ANALOGOVÉ APLIKACE MEMRISTIVNÍCH SYSTÉMŮ

16 D. Biolek, J. Polcrová: Analogové aplikace memristivních systémů Roč. 69 (2013) Číslo 4 ANALOGOVÉ APLIKACE MEMRISTIVNÍCH SYSTÉMŮ Prof. Ing. Dalibor Biolek, CSc. 1, Bc. Jiřina Polcrová 2 1 Katedra elektrotechniky; Fakulta vojenských technologií, Univerzita obrany, Brno, dalibor.biolek@unob.cz 2 Katedra radiolokace; Fakulta vojenských technologií, Univerzita obrany, Brno, jirina.polcrova@unob.cz Abstrakt Memristivní systémy jsou díky svým speciálním paměťovým efektům potenciálně využitelné k inovativním aplikacím v tradičních oblastech analogového zpracování signálů. V článku jsou analyzovány takové vlastnosti memristivních systémů, které by mohly být dobrým důvodem pro jejich využití v konkrétních aplikacích. Ukazuje se, že systémy, chovající se jako ideální memristory, nejsou vhodnými kandidáty pro takováto využití. Pozornost je zaměřena na jednoduchý memristivní systém s prahovým spínáním, který se jeví jako užitečný stavební blok pro nejrůznější analogové aplikace. Klíčová slova: memristivní systém, prahový jev, analogové zpracování signálů, nelineární obvod Abstract Due to their specific memory effects, memristive systems are potentially useful building blocks for innovative implementations of classical techniques of analog signal processing. This paper discusses such properties of memristive systems which would amplify their usefulness in concrete applications. It turns out that systems behaving as ideal memristors may not be suitable candidates for such implementations. Attention is paid to a simple memristive system with threshold switching as a potentially useful building block for various analog applications. Keywords: memristive system, threshold, analog signal processing, nonlinear circuit 1 Úvod K nejčastěji skloňovaným potenciálním aplikacím memristivních systémů patří nevolatilní paměti pro počítačový průmysl. Kromě toho však existuje řada studií a článků o jejich možném využití v aplikacích analogového zpracování signálů. Z rešerše pramenů z databáze [1] vyplývá, že ze stovky reprezentativních článků na toto téma, vydaných do října 2013, tvoří zhruba 30 procent publikace o oscilátorech [2-33], z toho polovina o oscilátorech chaotických [17-33]. Přibližně 20 procent publikací je věnováno memristivním systémům pro analogové výpočty, zejména v roli masivních paralelních výpočetních systémů [34-39] a neuromorfních učících se obvodů [40-51]. Přibližně se stejnou četností se objevují články, navrhující lineární aplikace memristivních systémů zesilovače [52-58], filtry [59-66] a kontroléry [67-72] s elektronicky řiditelnými parametry (každá kategorie je zastoupena cca 7 procenty). Zhruba stejné procento výskytu je charakteristické i pro články, které navrhují dvě třídy nelineárních aplikací memristorů: modulační a demodulační obvody (klasické analogové modulace [73-74] a klíčovací techniky [75], UWB receivery [76-78]) a nelineární nesetrvačné obvody (obvody ESD ochrany [79], obvody MIN/MAX pro fuzzy logiku [80] atd). Zatím okrajově se objevují články z oblasti senzoriky [81-83], AD a DA převodu [84-85] a zpracování obrazových [86-88] a audio signálů [89]. Celá řada navrhovaných aplikací je založena na jednoduché myšlence nahrazení fixního rezistoru v známém klasickém obvodu memristorem, jehož odpor je možné uživatelsky nastavovat. Z tohoto principu vycházejí návrhy programovatelných zesilovačů [52], komparátorů [52], oscilátorů [7] nebo filtrů [59]. Problémem některých návrhů je však fakt, že přestože se memristor musí v aplikaci chovat jako lineární rezistor s analogově nastavitelným odporem, ve skutečnosti však z principu způsobuje nežádoucí nelineární zkreslení signálu, protože autoři pracují s jednoduchým modelem memristoru bez uvažování prahového jevu. To se týká zejména klasických oscilátorů [7] a lineárních filtrů [59] s náhradou rezistorů memristory, kdy tato náhrada může přinést více principiálních nevýhod než užitku. V těchto a dalších pracech navíc nejsou zohledněny principiální problémy, spojené s ofsetem, který je zdrojem potenciální nestability v obvodech s ideálními memristory bez prahu. Praktická hodnota těchto návrhů je zřetelná až u prací, kdy je uvažován memristor s prahem [52] a kdy jsou seriózně analyzovány možnosti přesného nastavování odporu v analogové škále [90]. Cenná jsou obvodová řešení, která nevycházejí z jednoduchých náhrad rezistorů memristory, ale aplikace je navrhována inovativně s využitím jedinečných vlastností memristivních systémů. Takovýchto řešení v oblasti lineárního a nelineárního analogového zpracování signálů však dosud není mnoho. V [66] je popsána myšlenka integrátoru bez využití reaktančních prvků, sestaveného z operačního zesilovače v invertujícím zapojení s fixním rezistorem a memristorem. Přestože bližší rozbor ukazuje na omezující podmínky správného fungování tohoto obvodu, je zřejmé, že k integraci signálu je možné za určitých podmínek využít vnitřní dynamiky memristoru. Tuto myšlenku by zřejmě bylo možné použít ke konstrukci memristivních kmitočtových filtrů bez akumulačních prvků [66]. V [12] je této interní dynamiky využito k realizaci bezreaktančních relaxačních oscilátorů. V některých návrzích, např. v obvodových řešeních modulačních obvodů typu ASK, FSK a BPSK [75], se využívá známého poznatku, že memristanci lze modulovat relativně pomalým signálem v základním pásmu, zatímco vysokofrekvenční nosná její velikost neovlivňuje. V [80] je publikován obvod, sestavený pouze z dvojice memristorů, identifikující, který z dvojice signálů má větší, resp. menší okamžitou hodnotu. Obvod funguje na principu děliče napětí s adaptivně proměnným dělicím poměrem a může se stát základní stavební buňkou pro konstrukci komparátorů, obvodů MIN/MAX, okrajovačů a tvarovačů signálů a dalších nelineárních nesetrvačných obvodů. Poměrně málo prostoru je věnováno syntéze nelineárních memristivních obvodů, které by pracovaly na principu

