UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra matematiky Diplomová práce Bc. Pavlína Listíková TÉMATA STATISTIKY NA 2. STUPNI ZÁKLADNÍ ŠKOLY Olomouc 2017 vedoucí práce: doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc.
Prohlášení Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracovala samostatně a použila jen uvedenou literaturu a zdroje. V Olomouci dne Pavlína Listíková
Poděkování Chtěla bych poděkovat paní doc. RNDr. Jitce Laitochové za odborné vedení diplomové práce, poskytování konzultací, cenných rad a zároveň za půjčení anglické řady učebnic matematiky Key Maths.
Obsah Úvod... 7 TEORETICKÁ ČÁST... 9 1 Statistika... 9 1.1 Pojetí statistiky... 9 1.2 Historie statistiky... 9 2 Vybraná témata statistiky z učiva matematiky 2. stupně základních škol... 12 2.1 Základní statistické pojmy... 12 2.1.1 Statistická jednotka... 12 2.1.2 Statistický soubor... 12 2.1.3 Statistický znak... 13 2.1.4 Četnost... 15 2.2 Charakteristiky polohy... 16 2.2.1 Aritmetický průměr... 16 2.2.2 Modus... 16 2.2.3 Medián... 16 2.3 Tabulky... 17 2.3.1 Tabulka rozdělení četností... 17 2.4 Statistické grafy... 18 2.4.1 Bodový graf... 18 2.4.2 Úsečkový graf... 19 2.4.3 Spojnicový graf... 20 2.4.4 Sloupcový graf... 20 2.4.5 Histogram... 22
2.4.6 Koláčový graf... 23 3 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání... 24 3.1 Statistika a vzdělávací obor Matematika a její aplikace v RVP ZV... 24 3.2 Závislosti, vztahy a práce s daty... 25 3.3 Statistika ve Standardech pro základní vzdělávání... 25 4 Statistika nejen v matematice... 28 4.1 Ukázka využití statistiky ve fyzice... 28 4.2 Ukázka využití statistiky v informatice... 29 5 Mezinárodní šetření PISA... 32 5.1 Statistika v mezinárodním šetření PISA 2012... 33 5.2 Uvolněná testová úloha z šetření PISA 2012 se statistickou tematikou... 35 PRAKTICKÁ ČÁST... 38 6 Vymezení cíle praktické části... 38 7 Výběr učebnicových řad... 38 7.1 První vybraná česká řada učebnic matematiky... 38 7.2 Druhá vybraná česká řada učebnic matematiky... 39 7.3 Třetí vybraná česká řada učebnic matematiky... 40 7.4 Vybraná anglická řada učebnic matematiky... 41 8 Statistika v českých řadách učebnic matematiky... 43 8.1 Základní statistické pojmy... 47 8.2 Charakteristiky polohy... 47 8.3 Tabulky... 49 8.4 Statistické grafy... 50 8.5 Příklady k procvičení... 54
8.6 Mezipředmětové vztahy v učivu o statistice... 57 9 Statistika v anglické řadě učebnic matematiky... 61 9.1 Základní statistické pojmy... 62 9.2 Charakteristiky polohy... 62 9.3 Tabulky... 63 9.4 Statistické grafy... 63 9.5 Příklady k procvičení... 66 9.6 Další zjištění... 70 10 Závěrečné shrnutí... 73 Závěr... 76 Seznam použité literatury a zdrojů... 78 Seznam zkratek... 82 Seznam obrázků... 83 Seznam grafů... 85 Seznam tabulek... 86 Seznam příloh... 87
Úvod Řekne-li se slovo statistika, tak každému z nás se ihned vybaví spousta čísel, tabulek a grafů. Aniž bychom si to uvědomovali, tak se statistikou se setkáváme prakticky téměř denně, a to v televizních zprávách, časopisech, novinách, rozhlase, na internetu a v dalších hromadně sdělovacích prostředcích. V současné době jsme neustále obklopováni velkým množstvím informací, které jsou právě zpracovány do různých schémat, tabulek a grafů. Pro žáky budou tyto informace užitečné jedině tehdy, budou-li je umět rozluštit a dále s nimi pracovat. Z toho důvodu by učivo statistiky nemělo na základních školách ustupovat do pozadí. Cílem diplomové práce je pojednat o tématech statistiky na 2. stupni základní školy, srovnat 3 řady českých učebnic matematiky pro 2. stupeň ZŠ a jednu anglickou řadu učebnic z hlediska učiva statistiky. Diplomovou práci jsem rozdělila na teoretickou a praktickou část. Práce obsahuje celkem deset kapitol, přičemž prvních pět kapitol spadá do teoretické části a zbylých pět do praktické části. V první kapitole vymezuji pojem statistika a stručně popisuji historický vývoj statistiky. Druhá kapitola je věnována vybraným tématům statistiky z učiva matematiky 2. stupně základních škol. Prostřednictvím této kapitoly popisuji, charakterizuji a matematicky definuji základní statistické termíny. Při zpracování jsem vycházela z odborných publikací [20 23], [27], [32], [36], [38], [41], [42], [44]. Konkrétně se zaměřuji na základní statistické pojmy, charakteristiky polohy, tabulky a statistické grafy. Čtenáře seznamuji se základními statistickými pojmy, jako je statistická jednotka, statistický soubor, statistický znak a četnost. Do charakteristik polohy jsem zařadila aritmetický průměr, modus a medián. Dále uvádím pár obecných doporučení pro tvorbu tabulek a představuji tabulku rozdělení četností. Ze statistických grafů blíže představuji bodový, úsečkový, spojnicový, sloupcový graf a tzv. histogram, který je speciálním případem sloupcového grafu. Jednotlivé grafy jsou vždy nejen popsány, ale také pro představu vyobrazeny na obrázcích. Ve třetí kapitole představuji ukotvení statistiky v Rámcovém vzdělávacím programu pro základní vzdělávání. 7
Do čtvrté kapitoly jsem zařadila ukázku, jak lze statistiku využít ve fyzice a informatice. Teoretickou část jsem navíc obohatila ukázkou testové úlohy z šetření PISA 2012 se statistickou tematikou, která je součástí páté kapitoly. Po teoretické části následuje praktická část práce, ve které srovnávám tři řady českých učebnic matematiky pro 2. stupeň ZŠ z hlediska učiva statistiky. Následně porovnávám i jednu anglickou řadu učebnic matematiky s českými učebnicemi. Všímám si, v čem jsou anglické učebnice odlišné od českých. Z anglických učebnic uvádím i konkrétní ukázky příkladů a pouček. Proto předpokládám, že čtenář ovládá anglický jazyk alespoň na základní úrovni, protože ukázky doslovně nepřekládám do českého jazyka. V praktické části se vyskytují ukázky zadání příkladů jak z českých, tak anglických učebnic. U některých z nich podávám i vlastní řešení. Pár grafů jsem vykreslila v programu Excel 2013. 8
TEORETICKÁ ČÁST 1 Statistika V této kapitole si vymezíme pojem statistika a nahlédneme do historie statistiky. 1.1 Pojetí statistiky Šalounová (2013) vymezuje pojem statistika ve třech pojetích: 1. Statistikou všeobecně rozumíme sběr, zpracování a vyhodnocování údajů o hromadných přírodních a společenských jevech. Jedná se tedy o praktickou činnost. 2. Slovem statistika označujeme též získané konkrétní údaje. Například statistika návštěvnosti divadla, statistika výsledků voleb. 3. Statistika je věda o metodách sběru, popisu, analýzy a interpretace zejména číselných údajů o hromadných jevech. Nabízí se otázka: Co je hromadný jev? Hromadným jevem je buď jev, který se vztahuje k velkému počtu zkoumaných objektů, nebo jev, který vzniká při mnohonásobném opakování stejných podmínek. (Šalounová, 2013) 1.2 Historie statistiky Slovo statistika má původ z italštiny, z italského stato. Původní význam slova stato je stav. Od konce středověku je chápán také jako státní území nebo stát. Slovo stato poprvé použil Girolamo Ghilini (1589 1669) ve své práci Shrnutí civilní, politické, statistické a vojenské vědy. Shromáždil v ní řadu informací týkající se té doby o státu, o jeho obyvatelích, životě, náboženství, právu, obchodu, výrobě a armádě. V tomto smyslu se pak italské slovo stato rozšířilo do dalších jazyků. Prvopočátky statistiky můžeme spatřit již ve starověku, neboť záznamy o sčítání obyvatel a majetku najdeme v písemnostech starých Babylóňanů z období před rokem 3800 př. n. l. Vznik statistiky významně ovlivnil zrod prvních městských států v 3. a 2. tisíciletí př. n. l. ve starověkých civilizacích, jako byl Egypt, Čína, Mezopotámie, Palestina, Řecko a Řím. Městské státy bylo potřeba spravovat. Se správou ovšem byly 9
spojené nemalé náklady, a proto byl zapotřebí zvýšit výběr daní. K stanovení jejich výše bylo nutné mít číselné údaje o území, obyvatelstvu, obchodu, řemeslech, zemědělství apod. Potřebné informace získali právě na základě soupisu obyvatel a dalších šetřeních. (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012) Počátky vývoje statistiky jsou spjaty se dvěma rozdílnými směry, které se současně vytvářely v 17. a 18. století. Prvním směrem je tzv. univerzitní statistika a druhým směrem je tzv. politická aritmetika. Univerzitní statistika se rozvíjela v Německu a byla označována také jako věda o státních pozoruhodnostech. Státními pozoruhodnostmi byly myšleny zeměpisné, podnebné, hospodářské, politické a další údaje o státech. Tyto údaje byly zaznamenávány převážně slovním vyjádřením. (Strádalová, Kubátová, 1997) Zatímco v Anglii právě vznikala a rozvíjela se politická aritmetika. Ta se již nezabývala popisem státu, ale sledovala obyvatelstvo na základě údajů o narozených a zemřelých lidí. K nejvýznamnějším politickým aritmetikům se řadí John Graunt (1620 1674) a William Petty (1623 1687). Od 17. století se začíná nezávisle na statistice rozvíjet teorie pravděpodobnosti, která se zabývá jedinečnými a neopakovatelnými jevy. Naopak statistika se zabývá jevy hromadnými. Tím, jak postupně docházelo ke splývání univerzitní statistiky, politické aritmetiky a teorie pravděpodobnosti, se statistika v 18. a 19. století vymanila jako samostatný vědní obor. Věnovala se popisu hromadných jevů v nově vzniklých přírodních, ekonomických a technických vědách, a proto bývá označována taktéž jako popisná statistika. (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012) Do statistiky v průběhu vývoje stále více pronikala teorie pravděpodobnosti, na jejímž základě vznikla ve 30. letech 20. století tzv. matematická statistika. Její hlavní myšlenka spočívá v tom, že statistické charakteristiky celé populace je možné odhadnout za jistých předpokladů z výběrového souboru. Na rozvoji matematické statistiky se podílela řada významných anglických a ruských osobností. Z anglických statistiků to byl R. A. Fisher (1890 1962), W. S. Gosset (1876 1937), F. Galton (1822 1911) a Ch. Pearson (1857 1936). K ruským osobnostem se řadí A. A. Markov (1856 1922), P. L. Čebyšev (1821 1894) 10
