cvičící. cvičení 4ST201_řešení Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Vysoká škola ekonomická 1 1. Průběžný test Termín: pátek 26.3. v 11:00 hod. a v 12:4 v průběhu cvičení Doba:cca 30 minut Obsah:Popisnástatistika, Pravděpodobnost, Náhodnéveličiny, Pravděpodobnostní rozdělení Forma: Příklady budou formou těch, které jsme počítaly na cvičeních a které jsou na webu jako nepovinné příklady k procvičení. Celkem budou 3 příklady Možno používat: SAS, PC, vzorce k předmětu, tabulky, kalkulačky. Nenídovoleno: konzultovat s kolegou, s přítelem na telefonu, s jinými materiály. Co za to: 20 bodů 2
Co je třeba znát a užznáte : Z minulého cvičenívíme, že náhodnéveličiny máme diskrétnía spojité, dle hodnot, kterých veličina nabývá. X = Počet zajíců, které vytáhne kouzelník z klobouku» x= 0, 1, 2, 3, Diskrétní X= Doba strávenáve frontěna oběd (v minutách)» x= <0, 60 > Spojitá Náhodnéveličiny můžeme popsat pomocí: Distribučnífunkcí(diskrétníi spojité) Pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné x. Pravděpodobnostnífunkcí(diskrétní) Pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty rovné x. Hustotou pravděpodobnosti (spojité) Souhrnnéinformace o náhodných veličinách nám udávajíjejich charakteristiky: středníhodnota E(X) a rozptyl D(X). 3 Pár slov úvodem: Pravděpodobnostní rozdělení se používají jako pravděpodobnostní modely při popisu konkrétních věcných problémů. Mezi nejčastěji používanými pravděpodobnostní rozdělení/modely patřínásledující, kterédnes a příštěbudeme probírat. Důležité je uvědomit si pokaždé jaký problém řešíme a jaké parametry o daném problému víme. Poté nalezneme správné pravděpodobností rozdělení, kterým získáme výsledek 4
Binomické rozdělení Provádíme-li nnezávislých pokusůs pravděpodobnostníúspěchu π, má počet úspěchů, dosažených v těchto pokusech binomické rozdělení Bi(n,π). Parametry n počet nezávislých pokusů π pravděpodobnost úspěchu Pravděpodobnostní funkce: Střední hodnota: E(X)=n* π Rozptyl: D(X)=n* π*(1- π) n x x) = * π (1 π) x n x π Příklad.1. Binomické rozdělení V závěrečném testu ze statistiky je teoretických otázek, kde si student vybíráu každéjednu ze čtyřnabízených variant. Jakáje pravděpodobnost, že student, který se nepřipravía bude odpovídat náhodně: 1.Bude mít alespoň jednu otázku dobře 2.Bude mít dobře všech otázek 3.Bude mít dobře právě 2 otázky 4.Určete pravděpodobnost těchto jevů, pokud je student schopen na 100% vyloučit jednu ze špatných odpovědí u každé otázky! 6
( ;0,2) X > 0) = 1 0) = 1 0,7 Řešení příkladu.1. = 0,7626 0 X = ) = 0,2 0,7 = 0,2 = 0,001 2 3 2 3 X = 2) = 0,2 0,7 = 10 0,2 0,7 = 0,2637 2 ( ;0,33) X > 0) = 1 0) = 1 0,66 = 0,8683 0 X = ) = 0,33 0,66 = 0,004 2 3 X = 2) = 0,33 0,66 = 0,3292 2 7 Příklad.2. Binomické rozdělení Vrátíme se opět ke kostkám, kde jižumíte vypočítat tyto pravděpodobnosti, nyníje vypočítejte pomocíbinomického rozdělení: Jakáje pravděpodobnost, že 1.Při hodu čtyřmi kostkami nepadne ani jedna šestka 2.Při hodu čtyřmi kostkami padnou právě dvě šestky 3.Při hodu šesti kostkami padnou alespoň dvě šestky 4.Při hodu šesti kostkami padne nejvýše jedno liché číslo.při hodu šesti kostkami padnou právě tři čísla dělitelná třemi. 8
( 4;1/6 )_ X = 0) = ( /6) Řešení příkladu.2. 4 2 2 ( 4;1/6 )_ X = 2) = ( 1/6) ( /6) 6 1 ( 6;1/6 )_ X 2) = 1 0) 1) = 1 ( /6) ( 1/6) ( /6) 6 1 ( 6;1/2 )_ X 1) = 0) + 1) = ( 1/2) + ( 1/2) ( 1/2) 6 3 = 0,4823 = 0,117 6 1 3 3 ( 6;1/3 )_ X = 3) = ( 1/3) ( 2/3) = 0, 219 4 2 6 1 = 0,1093 = 0,2632 9 Hypergeometrické rozdělení Provádíme-li výběr bez vracení konečného souboru N objektů z nichž M máuvažovanou vlastnost, pak počet objektůs danou vlastnostímezi n vybranými má hypergeometrické rozdělení Hy(N,M,n). Parametry: N Velikost souboru M počet objektů s uvažovanou vlastností n.velikost výběru Pravděpodobností funkce: x) = n* M Střední hodnota: E ( X) = N Rozptyl: n* M M N n D( X) = * 1 * n N N 1 M x N * n x N xn M 10
