Modelování v ekonomice, lékařství, chemii. Petr Hušek

Modelování v ekonomice, lékařství, chemii Petr Hušek

Modelování v ekonomice, lékařství, chemii Petr Hušek husek@fel.cvut.cz katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 2/2

Co se dnes dozvíme? Jak vypadá základní model ekonomiky, tzv. Harrod- Domarův model růstu Jak modelovat šíření epidemie v populaci Jak se šíří inzulín v krvi Jak vypadají základní modely v chemii MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 3/2

Modely v ekonomii základní modely vycházejí z ekonomických zákonů fungují jen v malém rozsahu, mnoho zjednodušujících předpokladů, zanedbávají mnoho vnějších vlivů složitější modely stochastické, experimentální, aproximace statistických řad MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 4/2

Harrod-Domarův model růstu vznikl ve 4.letech 2.století základní makroekonomický model zástupce keynesovské školy zvyšování objemu peněz vede ke snižování nezaměstnanosti x monetaristická škola (M. Friedman) dlouhodobě tomu tak není, dochází k inflaci Roy Forbes Harrod (9-978) Evsey David Domar (94-997) MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 5/2

y(t) hrubý národní produkt (GDP) s(t) úspory (savings) s() t = a y() t K(t) kapitálové rezervy nutné pro vytvoření GDP s(t) úspory (savings) K() t = b y() t a savings ratio b incremental capital-output ratio (ICOR) MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 6/2

předpoklady: investice Δ Kt () = b Δy() t I() t = s() t =ΔK() t Δyt () yt () a = = b g g index růstu GDP diferenciální rovnice: a yt ( + ) + yt ( ) = b - exponenciální růst MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 7/2

Příklad Indie Čína GDP/obyvatel 769$ v 96 Index růstu (96-98) 2% (98-2) 2.5% (2-27) 6.5% GDP/obyvatel 564$ v 96 Index růstu (96-98).3% (98-27) 8% MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 8/2

6 vyvoj GDP 2.5 x 4 vyvoj GDP GDP [$/obyvatel] 5 4 3 2 GDP Indie GDP Cina GDP [$/obyvatel] 2.5 GDP CR GDP Indie GDP Cina.5 96 97 98 99 2 2 rok GDP/obyvatel v 27 [USD]:. Katar 89 2. Lucembursko 85 8. USA 458 26.Japonsko 336 4. ČR 242 45. Slovensko 24 5. Čína 53 995 2 25 2 rok Růst GDP v 27 [%]:. Azerbajdžán 23.4. Čína.4 5. Slovensko.4 9. Indie 9.6 7. ČR 6. 79. USA 2.2 85. Japonsko.9 MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 9/2

Modely v lékařství Model šíření epidemie SIR S(t) počet náchylných k onemocnění (susceptible) I(t) počet infikovaných, šíří nákazu mezi S(t) (infected) R(t) počet jedinců, kteří nejsou nakažení ani chorobu nemohou šířit, imunní, izolováni (removed) Δ S = α SI Δ I = αsi β I T = Δ R= β I MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, /2

Sireni epidemie, alfa =.5, beta =.3 Sireni epidemie, alfa =.3, beta =.5.8.8 S(t),I(t),R(t).6.4 S(t) I(t) R(t) S(t),I(t),R(t).6.4 S(t) I(t) R(t).2.2 2 4 6 8 t Sireni epidemie, alfa =.8, beta =.2 2 4 6 8 t Sireni epidemie, alfa =.2, beta =.8 S(t),I(t),R(t).8.6.4 S(t) I(t) R(t) S(t),I(t),R(t).8.6.4 S(t) I(t) R(t).2.2 2 4 6 8 t 2 4 6 8 t MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, /2

Rovnovážný stav: I S = Δ I = αsi β I pro αs β > : závislost I(t) je rostoucí pro αs β < : závislost I(t) je klesající β pro S() < nedojde k rozšíření epidemie α Sireni epidemie, alfa =.5, beta =.3, S()=.6 S(t),I(t),R(t).8.6.4 S(t) I(t) R(t).2 2 4 6 8 t MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 2/2

Model šíření inzulínu v krvi modely různé složitosti model AIDA předpoklad stejné koncentrace v celém těle vhodný pro modelování inzulínového a glukózového testu testu Berger, M. a Rodbard, D.: Computer Simulation of Plasma Insulin and Glucose Dynamics After Subcutaneous Insulin Injection, The American Diabetes Association, Diabetes Care Vol. 2, No., November/December 989, 725 736. MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 3/2

