Teoretická rozdělení
|
|
- Gabriela Veselá
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Seznámit se s některými teoretickými rozděleními, v této kapitole s diskrétními (Alternativní, Binomické a Poissonovo rozdělení). Naučit se s nimi pracovat. Nalézt pravděpodobnostní a distribuční funkci. V rozšiřujícím textu se naučíme počítat binomická čísla a seznámíme se se schématem Pascalova trojúhelníku. Dále se naučíme hledat ve statistických tabulkách. Základní text hod. Rozšiřující text ½ hod. Příklady ½ hod. Náhodný pokus Náhodná veličina Diskrétní náhodná veličina Spojitá náhodná veličina Zákon rozdělení náhodných veličin Pravděpodobnostní funkce Distribuční funkce Alternativní rozdělení Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení Poté, co jsme se seznámili se základními statistickými metodami třídění a zpracování dat, ukážeme si některá teoretická rozdělení, která nám slouží jako matematické modely k popisu náhodných veličin. Tato část výkladu spadá do oblasti pravděpodobnosti. Výkladová část Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. V rámci přírodních věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmínek vždy nastane určitý důsledek. Např. jestliže za normálního tlaku zahřejeme vodu na C, bude se přeměňovat v páru. Oproti těmto pokusům existují takové pokusy, kdy i při dodržení všech podmínek mohou nastat různé výsledky. Např. i přes sebepečlivější dodržení výrobního postupu jsou některé výrobky nekvalitní. Náhodný pokus je realizace činností nebo procesů, jejichž výsledek nelze s jistotou předpovědět.
2 Náhodná veličina je proměnná, jejíž hodnota je určena výsledkem náhodného pokusu (náhodnou veličinu značíme velkými písmeny X, hodnoty; jichž nabývá značíme malými písmeny x, x, x, ) Příkladem takového náhodného pokusu může být hod mincí. Náhodná veličina výsledek pokusu má pak dvě obměny x padne rub x padne líc Náhodná veličina může být diskrétní nebo spojitá. Diskrétní náhodná veličina může nabývat pouze konečného počtu obměn (např. počet dětí v rodině). Spojitá náhodná veličina může nabývat nekonečného počtu obměn (např. výše průměrného platu). Hodnotám náhodné veličiny lze přiřazovat pravděpodobnosti. Zákon rozdělení náhodné veličiny (teoretické rozdělení) je pravidlo, které každé hodnotě náhodné veličiny (nebo každému intervalu hodnot) přiřazuje pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude této hodnoty (nebo hodnoty z tohoto intervalu). Př: Hážeme-li hrací kostkou, zákon rozdělení náhodné veličiny přiřadí hodnotě pravděpodobnost /6, hodnotě také /6 atd. až hodnotě 6 také /6. Podle povahy náhodné veličiny dělíme teoretická rozdělení na diskrétní a spojitá. Distribuční funkce F udává pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší nebo rovné, než právě zvolená hodnota x diskrétní náhodná veličina - tato kumulativní pravděpodobnost je vyjádřena součtem dílčích pravděpodobností Př: Zvolíme-li ve zmiňovaném případě hrací kostky hodnotu x třeba distribuční funkce F /6, tj. / (může padnout nebo F /6 + /6). spojitá náhodná veličina - tato kumulativní pravděpodobnost je vyjádřena integrálem, jehož dolní mez je obvykle -, horní mez odpovídá zvolené hodnotě x.