Roč. 69 (2013) Číslo 4 D. Biolek, J. Polcrová: Analogové aplikace memristivních systémů 17 obohacení spektra signálu o vyšší harmonické složky s následnou lineární filtrací vybraných složek, jako jsou například násobiče kmitočtu. V práci [91] je analyzováno spektrální složení proudu memristorem, který je buzen harmonicky proměnným napětím. Je potvrzen předpoklad, že výraznější hystereze v i-v charakteristikách je spojena s bohatším výskytem vyšších harmonických složek ve spektru proudu. V článku [92] je studováno generování druhé a vyšších harmonických složek v odezvě pasivního memristoru na harmonické buzení v konfiguracích jak s jedním memristorem, tak i s čtveřicí memristorů v můstkovém zapojení. Je ukázáno, že v porovnání s klasickými zapojeními s diodami mohou memristivní obvody vykazovat podstatně vyšší poměry výkonů vyšších harmonických ve vztahu k výkonu budicího signálu. Je však otázka, zda by tohoto poznatku bylo možné využít k syntéze konkrétních nelineárních aplikací na bázi memristorů, které by přinášely kvalitativně lepší parametry než jak je tomu u klasických analogových řešení. V soudobé literatuře například chybí rozbory možných metod syntézy memristivních obvodů, které by generovaly signály s předepsanou spektrální skladbou. V [93] je provedena spektrální analýza obvodu, obsahujícího obecně memristor, memkapacitor a meminduktor. Je ukázáno, že matematický popis obvodu vede na zobecněnou Duffingovu diferenciální rovnici, která může vykazovat řešení, odpovídající subharmonickým kmitům. Generování subharmonických kmitů tak může být jednou ze zajímavých aplikací memristivních systémů, které se s využitím klasické obvodové techniky realizuje obtížně. Cílem článku je analýza východisek pro syntézu lineárních a nelineárních obvodů s memristivními systémy se zaměřením na zesilovače, filtry, oscilátory a nelineární tvarovací obvody. Nejprve jsou zopakovány definice memristoru a memristivního systému a poté jsou hledány takové charakteristiky jejich modelů, které by umožňovaly funkčnost konkrétní aplikace. V článku jsou uvažovány memristivní systémy řízené napětím. Duální závěry platí i pro memristivní systémy řízené proudem. 2 Memristivní systémy pro konkrétní aplikace 2.1 Ideální memristory versus memristivní systémy Memristor jakožto čtvrtý fundamentální prvek je definován jako dvojpól o portové a stavové rovnici [94] i = g( x) v, (1) d dt x = v, (2) kde i a v jsou proud a napětí, x je interní stavová proměnná a g je obecně nelineární funkce, modelující závislost memduktance na stavu memristoru. Z (2) je zřejmé, že stavová proměnná je časovým integrálem napětí, často označovaným jako tok ϕ. Jednoduchý tvar stavové rovnice vyjadřuje nevolatilitu paměti memristoru (při nepůsobení napětí se stav memristoru nemění) a rovněž nekonečnou hloubku paměti (řešení diferenciální rovnice není nikterak hodnotově omezeno). Druhý atribut však nelze fyzikálně realizovat. Realističtější modelování vede na definici zobecněného memristivního systému o portové a stavové rovnici [95] i = g(x, v) v, (3) d dt x = f ( x, v). (4) Memristivní systém se opět chová jako rezistor, jehož odpor závisí na stavu. Nyní je však stav popsán obecně N-rozměrným vektorem stavu. Z (3) je zřejmé, že memduktance může záviset i na okamžité hodnotě svorkového napětí. Na dvojici x, v rovněž závisí derivace stavového vektoru. Formu této závislosti určuje obecně nelineární funkce f v (4). Na model (3), (4) můžeme pohlížet i tak, že proměnná x popisuje fyzikální veličiny, určující momentální stav skutečně realizované paměti (např. šířku dopované vrstvy v TiO 2 memristoru), zatímco funkce g v (3) vyjadřuje závislost memristance na těchto veličinách, závisející na geometrii součástky a na fyzikálním principu jejího fungování (např. jak závisí odpor memristoru na šířce dopované vrstvy). Poznamenejme, že stavový popis (4) lze transformovat na popis ekvivalentní volbou jiné stavové veličiny. V [96] je například za stavovou veličinu zvolena přímo memristance, což se pak projeví v určitém zjednodušení portové rovnice. V dalším se pokusíme o co nejjednodušší rozšíření modelu (1), (2) ideálního memristoru na model memristivního systému (3), (4) s cílem zvýraznění těch atributů, které mají zásadní vliv na bezproblémový chod konkrétních aplikací. Je účelné přihlížet i k tomu, aby model odrážel charakteristické znaky chování soudobých zařízení na bázi rezistivních pamětí. V souladu se soudobými modely těchto pamětí a v zájmu jednoduchosti řešení se omezíme na memristivní systémy o řádu N = 1. Není však bezpodmínečně nutné se těmito podmínkami omezovat. V tom případě pak lze pro konkrétní aplikaci navrhovat specifické modely memristivních systémů v naději, že se v blízké budoucnosti podaří zvládnout výrobu nano-memristivních systémů s požadovanými charakteristikami. V [97] jsou například analyzovány charakteristiky hypotetického TiO 2 memristoru s geometricky proměnným průřezem podél osy protékajícího proudu. 2.2 Memristivní systém jako lineární rezistor s programovatelným odporem (zesilovače, filtry, oscilátory atd.) Pro tyto aplikace je model ideálního memristoru (1), (2) nevyhovující, protože paměť memristoru a tím i jeho memristance jsou nežádoucím způsobem ovlivňovány rušivým napětím na svorkách, a jakékoliv nenulové ofsetové napětí způsobuje nezadržitelný pohyb pracovního bodu směrem k fyzikální saturaci systému. Model memristivního systému, vhodného pro dané aplikace, může být v tvaru d dt 1 i = R v, (5) M R = M f L ( v) w( RM, v). (6) Stavovou veličinou je přímo memristance R M. Její derivace závisí na součinu dvou funkcí, jejichž grafy jsou načrtnuty na obr. 1. Funkce f L vykazuje pásmo necitlivosti na svorkové napětí memristoru v intervalu omezeném prahovými úrovněmi V t- a V t+. Tím je zaručena jak nevolatilita paměti, tak její

18 D. Biolek, J. Polcrová: Analogové aplikace memristivních systémů Roč. 69 (2013) Číslo 4 odolnost proti ofsetům a driftům. Šířka tohoto intervalu současně definuje dynamický rozsah pro lineární režim memristivního prvku. Z tohoto pohledu by měla být prahová napětí dostatečně vysoká a měla by platit podmínka symetrie V t+ = -V t-. Průběh funkce f L vně tohoto intervalu spolu s tvarem okénkové funkce w určují dynamiku dějů při nastavování memristance. Zatímco funkce f L určuje rychlost změny memristance při daném napětí, okénková funkce garantuje nepřekročení jejích fyzikálních hranic R on a R off a současně zabraňuje známému přilepení stavu v jeho mezních polohách. Tato technika Biolkova okna [98] je využita v práci [40], kdy vzorec pro okno w má tvar w ( RM off M M on, v) = θ ( v) θ ( R R ) + θ ( v) θ ( R R ), (7) kde symbolem θ je označena funkce typu jednotkový skok. Tímto způsobem je modelováno okno na obr. 1 pro nekonečnou strmost přechodů do limitních stavů. Memristivní systém (5), (6) je použit v [40] za předpokladu aproximace funkce f L vně pásma necitlivosti lineárními úseky o definovaném sklonu (viz obr. 2 a). Je označovaný termínem Bipolar Memristive System with Threshold (BMST) a jeví se jako perspektivní stavební blok nejrůznějších aplikací, zejména v neuromorfních obvodech [40]. f L (v) V t- 0 V t+ v w(r M,v), v > 0 1 0 R on R off Obr. 1. Příklad možných typů funkcí f L a w ze stavové rovnice (6). V situaci, kdy memristivní systémy obdobných vlastností dosud nejsou běžně k dispozici jako fyzicky existující zařízení pro experimentování, na významu nabývají jejich modely pro počítačové simulace se zaměřením na programy třídy SPICE. Níže je uveden příklad takového modelování pro funkci f L z obr. 2 a) [40]. Náhradní schéma system BMST pro tvorbu SPICE modelu, vyplývající z rovnic (5) - (7), je na obr. 2 b). f L (v) f L ( v) w( RM, v) plus x=r β M -V t β 0 Vt v v Gpm a) b) Obr. 2. a) Funkce f L z [40], b) schéma pro tvorbu SPICE modelu BMST. 0 R on w(r M,v), v 0 1 minus Gx v / x Cint Raux R off RM R M 1F IC=R init 100MΩ Derivace memristance (6) je modelována proudem řízeného zdroje G x, takže její integrál memristance je roven napětí uzlu x ve voltech. Integrál je počítán pomocí SPICE jako napětí na kapacitoru o kapacitě 1F, který je nabíjen proudem, který je ztotožněn s integrovanou funkcí času. Pomocný rezistor R aux je v obvodu zařazen proto, aby definoval stejnosměrnou cestu z uzlu x do referenčního uzlu (země). S kapacitor C sice zavádí do modelu parazitní časovou konstantu, ale její velikost (100 milionů sekund) garantuje, že výsledky analýzy tím nebudou ovlivněny. Memristivní brána je v souladu s rovnicí (5) modelována zdrojem proudu G pm, který je počítán jako podíl svorkového napětí a memristance. Funkce f L podle obr. 2 a) a rovnice (7) obsahují nespojité funkce (funkce typu θ) a funkce s nespojitými derivacemi (funkce f L (v) v bodech v = -V t a v = +V t ), což může být zdrojem vážných konvergenčních problémů zejména u rozsáhlejších modelů. V tom případě je možné použít vyhlazené funkce, které jsou založené na sigmoidním modelování skokové funkce podle vzoru x 1 θ S ( ) =, (8) t b 1 + e / kde b je vyhlazovací parametr. Pak například vyhlazená funkce absolutní hodnoty abs S (x), kterou lze použít k modelování funkce f L (v) na obr. 2 a), bude abs ( x) = x[ θ ( x) θ ( x)]. (9) S S V případě konvergenčních problémů lze obvykle dostavením parametru b nastavit vhodný kompromis mezi přesností a spolehlivostí. Zdrojové kódy podobvodů SPICE bipolárního memristivního systému s prahem, optimalizované pro platformy PSpice, LTSpice a HSPICE jsou uvedeny v Příloze 1. V kódech je provedena optimalizace dynamiky proměnných, což bývá v případě behaviorálního modelování nutné [96]. Například proud zdrojem G pm dosahuje extrémně velkých hodnot, což může vyvolávat numerické problémy při simulaci. Proto je v kódu v Příloze 1 vzorec pro daný proud násoben normovací konstantou 10-12 (= 1 piko). Aby napětí na integračním kapacitoru C int podle obr. 2 b) vyšlo numericky správně, kapacita musí být snížena z 1 F na 1 pf. Při změně kapacity je pak vhodné případně upravit i odpor R aux. Na obr. 3 jsou výsledky testování tohoto modelu v programu HSPICE. Memristivní systém je buzen napěťovým zdrojem sinusového signálu o amplitudě 5 V a opakovacím kmitočtu 50 MHz, přičemž parametry BMST jsou následující: R on = 1 kω, R off = 10 kω, β = 10 13 Ω/s, V t = 4,6 V. Počáteční hodnota memristance je 5 kω. V Příloze 2 je pro přehlednost uveden úplný vstupní soubor pro simulaci této úlohy. Příkazem.option je optimalizován běh analýzy TRANSIENT s ohledem na nutnost dosažení patřičné přesnosti analýzy. Příkaz.lib odkazuje na knihovnu modelů s podobvody z Přílohy 1. Podrobnosti jsou uvedeny v [96]. Výsledky simulace z obr. 3 plně odpovídají teoretickému rozboru z [96]. Hned po prvním cyklu přechází obvod do periodického ustáleného stavu a jeho memristance je přepínána mezi dvojicí mezních stavů. Po odeznění přechodového děje se v souřadnicích napětí-proud vykresluje typická uzavřená hysterezní smyčka. S

