Co je to signál? Jaké typy signálů známe? Které základní signály jsme poznali?

Transkript

1 Opakování Co známe z minulé přednášky? Co je to signál? Co všechno může být signálem? Jaké typy signálů známe? Které základní signály jsme poznali? T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

2 Obsah Čím se budeme zabývat? Co je to systém... Jak ho popsat... Jak systém reaguje na signál... Co udělá systém se signálem... Jaké jsou typy systémů... Jak systémy spojovat... T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

3 Úvod Co nás zajímá? VSTUPNÍ SIGNÁL VÝSTUPNÍ SIGNÁL Biologický systém - evokované potenciály: diagnostika i výzkum činnosti mozku a vazeb signálů v těle člověka Jak získat užitečnou informaci? T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

4 Úvod Co nás zajímá? +15V R6 10K C5 R7 10K VSTUPNÍ SIGNÁL P1 R5 C4 M22 D2 68K T4 C6 T5 10M R8 10K T6 VÝSTUPNÍ SIGNÁL Zpracování signálu: pouze vstup/výstup nebo i signály v jednotlivých místech zapojení? Jak kdy T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

5 Úvod Co nás zajímá? VSTUPNÍ SIGNÁL SYSTÉM VÝSTUPNÍ SIGNÁL Vnější popis: systém=černá skříňka; systém přijímá vstupní signál (buzení), produkuje výstupní signál (odezvu) Ovšem: odezva závisí i na (počátečním) stavu systému (el. obvod, člověk a jeho rozpoložení) Vnitřní popis: umožňuje nahlédnout do struktury systému T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

6 Úvod Co pro to musíme udělat? Zjednodušit problém, pokud je to přínosné... Popsat vlastnosti systému (fyzikální popis systému)... Popsat vstupní signál... Určit stav systému... Určit výstupní signál... T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

7 Příklad - čarodějnice na pružině Čarodějnice na pružině Definice problému: Jak se bude čarodějnice pohybovat, když za ní budeme tahat? T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

8 Příklad - čarodějnice na pružině Zjednodušení problému: Uvažujme jen vertikální pohyb Považujme čarodějnici za hmotný bod :-) Pružina se bude chovat hezky (tedy lineární vztah pro vratnou sílu F = kz) Ztráty pouze třením v pružině Žádné rušení, apod. T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

9 Příklad - čarodějnice na pružině Popis systému z k m β T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

10 Příklad - čarodějnice na pružině Fyzikální popis systému z k m β Hlavní myšlenka: rovnováha sil použijeme 2. Newtonův zákon: F = ma Jaké působí síly? Budící, tlumící, vratná T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

11 Fyzikální popis systému Příklad - čarodějnice na pružině z k m β Hlavní myšlenka: rovnováha sil použijeme 2. Newtonův zákon: F = ma Jaké působí síly? Budící, tlumící 1, vratná F o (t) β dz dt kz = ma = m d2 z dt 2 (1) 1 pro malé rychlosti je síla lineárně závislá na rychlosti (laminární proudění)=stokesův vztah, pro větší rychlosti kvadratická závislost (turbulentní proudění), pro rychlosti větší než Machovo číslo kubická závislost (rázová vlna) T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

12 Příklad - čarodějnice na pružině m d2 z dt 2 + β dz dt + kz = F o(t) Zkusme to napsat jinak: {m d2 dt 2 + β d } dt + k z = F o (t) (2) {m d2 dt 2 + β d } dt + k } {{ } popis systému, operátor z }{{} výstupní signál = F o (t) } {{ } vstupní signál T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

13 Příklad - čarodějnice na pružině {m d2 dt 2 + β d } dt + k } {{ } popis systému Lineární diferenciální rovnice 2. řádu! m, β, k jsou koeficienty diferenciální rovnice nejvyšší derivace udává řád Je to všechno? z }{{} výstupní signál = F o (t) } {{ } vstupní signál Ne! Musíme znát ještě stav systému, tedy počáteční podmínky z(0) = c 1, dz dt (0) = c 2 rovnice 2. řádu 2 počáteční podmínky Řešení rovnice potom platí pro dané počáteční podmínky c 1, c 2 buzení (vstupní signál) F o (t) Demonstrace řešení - průmět na pohybující se papír T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

14 Matematické kyvadlo Příklad - kyvadlo T c θ l mglsinθ mg Rovnice 2 nebo přehledněji T c mgl sin θ = J θ θ + g l sin θ = T c ml 2 (3) Nelineární! diferenciální rovnice 2. řádu ( θ je úhlové zrychlení) 2 vychází z rovnice M = Jɛ, která je obdobou 2. Newtonova zákona F = ma. Místo rovnosti sil platí rovnost momentů. M zastupuje sílu F, moment setrvačnosti J zastupuje hmotnost m a úhlové zrychlení ɛ = θ zastupuje zrychlení a. Pro hmotný bod platí J = ml 2. Na kyvadlo působí dva momenty v opačných směrech: moment M g = mgl sin θ způsobený gravitací a externí moment (buzení) T c. Součet momentů T c mgl sin θ uděluje hmotnému bodu s momentem setrvačnosti J úhlové zrychlení ɛ = θ. T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

15 Příklad - kyvadlo Nelineární diferenciální rovnice se nám nelíbí! :-( V určitých případech můžeme problém zjednodušit linearizací: sin(θ) θ, tedy θ + g l θ = T c ml 2 (4) Linearizace funguje jen pro malé výchylky kolem rovnovážné polohy = pracovního bodu Všimněme si, že chybí tlumení (člen u první derivace) - dáno zjednodušením problému matematické kyvadlo Opět musíme znát ještě stav systému, tedy počáteční podmínky θ(0) = c 1, θ(0) = c 2 T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

16 Příklad - kyvadlo Jednoduchá realizace kyvadla (už ne matematického) Co představuje jednotkový skok? zanedbání nehomogenit proudu vzduchu A jak to vlastně kmitá? Pro lineární model platící pro malé výchylky je to v ustáleném tvaru sinusový průběh Jak vypadá celá odezva se naučíme v příští přednášce T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

17 Jak tento model sestavíme? T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35 Model kyvadla bez tlumení pro SIMULINK Model poskytuje numerické řešení diferenciální rovnice - pro nás velmi příjemné :-) Step 2 Gain1 Add 1 s Integrator 1 s Integrator1 Scope Gain Trigonometric Function -K- sin Add1 1 s Integrator2 1 s Integrator3 Gain2 -K-

18 Řešení Výstup modelu kyvadla pro jednotkový skok Numerické řešení diferenciální rovnice (tiny pro daný vstup a počáteční podmínky ) = výstup modelu kyvadla zde: pro jednotkový skok a nulové poč. podm. Porovnání řešení nelineární a lineární diferenciální rovnice T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

19 Řešení Výstup modelu kyvadla pro jednotkový skok ALE POZOR :-x i mistr tesař se utne numerické řešení diferenciální rovnice nemusí vždy dát správný výsledek :-x Porovnání řešení nelineární a lineární diferenciální rovnice Proč?????? Vrátíme se k tomu později :-o T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

20 Shrnutí - typy systémů Systémy rozlišujeme 3 na: Lineární X Nelineární Bez paměti X S pamětí Deterministický X Stochastický Stabilní X Nestabilní Stacinární X Nestacionární Bez zpětné vazby X Zpětnovazební Kauzální X Nekauzální Podle počtu vstupů a výstupů... 3 podle rovnice, která je popisuje T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

21 Typy systémů Lineární X Nelineární: kyvadlo s malým a velkým rozkmitem Další příklad: limitér x[n] y[n] x n 0.1, x n 0.1 y n 0.1, x n 0.1 x n, Vstup a ještě: lineární: y[n] = x[n] + x[n 1] nelineární: y[n] = (2x[n] x 2 [n]) 2 schema: T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

22 Typy systémů Bez paměti X S pamětí: paměť prvek akumulující energii nebo klopný obvod; brzda - lanko X voda - přehrada; odporový dělič X RC článek; Deterministický X Stochastický - při stejných podmínkách alternativy (překvapení) Stabilní X Nestabilní - kyvadlo X inverzní kyvadlo (kladivo na obr., večerníček na kole...) T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

23 Typy systémů Převzato z upraveno T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

24 Typy systémů Stacinární X Nestacionární - parametry systému = koeficienty dif. rovnice konstantní X proměnné (hubnutí) Bez zpětné vazby X Zpětnovazební - např. stabilizace systému: večerníček bez záporné zpětné vazby spadne Kauzální X Nekauzální - vypínač, schody v metru X zpracování obrázků (data uložena v paměti!!!) Podle počtu vstupů a výstupů - SISO (Single Input Single Output), SIMO, MISO, MIMO (Multiple Inputs Multiple Outputs) Kauzální zesilovač digitální a analogový (spojitý v čase) +Un R1 RC Uout vzorkování A / D p evod x[n] Systém 2 y[n] D / A p evod Uin R2 RE y[n] = 2x[n] Au = -RC/RE T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

25 Typy systémů Kauzální digitální filtr typu dolní propust a pásmová propust (naučíte se navrhovat a používat) x[n] + + y[n] x[n] + + y[n] D D D D D D y n y n x n x n y = filter([1 1], [1-0.98], x); y n 1.97 y n y n 2 x n x n 2 y = filter([1 0 1], [ ], x); Námět: poslech součtu a rozdílu vzorků (dopředné cesty obou filtrů) Vstup Nekauzální diferenční filtr: y[n] = x[n + 1] x[n 1] zpožděním výstupu o 1 vzorek lze použít pro výpočet v reálném čase bez uložení vzorků signálu T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

26 Typy systémů Nekauzální zpracování obrazu - vzorky uloženy v paměti nekauzální zpracování je možné Metoda sou adnice koeficienty x-1 y-1 x y-1 x+1 y x-1 y x y x+1 y x-1 y+1 x y+1 x+1 y horizontální hrany vertikální hrany HH VH 2 2 Obrázky T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

27 Zapojení systémů Základní zapojení systémů Sériové (kaskádní) Paralelní Zpětnovazební Schemata: Systém 1 Systém 1 Systém 1 Systém 2 Systém 2 Systém 2 T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

28 Formální popis systémů Dále už budeme požívat jen formální popis systémů Tedy např. místo budeme psát m d2 z dt 2 + β dz dt + kz = F o(t) a 2 ÿ + a 1 ẏ + a 0 y = x Proč formální popis? Protože různé systémy/úlohy mnohdy vedou na stejné rovnice. Nehledě na fyzikální pozadí nám pak bude stačit znát kvalitativní chování příslušné formální rovnice T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

29 Řešení diferenciálních rovnic Řešení diferenciálních rovnic: klasické metody - matematické učebnice, symbolický TOOLBOX MATLABu, MAPLE, MATEMATIKA,... použití Laplaceovy transformace - přednáška 6 a dále numerické metody - SIMULINk & MATLAB: ODE23, ODE45 Řešení závisí na: vlastnostech systému, tedy tvaru diferenciální rovnice - lin./nelin,... na buzení (vstupním signálu) na počátečních podmínkách T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

30 Numerické řešení diferenciálních rovnic Hlavní kroky numerického řešení diferenciálních rovnic: rozvoj nelineární funkce do Taylorovy řady v bodě a: f (b) = f (a) + (b a)f (a) + (b a)2 2! f (a) + (b a)3 3! f (a) +... použijeme konečný počet členů řady - jejich součet aproximuje hodnotu nelineární funkce v bodě b: f (b) f (a) + (b a)f (a) Tento postup se postupně opakuje pro vybrané diskrétní hodnoty nezávislé proměnné (např. čas) Př. Rungova-Kuttova metoda používá několik prvních členů rozvoje (funkce ODE23, ODE45 - čísla značí použité členy) a je rovněž základem simulace v SIMULINKU Důležité: numerické řešení je citlivé na volbu diskretizačního kroku T = b a!!! Vysvětlení chybného řešení pro kyvadlo - ilustrace postupné aproximace funkce sinus Rungovou-Kuttovou metodou T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

31 Příklady aproximace funkcí Obecný tvar Taylorova polynomu: f (x) = f (a) + (x a)f (a) + (x a)2 2! f (a) + (x a)3 3! f (a) R n+1 kde R n+1 je zbytek Příklad1: náhrada sinousovky/kosinusovky v bodě a = 0 polynomem 4. stupně: sin(x) = x x3 3! + R 5 použili jsme sin(x) x pro linearizaci popisu kyvadla cos(x) = 1 x2 2! + x4 4! + R 5 Příklad2: aproximace odmocniny 1 + x = 1 1 2x pro x 1 8x 2 T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

32 Soustava diferenciálních rovnic Motivace: Chceme-li použít funkce ODExy k nalezení numerického řešení nelineární diferenciální rovnice vyššího řádu je třeba tuto rovnici nahradit soustavou rovnic 1. řádu při použití SIMULINKu stačí sestavit model přímo z rovnice T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

33 Soustava diferenciálních rovnic Převod diferenciální rovnice vyššího řádu na soustavu rovnic prvního řádu: θ + g l Tato rovnice je vnějším popisem kyvadla Zavedeme nové proměnné x 1 a x 2 pomocí substituce: x 1 = θ x 2 = θ Vyjádříme rovnici (5) pomocí proměnných x 1 a x 2 : x 2 + g l sin x 1 = T c ml 2 získali jsme první rovnici 1. řádu Nalezněme vztah mezi x 1 a x 2 : θ = x 2 = ẋ 1 získali jsme druhou rovnici 1. řádu Tedy rovnici θ + g l sin θ = T c ẋ 1 = x 2 x 2 = T c g ml 2 l sin x 1 Soustava rovnic je vnitřním popisem kyvadla ml 2 sin θ = T c ml 2 (5) lze zapsat soustavou dvou rovnic 2. řádu T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

34 Soustava diferenciálních rovnic Shrnutí: Nelineární diferenciální rovnici 2. řádu θ + g l sin θ = Tc ml 2 lze zapsat soustavou dvou rovnic 1. řádu ẋ 1 = x 2 x 2 = T c g ml 2 l sin x 1 s počátečními podmínkami: θ(0) = x 1 (0) = c 1 θ(0) = x 2 (0) = c 2 a použít funkci ODExy k numerickému výpočtu T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35

35 Souhrn Co jsme se naučili? Co je to systém... Jak ho popsat... Jak reaguje systém na signál... Co udělá systém se signálem... Jaké jsou typy systémů... Jak systémy spojovat... T. Bořil, O. Kučera, P. Sovka () Předmět A3B31TES Př. 2 únor / 35