a A. N. Kolmogorov (1903 1987). (Řezanková, Löster, 2009; Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012) Druhá polovina 20. století je charakteristická značným rozmachem statistických metod, což je zapříčiněno především rozvojem výpočetní techniky. Některé nově navržené metody a postupy by nebylo možné právě bez počítačů zrealizovat. Z tohoto období nesmíme zapomenout zmínit Johna Tukeyho (1915 2000), který roku 1977 ve své publikaci navrhl tzv. krabicový graf, který je dnes součástí téměř všech počítačových statistických programů. (Řezanková, Löster, 2009) Poznámka: O historickém vývoji statistiky se lze podrobněji dočíst v [32]. Část výkladu pojednává i o statistice v Českých zemích. 11
2 Vybraná témata statistiky z učiva matematiky 2. stupně základních škol S historií statistiky jsme se již dostatečně seznámili, a tak může pokročit dále. Nyní se budeme věnovat vybraným tématům statistiky, které se vyskytují v učivu matematiky na 2. stupni základní školy. Nadefinujeme si základní statistické pojmy, jako je statistická jednotka, statistický soubor, statistický znak a četnost, bez kterých se ve statistice neobejdeme. Z charakteristik polohy si představíme aritmetický průměr, modus a medián. Statistika se samozřejmě neobejde ani bez tabulek a statistických grafů. V kapitole bude použito běžné matematické označení, přičemž proměnná a proměnné n, k N, kde R je množina reálných čísel a N množina přirozených čísel. x R K definování a popisu statistických pojmů byla použita literatura [20 23], [27], [32], [36], [38], [41], [42], [44]. 2.1 Základní statistické pojmy 2.1.1 Statistická jednotka Statistická jednotka je základní, přesně vymezený objekt, prvek, nebo jev, který je předmětem statistického šetření. (Kladivo, 2013) Statistickými jednotkami mohou být například osoby žáci, pacienti, zaměstnanci, důchodci, novorozenci; věci a předměty výrobky, stroje, budovy; zvířata kočky, psi, slepice; rostliny a plody jabloně, jablka, ječmen, pšenice, cukrová řepa; organizace školy, školky, úřady, podniky; události a jevy sportovní výkony, poruchy, meteorologické jevy aj. (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012). 2.1.2 Statistický soubor s. 82) Statistický soubor je množina (souhrn) statistických jednotek. (Šalounová, 2013, Rozlišujeme dva typy statistických souborů, a to základní soubor a výběrový soubor. 12
Základní soubor obsahuje všechny statistické jednotky, na které se vztahuje statistické šetření. (Kladivo, 2013) Když tedy chceme zkoumat základní soubor, tak musíme provádět statistické šetření u všech statistických jednotek bez výjimky. To však u velice rozsáhlých souborů bývá v praxi velmi náročné jak z časového hlediska, tak i z finančního hlediska. Proto se ze základního souboru vyberou jen některé statistické jednotky a ty tvoří tzv. výběrový soubor. (Strádalová, Kubátová, 1997) Rozdíl mezi základním a výběrovým souborem názorně ukazuje obrázek 1. Statistické jednotky výběrového souboru se vybírají ze základního souboru pomocí náhodného výběru, nebo podle daných pravidel. Počet statistických jednotek, které tvoří statistický soubor, určuje tzv. rozsah souboru. Rozsah základního souboru značíme obvykle jako N a výběrový soubor jako n. (Strádalová, Kubátová, 1997) Obrázek 1. Základní soubor a výběrový soubor (zdroj: Kladivo, 2013) 2.1.3 Statistický znak Statistický znak neboli statistická proměnná vyjadřuje určitou vlastnost statistické jednotky. Pokud je statistickou jednotkou například obec, její vlastností pak může být celkový počet obyvatel, počet narozených obyvatel, počet zemřelých obyvatel, počet uzavřených sňatků, počet školských zařízeních, v jakém kraji leží obec a další. 13
Z uvedeného příkladu vyplývá, že statistický znak nabývá číselných nebo slovních hodnot. Statistické znaky členíme do dvou základních skupin: 1. kvantitativní znaky, 2. kvalitativní znaky. Kvantitativní znaky lze vyjádřit bezprostředně čísly a charakterizují obvykle určité množství, velikost. (Strádalová, Kubátová, 1997) Příkladem takového znaku může být tělesná výška v cm, tělesná hmotnost v kg, věk, počet obyvatel, počet žáků ve třídě, počet členů v rodině, měsíční příjem v Kč. Kvalitativní znaky vyjadřují určitou vlastnost a jsou charakterizovány slovně. (Strádalová, Kubátová, 1997) Například barva očí, pohlaví, národnost, povolání, druh nemoci, dosažené vzdělání. Řezanková a Löster (2009) upozorňují, že při zápisu zjištěných dat do počítače se často místo slov používají písmenné nebo číselné kódy. Zaznamenáváme-li například pohlaví (muž/žena), použít můžeme třeba jen písmena M/Ž nebo číselný kód 1/2. Proto je zapotřebí při zpracovávání statistických údajů dávat značný pozor, abychom číselný kód nepovažovali za kvantitativní znak. Se základním členěním statistických znaků si žáci vystačí na základních i středních školách. V odborných literaturách, zaměřených na statistiku, se objevuje ještě jemnější členění statistických znaků, které je potřebné pro zpracování dat. Z obrázku 2 vidíme, že kvantitativní znaky se dále dělí na spojité a diskrétní, zatímco kvalitativní znaky se dělí na ordinální a nominální. 14
Obrázek 2. Klasifikace statistických znaků (zdroj: Řezanková, Löster, 2009) 2.1.4 Četnost Ve většině statistických šetřeních rozsáhlých souborů má několik různých statistických jednotek téhož souboru stejné hodnoty znaku, například deset lidí může mít stejnou hmotnost, sedmnáct žáků dostalo stejnou známku. Řeč je o tzv. četnosti. Následující definice k četnosti jsou zpracovány podle [22]. Nechť v souboru o rozsahu n může sledovaný znak nabývat k různých hodnot x 1, x2, x3,, x k. Četnost (absolutní četnost) hodnoty x j je počet výskytů této hodnoty ve sledovaném souboru. Absolutní četnost hodnoty x j označíme f, kde j 1,2,,k j. Platí, že součet četností všech možných k hodnot znaku se rovná rozsahu souboru. Tedy f1 f2 f3 fk f j n. k j 1 Kromě absolutní četnosti existuje i relativní četnost hodnoty znaku, která udává, jaká část souboru má hodnotu znaku absolutní četnosti tohoto znaku ( x j. Relativní četnost hodnoty znaku vypočítáme jako podíl f j ) a rozsahu souboru (n). Označíme-li relativní četnost jako f j j, potom platí j. n 15
Relativní četnost vyjadřujeme zlomkem, desetinným číslem nebo procentuálně. Hodnotu v procentech dostaneme tak, že vynásobíme relativní četnost stem. Platí, že součet relativních četností hodnot znaku je roven jedné: k 1 2 3 k j 1. Pokud je relativní četnost vyjádřena v procentech, pak j 1 součet relativních četností hodnot znaku musí být roven 100 %. 2.2 Charakteristiky polohy Charakteristiky polohy neboli charakteristiky úrovně jsou čísla, která charakterizují průměrnou hodnotu sledovaného kvantitativního znaku. Mezi charakteristiky polohy řadíme zejména aritmetický průměr, medián, modus, ale také harmonický a geometrický průměr. (Melichar, Svoboda, 2002) Z průměrů se budeme zabývat jen aritmetickým průměrem, neboť harmonický a geometrický průměr je součástí až středoškolského učiva. 2.2.1 Aritmetický průměr Aritmetický průměr x hodnot x, 1, x2, x3, xn kvantitativního znaku x definujeme jako podíl součtu hodnot znaku a jejich počtu (rozsahu souboru) n, x1 x2 x3 xn 1 tj. x n n n i 1 x i. (Polák, 1991, s. 319) 2.2.2 Modus s. 42) Modus xˆ je hodnota znaku s největší četností. (Neubauer, Sedlačík, Kříž, 2012, 2.2.3 Medián Spousta lidí se domnívá, že aritmetický průměr je číslo, které se nachází přesně uprostřed souboru. Jenže to je mylná představa. Hodnotou uprostřed souboru je právě medián. Máme-li soubor, v němž jsou hodnoty znaku uspořádány vzestupně, tj. x x x 1 2 n, pak medián je prostřední hodnota znaku. Medián obvykle značíme x ~. 16
Obsahuje-li soubor lichý počet prvků, pak mediánem je prostřední hodnota. Má-li soubor sudý počet prvků, pak mediánem je aritmetický průměr prostředních dvou hodnot. (Horenský et al., 2015) 2.3 Tabulky Tabulky slouží pro prezentaci a srovnání většího množství dat. Na rozdíl od grafů představují daná data s přesností. (Hendl, 2014) Hendl (2014) uvádí obecná doporučení pro tvorbu tabulek: Tabulka má mít název. Řádky a sloupce mají být jasně označeny. V případě nutnosti přidáváme poznámky. Snazší je porovnávat data ve směru mezi sloupci než mezi řádky. Používáme vhodné řazení sloupců a řádků. Často se používá řazení abecední, chronologické nebo podle velikosti dat. Celkové údaje (součty) uvádíme dole nebo vpravo. V žádném případě se neuvádějí nahoře nebo vlevo. Velká čísla uvádíme v tisících, milionech atd., abychom se vyhnuli číslům s velkým počtem číslic. U delších čísel používáme mezery (např. 523 326). Vhodně používáme čáry mezi řádky a sloupci. 2.3.1 Tabulka rozdělení četností Šalounová (2013, s. 86) uvádí, že tabulka rozdělení četností podává informaci o počtu výskytu jednotlivých variant znaku v souboru. 17
