STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA STROJNÍ A STAVEBNÍ TÁBOR, KOMENSKÉHO 1670 SBÍRKA PŘÍKLADŮ PRO OPAKOVÁNÍ NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY 2 ŠKOLNÍ ROK 2014/2015
Obsah 1 Dělitelnost přirozených čísel... 3 2 Obvody a obsahy rovinných útvarů... 4 3 Lineární rovnice... 5 4 Pythagorova věta... 6 5 Mocniny a odmocniny... 7 6 Racionální čísla... 8 7 Převody jednotek... 9 8 Konstrukční úlohy... 11 9 Tělesa... 12 10 Slovní úlohy... 13 11 Poměr, úměra, procenta... 15 12 Výrazy... 17 2
1 Dělitelnost přirozených čísel o znaky dělitelnosti čísel 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 a použít je o rozeznat prvočíslo a číslo složené o rozložit přirozené číslo na součin prvočinitelů o určit největšího společného dělitele D dvou, tří, čtyř přirozených čísel o určit nejmenší společný násobek n dvou, tří, čtyř přirozených čísel o řešit slovní úlohy vedoucí k určení D a n přirozených čísel 1/ V květinářství dostali 144 bílých a 192 červených růží. Kolik kytic mohou svázat, má-li mít každá kytice stejný počet bílých a stejný počet červených růží? 48 kytic; v každé budou 3 bílé a 4 červené růže 2/ Petr a Pavel četli stejnou knihu. Petr denně přečetl 15 stran, Pavel 12 stran. Petr přečetl knihu o tři dny dříve. Kolik stran měla kniha? 180 stran 3/ Zahradník má sázet na záhon střídavě řádek sazenic salátu a řádek sazenic zelí. Sazenice salátu se vysazují ve vzdálenosti 25 cm, sazenice zelí ve vzdálenosti 35 cm. Jaká musí být délka nejkratších řádků, aby byly vhodné pro výsadbu salátu i zelí? 3 175 cm (Hol)
2 Obvody a obsahy rovinných útvarů o znát a umět používat Pythagorovu větu o znát a umět používat základní vzorce pro obvod rovinných útvarů o znát a umět používat základní vzorce pro obsah rovinných útvarů o vyjádřit neznámou ze vzorce 1/ Obdélník ABCD má délku a = 7 cm a šířku b = 5 cm. Vypočítej obvod a obsah čtverce, který bude mít úhlopříčku stejně dlouhou jako obdélník ABCD O = 24,3 cm; S 37 cm 2 2/ Do čtverce ABCD je vepsána kružnice o poloměru r = 6 cm. Vypočítej délku jeho úhlopříčky. u 17 cm 3/ Obsahy dvou kruhů jsou v poměru 4 : 9. Větší kruh má průměr 12 cm. Vypočítej poloměr menšího kruhu. 4 cm (Hol) 4
3 Lineární rovnice o umět úpravy používané při řešení rovnic a jejich soustav (tzv. ekvivalentní úpravy) o znát možné speciální výsledky rovnice (nekonečně mnoho řešení, žádné řešení) 2( a b) 3( a b) 4 1/ 5( a b) 7( a b) 2 a = 19; b = 3 2 2 2 2/ (5y 2) (3y 1) (4y 1) 24 y = 1 3/ ( x 1)( x 2) ( x 3)( x 4) x = 5 (Ste) 5
4 Pythagorova věta o znát Pythagorovu větu o umět použít Pythagorovu větu pro výpočet třetí strany pravoúhlého trojúhelníku, zná-li zbylé dvě 1/ V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem v bodě C, známe velikost odvěsen a=80cm, b= 60 cm. Vypočítejte velikost těžnice na přeponu t c. 50 cm 2/ Jaké rozpětí má most, který je částí kružnice o poloměru 30 m a jeho výška je 6 m. 36 m 3/ Vypočítejte délku tělesové úhlopříčky kvádru, jehož rozměry jsou a=5cm, b= 6cm, c= 10 cm. 12,7 cm (Ste) 6
5 Mocniny a odmocniny o znát pravidla pro počítání s mocninami s přirozeným mocnitelem a mocnitelem nula (násobení, dělení, umocňování mocnin) o znát pravidla pro počítání s odmocninami o umět bez kalkulačky druhé mocniny a odmocniny některých přirozených čísel (2 2, 3 2,, 15 2 ; 225, 169,, 4) o umět zapsat číslo pomocí zápisu a 10 n 1/ Vypočítejte: a) x 4 y 3 x 2 2 xy5 y 2 2 = b) 35a 7 b 2 : 7a 2 b 2 = x 6 y 12 ; 5a 5 2/ Určete bez použití kalkulačky: a) 0,0009 = b) 225000 = c) 3 2 = d) 5 2 = 0,03; nelze; 9; 25 3/ Zapište čísla pomocí zápisu a 10 n, kde 1 < a < 10: a) 748 000 000 = b) 0,000 000 000 458 = 7,48 10 8 ; 4,58 10 10 (Kol) 7
