31SCS Speciální číslicové systémy Antialiasing

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE 2006/ SCS Speciální číslicové systémy Antialiasing Vypracoval: Ivo Vágner Vagnei1@seznam.cz 1/7

2 Převod analogového signálu na digitální Složité operace, které byly v dřívější době řešeny analogovými obvody, měli tu nevýhodu, že pravdivost výsledku byla závislá na teplotě analogových obvodů, tolerancích součástek a technologických nedokonalostí. Další nevýhoda je, že nelze vyrobit dva analogové obvody, které budou mít naprosto shodné vlastnosti. Tento problém odstraňuje číslicové zpracování signálu, neboť výpočetní algoritmus ( program ) lze reprodukovat a při použití dvou výpočetních bloků ( CPU ) stejných typů bude chování obvodů shodné. Další výhodou zpracovávání signálů v číslicové podobě je snadná změna výpočetního algoritmu a tím i změna nastavení chování obvodu, což se u analogových obvodů musí řešit změnou obvodového zapojení či změnou součástek. Na obr. 1 je znázorněno blokové schéma převodu analogového signálu na číslicový a k němu příslušná úprava signálu za každým blokem. obr. 1 UP Jednotka úpravy signálu. Jejím úkolem je převod měřené fyzikální veličiny ( teplota, tlak, rychlost ) na veličinu elektrickou, popřípadě zesílení či zeslabení elektrické veličiny na rozsah zpracovatelný následujícím obvodem ( napětí o hodnotách mv zesílit či napětí o hodnotách KV zeslabit ). S/H Sample / Hold Jedná se o vzorkovač s pamětí, který provádí odběr vzorku z analogového signálu v definovaných okamžicích. Jeho úkolem je udržet na výstupu konstantní hodnotu právě odebraného vzorku po určitou dobu ( definovanou vzorkovacím kmitočtem ), aby následující obvod nepracoval chybně. Dále je důležité rychlé ustálení výstupní navzorkované hodnoty při novém odebrání vzorku. [1] A/D analogově digitální převodník Obvod, který převádí navzorkované hodnoty napětí na číslo. Jedná se o zakódování vzorků. Číslo je nejčastěji vyjádřeno ve dvojkové číselné soustavě. Důležitým parametrem A/D převodníku je počet bitů, což udává rozlišovací schopnost převodníku. Pro správnou funkci převodníku musí být během převodu na vstupu konstantní hodnota napětí, což právě zajišťuje předchozí obvod. Dalším důležitým parametrem převodníku je tedy jeho rychlost. Výstup převodníku může být sériový, či paralelní. [1] CPU Procesorová jednotka. Při zpracování signálů se většinou používá signálový procesor, který má za úkol vstupní data upravit dle předepsaného algoritmu. Výstup z CPU se může ponechat v číslicové podobě nebo opětovně převést na analogový signál ( záleží jaké zařízení se obsluhuje ). Převod na analogový signál by byl proveden pomocí D/A převodníku a integračního článku. 2/7

3 Vzorkovací teorém ( Nyquistův-Shannonův teorém ) Obecně platí, že analogový signál můžeme z číslicového signálu rekonstruovat, pokud byl dodržen vzorkovací teorém, který praví: Je-li vzorkován frekvenčně omezený signál s horní mezní frekvencí f M v ekvidistantních okamžicích s periodou T S = 1/f S, pak můžeme původní signál získat zpět bez ztráty informace, jeli splněna podmínka f S 2f M. [1] Zjednodušeně to znamená, že vzorkovací kmitočet musí být alespoň 2 krát větší než maximální kmitočet vzorkovaného signálu. V praxi se potom volí ještě určitá rezerva. Například u záznamu na CD je vzorkovací kmitočet 44,1 khz neboť zdravé lidské ucho slyší maximálně do kmitočtu 20 khz. [2] Aliasing Ve vzorkovacím teorému se nachází jedna podmínka, která obecně v praxi nemusí být dodržena a při jejím opomenutí může dojít k úplné ztrátě informace. Podmínka zní frekvenčně omezený signál. Jelikož měřené signály v praxi omezené nejsou ( zákmity, rušení atd. ), může se stát, že je navzorkován signál, který má větší kmitočet než polovina vzorkovacího kmitočtu. Frekvenční spektrum vzorkovaného signálu je periodické s periodou f S ( interval 0 f S ). Pokud není splněn vzorkovací teorém, dojde k překrytí opakujících se částí spektra, původní spektrum se zdeformuje a není možno z něho získat původní signál. Tato chyba se nazývá Aliasing. [3] Projevení aliasingu v časové oblasti Na obr. 2a je znázorněno rozložení vzorků sinusového průběhu v čase. Tytéž vzorky mohou ale ležet i na sinusovce s větším kmitočtem. Pokud na obr. 2a je sinusovka s kmitočtem ω S /6, tak na obr.2b může být sinusovka s kmitočtem 5ω S /6, nebo 7ω S /6 a obecně s kmitočtem: 1 ω = ω S k ±, k = ± 1, ± 2,..., ± n 6 Obr. 2 3/7

4 V praxi je nutné tomuto jevu zamezit. Pokud by například přišel rušivý signál, který by měl tvar jako je na obr. 2b, mohlo by dojít ke špatnému vyhodnocení a systém pracující s daty by mohl ve výsledku zrekonstruovat signál zobrazený na obr. 2a. Projevení aliasingu ve spektru Na obr. 3a je znázorněna fourierova transformace analogového signálu x(t). Na obr. 3b je znázorněna fourierova transformace vzorkovací funkce p(t). Jedná se o jednu spektrální čáru ( f S je jeden kmitočet ) která se opakuje s periodou 2π. Na obr. 3c je znázorněn fourierův obraz navzorkovaného signálu. Signál je diskretizován v čase a tím dochází k periodizaci spektra. Zde platí, že ω M < ω S / 2. Je tedy splněna podmínka vzorkovacího teorému a jednotlivá spektra se nepřekrývají. Původní analogový signál lze tedy zrekonstruovat. Na obr. 3d je ukázka spektra signálu, pro který není splněn vzorkovací teorém. Jak je vidět, dochází k překrytí a vzájemnému ovlivňování fourierových obrazů. Sčítají se energetické příspěvky, které od sebe už nelze oddělit. Z toho plyne, že při rekonstrukci signálu již nebude k dispozici původní potřebná informace. Obr. 3 (ω S je vzorkovací kmitočet, ω M je maximální kmitočet zpracovávaného signálu ) Antialiasing Způsob, jakým lze zabránit aliasingu, je zařadit před vzorkovací blok obvod, který bude omezovat maximální možný kmitočet snímaného signálu a to tak, aby byl dodržen vzorkovací teorém. Bloková struktura z obr. 1 potom přejde na blokovou strukturu znázorněnou na obr. 4. Obr. 4 4/7

5 Antialiasingový filtr AAF Antialiasingový filtr má charakter dolní propusti a lze jej realizovat jako analogový filtr nebo technologií spínaných kapacitorů. Způsob návrhu filtru není tak jednoznačný, jak plyne ze vzorkovacího teorému. Nelze říct, že filtr bude propouštět signály do kmitočtu f M a od f M výše již propouštět nebude. Reálný filtr má reálnou modulovou frekvenční charakteristiku s nenulovou šířkou přechodového pásma. Tvar modulové charakteristiky ( dle řádu filtru ) ovlivňuje stanovení vzorkovací frekvence f S. Na obr. 5a je znázorněna modulová charakteristika frekvenčně neomezeného signálu. Na obr. 5b je znázorněna modulová frekvenční charakteristika antialiasingového filtru. Přechodové pásmo je definováno jako ω t = ω f - ω M, kde ω f je mez nepropustného pásma filtru a ω M je maximální zpracovávaný kmitočet, který odpovídá kmitočtu propustného pásma filtru. Obr. 5 Na obr. 5c je znázorněn modul spektra frekvenčně omezeného analogového signálu. Při použití reálného filtru se musí počítat s vyšším vzorkovacím kmitočtem, který je ovlivněn přechodovým pásmem filtru. ω S 2ω M - ω t Při volbě kmitočtového pásma se musí volit kompromis mezi náklady, které souvisejí s nárůstem vzorkovacího kmitočtu s náklady spojenými s zúžením přechodového pásma filtru, což udává řád filtru. Vzorkovací kmitočet je omezen rychlostí zpracování obvodů a řád filtru je omezen praktickou možností realizace filtru. [4] 5/7

6 Vznik aliasingu při decimaci ( v číslicové oblasti ) Decimace se dá přeložit jako podvzorkování signálu celočíselným činitelem D > 1. Spočívá v zachování každého D-tého vzorku z x[n]. Zbývající D-1 vzorky jsou odstraněny. Výstupní posloupnost y[n] je y n = x nd generována podle vztahu: [] [ ] Na obr. 6a je uveden signál vzorkovaný kmitočtem f S a na obr. 6b je uveden tentýž signál ale vzorkovaný kmitočtem f S / 3 ( decimace je tedy D = 3 ). Obr. 6 Obr. 7 Snížením vzorkovacího kmitočtu může dojít k aliasingu, který je patrný na obr. 7. Eliminace aliasingu se provede stejným způsobem jako v předchozím případě, což je zařazení dolní propusti před decimátor. Protože už ale pracujeme s diskrétním signálem, je možné použít číslicové filtry typu FIR, které mohou mít vysoký řád ( 100x ) a tedy jejich modulová frekvenční charakteristika se blíží k ideální charakteristice filtru. [4] 6/7

7 Použitá literatura [1] Vladimír Haasz, Miloš Sedláček; Elektrická měření Přístroje a metody; vydavatelství CVUT [2] - ; encyklopedie Wikipedie [3] Jan Uhlíř, Pavel Sovka ; Číslicové zpracování signálu ; vydavatelství ČVUT [4] Doc. Ing. V. Davídek, CSc., Prof. Ing. M. Laipert, DrSc. ; Analogové a číslicové filtry, CVUT 7/7