Obrázek 3. Tabulka rozdělení četností (zdroj: Šalounová, 2013) 2.4 Statistické grafy Čínské přísloví praví: Jeden obraz vydá za tisíc slov. Skutečně tomu tak je. Graf nám dává rychlou a přehlednou představu o statistických údajích. Pro většinu z nás je prezentace dat formou grafického znázornění srozumitelnější, názornější a zároveň oblíbenější než pouhá tabulka s kvantem číselných údajů. (Horenský et al., 2015; Šalounová, 2013) Podle Hendla (2014) grafy slouží k demonstračním účelům, a ne jako zdroj číselného materiálu. Nyní uvádím malou poznámku k významu pojmu graf. Pojem graf v této kapitole a obecně ve statistice není chápán ve smyslu graf funkce, ale grafem je rozuměno grafické znázornění, tj. vyjádření pomocí obrázku. Z toho důvodu se v některých odborných literaturách a učebnicích matematiky místo pojmu graf používá termín diagram. (Horenský et al., 2015) Rozlišujeme různé typy grafů. Základní z nich si v této podkapitole podrobněji představíme. K základním grafům jsem zařadila bodový graf, úsečkový graf, sloupcový graf, histogram a koláčový graf. 2.4.1 Bodový graf Bodový graf charakterizující rozložení absolutních, popřípadě relativních četností dostaneme tak, že v pravoúhlém souřadném systému sestrojíme body o souřadnicích x, f ], [ j j resp. [ x j, j], kde j 1,2,3,, k, x j jsou hodnoty znaku a absolutní, resp. relativní četnosti. f j, resp. j jim odpovídající 18
Srovnáváme-li v jednom bodovém grafu daný znak u více souborů, používáme pro každý soubor jiné symboly (plná kolečka, prázdná kolečka, křížky, hvězdičky aj.) nebo různé barvy. (Šalounová, 2013) Graf 1. Bodový graf (zdroj: Šalounová, 2013) 2.4.2 Úsečkový graf Úsečkový graf charakterizující rozložení absolutních, popřípadě relativních četností získáme tak, že na ose x zobrazíme hodnoty znaku x j a v každé z nich sestrojíme ve směru osy y úsečku, jejíž délka bude rovna příslušné absolutní četnosti f j, resp. relativní četnosti j. (Šalounová, 2013) Graf 2. Úsečkový graf (zdroj: Šalounová, 2013) 19
2.4.3 Spojnicový graf Spojnicový graf neboli polygon četností dostaneme tak, že body bodového grafu spojíme úsečkami. Spojením získáváme lomenou čáru, která pak představuje spojnicový graf. (Šalounová, 2013) Graf 3. Spojnicový graf (zdroj: Šalounová, 2013) 2.4.4 Sloupcový graf Sloupcový neboli sloupkový graf rozložení absolutních, popřípadě relativních četností vzniká obdobně jako úsečkový graf. Rozdíl je v tom, že četnostem neodpovídají délky úseček, ale výšky obdélníkových sloupců. Všechny sloupce jsou stejně široké. (Šalounová, 2013) Graf 4. Sloupcový graf (vlastní zpracování v programu Excel) 20
Sloupcový graf může mít různé podoby. Sloupce můžeme zobrazovat také vodorovně, prostorově nebo ve skupinách po dvou. Potom hovoříme o grafu s vodorovnými sloupci, o prostorovém sloupcovém grafu, o skupinovém sloupcovém grafu a skládaném sloupcovém grafu. (Vorderman, 2015) Graf s vodorovnými sloupci (pruhový graf) získáme z klasického sloupcového grafu pouhým prohozením os. To znamená, že hodnoty znaku vyznačíme na svislé ose a četnosti na vodorovné ose. (Horenský et al., 2015) Graf 5. Graf s vodorovnými sloupci (zdroj: Horenský et al., 2015) Prostorový (trojrozměrný) sloupcový graf je na první pohled působivější než klasický sloupcový graf, ale může být zavádějící. Nevýhodou jsou horní plochy sloupců vyjadřující dvě hodnoty četnosti. Avšak skutečnou hodnotu četnosti vyjadřuje přední plocha sloupce. Při čtení údajů z prostorových grafů je třeba na tuto skutečnost dávat značný pozor. Graf 6. Prostorový sloupcový graf (zdroj: Vorderman, 2015) 21
U skupinového sloupcového grafu přísluší k jednotlivým třídám dat dva nebo více sloupců, které od sebe odlišujeme barevně nebo různým šrafováním. Každý z těch sloupců reprezentuje příslušnou podtřídu dat. (Vorderman, 2015) et al., 2015) Graf 7. Skupinový sloupcový graf (zdroj: Horenský et al., 2015) Skládaný sloupcový graf znázorňuje poměr jednotlivých položek k celku. (Horenský Graf 8. Skládaný sloupcový graf (zdroj: Horenský et al., 2015) 2.4.5 Histogram Histogram je speciálním případem sloupcového grafu a používá se pro zobrazení intervalového rozdělení četností. Sloupce v histogramu jsou vždy svislé, jejich šířka vyjadřuje šířku intervalů a výšky sloupců odpovídají příslušným četnostem. Pokud intervaly nemají stejnou šířku, potom základna každého sloupce zobrazuje určitý interval a četnosti odpovídá obsah plochy jednotlivého obdélníku, ne jeho výška. (Šalounová, 2013) 22
Graf 9. Histogram (vlastní zpracování v programu RStudio) 2.4.6 Koláčový graf Koláčový graf najdeme také pod označením kruhový nebo výsečový graf. Používá se ke znázornění rozdělení relativních četností hodnot znaku. Plocha koláče představuje celý statistický soubor a výseče koláče odpovídají relativním četnostem hodnot znaku. (Horenský et al., 2015) Jednotlivé výseče od sebe rozlišujeme různými barvami nebo typem šrafování. Koláčový graf je třeba opatřit popisky, štítky nebo legendou. Popisování koláčového grafu je zobrazeno na obrázku 4. Popisky představují písmena a, b, štítky představují písmena c, d a legendu představují písmena e, f. Jsou-li kruhové výseče malé, tak jako nejvhodnější se jeví použít popisky nebo legendu. Štítky využíváme v případě dostatečně velkých výsečí. (Vorderman, 2015) Obrázek 4. Popisování koláčového grafu (zdroj: Vorderman, 2015) 23
3 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Na úvod si připomeňme, že rámcové vzdělávací programy (RVP) jsou kurikulární dokumenty vznikající na státní úrovni. Rámcových vzdělávacích programů existuje spousta, každý obor vzdělání má svůj specifický rámcový vzdělávací program. Konkrétní školy si pak na základě rámcových vzdělávacích programů vytvářejí své vlastní tzv. školní vzdělávací programy. Základní školy si vytváří školní vzdělávací programy podle tzv. Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání (RVP ZV). 3.1 Statistika a vzdělávací obor Matematika a její aplikace v RVP ZV Vzdělávací obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace je na 1. a 2. stupni rozdělen do čtyř tematických okruhů. Na 1. stupni jsou to tyto čtyři tematické okruhy: 1) Číslo a početní operace, 2) Závislosti, vztahy a práce s daty, 3) Geometrie v rovině a v prostoru, 4) Nestandardní aplikační úlohy a problémy. Na 2. stupni je to obdobné, ke změně dochází jen u prvního tematického okruhu: 1) Číslo a proměnná, 2) Závislosti, vztahy a práce s daty, 3) Geometrie v rovině a v prostoru, 4) Nestandardní aplikační úlohy a problémy. (RVP ZV 2016, s. 30) Na základě výše uvedených tematických okruhů vidíme, že se základy statistiky se žáci setkávají již na 1. stupni základní školy prostřednictvím druhého tematického okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty. Na 2. stupni se statistice věnují opět v tematickém okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty, který si v následující kapitole podrobněji představíme. 24
3.2 Závislosti, vztahy a práce s daty Tematický okruh Závislosti, vztahy a práce s daty obsahuje pět tzv. očekávaných výstupů. Očekávanými výstupy se rozumí, co by měl žák zvládnout na konci 9. ročníku. Jsou to tyto očekávané výstupy: 1) Žák vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data. 2) Žák porovnává soubory dat. 3) Žák určuje vztah přímé anebo nepřímé úměrnosti. 4) Žák vyjádří funkční vztah tabulkou, rovnicí, grafem. 5) Žák matematizuje jednoduché reálné situace s využitím funkčních vztahů. (RVP ZV 2016, s. 35) V RVP ZV (2016) je pod každým tematickým okruhem uvedeno učivo, které má sloužit jako prostředek k dosažení očekávaných výstupů. Školám je doporučeno učivo rozpracovávat do jednotlivých ročníků nebo delších časových celků. Tematický okruh Závislosti, vztahy a práce s daty obsahuje toto učivo: Závislosti a data příklady závislostí z praktického života a jejich vlastnosti, nákresy, schémata, diagramy, grafy, tabulky; četnost znaku, aritmetický průměr. Funkce pravoúhlá soustava souřadnic, přímá úměrnost. (RVP ZV 2016, s. 35) 3.3 Statistika ve Standardech pro základní vzdělávání Standardy pro základní vzdělávání jsou přílohou Rámcového vzdělávacího programu pro základní vzdělávání. Představují minimum, co by měl žák zvládnout, a jejich smyslem je především pomáhat učitelům při naplňování cílů vzdělávání. Standardy vycházejí z očekávaných výstupů vzdělávacích oborů, přičemž každý očekávaný výstup je konkrétněji rozpracován pomocí tzv. indikátorů. Součástí bývá i ilustrativní úloha. [40] Z výše uvedených pěti očekávaných výstupů okruhu Závislosti, vztahy a práce s daty se statistika dotýká zejména prvního a druhého očekávaného výstupu. Proto si v nadcházejícím textu představíme, jakým způsobem jsou tyto dva očekávané výstupy rozpracovány. Údaje byly čerpány z [39]. 25
