SYNTETICKÁ GEOMETRIE Pomocný učební text k předmětu KM/SG Miroslav Lávička Plzeň, leden 2007
Předmluva Tento text vznikl jako pomocný učební materiál pro potřeby studentů matematiky a geometrie na Západočeské univerzitě v Plzni. Hlavním cílem bylo zpracování srozumitelného textu určeného nejen jako doplněk k úvodním přednáškám z geometrie, ale i jako pomůcka k samostudiu. Text by měl pomoci studentům lépe se zorientovat v předmětu a metodách geometrie a doplnit úroveň geometrických znalostí, které si studenti přinášejí z různých středních škol, a vytvořit tak dobré předpoklady pro úspěšné zvládnutí náročnějších geometrických partií. Svým obsahem skriptum zahrnuje základní poznatky z rovinné geometrie, jež jsou odrazovým můstkem pro studium dalších geometrických disciplín. Některé kapitoly jsou zaměřeny převážně na zopakování a upřesnění již osvojených geometrických znalostí, v dalších kapitolách je učivo střední školy doplněno, rozšířeno a systematizováno a zbývající partie přinášejí učivo nové. Schéma výkladu sleduje přísně logickou strukturu opírající se o řešení problémů vyvozováním z axiómů a platných vět. Definicím a větám je třeba učit se uvědoměle, pochopit jejich obsah a uplatnění při řešení úloh pouhé učení nazpaměť bez zapojení správného logického myšlení nemá význam. Jsem si plně vědom, že jde stále jen o provizorní formu textu a že v materiálu možná najdete i nějaké chyby. udu Vám proto velmi vděčný za případné připomínky a návrhy na úpravy či doplnění. Plzeň, 27. ledna 2007 Miroslav Lávička (lavicka@kma.zcu.cz) 3
OSH Obsah 1 Stručná historie geometrie 7 2 xiómy a základní věty geometrie 11 2.1 Eukleides: Stoicheia (Základy)................... 11 2.2 D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie).. 15 2.3 xiómy incidence.......................... 16 2.4 xiómy uspořádání......................... 18 2.5 xiómy shodnosti......................... 23 2.6 xiómy spojitosti.......................... 32 2.7 bsolutní geometrie........................ 36 2.8 Modely absolutní geometrie.................... 40 2.9 xióm rovnoběžnosti. Eukleidovská geometrie.......... 46 2.10 Několik poznámek k neeukleidovským geometriím........ 48 3 Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimi 54 3.1 Základní pojmy........................... 54 3.2 Kružnice, kruh........................... 64 3.3 Trojúhelník............................. 69 3.4 Čtyřúhelník............................. 78 3.5 Mnohoúhelník............................ 80 3.6 Souřadnicová soustava v rovině.................. 81 3.7 Množiny bodů dané vlastnosti................... 84 3.8 Mocnost bodu ke kružnici. Chordála. Potenční střed...... 90 3.9 Nevlastní prvky. Rozšířená Eukleidova rovina.......... 95 4 Základní geometrická zobrazení v rovině 97 4.1 Úvodní pojmy............................ 97 4.2 Identita............................... 98 4.3 Osová souměrnost......................... 99 4.4 Středová souměrnost........................ 100 5
KM/SG Syntetická geometrie 4.5 Posunutí (translace)........................ 102 4.6 Otočení (rotace).......................... 103 4.7 Stejnolehlost (homotetie)..................... 106 4.8 Osová afinita............................ 110 4.9 Středová kolineace (homologie).................. 114 4.10 Kruhová inverze.......................... 116 5 Konstrukční planimetrické úlohy 123 5.1 Řešení konstrukčních úloh..................... 123 5.2 Eukleidovské konstrukce...................... 130 5.3 polloniovy úlohy......................... 143 6 Grupy geometrických transformací 151 6.1 Pojem grupy............................ 151 6.2 Kleinův grupově-kinematický pohled na geometrii........ 152 6.3 Eukleidovská grupa......................... 154 6.4 Ekviformní grupa.......................... 167 6.5 Mongeova grupa.......................... 172 6.6 finní grupa............................. 175 6.7 Grupa kruhových transformací.................. 179 6.8 Hyperbolická grupa......................... 183 6.9 Grupy zobrazení reprodukujících daný útvar........... 184 6.10 Projektivní grupa.......................... 187 6
1. Stručná historie geometrie 1 Stručná historie geometrie Geometrie 1 vznikla jako věda o vlastnostech a vzájemných vztazích prostorových útvarů vytvořených abstrakcí z hmotných těles. První geometrické zkušenosti si lidé osvojovali při praktických činnostech, jakými jsou např. stavba obydlí, výroba nástrojů, zbraní či oděvů, při orientaci v terénu atp. Příroda poskytovala pravěkým lidem předměty, které nabývaly nejrůznějších tvarů a právě jejich napodobování a porovnávání se stalo zdrojem pro utváření základních geometrických znalostí a dovedností. Pro tvorbu ornamentů na hliněných nádobách byly používány pásy, lomené čáry, trojúhelníky, rovnoběžníky, šrafování, přibližné dělení kružnice na stejné díly, symetrie. Pozorováním pohybu Slunce lidé došli k představě o světových stranách, což patrně vedlo i k prvním úvahám týkajícím se pravého úhlu. Geometrické znalosti nejstarších civilizací, které vznikaly v 5., 4. a 3. tisíciletí p.n.l. kolem velkých řek (Mezopotámie, Egypt, Čína, Indie), dovolovaly realizovat náročné stavební práce (zavlažovací systémy a vodní nádrže, chrámy, hradby a opevnění, pyramidy), stavět lodě a vozy, vyměřovat pole, tesat z kamene nejen kvádry, ale i složitější tělesa a umělecké sochy. Existovaly návody (vzorce) ať už přesné či přibližné pro výpočet obsahu trojúhelníka, čtyřúhelníka a kruhu. Dávno před Pythagorem byla v Egyptě, Mezopotámii, Indii i Číně známa věta, kterou dnes nazýváme Pythagorova. Celá matematika tohoto období se však vyznačovala přísně dogmatickým rázem nejstarší učebnice pouze ukazovaly, a to bez zdůvodnění, postupy řešení konkrétních úloh geometrie pro řemeslníky, stavitele, zeměměřiče, obchodníky a úředníky. Základní otázkou všech problémů bylo JK? a ne PROČ? to byla otázka až pro vyspělejší antickou civilizaci. Egyptská, mezopotámská, indická i čínská matematika přinesla řadu pozoruhodných výsledků, ale přesto v tomto období ještě nehovoříme o matematice jako o vědě. Tato změna nastala až v antickém Řecku cca v 6. století p.n.l., teprve Řekové udělali první krok od empiricky získaných, izolovaných, vzájemně nepropojených a nezdůvodňovaných poznatků směrem k deduktivně budovaným teoriím, v nichž je jedním z nejdůležitějších požadavků důkaz předkládaných tvrzení. Je nutné zdůraznit, že antická matematika se vyvíjela v období téměř jednoho tisíciletí (6. st. p.n.l. 4. st. n.l.) a je spojena s celou řadou proslulých učenců. Jedná se o období, kdy se vedle praktické matematiky nově vytváří rovněž matematika teoretická; geometrie již není praktickou pomůckou pro řemeslníky a zeměměřiče, ale stává se vědou o tvarech, v níž se uplatňují slovní definice, poučky a různé metody důkazu. Kresby a schémata již nejsou prostředkem ověřování pouček, ale plní jen pomocnou úlohu. 1 z řeč. geo = týkající se země, metrein = měřit 7