Roč. 69 (2013) Číslo 4 D. Biolek, J. Polcrová: Analogové aplikace memristivních systémů 19 Řada nelineárních obvodů (okrajovače, obvody MIN/MAX, funkční měniče typu absolutní hodnota) může být realizována na principu dvoustavového R on - R off memristivního systému. Takovýto systém pak může být plně popsán modelem (5), (6). Příkladem je obvod pro určování maximální okamžité hodnoty napětí ze tří zdrojů z obr. 4 a), který je zobecněním memristivního obvodu MIN-MAX logic z [80]. Úkolem memristorů je co nejrychleji změnit svůj stav buď na R on nebo R off v závislosti na směru spádu napětí na nich. Má-li být výstupní napětí největším z napětí zdrojů V1, V2 a V3, pak ve stavu Ron musí být pouze memristor v sérii se zdrojem o momentálně nejvyšším napětím. Na obr. 4 b) je ukázka simulace v HSPICE s využitím modelu memristivního systému (5)-(7) z [96]. Časové průběhy napětí sinusových zdrojů 5V/10kHz jsou vzájemně fázově posunuty vždy o 120 stupňů. Memristivní systémy jsou navrženy jako identické se symetrickou funkcí f L, s prahem V t = 0,1 V a lineárním růstem f L nad prahem se strmostí 10 14 Ω/s. Tato hodnota zabezpečuje dostatečně rychlé přepínání mezi stavy R on = 100 Ω a R off = 100 kω. Po přepólování použitých memristivních systémů obvod vyhledává signál s minimální hodnotou. V1 V2 V3 Vout a) Obr. 3. Simulace memristivního systému BMST v HSPICE. Systém je buzen harmonickým signálem v(1). Jeho memristance se mění podle křivky v(x). Proud je vyjádřen křivkou i(gpm). Dole je typická hysterezní smyčka v souřadnicích v-i, z níž je zřejmý počáteční přechodný děj, který odezní během první opakovací periody. 2.3 Memristivní systém jako nelineární rezistor pro nesetrvačné aplikace (okrajovače, funkční měniče, násobičky, obvody MIN/MAX atd.) Pro tyto aplikace je důležitá nelineární závislost mezi vstupy a výstupy, například ve formě lookup table, přičemž se předpokládá rychlé nastavování těchto relací bez zdlouhavých přechodných dějů. Tomuto požadavku musí odpovídat dynamika změn stavů memristivního systému, daná stavovou rovnicí (4). Tato rovnice může být ve formě (6), která zabezpečuje potřebné pásmo necitlivosti i ošetření hraničních stavů memristance (viz obr. 1). Hodnoty funkce f L mimo pásmo necitlivosti je třeba volit s ohledem na potřebnou rychlost přestavování stavu. Prahová napětí mohou být nižší než u lineárních aplikací, protože odpadá požadavek na maximalizaci dynamiky pro lineární režim činnosti. Obvody dané třídy je principiálně nemožné realizovat ideálním memristorem (1), (2). Důvodem je nekonečná hloubka paměti, díky níž by se memristor vymaňoval ze svého stavu tak dlouho, jak dlouho by v něm předtím setrval. Obr. 4. b) a) Obvod typu MAX sestavený z trojice bipolárních memristivních systémů s prahem, b) výsledek simulace v HSPICE. Poznamenejme, že fungování obvodu z obr. 4 je necitlivé na počáteční stav memristance jednotlivých memristivních systémů. Nahradíme-li bipolární mem-systémy klasickými memristory, například memristory s nelineárním driftem dopantů modelovaným Joglekarovým oknem [99-100], pak dosažení správné funkce je prakticky nemožné, jednak z výše uvedeného důvodu nekonečné hloubky paměti, jednak díky extrémní citlivosti na počáteční stavy memristorů. Další možností je využít memristivního systému jako nelineárního rezistoru s programovatelnou ampérvoltovou charakteristikou. V tom případě by jeho popis byl v tvaru d dt i = g( x, v) v, (10) x = f ( v) w( x, v), (11) L

20 D. Biolek, J. Polcrová: Analogové aplikace memristivních systémů Roč. 69 (2013) Číslo 4 kde stavová rovnice by nyní popisovala dynamiku fyzikální stavové veličiny, pohybující se v mezích x on a x off. (viz obr. 1 a náhrada osy R obecnější osou x ). Rovnice (11) nyní popisuje proces programování požadovaného stavu x 0 vnějším nadprahovým napětím. Tím by došlo k naprogramování konkrétní nelineární ampérvoltové charakteristiky i = g(x 0, v) v. 2.4 Memristivní systém jako nelineární rezistor pro rozšiřování spektra (modulátory, násobiče kmitočtu, směšovače atd.) Optimální syntéze takovýchto obvodů by jistě napomohla metoda, která by umožnila nalézt takové charakteristiky memristivního systému, které by vedly při daném buzení k předepsanému spektrálnímu složení odezvy. Například pro násobič kmitočtu by bylo zapotřebí generovat dostatečně silnou konkrétní vyšší harmonickou, v jejímž okolí by se nevyskytovaly další dominantní harmonické složky. Nejvíce stupňů volnosti pro takovou syntézu poskytuje memristivní systém o modelu (10), (11), buzený napětím nadprahové úrovně, kdy současně dochází k rozmítání memristance jak napětím, tak i stavem. Bez vyřešení uvedené syntézy v spektrální oblasti zřejmě nebude možné rozhodnout o užitečnosti případných aplikací memristivních systémů v této oblasti nelineárního zpracování signálů. 