační cenou vyšší, než je cena očekávaná. Ve všech přípaech je bíle označena 5 Za splnění některých alších pomínek, zejména se jená o shonost rizikově neutrálního a skutečného přírůstku měnového kurzu.
.ichý Posouzení metoy částečného hegingu na přípau řízení měnového rizika neinanční instituce 75 nekrytá pozice, šeě krytá, přičemž tmavě je zvýrazněno krytí pomocí bezrizikového aktiva, tj. na záklaě levnějšího erivátu z ůvou, že K S expr r. Obecně přepoklááme, že výchozí kurz opovíá očekávanému (respektive jejich přirozené logaritmy jsou 1 %, osa x) a jeho volatilita je 5 %, osa y znázorňuje pravěpoobnost. 5. Metoa částečného zajištění měnového rizika V přechozí kapitole byly shrnuty záklaní přístupy k řízení měnového rizika. Kažá z nich má olišné výhoy i nevýhoy. Varianta B přestavuje nulové jištění, avšak nevyžauje žánou potřebu výchozího kapitálu. Varianta A znamená ixaci kurzu, a tey celkové ostranění rizika, avšak při významných nárocích na počáteční kapitál. Varianty C a D umožňují osáhnout v zásaě téhož, avšak při výrazně nižších počátečních výajích využívají se ze inanční eriváty, což jsou pákové instrumenty. Je tey možné osáhnout stejného jištění, avšak při potřebě kapitálu o výše několika procent vzhleem k Variantě A. 6 Varianty E a F zamezují opau nepříznivého vývoje, současně však umožňují proitovat z vývoje příznivého. o je vyváženo nenulovými počátečními výaji. Vzhleem k tomu, že jejich výše může být relativně velká, tey mohou omezit ostupnost těchto strategií, zaměříme se v této kapitole na metoy, které umožňují spotřebovat jen část kapitálu, přičemž je však část negativního rizika ponechána nekryta. Označme S jako (krátkou) pozici, kterou zajišťujeme, C jako kapitál, který máme na počátku k ispozici, a H jako portolio (inančních erivátů), které využijeme ke snížení rizika. Pak celkovou pozici v obecném čase tmůžeme ormulovat takto: S H, H C t t t. (13) Vzhleem k tomu, že H je velmi pravěpoobně nenulové, je nutné rovněž vyjářit celkový eekt: E H exp r (14) S H H expr. Úspěšnost strategie je možné změřit násleujícím způsobem: Pr X. (15) Je tey zřejmé, že máme tři proměnné: procentuální úspěšnost, hranici úspěšnosti X, ieálně na úrovni 6 I kyž je výchozí honota kontraktu nulová, za účelem ostranění úvěrového rizika může být požaováno složení zálohy s možností její úpravy v průběhu životnosti kontraktu le aktuálního vývoje zajišťované pozice. Oproti orwarům lze rovněž využít eriváty utures či přípaně CFD, princip však zůstává stejný. očekávaného kurzu, a ostupný kapitál C. Obvykle je možné některé z nich zvolit s tím, že alší násleně opočteme pomocí optimalizace. ey napříkla pro ané C = c hleáme takovou strukturu portolia H, aby pravěpoobnost úspěchu byla maximální. Alternativně lze hleat přímo strukturu portolia H X = H X. Bueme-li uvažovat Variantu E, pak je úspěšnost stoprocentní, = 1, přičemž X opovíá K, a minimální potřebný kapitál je án počáteční cenou call opce. Jak ukazují Föllmer an Leukert (1999), je-li cílem maximalizovat pravěpoobnost úspěchu při aném výchozím kapitálu nebo ekvivalentně minimalizovat nutný výchozí kapitál pro anou pravěpoobnost úspěchu, je za přepoklau vhoného pravěpoobnostního rozělení náhoné veličiny 7 optimální strategií akceptace rizika vyplývajícího z krajních scénářů. Nyní tento poznatek aplikujme na problém hegingu. Na obrázku 2 je zachyceno pravěpoobnostní rozělení náhoné veličiny ln S na bázi normálního rozělení se stření honotou Eln S 1% a směroatnou ochylkou = 5%. Jelikož právě očekávaná honota náhoné veličiny by měla být klíčová pro inanční rozhoování, přepokláejme, že nižší ln S než 1% znamenají pozitivní vývoj, vyšší honoty pak negativní, přičemž