KM/SG Syntetická geometrie Prvním významným matematikem byl Thalés z Milétu ( 624 543 p.n.l.), který uspořádal některé geometrické poznatky o kružnicích a trojúhelnících a ukázal možnost odvozovat nová tvrzení rozumovou úvahou. Vznik matematiky jako vědy je však spojen především se jménem mladšího Thaletova současníka Pythagora ze Samu ( 560 480 p.n.l.) a s jeho filozofickou školou, tzv. pythagorejskou školou. Paradoxem je, že ačkoliv je Pythagoras znám především díky geometrii (Pythagorova věta), pythagorejská koncepce matematiky byla čistě aritmetická. Čísla (tj. v pythagorejském pojetí jen přirozená čísla) a jejich poměry (tj. racionální čísla) se stala základem jejich filozofického pojetí světa. Toto pojetí se však záhy zhroutilo a přispěli k tomu sami pythagorejci, když objevili, že úhlopříčku jednotkového čtverce nelze vyjádřit jako poměr dvou čísel (rozuměj poměr dvou přirozených čísel). Krize pythagorejské filozofické koncepce se přenesla i do řecké matematiky (tzv. 1. krize matematiky), a tak po neúspěšné cestě aritmetizace se řecká matematika vydala cestou geometrizace všechny úvahy týkající se veličin se začaly důsledně vyjadřovat geometricky: např. úsečka představovala reálné číslo chápané jako její délka, čtverec představoval druhou mocninu délky, krychle třetí mocninu délky, obdélník součin dvou různých délek atd. I přes zhroucení pythagorejské koncepce světa, zůstane jejich zásluhou zavedení důkazu do matematiky trend, který vyvrcholil v díle filozofa ristotela ze Stageiry (384 322 p.n.l.). Ve svých spisech ristoteles přesně vymezil, jak má být správně budována deduktivní teorie, rozvinul nauku o definování a o dokazování a zdůvodnil nutnost existence počátků deduktivní vědy. Uvedený přístup uplatnil geniálním způsobem Eukleides z lexandrie ( 340 280 p.n.l.), který ve své knize Základy ( 300 p.n.l.) shrnul tehdejší matematické poznatky do logicky provázané struktury a ovlivnil tak vývoj matematiky na další dvě tisíciletí. Z dalších vynikajících řeckých matematiků uveďme alespoň rchiméda ze Syrakus ( 287 212 p.n.l.), který se mimo jiné zabýval problémy výpočetní geometrie (kvadratury, kubatury), zkoumal spirály a kuželosečky, a pollónia z Pergy (2. pol. 3. stol. počátek 2. stol. p.n.l.), který se v díle Kóniká systematicky zabýval kuželosečkami. Ostatní autoři helenistickéko období dosáhli úspěchů v těch oblastech matematiky, které souvisely např. s astronomií a geodézií. Již babylónské hliněné tabulky obsahovaly údaje o velikosti tětiv v kružnicích, Řekové tuto problematiku rozvinuli a vznikla tak řada děl věnovaných rovinné a především pak sférické trigonometrii. V antickém Římě nedosáhla věda takového rozmachu jako v Řecku a po zániku antického světa upadají díla řeckých učenců pomalu v zapomnění. Období nového rozkvětu matematiky přichází až s nástupem mohutné islámské říše, která v 7. 10. století sahala od Španělska až po střední sii a stala se centrem tehdejší vzdělanosti. Mnohá řecká díla, která se nedochovala, známe 8
1. Stručná historie geometrie jen díky arabským překladům. Islámská geometrie zahrnovala např. studium problému rovnoběžek, konstrukce kružítkem a pravítkem apod. Z velkého počtu arabských vzdělanců připomeňme alespoň některé jsou to l-fárábí ( 870 950), který je autorem komentářů k Eukleidovi, Ibn Síná (980 1037), známější pod latinským jménem vicenna, který se pokoušel o důkaz 5. Eukleidova postulátu, a Omar Chajjám (1048 1131), který kromě svých geometrických prací proslul i jako básník. Evropská středověká matematika včetně geometrie klesla opět na úroveň praktické matematiky nutné k hospodářskému životu. Na nově zakládaných univerzitách pak byla používána literatura, která vznikla překladem matematických spisů především z arabštiny do latiny v geometrii to samozřejmě byl překlad Eukleidových Základů. V době renesance se jako součást malířských praktik rozvinula nauka o perspektivě. Zásadní zlom ve vývoji matematiky přišel v 17. století. Francouzi René Descartes (1596 1650) a Pierre Fermat (1601 1665) aplikací algebry při řešení geometrických úloh položili základy analytické geometrie. Matematici dostali do rukou mohutný nástroj, který umožnil studovat geometrické objekty pomocí jejich analytického vyjádření; algebraické výrazy a jejich rovnice dostaly geometrickou náplň. Descartovi a Fermatovi se podařilo překonat ostrou hranici mezi světem čar a světem čísel dvěma světy, které byly studovány samostatně od dob 1. krize matematiky. od analytické geometrie a s ní souvisejícího studia křivek byl již jen krok k nejvýznamnějšímu objevu 17. století objevu diferenciálního a integrálního počtu. Geometrii bez souřadnic se pro rozlišení začalo říkat geometrie syntetická. Do analytické geometrie spadaly z počátku i problémy vyžadující infinitezimální úvahy, které dnes řadíme do diferenciální geometrie, a také problematika útvarů vyšších stupňů, která se dnes řadí do algebraické geometrie. V 17. století, ale hlavně pak ve století osmnáctém se objevuje ještě jedna geometrická disciplína projektivní geometrie. V souvislosti s rozvojem inženýrských škol se projevovala rostoucí potřeba zobrazovacích metod a s tím souvisely i teoretické práce, které jednotlivé metody zdůvodňovaly. Pozoruhodné spisy publikoval již Gérard Desargues (1593 1661), projektivní (promítací) geometrií se rovněž zabýval lais Pascal (1623 1662). Další studium zobrazovacích metod pak přineslo geometrii deskriptivní, které dal název spis Deskriptivní geometrie od Gasparda Mongeho (1746 1818). Dalším zásadním mezníkem ve vývoji matematiky se stává 19. století, v němž můžeme najít kořeny všech moderních matematických disciplín. Marné úsilí o důkaz 5. Eukleidova postulátu vedlo k objevu neeukleidovské geometrie, u jejíhož zrodu stáli Carl Friedrich Gauss (1777 1855), János olyai (1802 1860) a Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1792 1856). Z počátku tvrdě odmítaná disciplína byla přijata až po té, co výsledky zobecnil ernhard Rie- 9