Příklad.3. Hypergeometrické rozdělení Nyní se opět podíváme na karetní balíček. Vypočítejte pomocí hypergeometrickéhorozdělenípravděpodobnost, že při výběrůz balíčku 32 karet bude: 1. Mezi dvěma vybranými kartami nebude eso 2. Mezi třemi vybranými kartami bude právě jedno eso 3. Mezi čtyřmi vybranými kartami budou právě dvě esa 4. Určete středníhodnotu náhodnéveličiny, kterou je počet es v šesti vybraných kartách.. Určete střední hodnotu počtu es v šesti vybraných kartách, pokud po vytažení každou kartu opět vrátíme zpět do balíčku. 11 X X X X X ~ ~ ~ ~ ~ Hy Hy Hy Hy Bi Řešení příkladu.3. ( 32,4,2 )_ P ( X = 0 ) ( 32,4,3)_ P ( X = 1) ( 32,4,4 )_ P ( X = 2 ) ( 32,4,6 ) _ E ( X ) = 4 28 0 2 = = 0,7621 32 2 4 28 1 2 = = 0,3048 32 3 4 28 2 2 = = 0,0631 32 4 nm 6 4 = = 0,7 N 32 ( 6,1 / 8 )_ E ( X ) = n π = 6 1 / 8 = 0, 7 12
Poissonovo rozdělení Vyskytují-li se určitéjevy náhodněrozptýlenév časem nebo prostoru, mápočet výskytůtakových jevův konečném časovém intervalu (nebo omezeném prostoru) Poissonovo rozdělení Po(λ). Parametry: λ..počet jevů připadajících v průměru na daný interval Pravděpodobnostní funkce: X) = e λ * x λ x! Střední hodnota: E(X)= λ Rozptyl: D(X)= λ 13 Příklad.4. Poissonovo rozdělení Předpokládejme, že průměrný počet papírových draků, které uvidínávštěvník parku na podzim během jednoho dne je. Určete pravděpodobnost těchto jevů: 1.Návštěvník během jednoho dne uvidí alespoň jednoho draka 2.Návštěvník uvidí během jednoho dne právě pět draků 3.Návštěvník uvidí během jednoho dne více než zmiňovaných pět draků 4.Návštěvník uvidí draka už během první poloviny dne 14
Řešení příkladu.4. X ~ Po() _ P X ~ Po() _ P X ~ Po() _ P ( X > 0) = 1 0) ( X = ) = e 0 = 1 e = 1 0,0067 = 0,9933 0! = 0,17! = ( X > ) = 1 0) 1) 2) 3) 4) ) = 1 hodnoty _ dle _ tabulek = 1 0,0067 0,033 0,0842 0,1404 0,17 0,17 = 0,384 X ~ Po(2,) _ P 2, 0! 2, ( X > 0) = 1 0) = 1 e = 0, 9179 0 1 A nynípár příkladůk procvičování. U každého se zamyslete nad tím, jakým rozdělením jej budeme počítat. Co nestihneme na cvičení, si sami dopočítejte doma, výsledky budou na webu v prezentaci s řešením. 16
Příklad.6.: Příklady další Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je známo, že na jednotku plochy vyrostou po osetív průměru čtyři rostliny plevele. Vypočítejte pravděpodobnost, že na danéjednotce plochy: 1. Nebude žádný plevel..0,0183 2. Vyrostou nejvýše tři rostliny plevele..0,433 (tabulky) 3. Vyroste aspoň pět, ale nejvýše sedm rostlin plevele..0,32 17 Příklad.7.: a další. Pravděpodobnost, že v porodnici narozenédítěbude chlapec je 0,1. Jaká je pravděpodobnost, že mezi pěti v porodnici po sobě narozenými dětmi budou: 1. První tři děvčata a další dva chlapci..0,03026 2. Právě tři děvčata?.. 0,3028 18
Příklad.8.: a další V osudíje 20 míčkůzelených a 30 modrých. Náhodněvybereme 10 míčků. Jakáje pravděpodobnost, že mezi vybranými míčky bude právěpět modrých, jestliže: 1. Vybíráme s vracením.0,2007 2. Vybíráme bez vracení..0,211 19 Příštícvičenípíšeme prvnítest. Určitěsi propočítejte všechny příklady z prezentací! Jako dalším vzorovým materiálem jsou příklady v Aplikacích a nepovinné příklady na webu. Pokud budete mít jakýkoliv problém či otázku, můžete diskutovat na fóru. Budu vám držet palce! 20