3 Parametry teoretických rozdělení: - střední hodnota (popisuje polohu náhodné veličiny) a značí se E(X) - rozptyl (popisuje variabilitu náhodné veličiny) a značí se D(X). Teoretická rozdělení Nejdříve se zaměříme na Diskrétní rozdělení. Nejjednodušší je Alternativní rozdělení A(p) Některé náhodné pokusy mohou mít pouze dva různé výsledky: - pokus je úspěšný - pokus je neúspěšný Příslušná náhodná veličina X se pak nazývá alternativní (dvoudobá, nula-jedničková). Vlastnosti: střední hodnota E(X) p rozptyl D(X) p.( - p) Používáme označení: P(A) P(X ) p P(A ) P(X ) - p Př: Jak jsme si ukázali v předchozí kapitole je pravděpodobnost narození chlapce 5%. Označme náhodnou veličinu X... pohlaví narozeného dítěte. Tuto náhodnou veličinu můžeme popsat alternativním rozdělením. P(A) P(X ),5... narodí se chlapec (sledovaný jev) P(A ) P(X ),49... narodí se děvče (alternativní jev) Máme-li sadu takovýchto náhodných pokusů (např. ), můžeme pravděpodobnost počtu sledovaných jevů v této sadě popsat pomocí binomického rozdělení. Binomické rozdělení (n, p) n počet provedených pokusů p pravděpodobnost sledovaného jevu Náhodná veličina Y s konečným počtem oddělených hodnot: Y sledovaný jev nenastane Y sledovaný jev nastane x.. Y n sledovaný jev nastane n x Př: V případě, že budeme mít děti, je pravděpodobnost, že mezi nimi nebude žádný chlapec rovna: Y,49.,49.,49; tj., 49,76 zhruba,8 %... chlapců, děvčata Uvažujeme, že pravděpodobnost narození chlapce nebo dívky jsou nezávislé jevy (nezáleží, co
4 nastalo v předchozím pokusu), potom se pravděpodobnost jednotlivých jevů násobí [P(A B) P(A).P(B)]. Pravděpodobnost, že mezi dětmi bude chlapec je rovna: Y,5.,49.,49 Chlapec však nemusí být nutně prvorozený. Musíme uvažovat, že může být na druhém nebo na třetím místě. Vytváříme vlastně jednoprvkové podmnožiny ze tří prvků. Výsledek musíme tedy vynásobit kombinačním číslem (kombinační číslo viz. Rozšiřující text). Y,5.,49.,49; tj.,5., 49,674 zhruba 6,7 %... chlapec, děvčata Pravděpodobnost, že mezi dětmi budou chlapci je rovna: Y,5.,5.,49 Opět musíme uvažovat, že chlapci mohou být na různých místech. Vytváříme dvouprvkové podmnožiny ze tří prvků. Výsledek musíme tedy vynásobit kombinačním číslem. Y,5.,5.,49, tj.,5., 49,8 zhruba 8, % A poslední možnost pravděpodobnost, že mezi dětmi budou chlapci je rovna: Y,5.,5.,5 Vytváříme tříprvkové podmnožiny ze tří prvků. Výsledek musíme tedy vynásobit kombinačním číslem. Y,5., 49,7 zhruba, % Pro přehlednost si výsledky shrneme do tabulky. Y j P j počet % Y, 49,8 Y 6,7,5., 49 Y,5., 49 8, Y,,5., 49 Ve výpočtu pravděpodobnosti Y můžeme doplnit kombinační číslo pro nulaprvkovou podmnožinu ze tří prvků a pravděpodobnost narození chlapce na nultou,5, dostáváme tak 4
5 ,5., 49. Výsledky můžeme zobecnit. n Pravděpodobnostní funkce P j p j. (-p) n-j určuje pravděpodobnost, že sledovaný jev j nastane právě j - krát. n (n-j krát nenastane a je způsobů, jak může nastat) j Sečteme-li všechny pravděpodobnosti, musíme dostat %. Vlastnosti: střední hodnota E(X) n p rozptyl D(X) n p.( - p) Graf pravděpodobnostní funkce z našeho příkladu vypadá následovně: Pj Binomické rozdělení Bi(n; p,5),5,4,,, j Binomické rozdělení není obecně symetrické. Symetrické je pouze v případě, že p,5. Pj Binomické rozdělení Bi(n6; p,5),5,4,,, j 5