KM/SG Syntetická geometrie mann (1826 1866) a po té, kdy byly nalezeny názorné modely neeukleidovské geometrie Kleinův model (1871) a Poincarého modely (1882). Významné podněty čerpala geometrie v druhé polovině 19. století a počátekem 20. století především z algebry. Moderní metody řešení soustav lineárních rovnic pomocí determinantů a matic pomohly mimo jiné sjednotit postupy pro analytické řešení úloh v rovině a v prostoru a ukázaly cestu i k vícerozměrným prostorům. Nejprve ve fyzice, ale posléze i v matematice (včetně geometrie) našel uplatnění pojem vektoru. v neposlední řadě se v geometrii plně uplatila jedna ze stěžejních algebraických struktur grupa. Zavedení grupového přístupu ke geometrickým transformacím je spojováno hlavně se jménem Felixe Kleina (1849 1925). Teprve na přelomu 19. a 20. století, tj. po několika tisíciletích vývoje, je geometrie postavena na pevné základy. Zpřesňování počátků jednotlivých matematických disciplín se projevilo rovněž v geometrii a ačkoliv Eukleides podal popis základů geometrie již kolem roku 300 p.n.l. (anebo právě proto), přesné vymezení všech axiómů se objevilo až v díle Grundlagen der Geometrie (1899) Davida Hilberta (1862 1943). Matematika 20. století je ve znamení vysokého stupně abstrakce. Už to není jen eukleidovská rovina, kterou se zabýváme, ale vektorové a topologické prostory; již nás nezajímá jedna konkrétní grupa, ale celé třídy grup. Dalším významným rysem matematiky je hluboký důraz kladený na filozofii matematiky otázky týkající se smyslu matematiky, jejích počátků, axiomatizace, bezespornosti, dokazatelnosti apod. Původní optimistické snahy týkající se formálního axiomatického vybudování celé matematiky a následného důkazu její bezespornosti se sice nenaplnily, neboť se ukázala zásadní omezení axiomatických metod. Přesto zůstává axiomatická výstavba, jejíž kořeny najdeme díky Eukleidovi v geometrii, nejčastějším nástrojem budování současné matematiky. 10
2 xiómy a základní věty geometrie 2.1 Eukleides: Stoicheia (Základy) 2. xiómy a základní věty geometrie Život a dílo Eukleida z lexandrie, jednoho z nejznámějších autorů matematických spisů, je neodmyslitelně spojeno s alexandrijskou vědeckou institucí, kterou byl proslulý Múseion sdružení lidí věnujících se pod ochranou Múz vědám. Eukleides působil v lexandrii patrně v letech 310 280 p.n.l. a zde také sepsal své nejproslulejší dílo Stoicheia (Základy, lat. Elementa). Ve 13 knihách Eukleidových Základů jsou vysvětleny základy planimetrie, geometrické algebry, aritmetiky a stereometrie. Rozložení do jednotlivých knih je asi následující: I. IV. kniha jsou věnovány rovinné geometrii (planimetrii); v V. knize najdeme Eudoxovu teorii proporcí, jež představovala geometrickou podobu teorie reálných čísel a limitních procesů; VI. kniha pojednává o podobnosti trojúhelníků; VII. IX. kniha jsou věnovány teorii čísel (zde mj. nalezneme známý Eukleidův algoritmus pro hledání největšího společného dělitele); X. kniha podává teorii kvadratických iracionalit a jejich druhých odmocnin (čísla tvaru a + b a a + b), XI. XIII. kniha popisuje geometrii v prostoru (stereometrii). Panují rozdílné názory na vlastní Eukleidův autorský podíl; zřejmě jde o dílo generací, které Eukleides završil, sjednotil a doplnil. O příspěvcích různých autorů svědčí i jistá nevyrovnanost jednotlivých knih vedle excelentních důkazů se na některých místech objevují i logické chyby. Eukleides ve svých Základech sleduje ristotelovo pojetí vědy výklad spočívá na logické dedukci vět ze soustavy definic, postulátů a axiómů. Nedostatkem však je definování primitivních pojmů jako bod, přímka a rovina. Úvod k první knize je i úvodem k celému dílu. Nalezneme zde 9 axiómů (obecných počátků, zásad), 5 postulátů (úkolů prvotných) a 23 definic (vymezení pojmů). Definice: 1. od jest, co nemá dílu. 2. Čára pak délka bez šířky. 3. Hranicemi čáry jsou body. 4. Přímá jest čára (přímka), která svými body táhne se rovně. 2 5. Plocha jest, co jen délku a šířku má. 6. Hranicemi plochy jsou čáry. 7. Rovinná jest plocha (rovina), která přímkami na ní jsoucími prostírá se rovně. 2 Pro úsečku i přímku používal Eukleides téhož pojmenování eutheia a vzájemně je nerozlišoval. V Eukleidově pojetí je přímka úsečkou, kterou lze neomezeně a opakovaně prodlužovat na obě strany. 11
KM/SG Syntetická geometrie 8. Rovinný pak úhel je vzájemný sklon dvou čar, v rovině se stýkajících a ležících k sobě v přímce.. 15. Kruh jest útvar rovinný, objímaný jednou čarou (jež se nazývá obvodem), k níž od jednoho bodu vnitř útvaru vedené přímky všecky sobě rovny jsou.. 23. Rovnoběžky jsou přímky, které jsouce v téže rovině a prodlouženy jsouce na obě strany do nekonečna nikde se nesbíhají. Postuláty 3 1. udiž úkolem od kteréhokoli bodu ke kterémukoli bodu vésti přímku. 2. přímku omezenou nepřetržitě rovně prodloužiti. 3. z jakéhokoli středu a jakýmkoli poloměrem narýsovati kruh. 4. že všechny pravé úhly sobě rovny jsou. 5. když přímka protínajíc dvě přímky tvoří na téže straně přilehlé úhly menší dvou pravých, ty dvě přímky prodlouženy jsouce do nekonečna že se sbíhají na té straně, kde jsou úhly menší dvou pravých. (obr. 2.1.1) p α+ β< 2R β α a b xiómy 4 Obr. 2.1.1 1. Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou. 2. Když se přidají veličiny rovné k rovným, i celky jsou rovny. 3. odejmou-li se od rovných rovné, zbývající části rovny jsou. 4. když se přidají k nerovným rovné, celky jsou nerovny. 5. dvojnásobky téhož vespolek rovny jsou. 6. polovičky téhož vespolek rovny jsou. 7. co se navzájem kryje, navzájem rovno jest. 8. celek větší než díl. 9. dvě přímky místa neomezují. 3 Postuláty 1 3 vymezují možné rýsovací pomůcky: ideální neomezeně dlouhé pravítko a ideální kružítko s neomezeným rozevřením. 4 Na rozdíl od postulátů, které jsou ryze geometrické, představují axiómy obecně platné věty společné i pro více nauk výjimku tvoří snad jen -9, který byl zřejmě přidán později. 12