6 Racionální čísla o pojmy: přirozená čísla, celá čísla, racionální čísla, navzájem opačná čísla, převrácená čísla (resp. převrácené hodnoty) o pořadí provádění početních operací a způsob odstraňování závorek o počítání s číselnými zlomky (tzn. sčítání, odčítání, násobení, dělení), krácení a rozšiřování zlomků, složené zlomky, smíšená čísla, základní tvar zlomku o počítání s desetinnými čísly, vztah mezi zlomkem a desetinným číslem 7 1/ 1 1 5 2 4 3 3 2 = 7 18 2/ 3 5 + 1 1 16 = 41 7 2 3 9 14 3/ 1 6 + 2 3 0,4 1 1 3 2 = 1 9 (For) 8
7 Převody jednotek o veličiny a jejich jednotky probírané ve fyzice na ZŠ o násobné a dílčí předpony před názvem jednotek o převod jednotek v desítkové soustavě pohybem desetinné čárky, příp. zápisem čísel ve tvaru a 10 n, kde 1 < a < 10 (viz. kapitola mocniny a odmocniny) o převody jednotek obsahu a objemu (např. odvozením z převodů jednotek délky zdvojnásobením, resp. ztrojnásobením počtu desetinných míst, o které posouváme ) o převody jednotek času (tzn. v šedesátkové soustavě) o převody jednotek hustoty, rychlosti, apod. o převod jednotek zapsaných zlomkem do zápisu součinu se záporným mocnitelem 1/ Vyjádřete v daných jednotkách 1,9 dm =... mm 190 0,6 kg = g 600 47000 mg =... kg 0,047 12 min =... h 0,2 2/ Vyjádřete v daných jednotkách 0,1 h =... s 360 3,2 dm 2 =... cm 2 320 0,04 km 2 =... m 2 40 000 3900 ml =... l 3,9 9
3/ Vyjádřete v daných jednotkách 425 cm 3 =... l 0,425 0,3 m 3 =... dm 3 300 7 g cm 3 =... kg m 3 7 000 54 km h 1 =... m s 1 15 (For) 10
8 Konstrukční úlohy o náležitosti konstrukčních úloh: náčrt útvaru s rozborem vlastností, zápis konstrukce /postup/, vlastní konstrukce, diskuze/počet řešení/ popř. kontrola o konstrukce základních geometrických útvarů (osa úsečky, kružnice opsaná a vepsaná, rozdělení úsečky v poměru, ) o znalost základních geometrických pojmů a jejich vlastností 1/ Sestrojte trojúhelník ABC, známe-li strany c = 6 cm, a = 6 cm, výšku v c = 4 cm. 2 řešení v dané polorovině 2/ Sestrojte rovnoramenný lichoběžník o základnách AB = 6 cm, CD = 4 cm a výšce v = 4 cm. 1 řešení v dané polorovině 3/ Sestrojte trojúhelník ABC se stranami velikosti a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Jaký trojúhelník vznikl? Zdůvodněte svůj názor. V tomto trojúhelníku sestrojte: a/ kružnici opsanou b/ kružnici vepsanou trojúhelník je pravoúhlý Pythagorova věta (Tra) 11
9 Tělesa S tělesy se setkáváme v běžném životě, jak uvidíte z následujících úloh. o vždy si musíte ujasnit, v jakých jednotkách budete úlohu řešit. o než napíšete odpověď na položenou otázku, zamyslete se nad její smysluplností. o také při zaokrouhlování se řídíme nejen matematickým pravidlem, ale i zdravým rozumem. 1/ Kolik dekagramů váží cukrová homole, která má tvar kuželu s průměrem podstavy 7 cm, výškou 12 cm, když tabulky uvádějí hustotu cukru 1 600 kg/m 3. přibližně 25 dkg 2/ Zahradní bazén má tvar válce s poloměrem podstavy 1,8 m. Při přípravě na zimu se musí hladina vody snížit přibližně o 25 cm. Kolik minut bude trvat odpouštění vody, když čerpadlo pracuje rychlostí 3l vody za vteřinu? přibližně 24minut 3/ V nádrži jsou 24 m 3 vody, která sahá do výšky 2,8m. O kolik cm klesne hladina, odčerpáme-li 90 hl vody? 12 o 105 cm (Noj)
