5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

Transkript

1 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém oboru; jak pomocí epoecálího ebo goometrckého tvaru sado spočítat odmocu z lbovolého kompleího čísla; jak je defováa a jak se řeší kvadratcká rovce v kompleím oboru včetě porováí s reálým případem; jak je defováa a jak se řeší bomcká rovce v kompleím oboru včetě porováí s reálým případem. Klíčová slova této kaptoly: kompleí odmoca, mohozačá fukce, kvadratcká rovce v kompleím oboru, bomcká rovce v kompleím oboru. Čas potřebý k prostudováí učva kaptoly:,5 +, hody (teore + řešeí příkladů)

2 Odmoca v kompleím oboru. Defce. Nechť N a z C. Pak -tou odmocou z kompleího čísla z azýváme každé číslo C, pro které platí = z a začíme z. ϕ Je-l kompleí číslo vyjádřeo v epoecálím tvaru z = r e, resp. v goometrckém z = r cosϕ + sϕ, pak -tým odmocam jsou čísla tvaru ( ) k kde k =,,...,. ϕ + = r e, resp. k ϕ + ϕ + = r cos + s, Důkaz. S použtím epoecálího tvaru je důkaz jedoduchý: ϕ+ ϕ+ ( ϕ+ ) ϕ ( k ) = r e = r e = r e = r e = z. Cbd. V goometrckém tvaru lze provést důkaz také sado pomocí Movreovy věty. Pozámka. a) Vdíme, že odmoca z kompleího čísla eí defováa jedozačě, abývá hodot. Mluvíme o mohozačé fukc, zde přesěj -začé. V oboru kompleích čísel to eí žádá výjmka, záme jž apř. mohozačou fukc arg z. b) Kompleí odmoca se začí stejě jako reálá, proto je uté všude, kde to eí z kotetu patré, uvést, o jakou odmocu se jedá. V tomto smyslu je uté upřest vzorce v předchozí větě: odmoca r je reálá odmoca z ezáporé velčy r, její hodota je tedy jedá a ezáporá. c) Z geometrcké terpretace plye, že pro tvoří všechy hodoty -té odmocy vrcholy pravdelého -úhelíka se středem v počátku souřadého systému a pro = leží symetrcky vůč počátku. Řešeý příklad. Určete v C hodotu. Řešeí. K řešeí použjeme výpočetí vzorec z posledí věty pro epoecálí + tvar: = e = e, k =,. Postupým dosazeím za k a převodem a algebracký tvar obdržíme dvě hodoty: =, =. Pozámka. Uvědomte s jemý, ale pro hlubší pochopeí podstatý rozdíl mez v reálém a kompleím oboru. V reálém oboru to je podle defce jedá hodota, v kompleím oboru jsou to dvě hodoty ±. Chceme-l tudíž apříklad vyjádřt úplé řešeí rovce

3 =, musíme v reálém oboru psát =± =. Řešeý příklad. Určete v C hodotu 8., zatímco v kompleím oboru stačí psát Řešeí. K řešeí použjeme opět epoecálí tvar, který je ejstručější. Podle výpočetího vztahu z předchozí věty sado obdržíme + převodem a algebracký tvar dostáváme tř hodoty: π 8 = 8 e = e, k =,,. Dosazeím za k a e = =, π = e = +, = e =. Hodota je reálá a je totožá s třetí mocou z 8 v reálém oboru, ostatí dvě jsou kompleí s eulovou magárí částí; všechy tř v Gaussově rově vytvářejí rovostraý trojúhelík. Řešeí kvadratckých rovc v kompleím oboru. Defce. Kvadratckou rovcí rozumíme rovc tvaru a b c + + =, kde, a, b, c C. b+ D Řešeím kvadratcké rovce a + b + c = v C jsou čísla, =, kde kompleí a číslo D= b ac je zámý dskrmat kvadratcké rovce. Pozámka. a) Defce kvadratcké rovce je stejá jako v reálém oboru, pouze koefcety a ezámá jsou yí kompleí. b) Také vzorec pro výpočet kořeů kvadratcké rovce je velm podobý vzorc pro reálý případ. Malý, ale podstatý rozdíl je v tom, že druhá odmoca v tomto vzorc je yí kompleí, tudíž dvojzačá a proto eí uté psát zaméko ±. c) Kvadratcká rovce má tedy v kompleím oboru vždy řešeí, pro D dva růzé kořey, pro D = jede (dvojásobý) koře. Řešeí bomckých rovc v kompleím oboru. Defce. Bomckou rovcí rozumíme rovc tvaru z =, kde, z C, N. Řešeím bomcké rovce z = v C je kompleí -tá odmoca = z. Důkaz. Důkaz je trválí. Rovc upravíme a ekvvaletí tvar kompleí odmocy. = z a aplkujeme defc