realizační cena kontraktu je na úrovni K ES. Pokrytí rizika až po úroveň E[S ] + 2 = 11% znamená, 8 že při investování pouze k kapitálu, tj. ke partial ull C k C, ull C znamená výchozí kapitál pro plné zajištění, partial C výchozí kapitál pro částečné zajištění a k,1, lze pro k =.84 osáhnout úspěšnosti Pr X PrH S 97.5%. (16) Z uveené argumentace je zřejmá blízkost s principem VaR. I ze víme, že na ané hlaině významnosti, tj. s úrovní spolehlivosti, oje k osažení nebo překročení honoty náhoné veličiny 11, což bue znamenat, že X <. Oproti konceptu VaR však jsme jištěni pro jakékoliv ln S < 11. Ieálním erivátem, který nám umožňuje osáhnout cílené výplaty, tey vzát se jištění rizika nepříznivého vývoje pro krajní scénáře, je vanilla call opce oplněná o bariéru aktivní jen v obě zralosti. Vzhleem k praktické neostupnosti takového erivátu na organizovaných trzích může být vhoné jeho syntetické vytvoření pomocí portolia H 7 Pro aný úsek nerostoucí či neklesající unkce hustoty, v závislosti na zajišťované pozici a úrovni X. 8 Dále přepoklááme, že S = E[S ] a = 1.
76 Ekonomická revue Central European Review o Economic Issues 12, 29 1. Vztah pravěpoobnosti úspěchu a a potřebného kapitálu 2 Struktura portolia H.8 1 kapitál.6.4.2-1..6.7.8.9 1. a -2 8 9 1 11 12 Obrázek 2 Strategie částečného zajištění rizika (vlevo), pravěpoobnost úspěchu (uprostře) a její výplatní unkce (vpravo) kombinace louhé pozice v kupní opci s realizační cenou K, krátké pozice v kupní opci s realizační cenou U a krátké pozice v igitální opci typu cash or nothing s realizační cenou U a objemem výplaty Q = U K. Výplatní unkce jenotlivých složek tohoto portolia jsou zřejmé z pravé části obrázku 2, v pravé části pak je znázorněna výplatní unkce celkového portolia. Na záklaě takto zkonstruovaného portolia lze analyticky vyjářit závislost mezi poměrem potřebného kapitálu C vzhleem k honotě kupní opce s realizační cenou K a úspěšností strategie. Graický průběh závislosti pro výše analyzovaný příkla je zřejmý z obrázku 2. Je zřejmé, že pro výrazné zvýšení pravěpoobnosti úspěchu je nutné relativně nízké množství kapitálu až po =.8. Za tímto boem se zvyšování pravěpoobnosti úspěchu stává ražší a ražší (směrnice křivky je vyšší než jena). Můžeme provést násleující rekapitulaci: vanilla H k call K (17) vanilla vanilla ig / cash K U U K U call call call a N U. (18) 6. Posouzení metoy částečného hegingu Za účelem posouzení metoy částečného hegingu a jejího porovnání vzhleem k více stanarním variantám uvažujme násleující vstupní ata (ve shoě s ichý (27)): časový úsek, po jehož uplynutí je nutné zahraniční měnu koupit, je 3 měsíce, tj. =.25; potřebné množství zahraniční měny Q = 1 euro. Výchozí kurz je 28 CZK/EUR. Pro zjenoušený zápis bue ále množství měny uáváno v tisících. Jenotlivé varianty buou ověřeny pomocí simulování 1 náhoných scénářů vývoje měnového kurzu na bázi geometrického Brownova pohybu: 2 S S r r W exp / 2,(19) přičemž volatilita je přepokláána na úrovni =.5. Postupně oje k posouzení jenotlivých strategií pro všechny přípustné vztahy omácí a zahraniční bezrizikové sazby, tj. r r, r r a r r, a rovněž pro nenulový oatečný reálný rit měnového kurzu. Metoa částečného hegingu bue zvažována pro počáteční kapitál ve výši k =.9,.75,.5 a.25 z honoty vanilla call opce s realizační cenou K = E S, přičemž jenotlivé varianty označíme jako Q_9, Q_75, Q_5 a Q_25. Pro srovnání se záklaními strategiemi zvolíme krytou pozici (Varianta A), nekrytou pozici (Varianta B) a vanilla call s K = E [S ] (Varianta E), přičemž u všech variant buou určeny počáteční náklay, stření honota, E E, meián M E, směroatná ochylka E šikmost, špičatost 3 E 4 E, kvantily pro q = 5% a