Očekávaný výstup Žák vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data. je rozpracován do pěti indikátorů: 1) Žák vyhledá potřebné údaje v tabulce, diagramu a grafu. 2) Žák vyhledá a vyjádří vztahy mezi uvedenými údaji v tabulce, diagramu a grafu (četnost, aritmetický průměr, nejmenší a největší hodnota). 3) Žák pracuje s časovou osou. 4) Žák převádí údaje z textu do tabulky, diagramu a grafu a naopak. 5) Žák samostatně vyhledává data v literatuře, denním tisku a na internetu. Ilustrativní úloha je na obrázku 5. Obrázek 5. Ilustrativní úloha k očekávanému výstupu Žák vyhledává, vyhodnocuje a zpracovává data. (zdroj: Standardy pro základní vzdělávání) Druhý očekávaný výstup Žák porovnává soubory dat. obsahuje jeden indikátor: 1) Žák porovná kvantitativní znaky, které jsou uvedeny v různých tabulkách nebo v tabulce a diagramu. 26
Ilustrativní úloha je na obrázku 6. Obrázek 6. Ilustrativní úloha k očekávanému výstupu Žák porovnává soubory dat. (zdroj: Standardy pro základní vzdělávání) 27
4 Statistika nejen v matematice Se statistikou se žáci 2. stupně základních škol nesetkávají jen v hodinách matematiky, ale i v řadě jiných vyučovacích předmětů. Prakticky ji nejvíce využijí v rámci laboratorních cvičeních při fyzikálních a chemických měřeních a v předmětu informační výchovy při práci s Excelem. Proto jsou do této kapitoly zařazeny konkrétní krátké ukázky využití statistiky ve fyzice a informatice. 4.1 Ukázka využití statistiky ve fyzice Z fyziky byla vybrána laboratorní úloha, která je zaměřena na měření délky. Při měření nikdy nenaměříme skutečnou hodnotu, protože se dopouštíme chyb měření. Chyby mohou být způsobené tím, že se například při odpočítávání dílků stupnice nedíváme na měřidlo kolmo, špatně přiložíme začátek stupnice měřidla, při měření větších rozměrů se obtížnou manipulací s měřidlem posuneme od počátku apod. I v případě odstranění všech možných předešlých nepřesností, se přesto při čtení na stupnici měřidla dopouštíme tzv. odchylky měření, a ta se rovná polovině nejmenšího dílku. Nejbližší skutečnou hodnotu délky určíme tak, že nejprve provedeme opakované měření (např. délku změříme pětkrát) a poté ze všech naměřených výsledků vypočítáme aritmetický průměr. (Bohuněk, Kolářová, Štoll, 1996) Zde je konkrétní námět laboratorní úlohy, kterým jsem se inspirovala v [24]. Mějme například změřit délku hliníkového plechu. K měření délky použijeme klasický svinovací metr. Měření zopakujeme celkem pětkrát. Naměřené hodnoty (v mm) zaznamenáváme do tabulky (viz tabulka 1). Tabulka 1. Tabulka k laboratorní úloze Číslo měření Naměřená délka (mm) 1. 567 2. 565 3. 564 28
4. 566 5. 565 Aritmetický průměr 565,4 Z naměřených hodnot vypočítáme aritmetický průměr. Tedy aritmetický průměr ( 567 565 564 566 565) : 5 565, 4. Jelikož jsme naměřené hodnoty uváděli na tři platné číslice, zaokrouhlíme i hodnotu 565,4 na tři platné číslice, tj. 565,4 565. Odchylka měření 0,5 mm. Nejbližší skutečná délka plechu je 565 mm. Tento princip opakovaného měření neplatí jen u měření délky, ale platí analogicky u měření dalších fyzikálních veličin, jako je hmotnost, objem, teplota a další. 4.2 Ukázka využití statistiky v informatice Učivo statistiky lze promítnout i do předmětu informatiky. Nabízí se k tomu program Excel, který je součástí téměř každého počítače. Žákům 2. stupně základních škol slouží k tvorbě tabulek, grafů a provádění řady výpočtů. Tato podkapitola předpokládá, že čtenář je již seznámen s excelovským prostředím a na základní úrovni jej ovládá. Kdo o programu nemá doposud žádné ponětí, tak doporučuji prostudovat některou literaturu. Například o Excelu 2013 podrobně pojednává [34]. Nyní si představíme základní excelovské statistické funkce, které žáci mohou použít k výpočtu aritmetického průměru, modu, mediánu a k zjištění maximální a minimální hodnoty. Názvy funkcí v Excelu jsou takovéto: PRŮMĚR 29
MODE MEDIAN MAX MIN Jen pro zajímavost, Excel 2013 nabízí až 104 statistických funkcí. Zadávání funkce má svá pravidla. Funkci zapisujeme do té buňky, ve které chceme vidět výslednou hodnotu. Nejprve napíšeme rovnítko =, za rovnítko napíšeme název příslušné funkce a za název funkce píšeme kulaté závorky, do kterých zapíšeme oblast dat. Tedy zadání funkce bude v tomto tvaru: =NÁZEV FUNKCE(oblast dat). Oblast dat zadáváme pomocí první a poslední buňky, které od sebe oddělujeme dvojtečkou. Je-li například oblast dat od buňky B2 až do buňky B17, zapíšeme B2:B17. (Řezanková, Löster, 2009) Zápis základních statistických funkcí si ukážeme na příkladu s konkrétními daty (viz obrázek 7). Oblast dat tvoří buňky B2 až B17. Do řádku Výsledná hodnota byly vždy zadávány příslušné syntaxe. Tedy například do buňky E4 byla zadána syntaxe uvedená v buňce E3, do buňky F4 byla zadána syntaxe uvedená v buňce F3 atd. Obrázek 7. Zadávání základních statistických funkcí v Excelu (vlastní zpracování) V Excelu mají žáci možnost vytvářet různé typy grafů. Na obrázku 8 je ukázka, jak taková práce v Excelu může vypadat. Zadáním úkolu by mohlo být: Graficky zpracujte výsledky ze čtvrtletní práce z matematiky. 30
Obrázek 8. Příklad na tvorbu grafů v Excelu (vlastní zpracování) Postupem tvorby grafu v Excelu se nebudeme zabývat. Podstatou této kapitoly totiž bylo ukázat jen využití statistiky. Kdo se chce s tvorbou grafů, dalšími statistickými funkcemi a obecně s Excelem seznámit podrobněji, využít může publikace [10], [34]. 31
5 Mezinárodní šetření PISA V úvodu této kapitoly se dozvíme, co to je mezinárodní šetření PISA a v jakých cyklech probíhá. První podkapitola pojednává o šetření z roku 2012, o začlenění statistiky do testů a o výsledcích českých žáků. V druhé podkapitole najdeme uvolněnou testovou úlohu z PISA 2012 se statistickým obsahem. PISA je projekt Organizace pro hospodářskou spolupráci a rozvoj (OECD). Název PISA vznikl z anglického Programme for International Student Assessment, a to složením čtyř počátečních písmen. Cílem tohoto projektu je zjišťování matematické, čtenářské a přírodovědné gramotnosti u patnáctiletých žáků, kteří se většinou nacházejí v posledním ročníku povinné školní docházky. Projektu se účastní všechny země, které jsou členy OECD, tudíž i Česká republika. Kromě zemí OECD se do projektu stále více zapojují i další země. Testování gramotnosti je cyklické. Uskutečňuje se každé tři roky a přitom je vždy kladen důraz na jednu z výše uvedených gramotností. Je-li například v určitém roce hlavní sledovanou oblastí matematická gramotnost, pak čtenářská a přírodovědná gramotnost jsou pouze vedlejšími sledovanými oblastmi. Hlavní zaměření na jednu z gramotností je voleno proto, aby se o ní zjistily podrobnější informace. V České republice je testování realizováno Českou školní inspekcí. ([35]; Palečková et al., 2013) První šetření započalo v roce 2000. Na základě tabulky 2 vidíme, že prozatím bylo realizováno celkem šest cyklů, z čehož matematická gramotnost byla hlavní sledovanou oblastí v roce 2003 a 2012. K dalšímu testování s důrazem na matematickou gramotnost by mělo dojít v roce 2021. Hlavní testování jednotlivých oblastí gramotností se opakuje vždy po devíti letech. Tabulka 2. Realizované cykly projektu PISA ROK HLAVNÍ SLEDOVANÁ OBLAST 2000 čtenářská gramotnost 2003 matematická gramotnost 2006 přírodovědná gramotnost 2009 čtenářská gramotnost 2012 matematická gramotnost 2015 přírodovědná gramotnost 32
Nadcházející dvě podkapitoly jsou zaměřeny na rok 2012, kdy proběhlo poslední šetření s důrazem na matematickou gramotnost. 5.1 Statistika v mezinárodním šetření PISA 2012 PISA 2012 definuje matematickou gramotnost jako schopnost jedince formulovat, používat a interpretovat matematiku v různých kontextech. Zahrnuje matematické myšlení, používání matematických pojmů, postupů, faktů a nástrojů k popisu, vysvětlování a předpovídání jevů. Pomáhá jedinci si uvědomit, jakou roli matematika hraje ve světě, a díky tomu správně usuzovat a rozhodovat se tak, jak to vyžaduje konstruktivní, angažované a reflektivní občanství. (Palečková et al., 2013, s. 13) PISA 2012 analyzovala matematickou gramotnost třemi způsoby, a to na základě matematických postupů, matematického obsahu a kontextu. Vzhledem k tomu, že diplomová práce se věnuje tématům statistiky, tak se zaměřím jen na matematický obsah. Matematický obsah tvoří čtyři okruhy: 1) Změna a vztahy, 2) Prostor a tvar, 3) Kvantita, 4) Neurčitost a data. (Palečková et al., 2013) Statistika spadá do čtvrtého okruhu, tedy do okruhu Neurčitost a data. V matematickém koncepčním rámci PISA 2012 není stanoveno, jaký počet otázek v testu se vztahuje k jednotlivým okruhům, ale je zde pouze uvedeno, jaké je přibližné rozložení bodů podle daných okruhů. Na základě tabulky 3 vidíme, že každý obsahový okruh by měl tvořit přibližně 25 % bodů z celkového počtu bodů. Při sestavování testu se tedy dbá na to, aby testové otázky byly z hlediska obsahových okruhů vyvážené. 33