6 V případě, že p <,5 binomické rozdělení je zešikmené vlevo. Pj Binomické rozdělení Bi(n6; p,5),5,4,,, j V případě, že p >,5 binomické rozdělení je zešikmené vpravo. Pj Binomické rozdělení Bi(n6; p,75),5,4,,, j Distribuční funkce F(X j ) j P i, určuje pravděpodobnost, že sledovaný jev nastane nejvýše j - krát. V našem příkladě můžeme např. vypočítat jaká je pravděpodobnost, že budeme mít nejvýše chlapce. F(X ) dostaneme jako součet pravděpodobností, že nebudeme mít žádného, jednoho a dva chlapce. F(X ) P + P + P,8 +,67 +,8,867, tj. 86,7% Graf distribuční funkce pro náš příklad vypadá následovně: 6
7 Pj Binomické rozdělení Bi(n; p,5) Distribuční funkce,9,8,7,6,5,4,,, j Hodnoty distribuční funkce můžeme hledat také ve statistických tabulkách (viz. rozšiřující text). Binomické rozdělení má velký význam v teorii pravděpodobnosti a v matematické statistice. Většina jevů má sice více možných výsledků než pouze dva alternativní výsledky, ale my se můžeme omezit na jev, který nás zajímá s pravděpodobností p a zbylé jevy mají pak pravděpodobnost (-p). Např. při hodu kostkou je šest možných výsledků, ale my se můžeme zaměřit jenom na jeden (třeba, že padne 4) s pravděpodobností /6 a alternativní jev je nepadne 4 s pravděpodobností 5/6. Stejně tak při sledování určitého znaku v populaci, např. barva očí se můžeme zaměřit třeba na modré oči atd. Poissonovo rozdělení Po (λ) Je-li n dostatečně velké (n > ) a blíží-li se p k (p,), lze binomické rozdělení aproximovat Poissonovým rozdělením s jediným parametrem λ n.p Pravděpodobnostní funkce má tvar: 7
8 x λ λ ( ),,,... P x e x x! e, Eulerovo číslo Vlastnosti: střední hodnota E(X) λ p rozptyl D(X) λ p.( - p) Poissonovo rozdělení je oproti Binomickému rozdělení snazší na výpočet pravděpodobnosti. Př: Při výrobě žárovek je podle zkušenosti 8% vadných. Jaká je pravděpodobnost, že v krabici se ks žárovek bude právě 8 vadných? Výpočet provedeme nejprve pomocí binomického rozdělení a pak pomocí Poissonova. Bi (n; p) Bi (;,8) n... počet ks v krabici p,8... pravděpodobnost vadné žárovky j 8... jev vadná žárovka nastane právě 8x n P j p j. (-p) n-j j P 8,8 8. (-,8) P 8.,8 8. (,9) P , , 466,455, tj. 4,6%. Pravděpodobnost, že bude právě 8 žárovek vadných je 4,6%. Pomocí Poissonova rozdělení: λ.,8 8 Po (λ) Po (8) x λ λ ( ),,,... P x e x x! P(8) e., 546,96, tj. 4%. 8! Vidíme, že výsledky se liší pouze o desetiny procenta a výpočet je jednodušší. Rozšiřující text Kombinační čísla počítáme podle vztahu n n!, j j! ( n j)! kde n! je faktoriál čísla n a počítá se jako součin všech čísel od až do n. 8
9 n!......n (např. 5! ) Rozepíšeme-li si kombinační číslo např.! 4 4!.( 4)!! 4!.6! , vidíme, že ve zlomku můžeme zkrátit 6 faktoriál (6!). Pro výpočet je výhodné psát kombinační číslo tak, že do jmenovatele zlomku rozepíšeme k faktoriál (k!)a do čitatele stejný počet činitelů (čísla, která násobíme) jako máme dole a začínáme od největšího Můžeme pak krátit ve zlomku Kombinační čísla můžeme nalézt pomocí Pascalova trojúhelníku: n n n n 4 n atd. n značí kolika prvkovou máme množinu a kombinační čísla udávají kolika způsoby můžeme vytvářet podmnožiny. Např. pro n si můžeme představit tři prvky (kupříkladu ) 9
10 nám říká, že prázdnou podmnožinu ze tří prvků můžeme vybrat jedním způsobem (nevybereme nic). nám říká, že jedno-prvkovou podmnožinu ze tří prvků můžeme vybrat třemi způsoby (buď vybereme nebo a nebo ). nám říká, že dvou-prvkovou podmnožinu ze tří prvků můžeme vybrat třemi způsoby (buď vybereme nebo a nebo ). nám říká, že tří-prvkovou podmnožinu ze tří prvků můžeme vybrat jedním způsobem ( ). Vidíme, že Pascalův trojúhelník je symetrický: Obecně platí k n n k n, což můžeme s výhodou využít při výpočtu Následující řádek v Pascalově trojúhelníku dostaneme sečtením čísel nad hledaným kombinačním číslem. n n Tak např. + + A tak bychom mohli pokračovat.