10 Slovní úlohy o náležitosti konstrukčních úloh: náčrt útvaru s rozborem vlastností, zápis konstrukce /postup/, vlastní konstrukce, diskuze/počet řešení/ popř. kontrola o konstrukce základních geometrických útvarů (osa úsečky, kružnice opsaná a vepsaná, rozdělení úsečky v poměru, ) o znalost základních geometrických pojmů a jejich vlastností 1/ Zkušený maratonec důchodového věku z Tábora chce ke svému sportu přivézt i svého vnuka, spíše dobrého matematika než sportovce. V rámci motivace pro něj vymyslí příklad: Tradičního vytrvalostního závodu v běhu lesem Pintovka s námi poběží ještě 148 závodníků. 20% trasy poběžíme polní cestou, 7 5 trasy lesem a zbývajících 3,6 km podél řeky Lužnice. Kolik kilometrů uběhneme? a) 19 km b) 24 km c) 32 km d) 42 km 2/ Z Tábora do Zlína po nové dálnici D1 měří trasa 260km. Zlínský rodák momentálně žijící v Táboře jede po této dálnici na setkání se 13 d
svými spolužáky z gymnázia Holešov, kde maturoval. Vyjede v 8 hodin ráno průměrnou rychlostí 60 km za hodinu. O 8:30 hod. mu vyjede naproti po stejné trase z Holešova nedočkavá bývalá spolužačka průměrnou rychlostí 80 km za hodinu. Za jak dlouho a kolik km od Tábora se oba bývalí spolužáci setkají? Holešov je po dálnici o 20km z Tábora blíž než Zlín. a) za 1,5 hod. 90 km od Tábora b) za 2 hod 120 km od Tábora c) za 2,5 hod 150 km od Tábora d) úloha nedává smysl, protože žádná žena přece nepojede naproti svému bývalému spolužákovi, když ví, že za ní přijede b 3/ Matěj je drobný škudlil a navíc, jako téměř každý člověk, má drobnou úchylku. Ta spočívá v tom, že si střádá do pokladničky pouze pětikoruny a dvoukoruny. Jako každý lakomec i Matějovi činí největší radost si peníze přepočítávat. Včera penízky vysypal z pokladničky a spočítal si, že našetřil 178 Kč. Při hraní s penězi zjistil, že když položí na každou pětikorunu dvě dvoukoruny, tak mu jedna dvoukoruna chybí. Kolik kterých mincí si Matěj nastřádal? a) 40 dvoukorun, 21 pětikorun b) 26 dvoukorun, 25 pětikorun c) 24 dvoukorun, 18 pětikorun d) 39 dvoukorun, 20 pětikorun d (Pas) 14
11 Poměr, úměra, procenta o pozorně si přečíst zadání o u procent pochopit, co je základ, procentová část a počet procent o jednoduché úlohy řešit zpaměti přes 1 procento o řešit procenta trojčlenkou jako přímou úměru o rozlišit přímou a nepřímou úměru o řešit nepřímou úměru úvahou nebo pomocí trojčlenky o u slovních úloh napsat logicky správnou odpověď 1/ Rozměry kvádru jsou v poměru 9:5:4. Vypočtěte jeho objem, pokud víte, že součet délek nejkratší a nejdelší strany je 65 cm. a) 2,5 dm b) 22 cm 2 c) 2,2 dm 3 d) 22 500 cm 3 2/ Do obchodu přivezli 360 kg brambor. První den se prodalo 126 kg, druhý den 144 kg brambor. Kolik procent dodávky zbylo po dvou dnech v obchodě? a) 25 b) 35 c) 40 d) 75 15 d a
3/ Vzdálenost mezi dvěma chatkami je 5,4km. Na mapě je tato vzdálenost vyjádřena úsečkou délky 72mm. Určete měřítko mapy. a) 1: 50 000 b) 1: 75 000 c) 1: 100 000 d) 1: 125 000 b (Pas) 16
12 Výrazy o uvědomit si rozdíl mezi konstantou /číslem/ a proměnnou o zopakovat si: co vše může obsahovat výraz o pojmy opačný výraz, hodnota výrazu, členy výrazu o sčítání a odečítání výrazů o násobení výrazů /jednočlenů a mnohočlenů/, vytýkání před závorku o vzorce a ± b 2, a 2 b 2, rozklady výrazů na součin 1/ Upravte výraz, určete jeho hodnotu pro x = 1, k upravenému výrazu vytvořte výraz opačný: x 1 + 2x 2 = x 3; 2; x + 3 2/ Upravte do co nejjednoduššího tvaru: 2x x 1 x 2 2x = 3/ Upravte do co nejjednoduššího tvaru a pak určete hodnotu výrazu pro x = 2: x 2 1 x + 1 x x x = x + 1; 1 x 2 (Tra) 17