3 Závěr Portové a stavové rovnice memristivních systémů lze využít jako výchozí bod pro úvahy, v jaké míře jsou tyto systémy perspektivně využitelné v nejrůznějších oblastech analogového zpracování signálů. Jejich nezpochybnitelný potenciál leží v oblasti pamětí, masových analogových výpočtů a neuromorfní elektroniky. Je však vhodné pečlivě analyzovat, kdy jsou memristivní systémy schopny přinést kvalitativně vyšší efekt i do tradičních oblastí analogového zpracování signálů. Výsledky analýzy lze shrnout do těchto bodů: a) Praktická využitelnost obvodového prvku typu ideální memristor ve smyslu jeho axiomatické definice v diskutovaných aplikacích je silně limitována dvěma faktory: 1) nestabilita stavu vůči ofsetům a driftům, 2) efekt nekonečné hloubky paměti. b) Nutnou podmínkou robustní a stabilní funkce memristivního systému je existence prahového efektu. Pro řadu analogových aplikací je vhodný BMTS. Jeho rovnice dynamiky v tvaru (6), (7) je základem spolehlivého SPICE modelování memristivního systému, vykazujícího jak prahový jev, tak i schopnost nezamrzání v krajních stavech. c) Antisériové spojení dvojice memristivních systémů, schopné realizovat analogovou operaci typu MIN/MAX, je ukázkou aplikace memristivního systému jako spínače s adaptabilně nastavitelným stavem, v němž může setrvávat po libovolnou dobu. Této vlastnosti může být potenciálně využito k realizaci dalších nelineárních operací se signálem (usměrňování, blok absolutní hodnoty, úrovňový detektor a další). Výhodou těchto aplikací je nespojitý režim memristivního systému jako spínače mezi dvojicí definovaných stavů (R on, R off ), k čemuž není potřeba prvků s přesně natvarovanou charakteristikou g(x, v) (viz rovnice 10, 11), nýbrž vystačíme s běžným rezistivním spínacím prvkem. d) Otevřenými problémy jsou syntéza nelineárních aplikací s předem zadaným spektrálním složením odezvy na dané buzení a syntéza lineárních bezreaktančních aplikací, které by využívaly interní dynamiky mem-prvků. e) Rozvoj dalších zajímavých nelineárních aplikací lze očekávat po technologickém zvládnutí výroby memristivních systémů s předem zadanými závislostmi memristance na interních stavech paměti a na svorkovém napětí. Poděkování Článek vznikl za podpory projektu specifického výzkumu Modernizace výuky vybraných předmětů Katedry elektrotechniky (K217-SV-2013) na FVT UO v Brně. Literatura [1] http://memlinks.eu/ - interactive database of papers dealing with memory elements. [2] Chua, L. O., Itoh, M. Memristor oscillators. Int. Journal of Bifurcation and Chaos, 2008, vol.18, no.11, p. 3183-3206. [3] Botta, V. Stability Analysis of the Fourth-Order Cubic Memristor Oscillator. SBAI DINCON 2013, 2013, p. 4. [4] ElSamman, A. H., Madian, A. H., Radwan, A. G. The modified single input Op-Amps memristor based oscillator. In Proc. of 1st Int. Conf. on Communications, Signal Processing, and their Applications (ICCSPA), 2013, p. 1-4. [5] Sowa, A. Signals generated in memristive circuits. Nanoscale Systems: Mathematical Modeling, Theory and Applications, vol. 1, 2012, p. 48-57. [6] Bahgat, A. T., Salama, K. N. Memristor-based monostable oscillator. arxiv:1207.0847v1, [cs.et], 3rd July 2012. [7] Talukdar, A., Radwan, A. G., Salama, K. N. Non linear dynamics of memristor based 3rd order oscillatory system. Microelectronics Journal, vol. 43, no. 3, 2012, p. 1-7. [8] Qi, A. X., Zhang, Ch. L., Wang, G. Y. Memristor Oscillators and its FPGA Implementation. Advanced Materials Research, volumes 383-390, Manufacturing Science and Technology, 2011, p. 6992-6997. [9] Talukdar, A., Radwan, A. G., Salama, K. N. A memristor-based third-order oscillator: beyond oscillation. Chemistry and Materials Science, Applied Nanoscience, Springer Berlin / Heidelberg, 2011. [10] Chua, L. O., Itoh, M. Memristor oscillators. Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 18, no. 11, 2008, p. 3183-3206.

Roč. 69 (2013) Číslo 4 D. Biolek, J. Polcrová: Analogové aplikace memristivních systémů 21 [11] Mosad, A. G., Fouda, M. E., Khatib, M. A., Salama, K. N., Radwan, A. G. Improved memristor-based relaxation oscillator. Microelectronics Journal, 2013, p. 1-7. [12] Zidan, M. A., Omran, H., Smith, C., Syed, A., Radwan, A. G., Salama, K. N. A family of memristor-based reactance-less oscillators. Int. Journal of Circuit Theory and Applications, Early View, 11th April 2013. [13] Fouda, M. E., Radwan, A. G. Memristor-based voltagecontrolled relaxation oscillators. Int. Journal of Circuit Theory and Applications, Early View, 2013, p. 11. [14] Fouda, M. E., Radwan, A. G., Khatib, M. A., Mosad, A. G. Generalized Analysis of Symmetric and Asymmetric Memristive Two-Gate Relaxation Oscillators. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, vol. 60, no. 10, 2013, p. 2701-2708. [15] Sun, H., Sha, P., Xu, X., Miao, X., Zhou, W., Wang, Q., Yan, P., Zhang, J. Programmable Frequency Multivibrator Based on Memristor. Information Optoelectronics, Nanofabrication and Testing, OSA Technical Digest (online) (Optical Society of America), paper IF5A.4, 1st November 2012. [16] Zidan, M. A., Radwan, A. G., Omran, H., Salama, K. N. Memristor-Based Reactance-Less Oscillator. Electronics Letters, vol. 47, no. 22, 2011, p. 1220 1221. [17] Buscarino, A., Fortuna, L., Frasca, M., Gambuzza, L. V. A gallery of chaotic oscillators based on HP memristor. Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 23, no. 5, 2013, p. 14. [18] Buscarino, A., Fortuna, L., Frasca, M., Gambuzza, L. V. A chaotic circuit based on Hewlett-Packard memristor. Chaos, vol. 22, no. 2, 2012. [19] Corinto, F., Ascoli, A. Memristor based-elements for chaotic circuits. Nonlinear Theory and Its Applications, IEICE, vol. 3, no. 3, 2012, p. 336-356. [20] Chua, L. O., Muthuswamy, B., Ginoux, J. M. The Inductor-Capacitor-Memristor Circuit: Relaxation and Chaotic Memory Oscillations. HARP, 2012, p. 1-10. [21] Qi, A., Wang, G. Chaotic Oscillator Based on Memristor and Its Circuit Implementation. In Proc. of Fourth International Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications (IWCFTA), 2011, p. 328-331. [22] Wang, W., Wang, G., Tan, D. A New Memristor Based Chaotic Circuit. In Proc. of Fourth International Workshop on Chaos-Fractals Theories and Applications (IWCFTA), 2011, p. 57-60. [23] Li, Y., Zhao, L., Chi, W., Lu,. S., Huang, X. A New Memristor Based Chaotic System. Applied Mechanics and Materials, Volumes 275-277, 2011. [24] Rebhi, N., Kachouri, A., Samet, M., Fournier-Prunaret, D. Implementation of a Simple UWB Chaotic Generator Based on Memristor. CiiT International Journal of Wireless Communication, vol. 3, no. 12, 2011, p. 874-884. [25] Rebhi, N., Samet, M., Kachouri, A, Fournier-Prunaret, D., Charge, P. A simple uwb-chaotic generator based on memristor switching model. In Proc. 8th International Multi-Conference on Systems, Signals and Devices (SSD), 2011, p. 1-7. [26] Corinto, F., Ascoli, A., Gilli, M. Nonlinear Dynamics of Memristor Oscillators. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, vol. 58, no. 6, 2011, p. 1323 1336. [27] Bao, B., Ma, Z., Liu, Z., Xu, J., Xu, Q. A simple memristor chaotic circuit with complex dynamics. Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 21, no. 9, 2011, p. 2629-2645. [28] Lin, Z., Wang, H. Efficient Image Encryption Using Chaos-based PWL Memristor. IETE Technical Review, vol. 27, no. 4, 2010, p. 318-325. [29] Muthuswamy, B. Implementing Memristor Based Chaotic Circuits. Int. Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 20, no. 5, 2010, p. 1335-1350. [30] Lehtonen, E., Laiho, M., Poikonen, J. A Chaotic Memristor Circuit. In Proc. 12th International Workshop on Cellular Nanoscale Networks and Their Applications (CNNA), 2010, 2010, p. 1-3. [31] Sun, W., Li, Ch., Yu, J. A Simple Memristor Based Chaotic Oscillator. In Proc. of Int. Conference on Communications, Circuits and Systems (ICCCAS), 2009, p. 952-954. [32] Sun, W., Li, C., Yu, J. A memristor based chaotic oscillator. In Proc. of Int. Conference on Communications, Circuits and Systems (ICCCAS), 2009, p. 955-957. [33] Li, C., Wei, M., Yu, J. Chaos Generator Based on a PWL Memristor. In Proc. of Int. Conference on Communications, Circuits and Systems (ICCCAS), 2009, p. 944-947. [34] Yang, J. J., Strukov, D. B., Stewart, D. R. Memristive devices for computing. Nature Nanotechnology, 2013, vol. 8, p. 13-24. [35] Shin, S., Kang, S.-M., Kim, K. Memristive computingmultiplication and correlation. In Proc. IEEE Int. Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), 2012, p. 1608-1611. [36] Lehtonen, E., Laiho, M., Lu, W. Memristive analog arithmetic within cellular arrays. In Proc. IEEE Int. Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), 2012, p. 2665-2668. [37] Bickerstaff, K., Swartzlander, E.E. Memristor-based arithmetic. In Proc. of the Forty Fourth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers (ASILOMAR), 2010, p. 1173-1177. [38] Merrikh-Bayat, F., Shouraki, S. B. Memristor-based Circuits for Performing Basic Arithmetic Operations. arxiv:1008.3452v2, [cs.ar], 20th August 2010. [39] Lehtonen, E., Laiho, M. Arithmetic operations within memristor-based analog memory. In Proc. 12th Int. Workshop on Cellular Nanoscale Networks and Their Applications (CNNA), 2010, p. 1-4. [40] Pershin, Y. V., Di Ventra, M. Experimental demonstration of associative memory with memristive neural networks. Neural Networks, 2010, vol. 23, no. 7, p. 881-886. [41] Shiju, S., Liju, P. Memristive device with threshold for synaptic application in Neuromorphic hardwares. In Proc. Automation, Computing, Communication, Control and Compressed Sensing (imac4s), 2013, p. 229-234.

22 D. Biolek, J. Polcrová: Analogové aplikace memristivních systémů Roč. 69 (2013) Číslo 4 [42] Ye, Z., Wu, S. H. M., Prodromakis, T. Computing shortest paths in 2D and 3D memristive networks. arxiv: 1303.3927v1, [physics.comp-ph], 15th March 2013. [43] Ziegler, M., Ochs, K., Hansen, M., Kohlstedt, H. An electronic implementation of amoeba anticipation. Applied Physics A, Springer-Verlag, 2013. [44] Yang, Y., Chang, T., Lu, W. Building Neuromorphic Circuits with Memristive Devices. IEEE Circuits and Systems Magazine, vol. 13, no. 2, 2013, p. 56-73. [45] Kyriakides, E., Georgiou, J. Memristors for energyefficient, bioinspired processing. In Proc. IEEE 27th Convention of Electrical & Electronics Engineers in Israel (IEEEI), 2012, p. 1-5. [46] Chen, Y., Wysocki, B., Huang, T., Liu, B. The Circuit Realization of a Neuromorphic Computing System with Memristor-Based Synapse Design. Neural Information Processing, Lecture Notes in Computer Science, Springer Berlin/Heidelberg, vol. 7663, 2012, p. 357-365. [47] Di Ventra, M., Pershin, Y.V. Biologically-Inspired Electronics with Memory Circuit Elements. arxiv: 1112.4987v1, [q-bio.nc], 21st December 2011. [48] Chua, L. O., Kim, H., Sah, M. P., Yang, C., Roska, T. Memristor Bridge Synapses. Proceedings of the IEEE, vol. 100, no. 6, 2011, p. 2061-2070. [49] Pershin, Y. V., Di Ventra, M. Solving mazes with memristors: a massively-parallel approach. arxiv: 1103.0021v2, [cond-mat.mes-hall], 28th February 2011. [50] Berzina, T., Smerieri, A., Camorani, P., Erokhina, S., Erokhin, V., Fontana, M.P. Bio-inspired adaptive networks based on organic memristors. Nano Communication Networks, vol. 1, Issue 2, 2010, p. 108-117. [51] Pershin, Y. V., La Fontaine, S., Di Ventra, M., Memristive model of amoeba's learning. arxiv: 0810.4179v3, [q-bio.cb], 22nd October 2008. [52] Pershin, Y. V., Di Ventra, M. Practical Approach to Programmable Analog Circuits With Memristors. IEEE Trans. on Circuits and Systems I: Regular Papers, 2010, vol. 57, no. 8, p. 1857-1864. [53] Berdan, R., Salaoru, I., Prodromakis, T., Khiat, A., Toumazou, C. Memristive devices as parameter setting elements in programmable gain amplifiers. Applied Physics Letters, vol. 101, no. 24, 2012, p. 1-3. [54] Li, Q., Xu, H., Liu, H., Tian, X. Study of the Noninverting Amplifier Based on Memristor with Linear Dopant Drift. In Proc. Int. Conf. on Intelligent System Design and Engineering Application (ISDEA), 2012, p. 1136-1139. [55] Shin, S., Kim, K., Kang, S.