q = 95%, tj. takové x, pro které platí, že Pr x q, pravěpoobnost chyby větší než E nula, Pr Er tey nepříznivého výsleku, a pomíněná stření honota tohoto výsleku EEr Er, přičemž E je celkový eekt v čase (přepočtené výaje): E H exp r (2) S H H expr, ke H je honota zajišťovacího portolia v čase, a E : chybu určujeme vzhleem k benchmarku S Er S H ES. (21) Shoná úroveň úrokových sazeb Za přepoklau shoných úrokových sazeb bue očekávaná honota buoucího kurzu totožná s honotou aktuální, tj. ES 28. Generování náhoných prvků pomocí stratiikace jenotkového intervalu a náslené aplikace metoy inverzní transormace vee k vcelku obrým výslekům, viz histogram pravěpoobnostního rozělení konečného kurzu (obrázek 3). 9 Stření honota i směroatná ochylka jsou shoné, špičatost je v zásaě 9 Metoa stratiikace je popsána napříkla v ichý (28).
.ichý Posouzení metoy částečného hegingu na přípau řízení měnového rizika neinanční instituce 77 opovíající (3.36) a šikmost mírně pozitivní (.75) ta určuje, že meián je nepatrně nižší, než stření honota (27.991). Na záklaě tohoto rozílu určíme chybu ohau meiánu:. 9. 25 2 15 1 nepokryje růst měnového kurzu, tj. H = při S > E [S ]. Ze je nutné zůraznit, že pomíněná stření honota sice klesá s množstvím investovaného kapitálu, avšak pravěpoobnost roste mnohem více. Přesnější přestava o možné chybě při aplikaci strategie částečného zajištění vyplývá z obrázků 4 a 6 (výplata z pozice, histogram pravěpoobnostního rozělení a vývoj setříěné ztráty, vše pro k =.9 (vlevo) a k =.25 (vpravo)). 3 3 5 29 29 26 27 28 29 3 28 28 Obrázek 3 Histogram pravěpoobnostního rozělení konečného kurzu při rovnosti bezrizikových sazeb Statistické charakteristiky celkových náklaů na nákup zahraniční měny v množství Q jsou uveeny v tabulce 2 v příloze. Je zřejmé, že všechny metoy veou ke stejné stření honotě celkových výajů ve výši 28 mil. CZK, ostatní charakteristiky se však liší. Výše počátečního kapitálu opovíá množství prostřeků určených pro zajišťovací strategii, tj. k-krát počáteční vkla Varianty E. Výše počátečních náklaů na sestavení portolia opcí by měla ovlivnit honotu meiánu takto: ME E E H exp r. (22) Avšak vzhleem k mírně pozitivní šikmosti simulovaných kurzů, a tey i chybě meiánu, je nutné postupovat násleovně (vlnovka označuje simulované honoty): ~ ~ ME M E E E H exp r. Vzhleem k tomu, že metoa částečného hegingu ponechává část rizika nepokrytu, roste směroatná ochylka výsleku se snižujícím se objemem počátečního kapitálu. Je rovněž zřejmé, že lim 1 Varianta Q_ k Varianta E k, a lim Varianta Q_ k Varianta B k. Obobné závěry lze vypozorovat u jenotlivých kvantilů nižší objem počátečního kapitálu snižuje levé kvantily, na pravé kvantily však zároveň působí i nepokryté riziko v pravé části oboru možných výsleků. 1 ato nejenoznačnost vlivu se taktéž projevuje u honot šikmosti a špičatosti ani ze nelze vypozorovat konstantní závislost. Co se týče zjištěné chyby, tak ta opovíá honotě 1 le (18). Důležitým parametrem je stření honota nepříznivého výsleku, tey průměr scénářů, pro které výplata zajišťovacího portolia H 1 Olišnost lze částečně přičíst i na vrub neokonalé simulace, tj. robné chyby v šikmosti. 