4 Pozámka. Bomcká rovce v kompleím oboru má tedy jedoduchých kořeů, které, jak víme, tvoří v Gaussově rově pravdelý -úhelík. Oprot řešeí bomckých rovc v reálém oboru, kdy řešeí emusí být žádé, jedo ebo dvě (podle toho, kolk vrcholů pravdelého -úhelíka pade a reálou osu), zde vdíme krásou symetr a přesě daý počet řešeí. To je jede z moha případů, kdy převedeí ějakého problému z oboru reálých čísel do čísel kompleích poskytuje daleko hlubší vhled do podstaty problému. Shrutí kaptoly: Přrozeá odmoca je defováa v kompleím oboru jako řešeí rovce = z. Jedá se o mohozačou fukc, která má obecě hodot (výjmkou je pouze případ z = ). Vypočítat hodoty kompleí odmocy lze ejlépe v epoecálím ebo goometrckém tvaru. Jedotlvé hodoty tvoří v Gaussově rově pravdelý -úhelík se středem v počátku souřadc. Kvadratcká rovce je defováa v kompleím oboru stejě jako v reálém oboru, pouze všechy koefcety ezámá jsou kompleí čísla (tím ovšem eí řečeo, že emohou být reálá). Kořey kvadratcké rovce alezeme podle obdobého vzorce jako v reálém oboru s tím rozdílem, že v ěm fguruje kompleí druhá odmoca a eí tedy uté psát zaméko ±. Kvadratcká rovce má v kompleím oboru vždy řešeí. Bomcká rovce z = v kompleím oboru je defováa rověž aalogcky k defc v reálém oboru. Řešeí je dáo kompleí -tou odmocou = z, tudíž kromě trválího případu z = estuje vždy právě růzých kořeů. Otázky: Jak je defováa přrozeá odmoca v kompleím oboru? Čím se tato fukce lší od přrozeé odmocy v reálém oboru? V jakém tvaru lze ejlépe spočítat kokrétí hodoty kompleí odmocy? Jaký útvar v Gaussově rově tyto hodoty vytvářejí? Jak je defováa kvadratcká rovce v kompleím oboru a jak se řeší? V čem jsou rozdíly oprot kvadratcké rovc v reálém oboru? Jak je defováa bomcká rovce v kompleím oboru a jak se řeší? V čem jsou rozdíly oprot bomcké rovc v reálém oboru? V kterém oboru je problém řešeí bomckých rovc přehledější?

5 Příklad. Vypočtěte odmocu v kompleím oboru: a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ; g) ; h) ; ) ( ) + ; j) ( ). Příklad. Řešte v C rovc: a) z = ; b) ( ) 5 z + = ; c) z z + = ; d) z z + = ; e) z z+ =. Řešeí příkladů: a) ± ; b) π e, k =,; c) e, k =,; d) e, k =,; 6 e) e, k =,,; f) e, k =,,; g) e, k =,,; h) π 6 e, k =,,; ) 6 e, k =,,; j) π e, k =,,. a) z = ; b) z = + ; c) ± z = ; d) z = + ; e) ( ) z =. Pozámka. Některé výsledky je možé dále převést a algebracký tvar, pokud teto převod dostatečě eovládáte, doporučujeme to jako vhodé cvčeí. Zkuste s také vybraé výsledky zázort v Gaussově rově! Další zdroje:. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematky. 6. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematka v úlohách I.. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematka v úlohách II.. vyd. Praha: Prometheus, REKTORYS, K. a spol. Přehled užté matematky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 995. ZÁVĚR: