KOMPLEXNÍ ČÍSLA (druhá část) V prví kaptole jsme se seáml s algebrackým tvarem komplexího čísla. Některé výpočty s komplexím čísly je však lépe provádět ve tvaru goometrckém. Po. V ásledujícím textu předpokládám alost průběhu goometrckých fukcí sus resp. kosus. Goometrcký tvar komplexího čísla Je dáo komplexí číslo = a + b. Záoríme ho v Gaussově rově. Goometrckým tvarem komplexího čísla aýváme áps: cos s a b cos, s., kde Příklad 9 Vyjádřete v goometrckém tvaru čísla: a) = + 5, b) = 5, c) = 4. a) Načrteme s obra čísla = + 5 v Gaussově rově. Sado se přesvědčíme, že leží ve II. kvadratu, tj. argumet α bude úhel tupý. Nejdříve vypočítáme, tj. vdáleost obrau čísla od počátku soustavy souřadc. a cos a b 9 4 5 9 48 Výsledek: 9 cos48 s 48. b) Číslo = 5 leží a kladé poloose x, argumet α = 0. Vdáleost čísla 5 od uly je 5. 5 cos0 s 0. Výsledek: c) Číslo = 4 leží a áporé poloose y, argumet α = 70, = 4. 4 cos 70 s 70. Výsledek:
Souč a podíl komplexích čísel v goometrckém tvaru Máme čísla cos s, cos s Movreova věta cos cos Je dáo komplexí číslo cos s cos s. Pak platí: s s. Pro všecha přroeá čísla platí: Příklad 0 Vypočtěte (3 5). Číslo = 3 5 ejprve převedeme do goometrckého tvaru a potom použjeme Movreovu větu. = 3 5 3 5 34 Obra čísla leží ve IV. kvadratu, argumet α bude tedy úhel tervalu 70 ; 30. a 3 cos 30058 34 34 39 304 cos 30058 s 30058 cos80547 s 80547 Vyšel ám úhel jak vrata, využjeme proto perodčost goometrckých fukcí sus resp. kosus a přepíšeme teto úhel do ákladího tvaru. 39 304 cos547 s 547 Teď už bývá je posledí krok převést číslo pět do algebrackého tvaru. 39 304 cos547 s 547 39 304 0,995 0, 0 3903,9 390, 5 Po. Komu přjde výše uvedeý postup přílš komplkovaý, může provést ásledující výpočet: 3 5 3 5 3 5. Přej příjemou ábavu.
Řešeí kvadratckých rovc s reálým koefcety v C ) Je dáa eúplá kvadratcká rovce ve tvaru ax c 0. Jsou-l koefcety a, c současě kladá resp. áporá čísla, rovce má dva růé komplexě sdružeé kořey. ) Je dáa úplá kvadratcká rovce ax bx c 0. Takovou rovc řešíme přes dskrmat kvadratcké rovce D. Je-l D > 0, pak má rovce dva růé reálé kořey, je-l D = 0, pak má rovce jede dvojásobý koře a je-l D < 0, pak má rovce dva růé komplexě sdružeé kořey. Příklad Řešte kvadratcké rovce v C. a) x + = 0 b) x 5 = 0 c) 5x + x + 8 = 0 a) x x 3 x 3 Rovce má dva růé komplexě sdružeé kořey 3. b) x 5 = 0 5 = x x = ± 5 Rovce má dva růé komplexě sdružeé kořey. c) 5x + x + 8 = 0 D 3 4 58 34 8 3 9 D 8 x, 0 5 Rovce má dva růé komplexě sdružeé kořey 3 9. 5 5 Bomcká rovce, tá komplexí odmoca Je dáo komplexí číslo. Pak pro každé přroeé platí: k k cos s, kde k = 0; ; ;... ; Chceme-l odmoct komplexí číslo, převedeme jej ejdříve do goometrckého tvaru cos s. Poté použjeme výše uvedeý vorec, kde a k postupě dosaujeme celá čísla od 0 až po číslo. Dostaeme vždy výsledků, které veme -tým komplexím odmocam čísla. Každé komplexí číslo má právě růých -tých komplexích odmoc. Zdálvě složtý výpočet ořejmíme a příkladu.
Příklad Vypočtěte 3 8. Nejprve převedeme číslo 8 do goometrckého tvaru. Jedá se o číslo reálé, ležící a áporé poloose x, jehož absolutí hodota je rova 8. Platí tedy: 8 = 8(cos 80 + s 80 ) Vorec pro výpočet -té komplexí odmocy vyjádříme pro aše potřeby ve stupích. 30 k 30 k cos s, kde k = 0; ; ;... ; = 3, α = 80, a k budeme postupě dosaovat čísla 0,,. = 8 3 8 k = 0 k = k = 80 30 0 80 30 0 cos s = 3 3 cos0 s 0 = 3 = 80 30 80 30 cos s 3 3 cos80 s 80 = = 80 30 80 30 cos s 3 3 cos300 s 300 = 3 3 = Po. Kdybychom se abýval daou odmocu poue v oboru reálých čísel, dostal bychom poue řešeí =. V oboru C má však každé číslo právě růých -tých komplexích odmoc, jejchž obray vytvoří v Gaussově rově pravdelý -úhelík, jak s ukážeme poděj př řešeí bomckých rovc. Otáka: Co se stae, dosadíme-l a k = 3? Podle výše uvedeých tvreí totž emůže exstovat žádá já třetí odmoca čísla 8. Zkusme. k = 3 80 30 3 80 30 3 cos s 3 3 cos 40 s 40 = 3 4 = Pro k = 3 jsme dostal opět prví koře. Stejě tak pro k = 4 bychom dostal opět atd.
Bomcká rovce v C Rovce ve tvaru ax b 0, kde a, b R, a 0, N, se aývá bomcká rovce b s eámou x C. Dělíme-l obě stray rovce číslem a, ačež položíme výra m, a dostaeme ormovaý tvar bomcké rovce x = m. Tato rovce má v C vždy kořeů, jejchž obray v Gaussově rově tvoří vrcholy pravdelého -úhelíku se středem v bodě [0, 0]. Příklad 3 Řešte v C rovc x 4 3 = 0. Rovc ejdříve ormujeme a tvar x 4 = a poté j odmocíme (čtvrtou odmocou). Dostaeme: x 4 Hledáme tedy čtvrté odmocy čísla. Budeme postupovat obdobě jako v příkladu. = (cos 0 + s 0 ) 30 k 30 k cos s, kde k = 0; ; ;... ; = 4, α = 0, a k budeme postupě dosaovat 0,,, 3. = 4 k = 0 k = k = k = 3 0 30 0 0 30 0 cos s = 4 4 cos0 s 0 = = 0 30 0 30 cos s = 4 4 cos90 s 90 = = 0 30 0 30 3 cos s = 4 4 cos80 s 80 = = 0 30 3 0 30 3 4 cos s = 4 4 cos 70 s 70 = = Dostal jsme čtyř kořey, chž dva jsou reálé (, 3 ) a dva magárí (, 4 ). Nyí tyto kořey áoríme v Gaussově rově.
Jak je vdět a obráku vpravo, obray kořeů daé bomcké rovce tvoří vrcholy pravdelého čtyřúhelíku (tj. čtverce) se středem v počátku soustavy souřadc. Absolutí hodota komplexího čísla udává jeho vdáleost od počátku soustavy souřadc. Všechy kořey mají absolutí hodotu rovu dvěma, a proto musí ležet a kružc se středem v počátku [0; 0] a poloměrem r =.