2. xiómy a základní věty geometrie Následuje 48 číslovaných odstavců, jejichž obsahem je text věty a její důkaz (v počtu 34) nebo text konstrukční úlohy a její řešení (v počtu 14). Ve všech číslovaných odstavcích je možné vysledovat následující schéma: 1. Formulace věty (zadání úlohy) 2. Popis nakreslených a písmeny označených objektů včetně vysvětlení, co se má o těchto objektech dokázat, popř. co se má z těchto objektů sestrojit. 3. Vlastní důkaz (konstrukce) s konkrétními výše popsanými objekty. Tato část bývá zakončena slovy což bylo dokázati (vykonati). 5 4. Závěr, který je uveden slovem Tedy... a následně je zopakováno znění věty či zadání úlohy. Předcházející úvahy můžeme dokumentovat na 1. úloze I. knihy: I.1. Na dané přímce omezené postav trojúhelník rovnostranný. 6 C D E Obr. 2.1.2 (obr. 2.1.2) Danou přímkou omezenou buď. Má se tedy na přímce postavit trojúhelník rovnostranný. Ze středu poloměrem buď narýsován kruh CD, a opět ze středu buď narýsován kruh CE, a od bodu C, v němž kruhy se protínají, k bodům, buďte vedeny spojnice C, C. ježto bod je středem kruhu CD, C je stejné s ; ježto dále bod je středem kruhu CE, jest C stejné s. ylo dokázáno, že i C je stejné s ; tedy jedna i druhá z C, C je stejná s. Veličiny však témuž rovné i navzájem rovny jsou; tedy též C jest rovna C; ty tři tedy, C,, C 5 lat. Quod erat demonstrandum ve zkratce Q.E.D. a Quod erat faciendum ve zkratce Q.E.F. 6 Dnes bychom řekli: Je možné sestrojit rovnostranný trojúhelník s danou úsečkou jako jednou stranou. Samozřejmě máme na mysli konstrukci s použitím jen dvou pomůcek, které jsou povoleny postuláty P-1 až P-3, tj. pravítko a kružítko. 13
KM/SG Syntetická geometrie jsou si rovny. Je tedy trojúhelník C rovnostranný a postaven jest na dané přímce omezené ; což právě bylo vykonati. Eukleidovy Základy byly prvním příkladem použití axiomatického systému v matematice. ačkoliv se díky použití čisté deduktivní metody stalo toto dílo na dlouhá staletí (či lépe řečeno dvě tisíciletí) váženým vzorem pro další matematická pojednání a je považováno za jeden z pilířů vzdělanosti západní civilizace, již od počátku se objevovaly mnohé pokusy o vylepšení Základů. Především se jednalo o snahy dokázat 5. postulát z prvních čtyř, popř. alespoň o snahy nahradit jej evidentnějším a jednodušeji formulovaným tvrzením. Již řečtí vykladači Základů si všimli, že 5. postulát se od ostatních liší svojí složitostí, a rovněž si všimli, že řada vět se dokazuje bez použití tohoto postulátu odtud pramenily úvahy týkající se závislosti tohoto postulátu na ostatních. Mnohokrát se zdálo, že důkaz byl objeven, ale nakonec se vždy ukázalo, že důkaz se opíral o něco, co měl ve skutečnosti dokázat. tak jedinou změnou oproti Eukleidovi bylo nahrazení 5. postulátu jiným postulátem např. v rovině lze každým bodem mimo přímku vést nejvýše jednu s ní se neprotínající přímku nebo součet velikostí vnitřních úhlů v trojúhelníku je 180. Na otázku, jak je to s důkazem 5. postulátu neposkytl odpověď ani starověk, ani středověk, i když se o nalezení důkazu pokoušeli starověcí Řekové, středověcí rabové i novodobí Italové, ngličané, Francouzi, Němci i matematici ostatních národů. Vlna neúspěšných pokusů o podání důkazu 5. postulátu trvala až do 19. století a vyvrcholila díly Saccheriho, Legendra a Lamberta. Tito matematici se snažili pomocí důkazu sporem dokázat, že pátý postulát je důsledkem postulátů předcházejících. Za předpokladu platnosti negace 5. Eukleidova postulátu deduktivní cestou postupně odvozovali řadu tvrzení a očekávali (ovšem neúspěšně), že dojdou k logickému sporu. Teprve Gauss, olyai a Lobačevský si prvně připustili myšlenku nezávislosti 5. postulátu a poté začali uvažovat dokonce o nové geometrii, v níž místo 5. postulátu platí jeho negace. Tyto úvahy vedly k objevům tzv. neeukleidovských geometrií. Zařazení tvrzení o rovnoběžkách mezi postuláty ukázalo velkou Eukleidovu prozíravost. Přesto obsahují Základy některé nedostatky na jiných místech jedním z nich je fakt, že Eukleidův výčet axiómů a postulátů pro popis obvyklé intuitivně vnímané geometrie není zdaleka úplný. Můžeme např. přidat následující šestý postulát : Existují alespoň tři body neležící na téže přímce. Tento postulát není ve sporu s ostatními pěti Eukleidovými postuláty, neboť najdeme geometrický model, ve kterém všech šest axiómů platí např. právě výše zmiňovaná standardní intuitivně chápaná eukleidovská rovina. 14
2. xiómy a základní věty geometrie není na nich ani závislý, neboť žádný z Eukleidových pěti postulátů nezmiňuje podmínky existence bodů (i když P1 a P3 s body pracují), tudíž nelze tento 6. postulát odvodit z P1 až P5. Existence šestého postulátu ukazuje, že Eukleides nepodal úplný axiomatický popis geometrie toto je hlavní nedostatek jeho díla. Nalezneme celou řadu dalších příkladů, kdy Eukleides intuitivně používal předpoklady, které ani nedokázal ani nepoložil do axiomatických základů teorie. Například při zdůvodnění konstrukce rovnostranného trojúhelníka v 1. odstavci I. knihy, kterou jsme v této kapitole uvedli v plném znění, použil Eukleides předpoklad, že dvě kružnice se středy, a poloměrem se protínají. Může se však stát, že ne všechny body roviny jsou body geometrie, kterou popisuje pět Eukleidových postulátů. Příklad 2.1.1. Uvažujme například množinu všech racionálních bodů v rovině (tj. bodů, jejichž souřadnice [x, y] jsou racionální čísla budeme ji značit Q Q. Zvolme úsečku, kde [0, 0] a [1, 0]. čkoliv je v rovině Q Q splněna platnost všech pěti Eukleidových postulátů, přesto nelze provést konstrukci rovnostranného trojúhelníka, jak je uvedena v 1. odstavci I. knihy Základů. Vrchol hledaného trojúhelníka by totiž musel mít souřadnice [ 1 2, ± 3 2 ], ovšem toto není bod roviny Q Q, a proto na dané přímce omezené nelze postavit trojúhelník rovnostranný. Závěrem dodejme, že existují ještě XIV a XV. díl Základů, které však jsou z pozdější doby. Navíc už od dob prvních opisů se jednotlivé verze Základů poněkud liší, což se týká i počtu axiómů některé názory hovoří jen o pěti původních axiómech, jiné o osmi. 2.2 D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie) 19. století je pro matematiku obdobím velkého zpřesňování. Po matematické analýze a aritmetice se podařilo sjednat nápravu i v jedné z nejstarších matematických disciplín v geometrii. Je sice pravda, že právě geometrie začala být axiomatizována z celé matematiky nejdříve (Eukleidovy Základy, 3. stol. p.n.l.), ale přesného stanovení všech výchozích axiómů se dočkala až po více než dvou tisíciletích. Roku 1899 vyšla kniha německého matematika Davida Hilberta Grundlagen der Geometrie (Základy geometrie) pojednávající o logických základech eukleidovské geometrie způsobem, jakým to provádíme dodnes. Na rozdíl od Eukleida začal Hilbert ve svém spisu vymezením primitivních pojmů, které nedefinoval a jejichž význam byl dán jen jejich vlastnostmi v rámci následně uvedených axiómů. yly to nedefinované pojmy: bod, přímka, rovina, náležeti, 15