Tabulka 3. Přibližné rozdělení bodů v matematickém testu podle obsahového okruhu (zdroj: Matematický koncepční rámec PISA 2012, s. 17) Nyní se podíváme, jakých výsledků dosáhla ČR v jednotlivých čtyřech okruzích. K tomu nám poslouží tabulka 4. Vidíme, že největší propad nastal v okruhu Neurčitost a data, do kterého právě spadá i statistika. Na základě této tabulky můžeme také srovnat naši zemi se sousedními státy a s Velkou Británií. Vzhledem k okruhu Neurčitost a data má Česká republika nejhorší výsledek. Tabulka 4. Výsledky sousedních zemí ČR a Velké Británie na dílčích škálách matematického obsahu (PISA 2012) (vlastní zpracování, zdroj dat: Palečková, 2013) Země Celkový Rozdíl mezi výsledkem na dílčí a na celkové škále výsledek Změna a vztahy Prostor a tvar Kvantita Neurčitost a data Polsko 518-9 6 1 0 Německo 514 2-7 3-5 Rakousko 506 0-5 4-7 Česká republika 499 0 0 6-11 Velká Británie 494 2-19 0 8 Slovensko 482-8 8 4-10 Výsledek na dílčí škále je o méně než 3 body vyšší než na celkové škále Výsledek na dílčí škále je o 3 až 10 bodů vyšší než na celkové škále Výsledek na dílčí škále je o méně než 3 body nižší než na celkové škále Výsledek na dílčí škále je o 3 až 10 bodů nižší než na celkové škále Výsledek na dílčí škále je o 10 a více bodů nižší než na celkové škále 34
5.2 Uvolněná testová úloha z šetření PISA 2012 se statistickou tematikou Z šetření PISA 2012 byly uvolněny ke zveřejnění některé testové úlohy. Vyšly v publikaci [43]. Se statistikou souvisela úloha s názvem Hitparáda. Obsahovala celkem 3 otázky. Zde je její konkrétní zadání. Úloha HITPARÁDA Otázka č. 1 k úloze HITPARÁDA Otázka č. 2 k úloze HITPARÁDA 35
Otázka č. 3 k úloze HITPARÁDA (Tomášek, Frýzek, 2013, s. 12 14) Správné odpovědi jsou: Otázka č. 1 B Otázka č. 2 C Otázka č. 3 B Odpověď na otázku, jak byli žáci úspěšní ve třech otázkách úlohy Hitparáda, podává tabulka 5, 7, 9. Úspěšnost je porovnávána i mezi dívkami a chlapci. Tabulky 6, 8, 10 znázorňují odpovědi českých žáků u jednotlivých otázek. Tabulka 5. Úspěšnost otázky č. 1 (zdroj: Tomášek, Frýzek, 2013) Úspěšnost (%) Celkem Chlapci Dívky ČR (2012) 91,3 90,6 92,0 Průměr zemí OECD (2012) 87,3 85,5 89,0 Tabulka 6. Odpovědi českých žáků u otázky č. 1 (zdroj: Tomášek, Frýzek, 2013) Odpovědi českých žáků Odpověď A B C D Četnost (%) 2012 2,1 91,3 0,9 5,0 Tabulka 7. Úspěšnost otázky č. 2 (zdroj: Tomášek, Frýzek, 2013) Úspěšnost (%) Celkem Chlapci Dívky ČR (2012) 81,0 81,7 80,2 Průměr zemí OECD (2012) 79,5 80,1 79,0 36
Tabulka 8. Odpovědi českých žáků u otázky č. 2 (zdroj: Tomášek, Frýzek, 2013) Odpovědi českých žáků Odpověď A B C D Četnost (%) 2012 6,5 4,0 81,0 7,4 Tabulka 9. Úspěšnost otázky č. 3 (zdroj: Tomášek, Frýzek, 2013) Úspěšnost (%) Celkem Chlapci Dívky ČR (2012) 77,6 76,8 78,5 Průměr zemí OECD (2012) 76,7 76,8 76,6 Tabulka 10. Odpovědi českých žáků u otázky č. 3 (zdroj: Tomášek, Frýzek, 2013) Odpovědi českých žáků Odpověď A B C D Četnost (%) 2012 4,0 77,6 15,7 1,8 Zadání dalších uvolněných testových úloh z PISA 2012 najdeme v publikaci [43]. Publikaci vydala ČŠI a je dostupná i on-line. Zde je konkrétní odkaz: (http://www.csicr.cz/html/pisa2012-mg/flipviewerxpress.html). 37
PRAKTICKÁ ČÁST 6 Vymezení cíle praktické části Cílem praktické části je srovnat tři řady českých učebnic matematiky pro 2. stupeň ZŠ z hlediska učiva statistiky a následně porovnat i jednu anglickou řadu učebnic matematiky s českými učebnicemi. 7 Výběr učebnicových řad České řady učebnic matematiky pro 2. stupeň ZŠ jsem vybírala na základě tří kritérií. Prvním kritériem bylo, aby se podle vybraných učebnic ve školách v současnosti vyučovalo. Proto jsem musela zjistit, zda dané učebnice mají platnou schvalovací doložku od MŠMT ČR. Kompletní seznam učebnic schválených na školní rok 2016/2017 je k dispozici na těchto internetových stránkách: (http://www.msmt.cz/vzdelavani/skolstvi-v-cr/schvalovaci-dolozkyucebnic-2013). Druhým kritériem pro mě bylo vybrat učebnice od různých nakladatelstvích a posledním kritériem bylo různé stáří učebnic. Zvolit starší, středně starší a novější řadu učebnic. Na základě těchto kritérií jsem vybrala následující tři řady českých učebnic. 7.1 První vybraná česká řada učebnic matematiky První vybraná česká učebnicová řada je od nakladatelství Prodos. Obsahuje celkem čtyři učebnice. Pro každý ročník 2. stupně je určena jedna učebnice. Zde je jejich výčet: MOLNÁR, J. et al. Matematika 6. Olomouc: Prodos, 1998. 143 s. ISBN 80-85806-98-3. MOLNÁR, J. et al. Matematika 7. Olomouc: Prodos, 1999. 159 s. ISBN 80-7230-032-6. MOLNÁR, J. et al. Matematika 8. Olomouc: Prodos, 2000. 159 s. ISBN 80-7230-062-8. MOLNÁR, J. et al. Matematika 9. Olomouc: Prodos, 2001. 127 s. ISBN 80-7230-109-8. 38
Obrázek 9. Česká řada učebnic matematiky pro 2. stupeň ZŠ od nakladatelství Prodos 7.2 Druhá vybraná česká řada učebnic matematiky Druhá vybraná česká učebnicová řada je od nakladatelství Fortuna a skládá se taktéž ze čtyř učebnic. Zde je jejich výčet: COUFALOVÁ, J. et al. Matematika pro 6. ročník základní školy. 2. uprav. vyd. Praha: Fortuna, 2007. 215 s. ISBN 978-80-7168-992-8. COUFALOVÁ, J. et al. Matematika pro 7. ročník základní školy. 2. uprav. vyd. Praha: Fortuna, 2007. 288 s. ISBN 978-80-7168-993-5. COUFALOVÁ, J. et al. Matematika pro 8. ročník základní školy. 2. uprav. vyd. Praha: Fortuna, 2007. 192 s. ISBN 978-80-7168-994-2. COUFALOVÁ, J. et al. Matematika pro 9. ročník základní školy. 2. uprav. vyd. Praha: Fortuna, 2007. 221 s. ISBN 978-80-7168-995-9. Obrázek 10. Česká řada učebnic matematiky pro 2. stupeň ZŠ od nakladatelství Fortuna 39
7.3 Třetí vybraná česká řada učebnic matematiky Třetí vybraná česká učebnicová řada je od nakladatelství Fraus a skládá se z osmi učebnic. Pro každý ročník 2. stupně jsou určeny dvě učebnice (vždy jedna s podtitulem geometrie a druhá s podtitulem aritmetika, příp. algebra). Zde je jejich výčet: BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 6: pro základní školy a víceletá gymnázia. Aritmetika. Plzeň: Fraus, 2007. 80 s. ISBN 978-80-7238-654-3. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 6: pro základní školy a víceletá gymnázia. Geometrie. Plzeň: Fraus, 2007. 84 s. ISBN 978-80-7238-656-7. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 7: pro základní školy a víceletá gymnázia. Aritmetika. Plzeň: Fraus, 2008. 103 s. ISBN 978-80-7238-679-6. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 7: pro základní školy a víceletá gymnázia. Geometrie. Plzeň: Fraus, 2008. 104 s. ISBN 978-80-7238-681-9. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 8: pro základní školy a víceletá gymnázia. Aritmetika. Plzeň: Fraus, 2009. 127 s. ISBN 978-80-7238-684-0. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 8: pro základní školy a víceletá gymnázia. Geometrie. Plzeň: Fraus, 2009. 71 s. ISBN 978-80-7238-686-4. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 9: pro základní školy a víceletá gymnázia. Algebra. Plzeň: Fraus, 2010. 112 s. ISBN 978-80-7238-689-5. BINTEROVÁ, H., FUCHS, E., TLUSTÝ, P. Matematika 9: pro základní školy a víceletá gymnázia. Geometrie. Plzeň: Fraus, 2010. 96 s. ISBN 978-80-7238-691-8. Obrázek 11. Česká řada učebnic matematiky pro 2. stupeň ZŠ od nakladatelství Fraus 40
Jelikož učebnice geometrie do svého obsahu statistiku nezahrnují, nezařazovala jsem je do různých srovnávacích tabulek v praktické části. 7.4 Vybraná anglická řada učebnic matematiky Anglickou řadu učebnic jsem zvolila od nakladatelství Nelson Thornes z toho důvodu, že jsem ji měla k dispozici k zapůjčení z Katedry matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Palackého v Olomouci. Řada obsahuje celkem devět učebnic a je rozdělena na tyto tři podřady: 7 1, 8 1, 9 1 7 2, 8 2, 9 2 7 Extra resource, 8 3, 9 3. Přičemž první podřada, tj. 7 1, 8 1, 9 1, je určena méně nadaným žákům. Druhá podřada, tj. 7 2, 8 2, 9 2, je určena pro středně nadané žáky a třetí podřada, tj. 7 Extra resource, 8 3, 9 3, je určena pro vysoce nadané žáky. Zde je výčet učebnic: BAKER, D. et al. Key Maths 7 1. UK: Nelson Thornes, 2000. 410 s. ISBN 978-0-7487-5524-0. BAKER, D. et al. Key Maths 8 1. UK: Nelson Thornes, 2001. 369 s. ISBN 978-0-7487-5984-2. BAKER, D. et al. Key Maths 9 1. UK: Nelson Thornes, 2001. 378 s. ISBN 978-0-7487-5987-3. BAKER, D. et al. Key Maths 7 2. UK: Nelson Thornes, 2000. 426 s. ISBN 0-7487-5525- X. BAKER, D. et al. Key Maths 8 2. UK: Nelson Thornes, 2001. 386 s. ISBN 978-0-7487-5985-9. BAKER, D. et al. Key Maths 9 2. UK: Nelson Thornes, 2001. 370 s. ISBN 978-0-7487-5988-0. 41
BAKER, D., HOGAN, P., JOB, B. Key Maths 7 Extra resource. UK: Nelson Thornes, 2000. 186 s. ISBN 978-0-7487-5396-3. BAKER, D. et al. Key Maths 8 3. UK: Nelson Thornes, 2001. 380 s. ISBN 978-0-7487-5986-6. BAKER, D. et al. Key Maths 9 3. UK: Nelson Thornes, 2001. 388 s. ISBN 978-0-7487-5989-7. Obrázek 12. Anglická řada učebnic matematiky od nakladatelství Nelson Thornes Na závěr uvádím poznámku, že v praktické části práce budu při analýze anglických učebnic nazývat učebnice 7 1, 8 1, 9 1 celkově jako učebnice první podřady nebo jako učebnice pro méně nadané žáky, učebnice 7 2, 8 2, 9 2 jako učebnice druhé podřady nebo jako učebnice pro středně nadané žáky a učebnice 7 Extra resource, 8 3, 9 3 jako učebnice třetí podřady nebo jako učebnice pro vysoce nadané žáky. 42