27 27 28 29 3 27 28 29 3 Obrázek 4 Honota zajištěné pozice pro k =.9 (vlevo) a k =.25 (vpravo). Z histogramů pravěpoobnostního rozělení je zřejmý charakter ukončení krytí rizikové pozice. Zatímco při nekryté pozici by se jenalo o symetrickou poobu normálního rozělení, v přípaě krytí pomocí opce (Varianta E) je pravá část obrazce nakumulována na úrovni očekávaného kurzu plus náklay na otevření pozice. Poku však náklay snižujeme, ochází k posunu tohoto sloupce více oleva a zároveň i k jeho snížení. Děje se tak na úkor akceptace výsleků v pravé části spektra. Pro oplnění je v příloze na obrázku 6 znázorněn i seřazený vývoj ztráty pro jenotlivé scénáře, pro které moiikovaná opce nepokryje honotu poklaové pozice. Levé znázornění (k =.9) lze zároveň chápat jako pravý horní výřez pro k =.25. Vše je popořeno zobrazením honoty zajištěné pozici v závislosti na velikosti kurzu. Olišná úroveň bezrizikových sazeb Jestliže buou bezrizikové úrokové sazby v jenotlivých ekonomikách různé, bue se očekávaný buoucí kurz olišovat o kurzu výchozího. Přepokláejme, že r =.5 a r =.6, pak: ES S exp r r 27.93. Po vynásobení množstvím Q získáme očekávané náklay na nákup požaovaného množství zahraniční měny, tj. X = 27 93 Kč. ato honota je stejná pro všechny strategie. Detailní charakteristiky jsou uveeny v tabulce 3. Vzhleem k nižší přepokláané částce vynaložené na nákup v buoucnu a vyšší zahraniční sazbě počáteční potřeba kapitálu pro všechny varianty mírně klesá. Opční strategie mají meián opět umístěn mírně napravo o stření honoty, směroatná ochylka se nepatrně snižuje, umístění kvantilů i parametry šikmosti a špičatosti jsou obobné k říve prezentovaným výslekům. 27
78 Ekonomická revue Central European Review o Economic Issues 12, 29 Vzhleem k tomu, že bezrizikové sazby jsou olišné jen mírně, zůstává přibližně zachována i pravěpoobnost úspěchu strategie. Samozřejmě, poku by ošlo k výraznějšímu ochýlení sazeb, přípaně změně alších vstupů, jako je volatilita měnového kurzu, které poveou ke změně cen aplikovaných opcí, změní se i úspěšnost strategie pro ané k. Rovněž lze uvažovat situaci, ky zahraniční bezriziková sazba bue nižší než omácí, tey r =.4. Výsleky však buou obobné oje zejména k mírnému zvýšení přepokláaných náklaů, neboť: E S S exp r r 28.7. Dopa reálného ritu stochastického procesu oslabení omácí měny V přechozí analýze jsme přepokláali, že skutečný průměrný přírůstek měnového kurzu opovíá přírůstku, který lze očekávat v rizikově neutrálním prostřeí na bázi rozílu r a r. V reálném prostřeí však může být situace olišná. Přepokláejme tey, že platí shonost bezrizikových sazeb, omácí i zahraniční, avšak pro účely simulace náhoného vývoje měnového kurzu přepíšeme GBM takto: 2 S S exp / 2 W. Uvažujme nejříve, že =.2 p.a. tey omácí měna oslabuje. V tomto přípaě je třeba rozlišit kurz očekávaný v rizikově neutrálním prostřeí, který zůstává E Q S = 28. (postatný pro určení cen opcí), a kurz očekávaný v reálném prostřeí: P E S S exp 28.14. en je průměrným výslekem simulace. Kromě toho je nutné rozlišit rizikově neutrální pravěpoobnost úspěchu, určenou pomocí E Q S, a reálnou pravěpoobnost úspěchu, anou E P S. Přehle záklaních statistických charakteristik pro jenotlivé varianty je opět obsažen v tabulce 4 s tím, že nyní uváíme obě pravěpoobnosti, pro rizikově neutrální i reálný vývoj rizikově neutrální pravěpoobnost opovíá tabulce 2, reálná pravěpoobnost nepříznivého výsleku je přibližně o polovinu vyšší. Olišnost reálného a rizikově neutrálního přírůstku měnového kurzu má za násleek významnou ochylku stření honoty výsleku všech stuovaných strategií. Neboť ošlo k oslabení měny, nezohleněném v úrokovém ierenciálu, je opa nezajištění se pozitivní (varianty B a Q). Na ruhou stranu pro všechny varianty Q ochází k růstu reálné pravěpoobnosti chyby oproti pravěpoobnosti rizikově neutrální. yto ochylky jsou způsobeny nelineárním postojem k riziku. Z alších změn je nutné upozornit na zvýšení směroatné ochylky, posun meiánu více oprava, výrazně vyšší šikmost i špičatost. Dopa reálného ritu stochastického procesu posílení omácí měny Zcela opačným přípaem je reálné posílení omácí měny, což lze chápat jako přínos pro subjekt s povinností zakoupit zahraniční měnu. Přepokláejme tey záporný rit =.2 p.a., což povee k: P E S S exp 27.86. Po vynásobení potřebným množstvím zahraniční měny lze získat celkové náklay pro nekrytou pozici (Varianta B) jako 27 86 Kč, přičemž volatilita bue mírně vyšší. Co se týče celkového eektu částečného zajištění, stření honota i meián buou klesat s k, reálná pravěpoobnost nepříznivého výsleku se však sníží. 7. Závěr Ekonomická aktivita všech tržních subjektů je pravielně vystavována opaům stochastického prostřeí, které mohou nabývat pozitivních i negativních ůsleků. Pro úspěšné ungování poniku je proto účelné přijmout strategii, která umožní omezit výskyt přinejmenším části nepříznivých scénářů. V tomto článku byla přestavena metoa částečného zajištění na bázi opce s kombinovanou výplatou, umožňující neinančním institucím postatnou měrou snížit riziko nepříznivého vývoje při akceptovatelných náklaech. Uveená metoa byla srovnána s vybranými záklaními strategiemi (krytá pozice, nekrytá pozice, call opce) na přípaě instituce výrobního typu s očekávanou potřebou platby v zahraniční měně za různých přepoklaů shoná bezriziková sazba versus olišná bezriziková sazba, rizikově neutrální prostřeí versus reálné prostřeí. Bylo prokázáno, že zejména olišný rit poklaového procesu vyžauje posouit nejen rizikově neutrální pravěpoobnost úspěchu, nýbrž i reálnou, určenou na záklaě historických pozorování. Jako velejší výsleek bylo ukázáno, že i zánlivě nepatrná chyba simulace může mít klíčový opa na interpretaci výsleků umístění meiánu na opačné straně o stření honoty, než by mělo být. Literatura BARAM, S.M. (27). Corporate cash low an stock price exposures to oreign exchange rate risk, Journal o Corporate Finance 13: 981 994. http://x.oi.org/1.116/j.jcorpin.27.5.2
.ichý Posouzení metoy částečného hegingu na přípau řízení měnového rizika neinanční instituce 79 BLACK, F., SCHOLES, M. (1973). he Pricing o Options an Corporate Liabilities, Journal o Political Economy 81: 637 659. http://x.oi.org/1.186/2662 FÖLLMER, H., LEUKER, P. (1999). Quantile Heging. Finance an Stochastics 3: 251 273. http://x.oi.org/1.17/s78562 FRIBERG, R., GANSLAND, M. (27). Exchange Rates an Cash Flows in Dierentiate Prouct Inustries: A Simulation Approach. he Journal o Finance 62: 2475 252. http://x.oi.org/1.1111/j.154-6261.27.1281.x HULL, J.C. (28). Options, Futures, & other Derivatives, 7th e. Upper Sale River: Prentice Hall. MILLER, M., MODIGLIANI, F. (1958). he Cost o Capital, Corporation Finance an the heory o Investment. American Economic Review 48 (June 1958): 261 297. ROSS, M.P. (1996). Corporate heging: what, why an how? Working paper, University o Caliornia, Berkeley. SERVAES, H, UFANO, P. (26). he heory an Practice o Corporate Risk Management. Deutsche Bank Survey, Deutsche Bank, January 26. SMIH, C., SULZ, R.M. (1985). he Determinants o Firms Heging Policies, Journal o Financial an Quantitative Analysis 2: 391 45. http://x.oi.org/1.237/233757 SEIN, J.C., USHER, S.E., LAGAUA, D., YOUNGEN, J. (21). A comparables approach to measuring cashlow-at-risk or non-inancial irms, Journal o Applie Corporate Finance 13: 8 17. http://x.oi.org/1.1111/j.1745-6622.21.tb43.x SULZ, R.M. (1996). Rethinking Risk Management. Journal o Applie Corporate Finance 9: 8 24. http://x.oi.org/1.1111/j.1745-6622.1996.tb295.x ICHÝ,. (28). Posouzení vybraných možností zeektivnění simulace Monte Carlo při opčním oceňování. Politická ekonomie 56: 772 794. ICHÝ,. (27). Posouzení záklaních meto hegingu měnového rizika neinančních institucí. Ekonomická revue 1: 24 41. ICHÝ,. (26). Finanční eriváty typologie inančních erivátů, poklaové procesy, oceňovací moely, Ostrava: VŠB-U Ostrava.