-M. Memristor applications for programmable analog ICs. IEEE Transactions on Nanotechnology, vol. 10, no. 2, 2011, p. 266-274. [56] Wey, T. A., Jemison, W. D. Variable gain amplifier circuit using titanium dioxide memristors. IET Circuits, Devices & Systems, vol. 5, no. 1, 2011, p. 59-65. [57] Wey, T. A., Jemison, W. D. An automatic gain control circuit with TiO2 memristor variable gain amplifier. In Proc. IEEE Int. Conf. NEWCAS, 2010, p. 49-52. [58] Yu, Q., Qin, Z., Yu, J., Mao, Y. Transmission characteristics study of memristors based Op-amp circuits. In Proc. Int. Conf. on Communications, Circuits and Systems (ICCCAS), 2009, p. 974-977. [59] Ascoli, A., Tetzlaff, R., Corinto, F., Mirchev, M., Gilli, M. Memristor-based filtering applications. In Proc. of the 14th Latin American Test Workshop (LATW), 2013, p. 1-6. [60] Kirilov, S., Yordanov, R., Mladenov, V. Analysis and Synthesis of Band-Pass and Notch Memristor Filters. In Proc. 17th Int. Conference on Circuits (part of CSCC 13), 2013, p. 4. [61] Jameel, S., Korasli, C., Nacaroglu, A. Realization of biquadratic filter by using memristor. In Proc. Conf. Technological Advances in Electrical, Electronics and Computer Engineering (TAEECE), 2013, p. 52-56. [62] Mejia, C. H., Reyes, A. S., Vazquez-Leal, H. A family of memristive transfer functions of negative feedback nullor-based amplifiers. In Proc. IEEE Fourth Latin American Symposium on Circuits and Systems (LASCAS), 2013, p. 1-4. [63] Tian, X.-B., Xu, H. Design and simulation of titanium oxide memristor-based programmable analog filter in simulation program with integrated circuit emphasis. Chinese Physics B, vol. 22, no. 8, 2013. [64] Chew, Z. J., Li, L. Printed circuit board based memristor in adaptive lowpass filter. Electronics Letters, vol. 48, no. 25, 2012, p. 1610-1611. [65] Driscoll, T., Quinn, J., Klein, S., Kim, H. T., Kim, B. J., Pershin, Y. V., Di Ventra, M., Basov, D. N. Memristive adaptive filters. Applied Physics Letters, vol. 97, no. 9, 2010, p. 093502-1-093502-3. [66] Mahvash, M.; Parker, A. C. A memristor SPICE model for designing memristor circuits. In Proc. 53rd IEEE International Midwest Symposium on Circuits and Systems (MWSCAS), 2010, p. 989-992. [67] Saha, G. Theory of Memristive Controllers: Design and Stability Analysis for Linear Plants. Int. Journal of Computer Applications, 2011, vol. 34, no. 10, p. 48-55. [68] Zhao, Y.-B., Tse, Ch.-K., Feng, J.-Ch., Guo, Y.-C. Application of Memristor-Based Controller for Loop Filter Design in Charge-Pump Phase-Locked Loops. Circuits, Systems, and Signal Processing, vol. 32, no. 3, 2013, p. 1013-1023. [69] Lin, T.-Ch., Liao, W.-N., Balas, V. E. Memristor-Based Phase-Lead Controller Circuit Design. Soft Computing Applications, Advances in Intelligent Systems and Computing, Springer Berlin/Heidelberg, vol. 195, 2013, p. 309-318. [70] Wang, L., Fang, X., Duan, S., Liao, X. PID Controller Based on Memristive CMAC Network. Abstract and Applied Analysis, vol. 2013, Article ID 510238, p. 1-6. [71] Delgado, A. The memristor as controller. In Proc. IEEE Nanotechnology Materials and Devices Conference (NMDC), 2010, p. 376-379. [72] Stork, M., Hrusak, J., Mayer, D. Memristor based feedback systems. In Proc. Applied Electronics, 2009, p. 237-240. [73] Wey, T. A., Benderli, S. Amplitude modulator circuit featuring TiO2 memristor with linear dopant drift. Electronics Letters, 2009, vol. 45, no. 22, p. 1103-1104. [74] Radwan, A. G., Moaddy, K., Hashim, I. Amplitude Modulation and Synchronization of Fractional-Order

Roč. 69 (2013) Číslo 4 D. Biolek, J. Polcrová: Analogové aplikace memristivních systémů 23 Memristor-Based Chua's Circuit. Abstract and Applied Analysis, 2013, p. 14. [75] Goknar, I. C., Öncül, F. Minayi, E. New Memristor Applications: AM, ASK, FSK, and BPSK Modulators. Antennas and Propagation Magazine, IEEE, 2013, vol. 55, no. 2, p. 304-313. [76] Witrisal, K. Memristor-based stored-reference receiver - the UWB solution? Electronics Letters, 2009, vol. 45, no. 14, p. 713-714. [77] Leeb, M. A Memristor Based all-analog UWB Receiver. Master project, Graz University of Technology, Austria, 21st February 2012. [78] Witrisal, K. A memristor-based multicarrier UWB receiver. In Proc. IEEE Int. Conference on Ultra- Wideband (ICUWB), 2009, p. 679-683. [79] Elmer, G. Possible application of memristors in ESD protection. Journal of Electrostatics, 2012, Available online. [80] Klimo, M., Šuch, O. Memristors can implement fuzzy logic. arxiv:1110.2074v1, [cs.et], 2011. [81] Bi, X., Chen, Y., Pino, R., Li, H. Spintronic Memristor Based Temperature Sensor Design with CMOS Current Reference. Design, Automation & Test in Europe (DATE), 2012, p. 1301-1306. [82] Mahmoudi, H., Sverdlov, V., Selberherr, S. Novel Memristive Charge- and Flux-Based Sensors. In Proc. 8th Conference on Ph.D. Research in Microelectronics and Electronics (PRIME), 2012, p. 1-4. [83] Massoud, Y., Xiong, F., Smaili, S. A memristor-based random modulator for compressive sensing systems. In Proc. IEEE Int. Symposium on Circuits and Systems (ISCAS), 2012, p. 2445-2448. [84] Gao, L., Merrikh-Bayat, F., Alibart, F., Guo, X., Hoskins, B.D., Cheng, K.