8 Statistika v českých řadách učebnic matematiky Ve všech třech českých řadách učebnic matematiky je statistika zařazena do učiva pro 8. ročník. Nakladatelství Fraus část statistiky zařazuje již do 6. ročníku a navíc rozšiřuje učivo o statistice i v 9. ročníku, a to v kapitole s názvem A ještě něco navíc. Tabulka 11 podává přehled o tom, které české učebnice obsahují kapitolu o statistice. Tabulka 11. Které české učebnice obsahují kapitolu o statistice? Učebnice Kapitola o statistice Matematika 6, PRODOS Matematika 7, PRODOS Matematika 8, PRODOS Matematika 9, PRODOS Matematika 6, FORTUNA Matematika 7, FORTUNA Matematika 8, FORTUNA Matematika 9, FORTUNA Matematika 6: Aritmetika, FRAUS Matematika 7: Aritmetika, FRAUS Matematika 8: Aritmetika, FRAUS Matematika 9: Algebra, FRAUS Vysvětlivky: symbol znamená obsahuje ; prázdné okénko znamená neobsahuje Z tabulky 12 vidíme, kolik prostoru dávají statistice z hlediska počtu stran české učebnice. Samozřejmě při porovnávání musíme brát v úvahu rozměry učebnice. Konkrétní rozměry učebnic jsou uvedeny v poznámce pod tabulkou. 43
Tabulka 12. Počet stran věnovaných statistice v českých učebnicích Učebnicová řada od nakladatelství PRODOS Učebnicová řada od nakladatelství FORTUNA Učebnicová řada od nakladatelství FRAUS Matematika 6 Matematika 7 Matematika 8 Matematika 9 Matematika 6 Matematika 7 Matematika 8 Matematika 9 Matematika 6 Aritmetika Matematika 7 Aritmetika Matematika 8 Aritmetika Matematika 9 Algebra Počet stran věnujících se statistice 0 2 18 0 0 5 14 0 13 0 7 4 Celkem 20 19 24 Poznámka: rozměry učebnic (v cm) - PRODOS: 20 x 26 - FORTUNA: 14,5 x 20 - FRAUS: 21 x 28 Nejvíce stran věnuje statistice nakladatelství Fraus, které má zároveň rozměrově největší učebnice. Nejméně stran se statistikou zaujímají učebnice od Fortuny, jež jsou rovněž nejmenšími učebnicemi. Prodos má velikostně téměř stejné učebnice jako Fraus, avšak statistice vyčleňuje méně stran. S některými statistickými tématy se žáci základních škol nesetkávají jen v 8. ročníku, kdy je na statistiku kladen největší důraz, ale objevují se i v jiných ročnících při probírání 44
jiného učiva nebo v rámci kapitol určených k opakování. Z tabulky 13 můžeme vyčíst, v kterých učebnicích se žáci setkávají s jednotlivými tématy. Tabulka 13. Výskyt vybraných témat statistiky v jednotlivých učebnicích Učebnicová řada od nakladatelství PRODOS Učebnicová řada od nakladatelství FORTUNA Učebnicová řada od nakladatelství FRAUS Matematika 6 Matematika 7 Matematika 8 Matematika 9 Matematika 6 Matematika 7 Matematika 8 Matematika 9 Matematika 6 Aritmetika Matematika 7 Aritmetika Matematika 8 Aritmetika Základní statistické pojmy Statistická jednotka Statistický soubor Matematika 9 Algebra Statistický znak Četnost Charakteristiky polohy Aritmetický průměr Modus Medián 45
Učebnicová řada od nakladatelství PRODOS Učebnicová řada od nakladatelství FORTUNA Učebnicová řada od nakladatelství FRAUS Matematika 6 Matematika 7 Matematika 8 Matematika 9 Matematika 6 Matematika 7 Matematika 8 Matematika 9 Matematika 6 Aritmetika Matematika 7 Aritmetika Matematika 8 Aritmetika Tabulky Tabulka rozdělení četností Matematika 9 Algebra Bodový graf Úsečkový graf Statistické grafy Spojnicový graf Sloupcový graf Koláčový graf Histogram Vysvětlivky: symbol znamená vyskytuje se ; prázdné okénko znamená nevyskytuje se 46
8.1 Základní statistické pojmy Se základními statistickými pojmy, ke kterým jsem zařadila statistickou jednotku, statistický soubor, statistický znak a četnost, jsou žáci seznámeni ve všech třech českých učebnicových řadách v rámci 8. ročníku. Fortuna a Fraus tyto základní pojmy vysvětlují na ukázkových příkladech formou tabulek s konkrétními daty. Fortuna použila tabulku udávající výsledky z písemné práce z matematiky 8. A. Fraus použil tabulku s počty dopravních nehod v ČR. Prodos ukazuje význam pojmů statistický soubor, znak, jednotka nejprve na pěti příkladech statistických šetření. Například: a) soubor všichni žáci vaší třídy znak prospěch jednotka žák třídy b) soubor členové rodiny znak sportovní aktivita jednotka člen rodiny Teprve po upevnění těchto tří statistických pojmů uvádí taktéž ukázkový příklad s tabulkou. Tabulka obsahuje údaje o žácích třídy 8. B (jméno a příjmení, datum narození, výška, počet sourozenců, barva očí aj.). V souvislosti s ní je zaveden pojem četnost. Prodos a Fortuna člení statistické znaky na kvantitativní a kvalitativní. Prodos se o rozdělení znaků jen zmiňuje prostřednictvím poučky a ve cvičeních s nimi dále již nepracuje. Naopak Fortuna jim věnuje i pár příkladů k procvičení. Fraus dělení znaků na kvantitativní a kvalitativní neuvádí. 8.2 Charakteristiky polohy v 8. ročníku. Aritmetický průměr, modus, medián je ve všech českých učebnicích probírán 47
PRODOS Prodos žáky seznamuje s výpočtem aritmetického průměru již na začátku učebnice pro 7. ročník v kapitole věnované opakování učiva 6. ročníku. V 8. ročníku ukazuje výpočet aritmetického průměru, určování modu a mediánu na řešených příkladech. Upozorňuje také na to, že průměrná rychlost není aritmetickým průměrem rychlostí. Ale průměrnou rychlost vypočítáme jako podíl celkové dráhy a celkového času pohybu. Platí známý vzorec s v. t Aritmetický průměr, modus a medián si žáci mají možnost zopakovat na začátku učebnice pro 9. ročník při opakovaní učiva z 8. ročníku. Aritmetický průměr je označován jako x s pruhem x, modus a medián speciální označení nemají. Je-li například modus statistického souboru 25, tak zapisují modus 25. FORTUNA Fortuna taktéž ukazuje výpočet aritmetického průměru, určování modu a mediánu na řešených příkladech. Na rozdíl od Prodose a Frause jako jediná prezentuje, jak vypočítat aritmetický průměr z tabulky rozdělení četností (viz obrázek 13). Obrázek 13. Výpočet aritmetického průměru z rozdělení četností (zdroj: Matematika 8, Fortuna, 2007) Fortuna medián neřadí do základního učiva, ale řadí jej do rozšiřujícího učiva určeného žákům s hlubším zájmem o matematiku. Aritmetický průměr značí jako x s pruhem x, modus jako x se stříškou xˆ a medián jako x s vlnovkou ~ x. 48
FRAUS Fraus definuje a rovněž ukazuje aritmetický průměr, modus a medián na řešených příkladech. Stejně jako Prodos upozorňuje, že průměrná rychlost není aritmetickým průměrem rychlostí. 8.3 Tabulky Všechny tři české řady učebnic pracují s klasickou tabulkou rozdělení četností. Navíc žákům ukazují, jak se mohou určovat četnosti při statistickém šetření pomocí tzv. čárkovací metody. Na obrázcích 14, 15, 16 jsou ukázky z jednotlivých učebnic. Obrázek 14. Čárkovací metoda v učebnici Prodos Obrázek 15. Čárkovací metoda v učebnici Fortuna Obrázek 16. Čárkovací metoda v učebnici Fraus Způsob záznamu v Prodos a Fortuně je stejný. Jistou odlišnost spatřujeme jen v učebnicích Fraus. Četnosti zaznamenává do řádků a nepřevádí počet jednotlivých čárek na konkrétní číselný údaj. 49
8.4 Statistické grafy V českých učebnicích mají největší zastoupení sloupcové a koláčové grafy, o něco méně pak spojnicové grafy. Málo pracují s bodovými grafy a s úsečkovým grafem pouze Fortuna v učebnici pro 8. ročník. Velká odlišnost se týká učebnic Fraus, ve kterých jsem neshledala bodové grafy. O histogramu se žádná z řad učebnic nezmiňuje a ani jej nevyobrazuje. Se sloupcovými a koláčovými grafy žáci přicházejí do kontaktu nejen při učivu o statistice, ale i v rámci jiného matematického celku. Zejména při procentech. Prodos a Fortuna statistické grafy začleňují do 8. ročníku ke kapitole o statistice. Zatímco Fraus jim vyčleňuje samostatnou kapitolu již v 6. ročníku a v učebnici pro 8. ročník se grafickým vyobrazováním údajů nikterak nezaobírá, přestože obsahuje statistickou kapitolu. PRODOS Prodos používá termín diagramy. Ukazuje na vzorovém příkladu bodový, spojnicový, sloupcový a koláčový diagram. Diagramy jsou zde jen vyobrazeny, charakterizovány nikterak nejsou. Prostorový sloupcový graf nazývají jako sloupkový graf. V učebnici najdeme i graf s vodorovnými sloupci. Negativně hodnotím zadání cvičení vážících se k diagramům. Málo se orientují na vyhledávání konkrétních údajů z grafu a porovnávání vztahů mezi údaji. Obsahuje zadání příkladů neurčitého charakteru, bez konkrétních otázek. Jsou to zadání typu: Co všechno lze vyčíst z následujících sloupcových diagramů? Přečtěte kruhové diagramy. Prohlédněte si sloupkový diagram a posuďte vývoj životního prostředí ve Frýdku- -Místku. Formulace takového zadání samozřejmě není na škodu, protože žáci se učí vlastními slovy interpretovat diagramy. Vhodné by však bylo zahrnout k jednotlivým cvičením více konkrétnější otázky. Tím mám na mysli například: O kolik mg/m 3 byla průměrná roční koncentrace škodlivin SO2 v roce 1996 vyšší než v roce 1995? Formou řešeného příkladu (viz obrázek 17) je upozorňováno na to, jak grafy mohou klamat. 50
Obrázek 17. Řešený příklad z učebnice Prodos (zdroj: Matematika 8, Prodos, 2000) FORTUNA Fortuna v podkapitole Grafy představuje pět typů diagramů. Podkapitola sice nese název Grafy, ale uvnitř kapitoly používá výraz diagramy. Tato skutečnost postrádá vysvětlení. Vhodnější by bylo podkapitolu pojmenovat jako Diagramy. Jednotlivé diagramy jsou postupně charakterizovány a vyobrazeny na ukázkových příkladech v následujícím sledu: sloupcový diagram, kruhový diagram, bodový diagram, spojnicový diagram a hůlkový diagram. Žáci názorně vidí, v čem se jednotlivé diagramy liší a v čem spočívá jejich konstrukce. Po seznámení typů diagramů následují příklady k procvičení, které jsou zaměřeny jak na čtení údajů z diagramů, tak na sestrojování diagramů z údajů v tabulkách. Do cvičeních je často aplikováno učivo o procentech, což vyžaduje, aby žáci s daty více pracovali. Úkolem žáků není jen vyčíst číselný údaj z diagramu, ale také určit kolik procent představuje z celku. Zadání takové úlohy je na obrázku 18. 51
Obrázek 18. Zadání úlohy z učebnice Fortuna (zdroj: Matematika 8, Fortuna, 2007) Velice se mi líbila úloha určená pro domácí práci (viz obrázek 19), při níž žáci provádí malé statistické šetření o vývoji kurzu české koruny vzhledem k euru během jednoho týdne. Žáci nejenže zpracovávají zjištěné údaje do podoby grafu, ale navíc získávají povědomí, kolem které hodnoty se pohybuje současný kurz eura. FRAUS Obrázek 19. Úloha z učebnice Fortuna určená pro domácí práci (zdroj: Matematika 8, Fortuna, 2007) Fraus se odlišuje od předešlých dvou řad učebnic zařazením tématu o statistických grafech. Zaobírá se jimi už v 6. ročníku. Kapitola má název Grafy a diagramy. Pojmy grafy a diagramy nikterak nerozlišuje, považuje je za synonyma. Před samotnými grafy a diagramy zavádí polohu bodů v pravoúhlé soustavě souřadnic. Souřadnice bodu značí do hranatých závorek. Má-li například bod Q souřadnice 4 a 3, tak píšeme Q 4;3. 52
Nejenže jednotlivé druhy grafů nejsou blíže charakterizovány, dokonce nejsou ani pojmenovány. V kapitole není žádná zmínka například o slovním spojení sloupcový graf, spojnicový graf apod. Používá se jen obecný název graf nebo diagram. Pracuje se zde jen se dvěma druhy grafů, se sloupcovými a spojnicovými grafy. Ze sloupcových grafů je zde vyobrazen i skupinový sloupcový a pruhový graf (graf s vodorovnými sloupci). Cvičení na čtení dat z grafů jsou opravdu jen na pouhé vyčtení údajů, neobsahují žádné specifičtější otázky, které by vyžadovaly po žácích používat matematické operace nebo jiné matematické znalosti. Značnou část cvičeních zaměřuje na sestrojování grafů podle údajů zadaných v tabulce. Zde na obrázku 20 je ukázka zadání takového příkladu. Řešení jsem zpracovala v Excelu. Obrázek 20. Zadání úlohy z učebnice Fraus (zdroj: Matematika 6, Fraus, 2007) Řešení (úlohy z obrázku 20) : Graf 10. Hmotnost Břetislava a Kateřiny od narození do tří let 53
Zaznamenala jsem, že učebnice se snaží namotivovat žáky i samotnými názvy podkapitol, které jsou ve formě tázací věty. Podkapitola zaměřená na čtení údajů z grafu je nazvána Jak číst grafy? a podkapitola na sestrování grafů jako Jak sestrojit grafy?. Koláčové grafy nakladatelství Fraus přiřazuje k učivu o zlomcích do učebnice pro 7. ročník. Statistické grafy a diagramy jsou rozšířeny v 9. ročníku v kapitole A ještě něco navíc o to, jak volba měřítka na osách může graf zásadním způsobem zkreslovat. Zkreslování je demonstrováno na konkrétních příkladech. Vybrala jsem ukázku týkající se porovnání průměrných platů (obrázek 21). Obrázek 21. Porovnání průměrných platů (zdroj Matematika 9, Fraus, 2010) 8.5 Příklady k procvičení České řady učebnic matematiky obsahují v kapitolách o statistice spoustu příkladů k procvičení a také určité množství řešených příkladů. Řešené příklady představují zpravidla ukázkové příklady k jednotlivým probíraným tématům. Kolik řešených příkladů a příkladů k procvičení lze najít v jednotlivých českých učebnicích, znázorňuje tabulka 14. Příklady byly počítány jen v kapitolách o statistice. 54
Tabulka 14. Počty řešených příkladů a příkladů k procvičení se statistikou v českých učebnicích matematiky Učebnicová řada od nakladatelství PRODOS Učebnicová řada od nakladatelství FORTUNA Učebnicová řada od nakladatelství FRAUS Matematika 6 Matematika 7 Matematika 8 Matematika 9 Matematika 6 Matematika 7 Matematika 8 Matematika 9 Matematika 6 Aritmetika Matematika 7 Aritmetika Matematika 8 Aritmetika Matematika 9 Algebra Počet řešených příkladů Počet příkladů k procvičení - - 11 - - - 12-2 - 6 5 - - 33 - - - 26-30 - 24 0 PRODOS Nestarší řada učebnic matematiky od nakladatelství Prodos obsahuje spoustu cvičení sestavených tak, že žáci si musí nejdříve sehnat určitá data, a teprve potom s nimi dále pracují. Jsou to příklady typu: Příklad: Požádejte pana učitele (paní učitelku) o poslední výsledky vašich prací z matematiky a určete četnosti známek 1, 2, 3, 4, 5. Vše zaznamenejte do tabulky a určete průměrnou známku. (čerpáno z učebnice Matematika 8, Prodos, 2000) Příklad: Víš, jak velké boty nosí tvůj soused? Zjistěte velikosti bot svých spolužáků, určete aritmetický průměr, modus a medián. (čerpáno z učebnice Matematika 8, Prodos, 2000) 55
FORTUNA Nakladatelství Fortuna obsahuje úlohy různého stupně obtížnosti. Úlohy však nejsou příliš těžké. FRAUS V učebnicích nakladatelství Fraus jsem zaznamenala převážnou část složitějších úloh. Úlohy často vedou žáky k hlubšímu zamyšlení. Vybrala jsem tyto dvě konkrétní ukázky příkladů z učebnice Matematika 8. Nabízím k nim i své vlastní řešení. Příklad: Určete dvě čísla, jejichž aritmetickým průměrem je číslo 24 a jejichž rozdíl je 4. Řešení: Jedno z čísel bude větší než 24 (aritmetický průměr) a jedno menší než 24 (aritmetický průměr). Musíme tedy zkoušet různé možnosti. Například zvolíme čísla 25 a 21: jejich rozdíl: 25 21 4 25 21 46 aritmetický průměr: 23 2 2 => Čísla 25 a 21 nejsou správným řešením. Dále zvolíme například čísla 26 a 22: jejich rozdíl: 26 22 4 26 22 48 aritmetický průměr: 24 2 2 => Čísla 26 a 22 jsou správným řešením. Hledaná čísla jsou 26 a 22. 56
Příklad: Paní Krychová si povídala se sousedem panem Šanderou o tom, kolik pomerančů za týden kupují dětem. Počet koupených pomerančů vidíte v tabulce. Řešení: Pan Šandera rozhovor uzavřel slovy: Tak to mají naše děti průměrně za týden stejně pomerančů. Naše jako vaše, 4 pomeranče denně. Paní Krychová s ním však nesouhlasila. Zkuste vysvětlit, jakou chybu pan Šandera udělal. Z tabulky si spočítáme, kolik pomerančů mají průměrně denně děti každé rodiny 6 2 4 8 0 5 3 28 děti Krychovi: 4 7 7 6 0 0 2 0 4 0 12 děti Šanderovi: 1, 71 7 7 Děti Krychovi mají průměrně 4 pomeranče denně a děti Šanderovi průměrně 1,71. Pan Šandera opravdu počítal špatně. Jeho chybný vypočet byl zřejmě takový: 6 2 4 12 4. 3 3 Pan Šandera nezapočítal do aritmetického průměru nulové hodnoty. Tím pádem nesečetl všechny hodnoty a nevydělil je celkovým počtem hodnot. 8.6 Mezipředmětové vztahy v učivu o statistice Při prohlížení českých učebnic jsem narazila na odlišnosti týkající se mezipředmětových vztahů. Nakladatelství Prodos neklade velký důraz na mezipředmětové vztahy. Učebnice od Fortuny a Frause již obsahují odkazy na mezipředmětové vztahy. Je to zapříčiněno 57
zejména tím, že tyto dvě řady učebnic byly vydány po roce 2005, tedy v době, kdy vyšly v platnost Rámcové vzdělávací programy. FORTUNA Fortuna zakomponovává odkazy na mezipředmětové vztahy přímo do jednotlivých cvičeních. Na obrázku 22 je uvedena ukázka takového příkladu, přičemž konkrétní odkazy na mezipředmětové vztahy jsou zvýrazněny červeně. Obrázek 22. Ukázka mezipředmětových vztahů v učebnici od nakladatelství Fortuna (zdroj: Matematika 8, Fortuna, 2007) FRAUS Kdežto Fraus se obrací k mezipředmětových vztahům pomocí krajní lišty, která je umístěna po levém či pravém okraji stránky. Tento způsob označování je velmi přehledný jak pro žáky, tak pro vyučující. O tom se můžeme přesvědčit ukázkou na obrázku 23. 58
Obrázek 23. Ukázka mezipředmětových vztahů v učebnici od nakladatelství Fraus (zdroj: Matematika 6, Fraus,2007) Učebnice Fraus se od ostatních dvou českých řad liší také tím, že jako jediné využívají ve svých učebnicích anglický jazyk. Na obrázku 24 je znázorněno cvičení, ve kterém žáci mají pochopit tabulku s anglickou legendou. Obrázek 24. Tabulka s anglickou legendou v učebnici Fraus (zdroj: Matematika 8, Fraus, 2009) 59
Fraus na závěr učebnice Matematika 8: Aritmetika zařazuje kapitolu s názvem Angličtina v matematice. V ní je z probraného učiva uvedeno pár základních matematických termínů v anglickém jazyce, a dokonce i jednoduché zadání příkladu v angličtině. Ze statistiky je zde vybrán termín aritmetický průměr, ke kterému je pro připomenutí uveden i vzorec pro jeho výpočet. Zde uvádím konkrétní ukázku: Arithmetic mean (Aritmetický průměr) x x1 x2 x n n Example: Count an arithmetic mean for the numbers: a) 4 and 9 b) 4, 6, 6, 7, 9 and 10 c) 105, 1050 and 20600 60
9 Statistika v anglické řadě učebnic matematiky Anglická řada učebnic klade mnohonásobně větší důraz na statistiku než české řady učebnic. To vyplývá již ze samotného zařazování učiva statistiky do jednotlivých učebnic. Z tabulky 15 vidíme, že statistice je věnována kapitola v každé učebnici. Navíc všechny jednotlivé učebnice obsahují vždy dvě statistické kapitoly. První bývá zařazena na začátek učebnice a druhá ke konci učebnice. Tabulka 15. Které anglické učebnice obsahují kapitolu o statistice? Učebnice KEY MATHS 7 1, Nelson Thornes KEY MATHS 7 2, Nelson Thornes KEY MATHS 7 Extra Resource, Nelson Thornes KEY MATHS 8 1, Nelson Thornes KEY MATHS 8 2, Nelson Thornes KEY MATHS 8 3, Nelson Thornes KEY MATHS 9 1, Nelson Thornes KEY MATHS 9 2, Nelson Thornes KEY MATHS 9 3, Nelson Thornes Kapitola o statistice Vysvětlivky: symbol znamená obsahuje ; prázdné okénko znamená neobsahuje Statistika zabírá téměř v každé učebnici kolem čtyřiceti stran. Jen v 7 Extra Resource je počet stran menší (viz tabulka 16). 61
Tabulka 16. Počet stran věnovaných statistice v anglických učebnicích Učebnicová řada od nakladatelství NELSON THORNES KEY MATHS 7 1 KEY MATHS 8 1 KEY MATHS 9 1 KEY MATHS 7 2 KEY MATHS 8 2 KEY MATHS 9 2 KEY MATHS 7 Extra Resource KEY MATHS 8 3 KEY MATHS 9 3 Počet stran věnujících se statistice 46 42 42 48 42 42 24 40 42 Celkem 130 132 106 Poznámka: rozměry učebnic jsou 17 x 24 cm Takto velký rozsah je způsoben větším množstvím příkladů k procvičení, obrázků, grafů, dále závěrečným shrnutím ke každé kapitole, které je zpravidla jednostránkové a především předchystáním některých tabulek a grafů. 9.1 Základní statistické pojmy O základních statistických pojmech, jako je statistická jednotka, statistický soubor, statistický znak, se učebnice vůbec nezmiňují. O četnosti ano. 9.2 Charakteristiky polohy Z charakteristik polohy žáci pracují s aritmetickým průměrem, modem a mediánem. Podstatný rozdíl od českých řad učebnic je v tom, že je jim věnován prostor v každé učebnici. Vždy jsou jednotlivé pojmy nadefinovány v poučce a opatřeny i jednoduchým vzorovým příkladem. Definice jsou v učebnicích 7,8,9 všech tří úrovní opakovaně stejné. 62
9.3 Tabulky Anglické učebnice zaznamenávají četnosti do tabulky jako české učebnice, tzv. čárkovací metodou (obrázek 25). Obrázek 25. Čárkovací metoda v anglických učebnicích (zdroj: Key Maths 7 1 ) 9.4 Statistické grafy Z hlediska statistických grafů obsahují anglické učebnice oproti českým něco navíc. Jsou to tzv. piktogramy neboli obrázkové diagramy. V poučce (viz obrázek 26) je piktogram zaveden takto: Obrázek 26. Zavedení piktogramu v anglické učebnici (zdroj: Key Maths 7 1 ) Piktogram je tedy diagram, který používá obrázky místo sloupců. Piktogram musí mít vždy klíč, který ukazuje, co každý malý obrázek představuje. Na obrázku 27 je příklad na obrázkový diagram z učebnice Key Maths 7 1. Vzápětí nabízím i jeho vlastní řešení. 63
Obrázek 27. Příklad na obrázkový diagram (zdroj: Key Maths 7 1 ) Řešení (příkladu z obrázku 27): a) 12 b) 3 c) Anglické učebnice na rozdíl od českých pracují s histogramy. Graf nenazývají histogramem, ale definují jej jako sloupcový graf pro skupiny (viz obrázek 28). Obrázek 28. Zavedení histogramu v anglické učebnici (zdroj: Key Maths 7 1 ) 64
Volně přeloženo, sloupcové grafy pro skupiny jsou typické tím, že se jejich sloupce dotýkají. Obrázek 28 tuto skutečnost i názorně ukazuje. Příklady založené na sestrojování histogramů jsou charakteristické tím, že žáci mají graf částečně předchystaný. Na ose x a y je už určeno měřítko i s konkrétními číselnými hodnotami. Žáci tedy zakreslují jen jednotlivé sloupce. Přesvědčit se tak můžeme z obrázku 29. Obrázek 29. Příklad na sestrojení histogramu (zdroj: Key Maths 7 1 ) V učebnicové řadě se samozřejmě setkáváme s bodovými, spojnicovými, sloupcovými a koláčovými grafy. Jednotlivým typům grafů jsou vždy vyčleněny zvlášť podkapitoly. Statistickým grafům se anglické učebnice věnují v mnohem větší míře než české učebnice. Každý typ grafu je vždy nejprve představen krátkou charakteristikou ve žluté poučce, 65
případně opatřen vzorovým příkladem, a pak nastupuje řada příkladů k procvičení na daný typ grafu. Nejvíce se zaměřují na koláčové grafy, sloupcové grafy a histogramy. O něco méně pak na spojnicové a bodové grafy. O úsečkovém grafu se anglické učebnice nezmiňují. V anglických učebnicích jsou žáci upozorňováni, jak mohou grafy klamat. Dva grafy vypadající na první pohled odlišně mohou vykazovat úplně stejné informace. Na tuto skutečnost upozorňovaly i naše české učebnice nakladatelství Prodos a Fraus. Ukázky klamavých grafů z anglických učebnic neuvádím, neboť jsou velmi podobné těm z českých učebnic (viz obrázek 17 a 21). 9.5 Příklady k procvičení Anglické učebnice obsahují podstatně více příkladů k procvičení než české učebnice. Náročnost příkladů se odráží v jednotlivých podřadách učebnic. Učebnice 7 1, 8 1, 9 1 určené pro méně nadané žáky obsahují málo náročná cvičení. V rámci cvičeních navádějí žáky k postupu řešení. Učebnice 7 2, 8 2, 9 2 určené pro středně nadané žáky obsahují o něco náročnější cvičení a učebnice 7 Extra resource, 8 3, 9 3 určené pro vysoce nadané žáky obsahují i složitější úlohy. V učebnicích pro daný ročník všech tří podřad se vyskytují úlohy se stejným zadáním, avšak s tím rozdílem, že jednotlivé otázky k dané úloze jsou většinou formulovány odlišným způsobem. To znamená, že například v učebnicích 8 1, 8 2, 8 3 najdeme úlohy se stejným zadáním, ale otázky k nim jsou formulovány poněkud jinak. Ukážeme si to na konkrétních 2 ukázkách. První ukázka se týká výpočtu aritmetického průměru a je z učebnic 7 1 a 7 2 (obrázek 30 a obrázek 31). Vidíme, že obě úlohy jsou stejného zadání a liší se jen počtem podotázek. Úloha z učebnice 7 1 obsahuje dvě podotázky a úloha z učebnice 7 2 jednu podotázku. Přitom výstup z obou úloh je jen jeden, a to provést výpočet aritmetického průměru. Učebnice 7 1 tímto způsobem u žáků upevňuje postup výpočtu. Výsledek první podotázky je následně použit při řešení druhé podotázky. Obecně lze říci, že učebnice pro málo nadané žáky (7 1,8 1, 9 1 ) ve svých cvičeních částečně navádějí k postupu řešení. 66
Obrázek 30. Úloha na výpočet aritmetického průměru z učebnice Key Maths 7 1 Obrázek 31. Úloha na výpočet aritmetického průměru z učebnice Key Maths 7 2 Řešení (úlohy z obrázku 30 a obrázku 31) : 45 56 53 32 56 48 34 64 71 49 61 41 29 61 65 765 51 15 15 Průměrná výše útraty je 51. Druhá ukázka je vybrána z učebnic 8 1 a 8 2 (viz obrázek 32 a obrázek 33). Vztahuje se k učivu o mediánu. Obrázek 32. Úloha na výpočet mediánu z učebnice Key Maths 8 1 67
Obrázek 33. Úloha na výpočet mediánu z učebnice Key Maths 8 2 Řešení (úlohy z obrázku 32 a obrázku 33): Máme najít medián v každé sadě čísel (a, b, c, d). Nejprve musíme seřadit čísla od nejmenšího po největší. Jelikož každá sada obsahuje lichý počet čísel, pak mediánem bude prostřední hodnota. Medián je označen tučně. a) 3 4 5 6 7 7 8 b) 12 13 14 16 17 c) 21 29 32 35 36 37 38 d) 0 0 1 2 4 5 7 8 9 Vidíme, že učebnice 8 1 v rámci úlohy na výpočet mediánu upozorňuje žáky, aby nezapomněli seřadit čísla od nejmenšího po největší. Zároveň nabízí více sad čísel k zafixování postupu hledání mediánu. V učebnicích pro daný konkrétní ročník různých podřad jsem zaznamenala také odlišnost, že pokud mají žáci za úkol vyplnit tabulku, tak první podřada ji celou předchystá, druhá podřada ji jen částečně naznačí a třetí podřada ji vůbec nenaznačí, ale zadá pouze pokyn Sestavte tabulku.. Ukázky jsou z učebnic 8 1, 8 2, 8 3 (obrázek 34, obrázek 35, obrázek 36). 68
Obrázek 34. Úloha s předchystanou tabulkou z učebnice Key Maths 8 1 Obrázek 35. Úloha s částečně předchystanou tabulkou z učebnice Key Maths 8 2 Obrázek 36. Úloha s pokynem Sestavte tabulku. z učebnice Key Maths 8 3 69
Učebnice první podřady obsahují více jednoduchých příkladů, většina z nich je typově stejná, akorát s jinými údaji. Podstatou těchto učebnic je, aby bylo základní učivo u žáků upevněno. V učebnicích druhé a třetí podřady najdeme samozřejmě i jiné příklady než jsou v učebnicích první podřady. Většinou se jedná o těžší úlohy nebo o úlohy k učivu, které je do učebnic přiřazeno navíc. 9.6 Další zjištění V této podkapitole dalších zjištění předkládám další výčet statistických témat, která se vyskytují v anglických učebnicích navíc oproti českým učebnicím. Prvním zjištěním je, že do všech třech podřad učebnic zařazují i pojem rozpětí neboli variační rozpětí. Rozpětí je definováno jako rozdíl největší a nejmenší hodnoty. Na obrázku 37 je poučka i s řešeným příkladem. Obrázek 37. Zavedení pojmu rozpětí v anglické učebnici (zdroj: Key Maths 8 2 ) 70
Dále učebnice 7 Extra resource a 9 2 k bodovým grafům zařazují korelaci. Seznamují žáky s pozitivní korelací, negativní korelací, nulovou korelací, silnou korelací a slabou korelací (viz obrázek 38). Obrázek 38. Zavádění korelace v anglické učebnici (zdroj: Key Maths 7 Extra resource) Učebnice 7 Extra resource určená pro vysoce nadané obsahuje tzv. diagram lodyha a listy. Princip jeho tvorby je na obrázku 39. O tomto typu diagramu se lze podrobněji dočíst v české odborné publikaci [42] na s. 95 97. 71
Obrázek 39. Zavedení diagramu lodyha a listy v anglické učebnici (zdroj: Key Maths 7 Extra resource) V učebnicích se vyskytují také pojmy diskrétní data a spojitá data. Pojem diskrétní data je zastoupen v učebnici 8 1, 8 2, 8 3, 9 2, 9 3 a pojem spojitá data v učebnici 8 2, 8 3, 9 2, 9 3. V učebnici pro vysoce nadané žáky 9 3 se objevuje pojem kumulativní četnost, dolní kvartil, horní kvartil, prostřední kvartil. 72