KM/SG Syntetická geometrie býti mezi, shodnost, spojitost a rovnoběžnost. V původní Hilbertově knize byly axiómy rozděleny do pěti skupin v tomto pořadí axiómy svázanosti 7, axiómy uspořádání, axióm rovnoběžnosti (Eukleidův axióm), axiómy shodnosti a axióm souvislosti 8 (rchimédův axióm). 9 V následujících úvahách se budeme opírat o Hilbertovo pojetí, které aplikujeme na rovinnou geometrii. Předpokládejme, že máme dánu množinu, jejíž prvky se dělí do dvou skupin. Prvky jedné označujeme jako body, prvky druhé jako přímky. Předpokládejme dále, že prvky základní množiny, resp. její určité podmnožiny jsou v následujících vzájemných vztazích: incidentní, mezi a shodný. Pojmy bod, přímka, incidentní, mezi a shodný jsou zatím bez obsahu ten jim dají až axiómy. xiómy popisující eukleidovskou geometrii rozdělíme v souladu s Hilbertem do pěti skupin. Dnes se však skupiny axiómů uvádějí v jiném pořadí a rovněž najdeme nejrůznější upravená znění jednotlivých axiómů. Skupiny budeme nazývat axiómy incidence (symbolicky I) axiómy uspořádání (symbolicky U) axiómy shodnosti (symbolicky S) axiómy spojitosti (symbolicky D, popř. C) axióm rovnoběžnosti (symbolicky R) 2.3 xiómy incidence Podívejme se nyní podrobněji na znění jednotlivých Hilbertových axiómů resp. na jejich dnešní moderní formulace. Začneme axiómy incidence. I-1: Dvěma navzájem různými body prochází jediná přímka. I-2: Na každé přímce existují alespoň dva různé body. I-3: Existují alespoň 3 body, které neleží v přímce. Po axiómech následují definice (slovní vymezení pojmů uvedením jejich typických znaků) a věty (platné poučky odvozené ze základních předpokladů). Zdůrazněme, že axiomatický systém je logicky uspořádaný, tj. nová věta může být přiřazena pouze a výhradně vyvozením z axiómů a z vět již dokázaných: (((I-1, I-2, I-3 = V 1) = V 2) = ) = V n, 7 dnes používáme termín axiómy incidence 8 dnes používáme název axióm(y) spojitosti 9 K rchimédovu axiómu Hilbert posléze doplnil ještě tzv. axióm úplnosti. 16
2. xiómy a základní věty geometrie DEFINICE 2.3.1: Tři body, které leží na téže přímce se nazývají kolineární; tři body nenáležející téže přímce budeme nazývat nekolineární. DEFINICE 2.3.2: Dvě různé přímky, jejichž průnikem je jediný bod se nazývají různoběžné a jejich společný bod nazýváme průsečík. Tři axiómy, které máme k dispozici, není mnoho, přesto můžeme dokázat několik jednoduchých tvrzení, které platí v každé geometrii vyhovující axiómům I-1 až I-3. Věta 2.3.1: Dvě různé přímky mohou mít společný nejvýše jeden bod. Důkaz: Předpokládejme, že dvě různé přímky p a q mají společné alespoň dva různé body řekněme P a Q. xiom I-1 říká, že dva různé body určují jedinou přímku, a proto musí platit p = q, což je spor! Proto dvě různé přímky mají společný nejvýše jeden bod. Q.E.D. Věta 2.3.2: Mimo každou přímku leží alespoň jeden bod. Důkaz: Jestliže tato věta neplatí, potom existuje taková přímka, na níž leží všechny body. Toto je však spor s axiómem I-3. Q.E.D. Věta 2.3.3: Ke každému bodu lze určit přímku, která jím neprochází. Důkaz: Nechť P je daný bod. Podle axiómu I-3 existují alespoň dva další body jeden z nich nechť je Q. Podle axiómu I-1 existuje jediná přímka a procházející body P a Q. Použijeme-li větu 2.3.2 (str. 17), potom existuje bod R mimo přímku a. Nechť přímka b prochází body Q a R (podle I-1). Jelikož a a b jsou různé přímky (R b, ale R a), které se protínají v bodě Q, víme, že podle věty 2.3.1 (str. 17) bod P určitě neleží na přímce b. Tj. našli jsme přímku, která neprochází daným bodem. Q.E.D. Obdobně bychom dokázali i následující věty: Věta 2.3.4: Ke každému bodu existují alespoň dvě přímky, které jím procházejí. Věta 2.3.5: Existují alespoň tři přímky, které neprocházejí jedním bodem. Podívejme se nyní na jednoduché příklady (modely) geometrií, které jsou popsány jen třemi axiómy incidence. Tyto modely obsahují jen konečný počet bodů a přímek a poněkud se vymykají naší běžné představě o geometrickém modelu. Příklad 2.3.1. Uvažujme tříprvkovou množinu {,, C}. odem rozumíme každý prvek dané množiny; tj.,, C jsou body. Přímku budeme interpretovat jako každou dvouprvkovou podmnožinu dané množiny; tj. {, }, {, C} a {C, } jsou přímky. od inciduje s přímkou, právě když je prvkem příslušné dvouprvkové množiny; např. bod inciduje s přímkami {, } a {C, }, ale neinciduje s přímkou {, C}. Snadno bychom ověřili, že jsou splněny všechny 17
KM/SG Syntetická geometrie tři axiómy I-1 až I-3. Příklad 2.3.2. Uvažujme opět tříprvkovou množinu {,, C}. odem tentokrát rozumíme každou dvouprvkovou podmnožinu dané množiny; tj. {, }, {, C} a {C, } jsou body. Přímku budeme nyní interpretovat jako prvek dané tříprvkové množiny; tj.,, C jsou přímky. od inciduje s přímkou, právě když obsahuje příslušný prvek; např. bod {, } inciduje s přímkami a, ale neinciduje s přímkou C. Snadno bychom ověřili, že jsou opět splněny všechny tři axiómy I-1 až I-3. Tento model bývá označován jako duální k modelu uvedeném v předcházejícím příkladu. Jelikož pro každý z uvedených dvou modelů platí axiómy I-1 až I-3, platí v nich rovněž i všechny uvedené věty. Druhou skutečností, kterou bychom měli zdůraznit, je problematika rovnoběžek. Tento pojem jsme však zatím nedefinovali, a proto budeme hovořit jen o přímkách nerůznoběžných (nerůznoběžkách). Je vidět, že v obou výše uvedených modelech neexistují nerůznoběžky tuto vlastnost budeme označovat jako eliptickou vlastnost modelu. Existují ale i další modely geometrie [I], které však eliptickou vlastnost nesplňují např. standardní Eukleidova geometrie, resp. další dva níže uvedené modely. Existenci, ani jednoznačnost nerůznoběžek nelze v geometrii popsané jen axiómy incidence ani dokázat, ani vyvrátit. Příklad 2.3.3. Uvažujme čtyřprvkovou množinu {,, C, D}. Interpretace bodů a přímek je stejná jako v prvním příkladu. Snadno zjistíme, že ke každé přímce (např. {, }) existuje právě jedna nerůznoběžka ({C, D}) říkáme, že model splňuje eukleidovskou vlastnost. Příklad 2.3.4. Uvažujme pětiprvkovou množinu {,, C, D, E}. Interpretace bodů a přímek je opět stejná jako v prvním příkladu. Tentokrát ke každé přímce (např. {, }) existují alespoň dvě nerůznoběžky ({C, D}, {C, E} a {D, E}) říkáme, že model splňuje hyperbolickou vlastnost. 2.4 xiómy uspořádání Pro zjednodušení budeme používat zápis C, který čteme bod leží mezi body a C. U-1: Jestliže C, pak,, C jsou tři různé body na přímce. Platí též C. U-2: Ze tří různých bodů přímky leží právě jeden mezi ostatními dvěma. U-3: Jsou-li, pak vždy existuje aspoň jeden bod C takový, že C. 18
2. xiómy a základní věty geometrie U-4: Každá přímka p rozdělí body, které na ní neleží do dvou tříd s následujícími vlastnostmi: (i) mezi dvěma různými body téže třídy neleží bod přímky p; (ii) mezi dvěma body z různých tříd leží právě jeden bod přímky p. Oproti geometrii [I] (popsána jen axiómy incidence) již v geometrii [I, U] neobstojí žádné finitní modely (konečný počet bodů, přímek), což vyplývá z následujících vět: Věta 2.4.1: Na každé přímce leží nekonečně mnoho navzájem různých bodů. Důkaz: (obr. 2.4.1) Uvažujme přímku. Podle axiómu U-3 existuje vždy bod C 1 takový, že C 1, dále existuje bod C 2 takový, že C 1 C 2, bod C 3 takový, že C 2 C 3,... Q.E.D. P C 1 C 2 C 3 C 4 C 1 C 2 C 3 Obr. 2.4.1 a b p 1 p 2 p 3 Obr. 2.4.2 Věta 2.4.2: Každým bodem prochází nekonečně mnoho přímek. Důkaz: (obr. 2.4.2) Podle věty 2.3.3 (str. 17) existuje k bodu P přímka, která jím neprochází. Podle věty předcházející najdeme na přímce nekonečně mnoho různých bodů C 1, C 2,..., C n,..., které určují nekonečně mnoho přímek a = P, b = P, p 1 = P C 1, p 2 = P C 2,..., p n = P C n,... procházejících bodem P. Q.E.D. Místo axiómu U-4, bývá někdy zařazen tzv. Paschův axióm. Použijeme-li námi zavedené axiómy, pak se tento axióm stává větou. Věta 2.4.3: (Paschova věta) uďte,, C tři body neležící na přímce p, která obsahuje jistý bod ležící mezi body,. Pak nastane právě jedna z možností: přímka p obsahuje bod ležící mezi, C a neobsahuje bod ležící mezi, C; přímka p obsahuje bod ležící mezi, C a neobsahuje bod ležící mezi, C. 19
KM/SG Syntetická geometrie Důkaz: (obr. 2.4.3) Podle předpokladů věty obsahuje přímka p bod D takový, že D, tj. body, náležejí různým třídám ve smyslu axiómu U-4. p D C Obr. 2.4.3 Nyní mohou nastat právě dvě možnosti buďto bod C náleží téže třídě jako bod, tj. podle U-4 přímka p obsahuje bod ležící mezi, C a neobsahuje bod ležící mezi, C; anebo bod C náleží téže třídě jako bod, tj. podle stejného axiómu přímka p obsahuje bod ležící mezi, C a neobsahuje bod ležící mezi, C. Q.E.D. Primitivní pojem býti mezi umožňuje definovat řadu dalších užitečných pojmů úsečka, polopřímka, polorovina, úhel, trojúhelník. DEFINICE 2.4.1: Vnitřkem úsečky rozumíme množinu všech bodů X přímky takových, že X. Úsečkou rozumíme vnitřek spolu s krajními body, ; neboli = {X ; X } {, }. DEFINICE 2.4.2: Třídu bodů z axiómu U-4 nazveme vnitřek poloroviny, přímku p nazveme hraniční přímka. Dále, polorovinou p rozumíme vnitřek, jemuž patří bod s hraniční přímkou p (obr. 2.4.4). p O q Obr. 2.4.4 20
2. xiómy a základní věty geometrie DEFINICE 2.4.3: Poloroviny p a p se nazývají opačné poloroviny, jestliže jejich vnitřky jsou disjunktními třídami ve smyslu axiómu U-4. Je zřejmé, že pomocí axiómu U-4 lze rovněž body libovolné přímky rozdělit do dvou disjunktních tříd. Věta 2.4.4: (obr. 2.4.4) Je dána přímka q a na ní bod O. Všechny body X O přímky q jsou rozděleny bodem O do dvou tříd s vlastnostmi: 1. mezi dvěma různými body téže třídy neleží bod O, 2. mezi dvěma body z různých tříd leží bod O. DEFINICE 2.4.4: Třídu bodů z předchozí věty nazveme vnitřek polopřímky, bod O nazveme počátek polopřímky. Dále, polopřímkou O rozumíme vnitřek, jemuž patří bod s počátečním bodem O. DEFINICE 2.4.5: Polopřímky O q a O q se nazývají opačné polopřímky, jestliže jejich vnitřky jsou disjunktními třídami ve smyslu věty 2.4.4 (str. 21). Věta 2.4.5: (i) = ; (ii) =. DEFINICE 2.4.6: Průnik polorovin V a V nazýváme úhel (značíme V ). Polopřímky V a V nazýváme ramena úhlu, bod V se nazývá vrchol úhlu. ody úhlu neležící na ramenech náleží tzv. vnitřku úhlu (obr. 2.4.5). V Obr. 2.4.5 DEFINICE 2.4.7: Je dán úhel V. Polopřímku V C nazveme vnitřní polopřímkou úhlu V, jestliže každý bod vnitřku polopřímky V C je vniřním bodem úhlu V. Pomocí úvah o příslušnosti k téže třídě ve smyslu axiómu U-4 bychom mohli dokázat větu: 21
KM/SG Syntetická geometrie Věta 2.4.6: V C je vnitřní polopřímkou úhlu V, právě když V C. DEFINICE 2.4.8: Dva úhly V a V C, jejichž ramena V a V C jsou opačnými polopřímkami, se nazývají vedlejší úhly (obr. 2.4.6). DEFINICE 2.4.9: Jsou-li V, resp. V opačné polopřímky k polopřímkám V, resp. V, nazýváme úhly V a V vrcholové úhly (obr. 2.4.7). V V C Obr. 2.4.6 Obr. 2.4.7 DEFINICE 2.4.10: Nechť,, C jsou tři nekolineární body Průnik polorovin C, C a C nazýváme trojúhelník. ody,, C se nazývají vrcholy, úsečky, C a C se nazývají strany (obr. 2.4.8). C γ 2 C γ γ 1 β α α 2 α 1 β 1 β 2 Obr. 2.4.8 Obr. 2.4.9 DEFINICE 2.4.11: Je dán trojúhelník C, úhly C, C a C se nazývají vnitřní úhly trojúhelníka. Vedlejší úhly k úhlům vnitřním označujeme jako vnější úhly trojúhelníka (obr. 2.4.9). 22
2. xiómy a základní věty geometrie Definice trojúhelníka umožňuje vyslovit jiné znění Paschovy věty: Jestliže C je trojúhelník a p přímka neprocházející žádným z vrcholů, která protíná stranu. Potom p protíná rovněž buďto stranu C, anebo stranu C. DEFINICE 2.4.12: Nechť,, C, D jsou čtyři body takové, že úsečky C a D mají společný právě jeden vnitřní bod. Sjednocení trojúhelníků C a CD nazýváme (konvexní) čtyřúhelník (obr. 2.4.10). ody,, C, D se nazývají vrcholy, úsečky, C, CD a D se nazývají strany, úhly C, C, CD a CD se nazývají vnitřní úhly čtyřúhelníka. D C 2.5 xiómy shodnosti Obr. 2.4.10 Kolik z naší geometrie nezávisí na axiómu rovnoběžnosti? Které věty můžeme vyslovit, aniž bychom použili 5. Eukleidův postulát? Jak se ukáže jedná se o poměrně velkou část našich geometrických znalostí, jež se opírají jen o skupiny axiómů incidence, uspořádání a shodnosti. S-1: Jestliže = CD a CD = EF, potom = EF. Navíc každá úsečka je shodná sama se sebou. S-2: Nechť je úsečka a CD polopřímka. Potom na CD leží jediný bod E takový, že = CE. S-3: Jestliže C a C, přičemž C = C a C = C, potom platí =. S-4: Jestliže = a = C, potom = C. Navíc každý úhel je shodný sám se sebou. S-5: Je dán úhel C a trojice nekolineárních bodů,, M Potom v polorovině M existuje jediná polopřímka C taková, že C = C. S-6: udiž dány dva trojúhelníky C a C. Jestliže platí =, C = C a C = C, potom platí také C = C, C = C a C = C. 23
KM/SG Syntetická geometrie Na základě axiómů shodnosti můžeme pracovat s úsečkami porovnávat je, sčítat a rovněž odčítat je. DEFINICE 2.5.1: od S přímky se nazývá středem úsečky, jestliže platí S = S. Věta 2.5.1: Každá úsečka má právě jeden střed. DEFINICE 2.5.2: < CD (popř. CD > ), jestliže existuje takový bod E mezi body CD, že = CE (obr. 2.5.1). Věta 2.5.2: (Uspořádání úseček ) Pro úsečky a CD nastává právě jedna z možností < CD, = CD, > CD. E C D C D X Z Y Obr. 2.5.1 Obr. 2.5.2 DEFINICE 2.5.3: Součtem úseček a CD rozumíme jakoukoliv úsečku XY mající vlastnost, že existuje vnitřní bod Z úsečky XY takový, že = XZ a že CD = ZY (obr. 2.5.2). Píšeme symbolicky + CD = XY. DEFINICE 2.5.4: Je-li > CD, pak rozdílem úseček a CD rozumíme jakoukoliv úsečku MN takovou, že = CD + MN. Píšeme symbolicky CD = MN. Obdobně lze pracovat i s úhly. DEFINICE 2.5.5: Vnitřní polopřímku V O úhlu V nazveme osou úhlu V, jestliže platí V O = V O. Věta 2.5.3: Každý úhel má právě jednu osu úhlu. DEFINICE 2.5.6: C < DEF, jestliže existuje vnitřní polopřímka EG úhlu DEF taková, že C = DEG (obr. 2.5.3). Věta 2.5.4: (Uspořádání úhlů ) Pro úhly α a β nastává právě jedna z možností α < β, α = β, α > β. 24
2. xiómy a základní věty geometrie C F α Z β G U E D Y X Obr. 2.5.3 Obr. 2.5.4 DEFINICE 2.5.7: Součtem úhlů α a β rozumíme jakýkoliv úhel γ = XY Z mající vlastnost, že existuje vnitřní polopřímka Y U úhlu XY Z taková, že XY U = α a že UY Z = β (obr. 2.5.4). Píšeme symbolicky α + β = γ. DEFINICE 2.5.8: Je-li α > β, pak rozdílem úhlů α a β rozumíme jakýkoliv úhel δ takový, že α = β + δ. Píšeme symbolicky α β = δ. Pojem shodnosti byl zaveden pro dvě úsečky, resp. dva úhly. V dalších úvahách nás bude zajímat především shodnost dvou trojúhelníků, přičemž vyslovíme několik vět, které platí pro strany a úhly v trojúhelníku včetně vět o shodnosti trojúhelníků. DEFINICE 2.5.9: Dva trojúhelníky nazveme shodné, jestliže existuje vzájemně jednoznačná korespondence mezi jejich vrcholy taková, že odpovídající si strany a odpovídající si úhly jsou shodné (obr. 2.5.5). Obr. 2.5.5 25
KM/SG Syntetická geometrie Věta 2.5.5: (sus) Jestliže pro dva trojúhelníky C a C platí =, C = C a =, pak jsou shodné. Důkaz: Věta je bezprostředním důsledkem axiómu S-6 a předcházející definice shodných trojúhelníků. Q.E.D. Věta 2.5.6: Jestliže v C platí = C, potom platí = C. Důkaz: Uvažujme korespondenci vrcholů:, C, C. V této korespondenci jsou dvě strany (, C) a úhel jimi sevřený ( ) shodné se dvěma odpovídajícími stranami (C, ) a úhlem jimi sevřeným ( ). Podle věty (sus) jsou trojúhelníky shodné, a proto odpovídající si úhly jsou rovněž shodné, = C. Q.E.D. DEFINICE 2.5.10: Trojúhelník, který má dvě shodné strany, se nazývá rovnoramenný. Shodné strany nazýváme ramena, třetí stranu nazýváme základna. Věta 2.5.7: Vedlejší úhly dvou shodných úhlů jsou shodné. 1 2 C 1 1 C 1 C 2 2 C 2 Obr. 2.5.6 Důkaz: (obr. 2.5.6) Nechť jsou dány dvě trojice nekolineárních bodů 1, 1, C 1 a 2, 2, C 2 takové, že platí 1 1 C 1 = 2 2 C 2, 1 1 = 2 2 a 1 C 1 = 2 C 2. Na polopřímce opačné k polopřímce 1 C 1, resp. 2 C 2 zvolme bod C 1, resp. C 2 tak, že platí 1 C 1 = 2 C 2. Podle S-3 můžeme psát C 1 C 1 = C 2 C 2. Podle věty sus platí 1 1 C 1 = 2 2 C 2, a proto C 1 1 = C2 2 a C 1 = C 2. Podle věty sus platí C 1 C 1 1 = C2 C 2 2, a proto C 1 1 = C 2 2 a C 1 C 1 1 = C2 C 2 2. opět podle věty sus C 1 1 1 = C 2 2 2, a proto C 1 1 1 = C 2 2 2. Q.E.D. Věta 2.5.8: Vrcholové úhly jsou navzájem shodné. Důkaz: Jedná se o bezprostřední důsledek předcházející věty, neboť oba vrcholové úhly lze považovat za vedlejší úhly téhož úhlu. Q.E.D. Věta 2.5.9: (sss) Jestliže pro dva trojúhelníky C a C platí =, C = C a C = C, pak jsou shodné. Důkaz: (obr. 2.5.7) Stačí dokázat =, potom podle věty sus budou trojúhelníky shodné. Předpokládejme =, potom existuje podle S-5 polopřímka D v polorovině C, pro kterou je = C D, přičemž 26
2. xiómy a základní věty geometrie D. Podle S-2 leží na polopřímce D jediný bod 1 takový, že = 1. Podle věty sus platí C = 1 C, a proto C = 1 C. Shodnost úseček je vztah tranzitivní (S-1), a proto rovněž trojúhelníky C, 1 C mají shodné strany. Stejným způsobem sestrojíme trojúhelník 2 C s vrcholem v 2 v opačné polorovině s hraniční přímkou C než je bod 1 tj. rovněž platí C = 2 C. Jelikož = 2 a C = C 2, platí 2 = 2 a C 2 = C 2 (rovnoramenné trojúhelníky). Odtud dostáváme C = 2 C (součet úhlů). Trojúhelníky C, 2 C jsou tudíž shodné (sus) a speciálně C = C 2. nalogicky bychom dokázali C 1 = C 2. Ovšem vzhledem k tomu, že 1 dostáváme spor a axiómem S-5. Q.E.D. C 2 C Obr. 2.5.7 1 D Věta 2.5.10: (usu) Jestliže pro dva trojúhelníky C a C platí =, = a =, pak jsou shodné. C D C Obr. 2.5.8 27
KM/SG Syntetická geometrie Důkaz: (obr. 2.5.8) Stačí dokázat C = C, potom podle věty sus budou trojúhelníky shodné. Předpokládejme C = C, takže pro bod D polopřímky C, pro který je C = D, platí C D. Ze vztahu C = D plyne D =. Protože ale podle předpokladu je rovněž = C a protože body C a D leží v téže polorovině, jsou podle S-5 polopřímky C a D totožné. Toto je však spor, neboť bod neleží na přímce C = C D. Q.E.D. Věta 2.5.11: (O vnějším úhlu trojúhelníka) Vnější úhel trojúhelníka je větší než kterýkoliv vnitřní, který s ním není vedlejší. C D E Obr. 2.5.9 Důkaz: (obr. 2.5.9) Uvažujme trojúhelník C a na polopřímce opačné k polopřímce zvolme bod. Chceme dokázat C > C. Označme D střed úsečky C a na polopřímce opačné k polopřímce D určeme bod E tak, že D = DE. Navíc platí DC = ED (vrcholové úhly), a proto DC = ED. Odtud dostáváme CD = DE. Dále víme, že bod E náleží polorovině C a současně opačné polorovině k polorovině C, tj. C. Polopřímka E je tudíž vnitřní polopřímkou úhlu C, a proto CE < C. Jelikož CD = C = DE = CE, dostáváme C < C. Věta 2.5.12: V trojúhelníku leží proti větší straně větší úhel a proti většímu úhlu větší strana. Důkaz: (obr. 2.5.10) Uvažujme trojúhelník C. Máme dokázat, že z předpokladu C < C plyne C < C. Jestliže C < C, potom mezi body C a existuje bod E takový, že C = CE. Polopřímka E je vnitřní polopřímkou úhlu C, a proto C > CE. Trojúhelník EC je rovnoramenný, a proto CE = EC. Navíc podle věty o vnějším úhlu je 28
2. xiómy a základní věty geometrie EC > C. Proto C > CE = EC > C a dostáváme C > C. Sporem bychom dokázali i druhou část věty. Q.E.D. C E Obr. 2.5.10 Věta 2.5.13: (Trojúhelníková nerovnost) Součet dvou stran trojúhelníka je větší než strana třetí. Rozdíl dvou stran trojúhelníka je menší než strana třetí. C C C Obr. 2.5.11 Důkaz: (obr. 2.5.11) Mějme dán trojúhelník C a nechť bod C leží na polopřímce opačné k, přičemž C = C. Je zřejmé, že CC > CC = C C, a jelikož proti většímu úhlu leží větší strana, platí C > C. Ovšem C = + C. Druhou část věty dokážeme obdobně za předpokladu > C, existuje vnitřní bod C úsečky takový, že C = C. Dále CC < C C (Zdůvodněte!), a proto C < C = C. Q.E.D. DEFINICE 2.5.11: Úhel shodný se svým úhlem vedlejším se nazývá pravý. 29
KM/SG Syntetická geometrie Věta 2.5.14: Existuje pravý úhel. O M Obr. 2.5.12 Důkaz: (obr. 2.5.12) Vezměme libovolný úhel O. Podle S-5 existuje polopřímka O taková, že O = O, přičemž body a leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou O. Volme tak, aby O = O axióm S-2 zajišťuje jednoznačnost takové volby. Průsečík přímek O a označme písmenem M. Podle S-6 je MO = MO, a proto vedlejší úhly MO a MO jsou shodné, a proto pravé. Q.E.D. Na tomto místě můžeme zmínit větu, kterou Eukleides zařadil mezi postuláty: Věta 2.5.15: (Eukleidův 4. postulát) Všechny pravé úhly jsou navzájem shodné. DEFINICE 2.5.12: Říkáme, že přímky jsou k sobě kolmé (anebo že jsou to kolmice), jestliže jeden z úhlů jimi sevřených je pravý. q 4 q 6 q 5 p q 2 q 1 q 7 q 3 Obr. 2.5.13 30
2. xiómy a základní věty geometrie DEFINICE 2.5.13: (obr. 2.5.13) Nechť L je množina přímek v rovině. Přímka p se nazývá transverzála (příčka) systému přímek L, jestliže (i) p L, (ii) p q pro všechny přímky q L. DEFINICE 2.5.14: (obr. 2.5.14) Nechť p je příčka dvou přímek a, b. Dvojici úhlů, z nichž jeden svírají přímky p, a (úhel s rameny p p, ā a) a druhý přímky p, b (úhel s rameny p p, b b), nazýváme souhlasné úhly, jestliže (i) oba leží v téže polorovině s hraniční přímkou p, (ii) buďto p p nebo p p. Věta 2.5.16: (O souhlasných úhlech) Jestliže dané dvě přímky spolu s jistou svojí příčkou vytvářejí dvojici shodných souhlasných úhlů, potom dané přímky nemají žádný společný bod. Důkaz: Tato věta je bezprostředním důsledkem věty o vnějším úhlu trojúhelníka. Kdybychom připustili společný bod, potom bychom dostali trojúhelník, jehož jeden vnější úhel je shodný s jistým vnitřním úhlem, se kterým není vedlejší. to je spor. Q.E.D. p a spor! b p Obr. 2.5.14 Obr. 2.5.15 Věta 2.5.17: Daným bodem lze vést k přímce p jedinou kolmici. Důkaz: (obr. 2.5.15) Tato věta je bezprostředním důsledkem věty o souhlasných úhlech. Q.E.D. Věta 2.5.18: Nechť je dána přímka p a bod mimo ni. Je-li P průsečík přímky p s kolmicí vedenou bodem k přímce p, pak pro každý bod X P přímky p platí X > P. Důkaz: (obr. 2.5.16) Nechť X je bod polopřímky opačné k polopřímce P X. Potom podle věty o vnějším úhlu trojúhelníka a vzhledem k definici pravého úhlu můžeme psát XP = X P > P X. vzhledem k tomu, že v trojúhelníku leží proti většímu úhlu větší strana, dostáváme v X > P. Q.E.D. 31
KM/SG Syntetická geometrie X P X p Obr. 2.5.16 2.6 xiómy spojitosti xiómy spojitosti umožňují vytvořit vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi geometrickou přímkou a přímkou reálných čísel, tj. reálnou osou. Z dosavadních axiómů zatím nevyplývá skutečnost, že na přímce nechybí některé body (tj. zjednodušeně řečeno nevíme, zda přímka není děravá ). Zařazení dalších axiómů je nezbytně nutné k tomu, abychom mohli tvrdit (vzhledem k našim zkušenostem), že každá přímka je spojitá proto název axiómy spojitosti. O důležitosti této problematiky nás může přesvědčit následující rozbor algoritmu konstrukce kolmice v daném bodě přímky. a l m k P p Obr. 2.6.1 Zvolíme zadaný bod za střed kružnice a sestrojíme kružnici o libovolném poloměru. Tato kružnice protíná zadanou přímku ve dvou bodech. Dále sestrojíme 32
2. xiómy a základní věty geometrie dvě kružnice se středy v těchto průsečících a s týmž poloměrem větším než poloměr první kružnice. Tyto dvě kružnice se protínají ve dvou bodech. Přímka procházející získanými průsečíky dvou kružnic je hledanou kolmicí. Mlčky jsme však přešli dva problémy: (*) Protíná vždy daná přímka zvolenou kružnici? (**) Protínají se vždy uvedené dvě kružnice? K zodpovězení obou otázek je nutné mít k dispozici aparát související s problematikou spojitosti. Nejdůležitějšími důsledky axiómů spojitosti jsou zavedení míry úsečky a míry úhlu. V principu máme dvě možnosti pro zavedení spojitosti do geometrie. uďto zařadíme axiómy odpovídající původnímu Hilbertovu přístupu, a to rchimédův axióm a Cantorův axióm (u Hilberta tzv. axióm úplnosti). nebo použijeme jen axióm jediný, a to tzv. Dedekindův axióm. Obě cesty se ukazují jako rovnocenné. rchimédův axióm + Cantorův axióm () Ke každým dvěma úsečkám, CD existuje taková konečná posloupnost bodů P 1, P 2,... P n, že P 1 = P1 P 2 = P2 P 3 =... = P n 1 P n = CD, kde Pk 1 P k+1, taková, že bod P n neleží mezi body, (obr. 2.6.2). Použití rchimédova axiómu pro měření úseček je zřejmé. Zvolíme si nějakou úsečku e jako jednotkovou a postupně ji nanášíme na měřenou úsečku x (obr. 2.6.2). Podle tvrzení axiómu () se tak nemůže dít donekonečna, tj. každá úsečka má konečnou délku. Pro přesnější určení délky pak volíme zlomky jednotkové úsečky e 10, e 100, e 1000,..., e,..., tj. 10 k a e + a 1 kde ( i) 0 a i 9. C e D e 10 + a 2 < a e + a 1 e 10 2 +... + a k e 10 + a 2 e 10 k x < e 10 2 +... + (a k + 1) Píšeme x = a, a 1 a 2... a k... e 10 k P 1 P 2 P 3 P n-1 P n Obr. 2.6.2 33
KM/SG Syntetická geometrie Ovšem pouze tohle pro účely geometrie nestačí i množina všech racionálních čísel Q má uvedenou vlastnost měření. Problémy se však objeví na jiném místě. Uvažujme množinu všech racionálních bodů v rovině (tj. bodů, jejichž souřadnice [x, y] jsou racionálními čísly) označme ji Q Q. Vezměme polopřímku, která vychází z počátku O a jde bodem [1, 1]. Délka úsečky O je 2. udeme-li nyní chtít na polopřímce O, kde [1, 0] (kladná racionální poloosa x), najít bod vyhovující axiómu shodnosti S-2, bohužel se nám to nepodaří. Pouhé zařazení rchimédova axiómu neumožňuje vyslovit větu míra úsečky nabývá všech reálných hodnot při dané jednotkové úsečce. K tomu je nutné požadovat splnění silnějších podmínek, a proto musíme zařadit axióm úplnosti Cantorův axióm. (C) Průnik posloupnosti do sebe vřazených úseček je neprázdný. 1 2 3 4 4 3 2 1 Obr. 2.6.3 Jak lze dokázat, z Cantorova axiómu již vyplývá skutečnost, že každé kladné reálné číslo je velikostí některé úsečky. Dedekindův axióm (D) ody úsečky rozdělíme do dvou tříd s následujícími vlastnostmi: 1. Každý bod patří právě jedné třídě. 2. od patří první třídě, bod patří druhé třídě. 3. Náleží-li bod X první třídě, pak této třídě patří i každý bod ležící mezi X. Potom existuje tzv. hraniční bod H, který patří buď první, nebo druhé třídě a má následující vlastnosti: a) je-li H, pak každý bod X mezi, H patří první třídě, b) je-li H, pak každý bod Y mezi, H patří druhé třídě. Věta 2.6.1: Platnost Dedekindova axiómu je ekvivalentní se současnou platností rchimédova a Cantorova axiómu. Důsledek 2.6.1. Geometrie [I, U, S,, C] a [I, U, S, D] jsou ekvivalentní. Jestliže vyjdeme z axiomatiky [I, U, S, D], potom () a (C) jsou věty z tradičních důvodů jim však stále budeme říkat axiómy, i když jim již toto označení nenáleží. Dedekindův axióm umožňuje jednak měřit úsečky (tj. každé 34