ΔIt () Δt Iabs () t = kit e () V m i ΔIa () t = ki () t ki 2 a () t Δt s s st ( au( t) + b) u( t) Iabs () t = 2 t au t b t V k k i s s (( ( ) + ) + ) =.42 l/kg, m= 8 kg, =.25 h, k =.25 h, - - 2 e = 5.4l/h I(t) [U/l] koncentrace inzulínu I a (t) [U/l] koncentrace aktivního inzulínu (výstup) u(t) [U] dávka inzulínu (vstup) V i [l/kg] míra distribuce inzulínu m [kg] hmotnost člověka k e [l/h] míra vylučování inzulínu k, k 2, a, b, s konstanty MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 4/2

krátce působící inzulín: a=.5, b=.7, s=2 středně dlouho působící inzulín: a=.8, b=4.9, s=2 dlouho působící inzulín: a=, b=3, s=2.5 vstupem je konstantní velikost dávky inzulínu při inzulínovém testu 25 Vstupni davka inzulinu 2 u(t) [U] 5 5 5 5 2 25 t [h] MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 5/2

.6 Kratce pusobici inzulin.7 Stredne dlouho pusobici inzulin.4.6.2.5 I(t) [mu/l].8.6 I(t) [mu/l].4.3.4.2.2. I(t) [mu/l] 5 5 2 25 t [h] Dlouho pusobici inzulin.5.4.3.2. 5 5 2 25 t [h] I(t) [mu/l] 5 5 2 25 t [h].6.4.2.8.6.4.2 Koncentrace inzulinu kratky stredni dlouhy 5 5 2 25 t [h] MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 6/2

Modely v chemii modelování chemických reakcí chemická kinetika rychlost reakce je úměrná látkovému množství reaktantů koncentraci Reakce.řádu A B (nevratná) reakce.řádu ΔAt () Δt = k ΔAt () Δt = k A() t odbourávání alkoholu, k=. g/kg hod rychlost je rovněž ovlivňována skupenstvím, katalyzátory, teplotou MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 7/2

vliv teploty vyjádřen nejčastěji Arrheniovým zákonem: k E RmT = c, E, R m konstanty c e Reakce 2.řádu (nevratná), aa + bb rr + ss ΔA α = k A B a Δt ΔB α = k A B b Δt ΔR k A α B β = r Δt ΔS α β = k A B s Δt β β α + β = 2 nejčastěji α = β = a, b, r, s stechiometrické koeficienty MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 8/2

Spalování uhlí obsahující síru 4FeS 2 + O 2 2Fe 2 3 + 8SO 2 pyrit oxid železitý oxid siřičitý 987 27 výkon tep. el. v ČR [MW] 5 9 5 SO 2 [tun] 5 MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 9/2

2 Spalovani uhli 3 2.5 Spalovani uhli pyrit kyslik koncentrace [mol/l].5.5 pyrit kyslik koncentrace [mol/l] 2.5.5 koncentrace [mol/l] 2 3 4 5 t [s].8.7.6.5.4.3.2. Spalovani uhli Fe23 SO2 2 3 4 5 t [s] koncentrace [mol/l] 2 3 4 5 t [s] 2.5 2.5.5 Spalovani uhli Fe23 SO2 2 3 4 5 t [s] MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 2/2

Kontrolní otázky V Matlabu napište program, který bude simulovat chování Harrod-Domarova modelu. Pro jaké hodnoty indexu růstu g je Harrod-Domarův model stabilní? Nakreslete simulační schema modelu šíření epidemie a odsimulujte jej pro Vámi zvolené parametry a počáteční podmínky. Dokažte, že v modelu šíření epidemie platí S(t) + I(t) + R(t) = N pro jakýkoli čas t. Čemu se rovná celkový počet nakažených jedinců? Vytvořte simulační schema pro model šíření inzulínu v krvi a odsimulujte jej pro Vámi zvolené hodnoty parametrů a různé vstupní dávky inzulínu. Vytvořte simulační schemata chemických reakcí. a.řádu, zvolte si hodnoty parametrů a modely odsimulujte. MAS 22/3 ČVUT v Praze 4 - Modelování v ekonomii, lékařství, 2/2