-T., Strukov, D.B. Digital-to- Analog and Analog-to-Digital Conversion with Metal Oxide Memristors for Ultra-Low Power Computing. Nanoarch'13 Transactions, 2013, p. 4. [85] Pershin, Y. V., Sazonov, E., Di Ventra, M. Analog-to- Digital and Digital-to-Analog Conversion with Memristive Devices. arxiv:1111.2903v1, [physics.insdet], 12th November 2011. [86] Han, C.-R., Lee, S.-J., Oh, S.-K., Cho, K. Memristor- MOS Analog Correlator for Pattern Recognition System. Journal of Nanoscience and Nanotechnology, 2013, vol. 13, no. 5, p. 3365-3370. [87] Mittal, A., Swaminathan, S. Image stabilization using memristors. In Proc. 2nd Int. Conference on Mechanical and Electrical Technology (ICMET), 2010, p. 789-792. [88] Lin, Z.-h., Wang, H.-X. Image encryption based on chaos with PWL memristor in Chua's circuit. In Proc. Int. Conf. on Communications, Circuits and Systems (ICCCAS), 2009, p. 964-968. [89] Duan, S. K., Hu, X. F., Wang, L. D., Li, Ch. D. Analog memristive memory with applications in audio signal processing. SCIENCE CHINA Information Sciences, SP Science China Press, 2013, p. 1-15. [90] Berdan, R., Toumazou, C., Prodromakis, T. High precision analogue memristor state tuning. Electronics Letters, 2012, vol. 48, no. 18, p. 1105-1107. [91] Joglekar, Y. N., Meijome, N. Fourier Response of a Memristor: Generation of High Harmonics with Increasing Weights. arxiv:1205.5795v1, [cond-mat.meshall], 2012. [92] Cohen, G. Z., Pershin, Y. V., Di Ventra, M. Second and higher harmonics generation with memristive systems. arxiv:1202.4727v1, [cond-mat.mes-hall], 2012. [93] Kolka, Z., Biolek, D., Biolková, V. Frequency-domain steady-state analysis of circuits with mem-elements. Analog Integrated Circuits and Signal Processing, 2013, vol. 74, no. 1, p. 79-89. [94] Chua, L. O. Memristor - the missing circuit element. IEEE Trans. Circuit Theory, vol. 18, 1971, p. 507 519. [95] Chua, L.O., Kang, S.M. Memristive devices and systems. Proceedings of the IEEE, vol. 64, 1976, p. 209 223. [96] Biolek, D., Di Ventra, M., Pershin, Y. V. Reliable SPICE Simulations of Memristors, Memcapacitors and Meminductors. Radioengineering, 2013, vol. 22, no. 4, Part I, p. 945-968. [97] Biolek, Z., Biolek, D., Biolková, V. Analytical Solution of Circuits Employing Voltage- and Current- Excited Memristors. IEEE Trans. on Circuits and Systems-I, 2012, vol. 59, no. 11, p. 2619-2628. [98] Biolek, Z., Biolek, D., Biolková, V. SPICE model of memristor with nonlinear dopant drift. Radioengineering, 2009, vol. 18, no. 2, Part II, p. 210-214. [99] Joglekar, Y.N., Wolf, S.J. The elusive memristor: properties of basic electrical circuits. Eur. J. Phys., vol. 30, 2009, p. 661 675. [100] Tetzlaff, R. et al. The memristor theory. In Springer Book (to be published). Springer, 2013.

24 D. Biolek, J. Polcrová: Analogové aplikace memristivních systémů Roč. 69 (2013) Číslo 4 Příloha 1: Zdrojové kódy podobvodů SPICE pro memristivní systém BMST PSpice, LTspice ** Bipolar memristive system with threshold ** * Code for PSpice and LTspice; * tested with Cadence PSpice v. 16.3 and * LTspice v. 4* **********************************************.subckt memr_th plus minus PARAMS: + Ron=100 Roff=100k Rinit=10k beta=1e14 Vt=0.1 *model of memristive port Gpm plus minus value={v(plus,minus)/v(x)} *end of the model of memristive port *integrator model Gx 0 x value={fs(v(plus,minus),b1)* + ws(v(x),v(plus,minus),b1,b2)*1p} Raux x 0 1T Cx x 0 1p IC={Rinit} *end of integrator model *smoothed functions.param b1=10u b2=10u.func stps(x,b)={1/(1+exp(-x/b))}.func abss(x,b)={x*(stps(x,b)-stps(-x,b))}.func fs(v,b)= + {beta*(v-0.5*(abss(v+vt,b)-abss(v-vt,b)))}.func ws(x,v,b1,b2)= + {stps(v,b1)*stps(1-x/roff,b2)+stps + (-v,b1)*stps(x/ron-1,b2)} *end of smoothed functions.ends memr_th HSPICE ** Bipolar memristive system with threshold ** * Code for HSPICE; * tested with HSPICE Version A-2008.03* **********************************************.subckt memr_th plus minus + Ron=100 Roff=100k Rinit=10k beta=1e14 Vt=0.1 *model of memristive port Gpm plus minus cur='v(plus,minus)/v(x)' *end of the model of memristive port *integrator model Gx 0 x cur='fs(v(plus,minus),b1)* + ws(v(x),v(plus,minus),b1,b2)*1p' Raux x 0 1T Cx x 0 1p.IC v(x)='rinit' *end of integrator model *smoothed functions.param b1=10u b2=10u.param stps(x,b)='1/(1+exp(-x/b))'.param abss(x,b)='x*(stps(x,b)-stps(-x,b))'.param fs(v,b)= + 'beta*(v-0.5*(abss(v+vt,b)-abss(v-vt,b)))'.param ws(x,v,b1,b2)= + 'stps(v,b1)*stps(roff-x,b2)+stps + (-v,b1)*stps(x-ron,b2)' *end of smoothed functions.ends memr_th Příloha 2: Vstupní soubory pro simulační úlohu z kapitoly 2.2 PSpice, LTspice.options reltol=1u *.options method=gear ;use only for LTspice Vsin 1 0 sin 0 5 50meg Xmem 1 0 memr_th params: + Ron=1K Roff=10K Rinit=5K beta=1e13 Vt=4.6.lib mem.lib.tran 0 0.1u 0 0.1n.probe.end HSPICE.option post runlvl=6 method=gear Vsin 1 0 sin(0,5,50meg) Xmem 1 0 memr_th params: + Ron=1K Roff=10K Rinit=5K beta=1e13 Vt=4.6.lib mem.lib.tran 0.1n 0.1u.probe v(x*.*) i(x*.*).end Příloha 3: Vstupní soubory pro simulační úlohu z kapitoly 2.3 PSpice, LTspice.param f=10k om={2*pi*f} Vmax=5 E1 1 0 value={vmax*sin(om*time)} E2 2 0 value={vmax*sin(om*time+2*pi/3)} E3 3 0 value={vmax*sin(om*time+2*2*pi/3)} X1 out 1 memr_th X2 out 2 memr_th X3 out 3 memr_th Raux out 0 1000meg.lib mem.lib.options reltol=1u.tran 0 200u 100u 200n skipbp.probe.end HSPICE.option post runlvl=6 method=gear.param f=10k om='2*pi*f' Vmax=5 + pi=3.1415926535 E1 1 0 vol='vmax*sin(om*time)' E2 2 0 vol='vmax*sin(om*time+2*pi/3)' E3 3 0 vol='vmax*sin(om*time+2*2*pi/3)' X1 out 1 memr_th X2 out 2 memr_th X3 out 3 memr_th Raux out 0 1000meg.lib mem.lib.tran 200n 200u.probe v(x*.*) i(x*.*).end