Metodika: Goniometrický tvar komplexního ísla, binomická rovnice

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Metodika: Goniometrický tvar komplexního ísla, binomická rovnice"

Jaroslav Jaroš
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 ! " #$ % # & ' ( ) * + ), - Idvduálí výuka matematka Vít Ržka, kvte Metodka: Goometrcký tvar komplexího ísla, bomcká rovce Úvod Téma goometrcký tvar komplexího ísla je možé probírat soubž s výkladem pojmu algebracký tvar komplexího ísla a áorí komplexích ísel v Gaussov rov, ebo a teto výklad avaovat. Ke vládutí této kaptoly je uté át: vlastost a hodoty goometrckých fukcí s x a cos x pro x ; ) áorí komplexího ísla v Gaussov rov pojem absolutí hodota komplexího ísla a výpoet její hodoty Studet by ml bepe umt urt k adaé velkost úhlu x hodoty fukcí s x a cos x a pro adaou hodotu y = s x ebo y = cos x umt urt všechy úhly x ; ). Hodoty s x a cos x pro pamt. x ; ; ; ; a jejch ásobky by ml žác át ebo umt odvodt 6 Metodcká poámka Pro slabší žáky je vhodé ped ahájeím výkladu opakovat jedoduché úlohy a fukce s x a cos x. Pro lepší oretac mohou žákm posloužt tabulky hodot goometrckých fukcí, kterou s mohou opsat ebo vytskout a použít jako pomcku p výkladu a p ešeí úloh. Tabulka Kvadrat I. II. III. IV. x,,, s x + + cos x + +,

2 Tabulka x s x cos x 6. Pevod komplexího ísla algebrackého a goometrcký tvar a aopak Postup p pevodu komplexího ísla algebrackého a goometrcký tvar Je-l komplexí íslo adáo ve tvaru = a + b, kde goometrcký tvar ískáme ásledujícím postupem:. Vypoteme podle vorce. Zapíšeme. Uríme améka ísel a b a b cos ; s (v obr ) a ; b. Uríme správ úhel (v obr. ).. Uríme úhel, podle vorce a R, b R, je magárí jedotka, pak jeho, podle ch uríme kvadrat, ve kterém je hledaý úhel (v tab.) a cos ; s.. Hodotu úhlu uríme podle vorc: (I. kvadrat) (II. kvadrat) b (III. kvadrat) (IV. kvadrat) cos s. Zapíšeme goometrcký tvar komplexího ísla: Je-l íslo reálé ebo rye magárí (tj. = a, ebo = b), je možé urt jeho goometrcký tvar pamt. Pro = a platí: a, (pro a > ) ebo (pro a < ) Pro = b platí: b, (pro b > ) ebo (pro b < ) Metodcká poámka Pokud žác hledají hodotu úhlu a kalkulace, obraí se jm je hodoty v I. a II. kvadratu (cos), resp. v I. a IV. kvadratu (s). Z tohoto dvodu je uté vždy ejprve urt kvadrat a pak teprve hledat hodotu úhlu. Postup p pevodu komplexího ísla goometrckého a algebracký tvar Je-l dáo komplexí íslo: cos s, postupujem takto:. Zpamt ebo pomocí kalkulaky tabulek uríme hodoty s, cos. Dosadíme do ápsu ísla, roásobíme ávorku a pípad krátíme lomky

3 Obr. : Goometrcký tvar komplexího ísla Obr. : Hledáí úhlu pro ré hodoty s a cos

4 Úlohy:. Zapšte daá komplexí ísla v goometrckém tvaru: a) b) c). Zapšte daá komplexí ísla v goometrckém tvaru: a). d) b) e) c) f) 8. Zapšte daá komplexí ísla v algebrackém tvaru: a) cos s c) cos s b) cos s, cos6 s 6 d) Metodcká poámka Pro sadjší vládutí uva je vhodé aít úloham, kde (úloha, a) ešeí:. a) cos s b) cos s cos s 6 6. a) cos s d) cos s 6 6 b) cos s e) cos s cos s cos 98 s 98 c) f). a) c) b). d),9,88 (aokrouhleý výsledek). Násobeí a dleí komplexích ísel v goometrckém tvaru. Postup: Pro ísla cos s, cos s a) cos s b) cos s platí:,

5 Pokud jsou adaá ísla v rých tvarech, pevedeme je ejprve ob a stejý tvar (algebracký ebo goometrcký) a pak ásobíme ebo dlíme. Metodcká poámka Obsahuje-l výpoet sou podíl více ež dvou ísel, je obvykle vhodjší ásobt dlt v goometrckém tvaru. Úlohy:. Vypotte, výsledek apšte v goometrckém v algebrackém tvaru: a) cos s cos s c) b) cos s cos s d) cos s cos s cos s cos s Metodcká poámka P ásobeí dleí ísel v goometrckém tvaru emusí být výsledý úhel (vklý soutem rodílem) v tervalu ; ). V tchto pípadech je vhodé pevést výsledý úhel odeteím pteím jedé ebo více perod a úhel v tomto tervalu (ap. v úlohách a, d).. Vypotte, výsledek apšte v goometrckém v algebrackém tvaru: a) b) cos s cos s cos s 6 6 c) d) cos s cos s Metodcká poámka Je dležté upoort studety, že áps: cos s (v úloha b) eí goometrcký tvar komplexího ísla a pro výpoet souu je uté apsat íslo v goometrckém tvaru. Nkteí studet p výpotu chybují v tom, že roásobí ávorku a apíšou uvedeé íslo jako cos s.