11 Obecně platí n + n n + k + k k + Hledání ve statistických tabulkách Hodnoty distribučních funkcí teoretických rozdělení jsou uvedeny v tabulkách, které najdete zpravidla na konci každé učebnice z pravděpodobnosti a statistiky. Hledanou pravděpodobnost nemusíme tedy počítat, ale můžeme ji odečíst z příslušné tabulky. Ukážeme si to na tabulce pro binomické rozdělení. Př.: Jaká je pravděpodobnost vyhrát 5 zápasů z 8, když síly soupeřů jsou vyrovnány? Řešení: n 8 p,5 k 5 Najdeme si příslušnou tabulku pro binomické rozdělení. Tabulka : Distribuční funkce binomického rozdělení Bi(n; π) π n x,,5,,,,4,5,6,7,8,9,95,99 5,95,774,59,8,68,78,,,,,,,,999,977,99,77,58,7,88,87,,7,,,,,999,99,94,87,68,5,7,6,58,9,,,,,,99,969,9,8,66,47,6,8,, 4,,,,,998,99,969,9,8,67,4,6,49 6,94,75,5,6,8,47,6,4,,,,,,999,967,886,655,4,,9,4,,,,,,,998,984,9,744,544,44,79,7,7,,,,,,999,98,9,8,656,456,56,99,6,, 4,,,,998,989,959,89,767,58,45,4,, 5,,,,,999,996,984,95,88,78,469,65,59 7,9,698,478,,8,8,8,,,,,,,998,956,85,577,9,59,6,9,4,,,,,,996,974,85,647,4,7,96,9,5,,,,,,997,967,874,7,5,9,6,,,, 4,,,,995,97,94,77,58,5,48,6,4, 5,,,,,996,98,97,84,67,4,5,44, 6,,,,,,998,99,97,98,79,5,,68 8,9,66,4,68,58,7,4,,,,,,,997,94,8,5,55,6,5,9,,,,,,,994,96,797,55,5,45,5,,,,,,,,995,944,86,594,6,74,58,,,, 4,,,,99,94,86,67,46,94,56,5,, 5,,,,999,989,95,855,685,448,,8,6, 6,,,,,999,99,965,894,745,497,87,57, 7,,,,,,999,996,98,94,8,57,7,77 9,94,6,97,4,4,,,,,,,,
12 ,997,99,775,46,96,7,,4,,,,,,,99,947,78,46,,9,5,4,,,,,,999,99,94,7,48,54,99,5,,,, 4,,,999,98,9,7,5,67,99,,,, 5,,,,997,975,9,746,57,7,86,8,, 6,,,,,996,975,9,768,57,6,5,8, 7,,,,,,996,98,99,84,564,5,7, 8,,,,,,,998,99,96,866,6,7,86,94,599,49,7,8,6,,,,,,,,996,94,76,76,49,46,,,,,,,,,988,9,678,8,67,55,,,,,,,,999,987,879,65,8,7,55,,,,, 4,,,998,967,85,6,77,66,47,6,,, 5,,,,994,95,84,6,67,5,,,, 6,,,,999,989,945,88,68,5,,,, 7,,,,,998,988,945,8,67,,7,, 8,,,,,,998,989,954,85,64,64,86,4 9,,,,,,,999,994,97,89,65,4,96 Najdeme si příslušný oddíl, kde je n 8 a hledáme ve sloupci, kde je pravděpodobnost (zde označená π namísto p) π,5 π n x,,5,,,,4,5,6,7,8,9,95,99 8,9,66,4,68,58,7,4,,,,,,,997,94,8,5,55,6,5,9,,,,,,,994,96,797,55,5,45,5,,,,,,,,995,944,86,594,6,74,58,,,, 4,,,,99,94,86,67,46,94,56,5,, 5,,,,999,989,95,855,685,448,,8,6, 6,,,,,999,99,965,894,745,497,87,57, 7,,,,,,999,996,98,94,8,57,7,77 π n x,5 8,4,5,45,6 4,67 5,855 6,965 7,996 Protože distribuční funkce je součet jednotlivých pravděpodobností (Distribuční funkce F(X j ) j P i, určuje pravděpodobnost, že sledovaný jev nastane nejvýše j krát), hledanou pravděpodobnost P 5 nalezneme jako rozdíl distribuční funkce F(X 5 ) F(X 4 ) P 5,855,67,8, tj.,8 %. Shrnutí Seznámili jsme se s některými typy diskrétních rozdělení a naučili jsme se pomocí těchto teoretických rozdělení řešit pravděpodobnostní úlohy. Kontrolní otázky a úkoly ) Jaký výsledek je pravděpodobnější? Vyhrát zápasy ze 4 nebo 5zápasů z 8?
13 Síly obou soupeřů jsou vyrovnané, remíza se nepočítá, vždy musí jeden vyhrát. ) Co je snazší? Postoupit ze skupiny, pokud k postupu potřebujeme vyhrát alespoň zápasy ze 4 nebo vyhrát alespoň 5 zápasů z 8? Síly obou soupeřů jsou vyrovnané, remíza se nepočítá, vždy musí jeden vyhrát Seznam použitých zkratek Studijní literatura Odkazy Klíč k úkolům D(f) definiční obor funkce f H(f) obor hodnot funkce f E(X) střední hodnota teoretické náhodné veličiny D(X) rozptyl teoretické náhodné veličiny P j pravděpodobnostní funkce F(x j ) distribuční funkce A(p) Alternativní rozdělení s pravděpodobností p Bi (n; p) Binomické rozdělení s parametry n (počet pokusů) a p (pravděpodobnost sledovaného jevu) Po (λ) Poissonovo rozdělení s parametrem λ (λ n.p) Bílková, D. Budinský, P. Vohánka, V.: Pravděpodobnost a statistika. Aleš Čeněk, Plzeň, 9. Cyhelský, L. Souček, E.: Základy statistiky. EUPRESS, Praha 9. Hindls, R. Hronová, S. Seger, J.: Statistika pro ekonomy. Professional Publishing, Praha 4. Český statistický úřad - ) V prvním případě: Bi(4;,5) k 4 4 P,5 tj. 5% 6 Ve druhém případě: Bi(8;,5) k P 5.,88 tj.,88% Pravděpodobnější je první případ. ) V prvním případě je pravděpodobnost rovna součtu pravděpodobnosti výhry ve zápasech ze 4 plus pravděpodobnost výhry všech 4 zápasů ze P 4,65 tj. 6,5% 4 6
14 4 P + P 4,5 +,65,5 tj.,5% Ve druhém případě je pravděpodobnost postupu rovna součtu P 5 + P 6 + P 7 + P 8., P tj.,94%, P tj.,%, P tj.,9% P 5 + P 6 + P 7 + P 8,64 tj. 6,4%, což je více než v prvním případě (,5%) a to už je ve shodě s naší prvotní intuicí.
Významná diskrétní rozdělení pravděpodobnosti
Alternativní rozdělení Příklad Střelec vystřelí do terče, pravděpodobnost zásahu je 0,8. Náhodná veličina X udává, jestli trefil: položíme X = 1, jestliže ano, a X = 0, jestliže ne. Alternativní rozdělení
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
VíceModely diskrétní náhodné veličiny. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Po(λ) je možné použít jako model náhodné veličiny, která nabývá hodnot 0, 1, 2,... a udává buď počet událostí,
VíceNěkteré zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení
Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.
VícePrognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny
Prognóza poruchovosti vodovodních řadů pomocí aplikace Poissonova rozdělení náhodné veličiny Ing. Jana Šenkapoulová VODÁRENSKÁ AKCIOVÁ SPOLEČNOST, a.s. Brno, Soběšická 156, 638 1 Brno ÚVOD Každé rekonstrukci
Více6. T e s t o v á n í h y p o t é z
6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
Více5. cvičení 4ST201_řešení
cvičící. cvičení 4ST201_řešení Obsah: Informace o 1. průběžném testu Pravděpodobnostní rozdělení 1.část Vysoká škola ekonomická 1 1. Průběžný test Termín: pátek 26.3. v 11:00 hod. a v 12:4 v průběhu cvičení
Více1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.
2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:
VíceDrsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku?
Drsná matematika IV 7. přednáška Jak na statistiku? Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 2. 4. 2012 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Co je statistika? 3 Popisná statistika Míry polohy statistických
VíceDistribuční funkce je funkcí neklesající, tj. pro všechna
Téma: Náhodná veličina, distribuční funkce a její graf, pravděpodobnostní funkce a její graf, funkce hustoty pravděpodobnosti a její graf, výpočet střední hodnoty a rozptylu náhodné veličiny 1 Náhodná
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceDiskrétní rozdělení Náhodná veličina má diskrétní rozdělení pravděpodobnosti, jestliže existuje seznam hodnot
Rozdělení Náhodná veličina Náhodná veličina je vyjádření výsledku náhodného pokusu číselnou hodnotou. Jde o reálnou funkci definovanou na množině. Rozdělení náhodné veličiny udává jakých hodnot a s jakou
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
VíceMendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Institut celoživotního vzdělávání Fakulta regionálního rozvoje a mezinárodních studií STATISTIKA pro TZP Modul : Pravděpodobnost a náhodné veličiny Prof
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Diskrétní rozdělení Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 6 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 6) Diskrétní rozdělení Pravděpodobnost a
VíceTématické celky { kontrolní otázky.
Tématické celky kontrolní otázky. Základy teorie pravdìpodobnosti..pravdìpodobnostní míra základní pojmy... Vysvìtlete pojem náhody, náhodného pokusu, náhodného jevu a jeho mno- ¾inovou interpretaci. Popi¹te
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
Více1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010)
1. Pravděpodobnost a statistika (MP leden 2010) Pravděpodobnost pojmy 1. Diskrétní pravděpodobnostní prostor(definice, vlastnosti, příklad). Diskrétní pravděpodobnostní prostor je trojice(ω, A, P), kde
VíceUNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceObecné, centrální a normované momenty
Obecné, centrální a normované momenty Obsah kapitoly 4. Elementární statistické zpracování - parametrizace vhodnými empirickými parametry Studijní cíle Naučit se počítat centrální a normované momenty pomocí
VíceJaroslav Michálek A STATISTIKA
VUT BRNO FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ Jaroslav Michálek PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA BRNO 2006 preprint Kapitola 1 Úvod Prudký rozvoj výpočetní techniky, jehož jsme v posledních desetiletích svědky, podstatně
VíceKód uchazeče ID:... Varianta: 14
Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
Vícealternativní rozdělení Statistika binomické rozdělení bi(n, π)(2)
Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara 5. listopadu 2007 1(178) binomické rozdělení Poissonovo rozdělení normální rozdělení
Více9. Úvod do teorie PDR
9. Úvod do teorie PDR A. Základní poznatky o soustavách ODR1 Diferenciální rovnici nazveme parciální, jestliže neznámá funkce závisí na dvou či více proměnných (příslušná rovnice tedy obsahuje parciální
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceA NUMERICKÉ METODY. Matice derivací: ( ) ( ) Volím x 0 = 0, y 0 = -2.
A NUMERICKÉ METODY Fourierova podmínka: f (x) > 0 => rostoucí, f (x) < 0 => klesající, f (x) > 0 => konvexní ᴗ, f (x) < 0 => konkávní ᴖ, f (x) = 0 ᴧ f (x)!= 0 => inflexní bod 1. Řešení nelineárních rovnic:
VíceNěkolik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie
Několik poznámek na téma lineární algebry pro studenty fyzikální chemie Jiří Kolafa Vektory. Vektorový prostor Vektor je často zaveden jako n-tice čísel, (v,..., v n ), v i R (pro reálný vektorový prostor);
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
Více(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada
(Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceJak pracovat s absolutními hodnotami
Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.
VíceStřední škola informačních technologií a sociální péče, Brno, Purkyňova 97. Vybrané části Excelu. Ing. Petr Adamec
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Střední škola informačních technologií a sociální péče, Brno, Purkyňova 97 Vybrané části Excelu Ing. Petr Adamec Brno 2010 Cílem předmětu je seznámení se s programem Excel
Více2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)
Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
Více4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ. Matematika 3. RNDr. Břetislav Fajmon, PhD. Autoři textu:
FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Matematika 3 Garant předmětu: RNDr. Břetislav Fajmon, PhD Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Břetislav Fajmon, PhD
VíceÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.
ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu
VíceSTP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA
Poslední aktualizace: 29. května 200 STP022 PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA PŘÍKLADY Pro zdárné absolvování předmětu doporučuji věnovat pozornost zejména příkladům označenými hvězdičkou. Příklady
VíceMatice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice
VíceInduktivní statistika. z-skóry pravděpodobnost
Induktivní statistika z-skóry pravděpodobnost normální rozdělení Z-skóry umožňují najít a popsat pozici každé hodnoty v rámci rozdělení hodnot a také srovnávání hodnot pocházejících z měření na rozdílných
VíceDISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 5. cvičení
DISKRÉTNÍ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 5. cvičení Rozdělení pravděpodobnosti NV Rozdělení náhodné veličiny X je předpis, kterým definujeme pravděpodobnost jevu, jež lze touto náhodnou veličinou popsat. U
VíceVýpočet pravděpodobností
Výpočet pravděpodobností Pravděpodobnostní kalkulátor v programu STATISTICA Cvičení 5 Statistické metody a zpracování dat 1 (podzim 2016) Brno, říjen 2016 Ambrožová Klára Trocha teorie Náhodné jevy mají
VíceSkalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.
Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
VícePřehled pravděpodobnostních rozdělení
NSTP097Statistika Zima009 Přehled pravděpodobnostních rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní(Bernoulliovo, nula-jedničkové) rozdělení X Alt(p) p (0, ) X {0,} Hustota: P[X= j]=p j ( p) j, j {0,} Středníhodnota:
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceAsymptoty grafu funkce
Asymptoty grafu funkce Lenka Přibylová 8. července 006 Obsah Najděteasymptotygrafufunkce y = 1 x.... 3 Asymptotybezsměrnicekegrafufunkce y = 1 x : D(f) = R {} x + = 0 + = x = 0 = Funkcemáasymptotubezsměrniceajejípřímka
VícePRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I
PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA I RNDr. Tomáš Mrkvička, Ph.D. 16. března 2009 Literatura [1] J. Anděl: Statistické metody, Matfyzpress, Praha 1998 [2] V. Dupač, M. Hušková: Pravděpodobnost a matematická
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VícePřednáška. Další rozdělení SNP. Limitní věty. Speciální typy rozdělení. Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení
VI Přednáška Další rozdělení SNP Limitní věty Speciální typy rozdělení Rovnoměrné rozdělení R(a,b) Příklad Obejít celý areál trvá strážnému 30 minut. Jaká je pravděpodobnost, že u vrátnice budete čekat
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceMatematické symboly a značky
Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,
VíceTEST 1 (40 bodů) (9 4)! 2. Nejméně kolikrát musíme hodit kostkou, abychom měli alespoň 80% pravděpodobnost, že padne alespoň jedna šestka?
TEST (40 bodů) Jméno:. Pin karty se skládá ze čtyř náhodně vybraných číslic až 9, z nichž se žádné neopakuje. Jaká je pravděpodobnost, že všechny čtyři číslice budou liché? podíl všech možností,jak vybrat
VíceLenka Zalabová. Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita. zima 2012
Algebra - třetí díl Lenka Zalabová Ústav matematiky a biomatematiky, Přírodovědecká fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích zima 2012 Obsah 1 Dělitelnost 2 Grupy zbytkových tříd 3 Jedna z
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VíceMatematika a geometrie
Počítání 5001.ID053 - Barevná pravítka Z nerozbitného plastového materiálu, s různými barvami. Rozměry pravítek jsou všechny násobky jednotek a umožňují ověřování a porovnávání matematických konceptů.
Více28.ročník. Milý řešiteli!
28.ročník 3.leták Milý řešiteli! Máme tady nový rok a s ním i další sérii KOperníkova Korespondenčního Semináře. Chtěli bychom Ti v tomto roce popřát jen to nejlepší, hodně vyřešených matematických úloh
VíceStudium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda
1 Úvod Studium kladného sloupce doutnavého výboje pomocí elektrostatických sond: jednoduchá sonda V této úloze se zaměříme na měření parametrů kladného sloupce doutnavého výboje, proto je vhodné se na
VíceMATEMATIKA III V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA III V PŘÍKLADECH Cvičení 7 Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny Mgr. Petr Otipka Ostrava 2013 Mgr. Petr Otipka
VíceSada 1 Matematika. 16. Úvod do pravděpodobnosti
S třední škola stavební Jihlava Sada 1 Matematika 16. Úvod do pravděpodobnosti Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava šablony registrační číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 -
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceTéma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 6. Základní aproximační úlohu lze popsat následovně: Jsou dány body [x 0, y 0 ], [x 1, y 1 ],..., [x n, y n
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceKombinatorický předpis
Gravitace : Kombinatorický předpis Petr Neudek 1 Kombinatorický předpis Kombinatorický předpis je rozšířením Teorie pravděpodobnosti kapitola Kombinatorický strom. Její praktický význam je zřejmý právě
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
Více2. Přečtěte zapsaná desetinná čísla 0,27; 1,4; 1,57; 0,729; 2,4; 128,456; 0,005; 0,7; 12,54; 0,034; 100,001; 0,1
2a) Desetinná čísla celá část desetinná část příklady k procvičení 1. Zapište číslo a) 5 celých 4 desetin, 8 setin b) 8 set 4 desítky 7 jednotek 1 desetina 8 tisícin c) 2 miliony 8 tisíc 9 tisícin. 2.
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
Více1. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí.
. Tři shodné obdélníky jsou rozděleny různými způsoby. První je rozdělen na 4 shodné části, poslední obdélník na 6 shodných částí. Vyjádřete zlomkem, jakou část druhého obdélníku tvoří zatmavená plocha..
VíceROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Více(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt)
Popisná státistiká (motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt) 1. Příklad V pobočce banky za celý den
VícePřednáška 5. Výběrová šetření, Exploratorní analýza
Přednáška 5 Výběrová šetření, Exploratorní analýza Pravděpodobnost vs. statistika Výběrová šetření aneb jak získat výběrový soubor Exploratorní statistika aneb jak popsat výběrový soubor Typy proměnných
VíceCvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
VíceVyužití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.)
Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Masarykova univerzita Brno Využití statistických metod v medicíně (teorie informace pro aplikace VaV, vícerozměrné metody, atd.) doc. RNDr. PhMr. Karel
VíceMária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)
Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel
VíceMatematická statistika
Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické
VíceRozptyl. Pozn.: rozptyl je nezávislý na posunu hustoty pravděpodobnosti na ose x, protože Var(X) mi určuje jen šířku rozdělení.
Rozptyl Základní vlastnosti disperze Var(konst) = 0 Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (nezávislé proměnné) Lineární změna jednotek Y = rx + s, například z C na F. Jak vypočítám střední hodnotu a rozptyl? Pozn.:
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VícePredispozice pro výuku IKT (2015/2016)
Konzervatoř P. J. Vejvanovského Kroměříž Predispozice pro výuku IKT (15/16) Základní algoritmy pro počítání s celými a racionálními čísly Adam Šiška 1 Sčítání dvou kladných celých čísel Problém: Jsou dána
VíceBiostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty
Biostatistika a matematické metody epidemiologie- stručné studijní texty Bohumír Procházka, SZÚ Praha 1 Co můžeme sledovat Pro charakteristiku nebo vlastnost, kterou chceme sledovat zvolíme termín jev.
VíceBAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír
VíceKirchhoffovy zákony. Kirchhoffovy zákony
Kirchhoffovy zákony 1. Kirchhoffův zákon zákon o zachování elektrických nábojů uzel, větev obvodu... Algebraický součet všech proudů v uzlu se rovná nule Kirchhoffovy zákony 2. Kirchhoffův zákon zákon
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VíceInferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů
Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že
VíceDISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II)
DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY (II). Jaá je pravděpodobnost že při deseti poctivých hodech poctivou hrací ostou a) padnou samé šesty b) nepadne ani jedna šesta c) padne alespoň jedna šesta d) padnou právě
Více