8 Ekonomická revue Central European Review o Economic Issues 12, 29 Přílohy Obrázek 5 Srovnání záklaních přístupů k zajištění rizikové pozice 4 3 2 1 25 2 15 1 5 26 27 28 29 3 31 26 27 28 29 3 31 25 2 15 2 1 15 5 5 1 15 5 1 15 2 Obrázek 6 Histogram pravěpoobnostního rozělení a průběh ztráty pro k =.9 (vlevo) a k =.25 (vpravo).
.ichý Posouzení metoy částečného hegingu na přípau řízení měnového rizika neinanční instituce 81 abulka 2 Statistické charakteristiky jenotlivých variant (konečných náklaů) při rovnosti bezrizikových sazeb Varianta C E E ~ E ~ M q(5%) q(95%) PrEr EEr Er A 27 652 28 28 B 28 27 991 7 26 864 29 166 5 % 564.754 3.36 E 275.783 28 28 27 43 27 143 28 279 1.5822 5.1117 Q_9 248.25 28 28 242 478 27 114 28 251 1.54 % 1 797.2128 8.6389 Q_75 Q_5 26.838 28 28 2 552 27 72 28 29 4.67 % 1 491.6682 6.857 137.892 28 28 131 631 27 2 29 35 11.71 % 1 192.656 4.613 Q_25 68.946 28 28 61 679 26 933 29 236 22.3 % 95.3613 3.4622 3 E 4 E abulka 3 Statistické charakteristiky jenotlivých variant (konečných náklaů) při vyšší zahraniční bezrizikové sazbě Varianta C E E ~ E ~ M q(5%) q(95%) PrEr EEr Er A 27 583 27 93 27 93 B 27 93 27 991 698 26 796 29 93 55 % 534.754 3.36 E 275.95 27 93 28 2 42 27 75 28 29 1.5822 5.1117 Q_9 247.585 27 93 28 172 477 27 46 28 181 1.54 % 1 792.2128 8.6389 Q_75 Q_5 26.321 27 93 28 13 55 27 5 28 139 4.67 % 1 488.6682 6.857 137.547 27 93 28 6 63 26 935 29 233 11.7 % 1 188.656 4.613 Q_25 68.774 27 93 27 991 677 26 866 29 163 22.3 % 948.3613 3.4622 3 E 4 E abulka 4 Statistické charakteristiky jenotlivých variant (konečných náklaů) pro olišný skutečný rit procesu Varianta C E E ~ E ~ M q(5%) q(95%) PrEr EEr Er A 27 652 28 28 B 28 14 28 132 73 26 998 29 312 5 % 42.5 % 3 E 4 E 619.754 3.36 E 275.783 28 64 28 279 356 27 277 28 279 1.979 5.4787 Q_9 248.25 28 82 28 251 479 27 249 28 251 Q_75 Q_5 26.838 28 1 28 29 572 27 27 29 521 137.892 28 12 28 14 656 27 138 29 451 Q_25 68.946 28 134 28 7 686 27 67 29 382 1.54 % 2.51 % 4.67 % 6.98 % 11.71 % 16.11 % 22.3 % 28.39 % 1 817.9589 1.6731 1 513 1.82 6.9683 1 22.7462 4.2741 985.3941 3.241
82 Ekonomická revue Central European Review o Economic Issues 12, 29