6 ešeí:. a) cos s c) cos s b) cos s d) cos s a) cos s c) cos s 6 6 b) cos s d) cos s. Movreova vta, umocováí komplexích ísel v goometrckém tvaru Postup: Komplexí íslo cos s cos s cos umocujeme podle vorce: s, N Metodcká poámka Pro sadjší vládutí uva je vhodé aít úloham, kde íslo je komplexí jedotka, tj. (úloha 6a, 6c) Je-l íslo komplexí jedotka, je možé též úlohu ešt grafcky v Gaussov rov pomocí grafckého sítáí úhl. Grafcké ešeí dobe lustruje dv vlastost -té mocy komplexí jedotky: íslo a všechy jeho mocy leží a jedotkové kružc se stedem v poátku (v obr. ) mocy se perodcky opakují (podob jako mocy ísla ), ap.: cos s cos s cos s 7 cos s... Metodcká poámka Komplexího íslo adaé v algebrackém tvaru je možé umocovat pomocí vorc pro mocu dvojleu ebo pomocí bomcké vty. P výpotu vyšších moc tímto psobem vkají složté a epehledé výray a je de vtší rko chyby, proto je vhodé vyšší mocy komplexích ísel poítat pevedeím a goometrcký tvar pomocí Movreovy vty. Pro lustrac je vhodé aadt ap. výpoet mocy 6

7 Obr.. Záorí moc komplexí jedotky v Gaussov rov Úlohy: 6. Umocte, výsledek apšte v algebrackém tvaru: a) c) b) d) Metodcká poámka Podob jako p ásobeí dleí ísel v goometrckém tvaru emusí být výsledý úhel (vklý vyásobeím) v tervalu ; ). V tchto pípadech je vhodé pevést výsledý úhel odeteím pteím jedé ebo více perod a úhel v tomto tervalu. ešeí: 6. a) ; b) 6 6 ; c) ; d) 8 8 7

8 . Bomcká rovce Bomcká rovce se aývá rovce ve tvaru: px q, kde p C, q C, N Každou bomckou rovc le pevést a tvar x, kde x C, C, N. Teto tvar bomcké rovce budeme používat v ašem textu. ešeí bomcké rovce vycháí e vorce pro umocováí komplexího ísla v goometrckém tvaru. Postup p ešeí bomcké rovce: Bomckou rovc ve tvaru x, kde x C, C, N, ešíme ásledujícím postupem:. íslo pevedeme a goometrcký tvar: cos s. Vypoteme... Každá bomcká rovce x má práv komplexích koe x, x, x, x,..., x. Jedotlvé koey x k vypoteme podle vorce: k k x k cos s, kde a íslo k postup dosaujeme,,,,...,.. Vypoteé koey pevedeme a požadovaý tvar. Všechy body Gaussovy rovy, které obraují koey bomcké rovce stedem v poátku a polomrem a tvoí vrcholy pravdelého -úhelíku (v obr ) x, leží a kružc se Obr.. Záorí koe bomcké rovce v Gaussov rov (ešeí úlohy ). 8

9 Metodcká poámka k k Ve vorc x k cos s je uté upoort a výra k, kde p postupém dosaováí a k vypoteme jedotlvé koey bomcké rovce. Pokud bychom p výpotu eval v úvahu další perody, vyšlo by poue jedo (správé) ešeí místo ešeí. Úlohy: 7. ešte rovc pro eámou x C, výsledky a) e) apšte v algebrackém tvaru a akreslete do Gaussovy rovy. Výsledek f) apšte v goometrckém tvaru. 6 a) x d) x 8 b) x e) x c) 6 x 6 f) x Metodcká poámka Pro pesjší akresleí výsledk bomcké rovce je vždy vhodé akreslt kružc se stedem v poátku a polomrem a a í pak obrat vypoteé body. ešeí: 7. a) ; ; ; ; ; b) ; ; c) ; ; ; ; ; ; d) ; ; e) ; ; ; ; f) cos s ; cos s ; cos s ; cos s ; cos s Lteratura Calda E. Matematka pro gymáa Komplexí ísla. Prometheus. Praha 8 Petáková, J. Matematka píprava k maturt a k pjímacím kouškám a VŠ. Prometheus. Praha 998 Pílohy. Tabulky a obráky. Úlohy a jejch ešeí 9

Podobné dokumenty

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém